重庆市南开中学校2025-2026学年高二上学期周考八数学试题（11.2)

重庆南开中学高2027级高二（上)数学 11.2 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.方程V(x-1)+y2+V(x++y2=1表示的曲线为() A.圆 B.椭圆 C.线段 D.不表示任何图形 2.若抛物线x2=4y上的点P(m,m)到其焦点的距离为3，则点P的坐标为() A.(2W2,2 B.（-2V2,2 C.(±2W2,2） D.(2,±1) 3.直线：+y+2k-1=0(keR)与椭圆+父=1交点个数为() 8 2 A.1 B.2 C.1或2 D.无法确定 4,已知双曲线C:x_上=1的右焦点为F,M为C的左支上一点，P为线段MF的中点，O为坐标原点， 5 若OP=4,则MF=() A.10 B.9 C.7 D.6 5.已知动圆M与直线=2相切，且与定圆C:x2+(十3)2=1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为() A.x2=-12y B.x2=12y C.y2=12x D.y2=-12x 6.已知A,B是抛物线C:y2=24x上的两点，且线段AB的中点横坐标为9，则AB的最大值是() A.34 B.30 C.22 D.17 如图，是椭圆C与双曲线C，1的公共焦点，山B分别是C,C在第二、四象限的 公共点，若四边形AFBF为矩形，则C,的离心率是() VA A B.5 3 c.25 D.6 5 3 8已知F为椭圆后+号-口>6>0的右焦点4，B为圆F+y:的上两个关于原点对称的点，若∠4PB子 恒成立，则该椭圆的离心率的取值范围是( 2. 25 试卷第1页，共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知曲线C:二t若=(meR)() m-13-m A.若1<m<3,则C为椭圆 B.若m<1,则C为双曲线 C.若C为椭圆，则其长轴长一定大于2 D.若C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于√互 10.双曲线C:号。-16>06>0)的左、右焦点分别为F。5,左、右顶点分别为，，以F5为 直径的圆与曲线C的一条新近线交于M、N两点，且∠44-子，则下列说法一定正确的是() A.C的离心率为 2 B.∠MA,N=2r 3 C.MA =2M4 D.当a=1时，四边形M的面积为等万 1.如图四角花瓣”图形可以看作由抛物线C:-2m(p>0)绕坐标原点分别旋转号，元，经后所得三条 曲线与C共同围成的区域（阴影区域），A,B分别为C与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点， 若AB=8,阴影部分的面积为S,则() A.抛物线C的焦点坐标为(1,0) B.△AOB的面积为16 C.S的值比32小 D.直线y=x+b截第二象限“花瓣的弦长可能为1.4” 试卷第2页，共4页 第Ⅱ卷 (非选择题) 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位 置（只填结果，不写过程)· 12.若双曲线C:￡-y =1的右支上一点P到右焦点的距离最短为1，则双曲线为C的渐近线方程 16b2 为 3.已知椭图后+茶=a>6>0的左、右焦点分别为5，，货距为2，若直线y:5:4D与指四 交于点M,满足∠MFF=2∠MFF,则离心率是一 14.已知双曲线C: 示=1(a>0,6>0)的左右焦点分别为F,乃，直线y=-后+与C的 x2y2 右支交于A,B两点，P,Q分别为△AFE,△BFE的内心，若Pg=√2a,则C的离心率为 四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字 说明、演算步骤或推理过程)· 15.如图，在三棱柱ABC-ABC中，平面ACCA⊥平面ABC,AB⊥BC,四边形ACC,A是边长为2的 正方形 (1)证明：BC⊥平面ABBA: (2)若BC=√5，求二面角B-AC-A的余弦值. 16已知椭圈M:若+芳=〔a>b>的左、右您点分别为5，，上顶点N在圆0-2对+-5上小 且△NFE三边的平方和为20 (1)求M的方程： (②若过点P-10)的直线与M交于A、B两点，点B关于原点0的对称点为C,若Sw-心， 2 求直线AB的方程 试卷第3页，共4页 17.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,acos B+bcosA=4cosC,c=2. (1)求C: (2)若角C的平分线交AB于点D,求AD的取值范围. 18.在平面直角坐标系xOy中，对于直线I:ax+by+c=0和点P(xy),P(x2y2),记 n=(ax+by+c)(ax2+by2+c),当且仅当n<0时，称点P,P被直线1分隔.若曲线C与直线I没有公共点， 且曲线C上存在点R,B被直线1分隔，则称直线1是曲线C的分隔线. (1)判断点A1,0)B(-21)是否被直线2x+y=1分隔： (2)若直线y=是曲线y=1的分隔线，求实数k的取值范围 (3)动点M到点F(0,1)的距离与到y轴的距离之积为1，设动点M的轨迹为曲线「，证明：经过原点O的 直线中，有且只有一条直线是曲线「的分隔线 19.己知抛物线E:y2=2x,圆F:(x-4)2+y2=r2(0<r<√7)，点A在抛物线上，过点A作圆F的两条 切线，切线与抛物线E的另一个交点分别为B,C (1)当点A为坐标原点，r=1时，求△ABC的面积： (2)当点A的坐标为4,2√2)时，求直线BC的斜率： (3)当点A在抛物线E上运动时，是否存在实数”，使得直线BC始终与圆F相切，若存在，求出"的值， 若不存在，请说明理由. 试卷第4页，共4页(11.2)参考答案 题号 1 2 3 5 6 8 9 10 11 答案 0 A A BCD BCD BCD 12.3x±4y=0； 13.5-1； 14.- 14.由题意，直线y=x-√a2+b2=x-c,则直线过E,如图，设△AFE内切圆与各边的切点为H,,J, 则AE-AF=（AH川+HFD-(Al+ED=HF-F=FJ-F=2a, 设J(m,0),则m=a,即P点的横坐标为a,同理可得Q点的横坐标为a. 则PQ的直线方程为x=a,又直线AB的倾斜角为牙 因为2-孕答-m号 8 0片-登誓景-m后， π 所以Pg=E|ang+an3)=(c-o sin 3n sin 8+ 8 8 π 8)=(c-a π cos 8+3 cos 8 8 cos 8 sin 8 =c-a）e-a-25(ea),又lP0l=5a,则2a-2c-a0,得2c=3ae c 3 15.(1)四边形ACC4是正方形，.A4⊥AC, 又平面ACCA⊥平面ABC,AAC平面ACCA,平面ACCA∩平面ABC=AC, AA⊥平面ABC,:BCC平面ABC,AA⊥BC, C 又：AB⊥BC,AB,A4c平面ABBA,AB∩A4=A,.BC⊥平面ABB4. (2)由题意，AC=2V2,BC=√2，AB⊥BC,则AB=√2，AB=V6, 过点A作AD⊥AB,垂足为D,过点D作DE⊥AC,连接AE. 由(1)知BC⊥平面ABBA,ADC平面ABBA,.BC⊥AD 又BC,ABC平面ABC,BC∩AB=B,∴.AD⊥平面ABC,又ACC平面ABC,∴.AD⊥AC, 又AD,DEc平面ADE,ADODE-D,∴AC⊥平面ADE 答案第1页，共4页 又AEc平面ADE,.AE⊥AC,.∠AED是二面角B-AC-A的平面角， 在RDE中，E=54C=V反，4D=4:A4=5x2_25 =3,则DE=3’则cs2AD=e-3 AE 3 由图可知，二面角B-AC-A为锐角，则二面角B-4C-A的余弦值为5 2 16.(1)在0：(x-2)2+y2=5中，令x=0,得y=1,则N(0,),所以b=1, 又△NF飞三边的平方和为20，所以202+4c=20,又c=1,解得a=4,所以M的方程为+y口 (2)由题意，过点P(-l,0)的直线AB斜率存在且不为0，可设其方程为x=y-1,(n≠0)， x=y-1 设A(x,为)，B(x,),联立x +y产=1整理得(m+4yP-2-3=0,△>0neR, 4 由韦达定理得：为+2 2n -3 n2+4’5= n2+4 由Sm8e,因为0为C中点，所以5m5k 所以S。4Bc=3S。APc,所以AB-3AP,即BP-2AP则=-2y, B 2n 3 所以片+少=一y= 4片2m+8消⅓得心- ,所以直线AB的方程为r=±2下， 5 5y-1. 17.(1),c=2,∴.acos B+bcosA=2 ccos C,由正弦定理得：sin Acos B+sin Bcos A=2 sin Ccos C, ∴sin(A+B)=sinC=2 sinCcosC,'C∈0， π】 ，sinC≠0，.cosC= 1 C=3 1 C (2)40-S@= AC.CDsin AC b 2 BD C ：由正弦定理得： C.CDsin BC a 2 1 b sinB sin(A+C)sin AcosC +cos AsinC a sinA sinA sinA sinA 2 2tanA 0<A2 10<B=2π ’： 6 2，anAe5 -A< 3 2 24 33 答案第2页，共4页 18.(1)点A,0),B(-2,1),直线2x+y-1=0,则7=(2×1+0-10[2×(-2)+1-1]=4<0， 所以点4A,0),B(-2,1)被直线2x+y=1分隔. xy=1 (2)由直线y=c是曲线y=1的分隔线，得方程组{ 无解，即方程x2=1无解， 而当且仅当k≤0时，方程x2=1无解，因此k≤0： 显然点(1，)，(-1，-1)在曲线y=1上，n=(k-1)-k+1)=-(k-1)2<0, 因此点(L,),(-1,-)被直线y=G分隔，所以实数k的取值范围是k≤0 (3)设点Mx,),依题意，√2+(y-12.x=1,则曲线「的方程为[x2+(y-1)]2=1, 显然当x=0时，方程[x2+(y-1)]2=1无解，点(-1,1)，(1,1)都在曲线「上，且7=-1×1=-1<0， 即点(-1,1)，(1，)被直线x=0分隔，因此直线x=0为曲线Γ的分隔线： 段过原点的直线y=,由，-1消去y得心+低-少2-1=0， 令函数f(x)=[x2+(x-1)2]x2-1,当t≠1时，f(0)f)=-t-1)2<0, 函数f(x)的图象连续不断，则函数f(x)在(0,1)上有解，即方程[x2+(x-1)]x2-1=0有实数解， 当1=1时，方程[x2+(x-1)2]x2-1=0有实数解x=1,即直线y=r与曲线T有公共点， 因此直线y=x不是曲线「的分隔线， 所以经过原点O的直线中，有且只有一条直线是曲线Γ的分隔线，即x=0. 19.(1)当r=1时，圆F:(x-4)2+y2=1与y轴不相切，设过原点与圆F相切的直线方程为y=x, 联立-4+广=l消去y得：1+)2-8x+15=0,由A=64-41+k)x15=0得k=± y=kx 15 不妨记直线AB的方程为y=压 15 x,代入广=2x得：15=2x,解得x=0或x=30,所以B30,2⑤)， 由对称性可知，C(30-2,所以S=。-。=×45×30=60不下 (2)由题知F(4,0),所以AF与x轴垂直，故直线AB,AC的斜率存在，且互为相反数， 设直线AB的方程为y-2V5=k(x-4),即x-y-4k+2V2=0,B(x,),C(x,y2), 答案第3页，共4页 联立25=x-4得-2y-8默+W5-0.则△=4-(-8改+W)=422->0 [y2=2x 为+25-层即%后2，同理可得%=是25，又5-号6受 所以直线BC的斜率6c=当业-2(y--2=2.5 名-片-号+为45-4 (3)设A(x,y),由题意可知，圆F与抛物线E没有交点， 当△ABC的一边所在直线斜率不存在时，不妨设直线AB斜率不存在，则A,B关于x轴对称， 若直线BC始终与圆F相切，则由对称性可知点C必在x轴上，即C与原点重合， 此时直线AB方程为x=(k,>4),直线AC的方程为y=兰x,即x-xy=0, 依题意，氏-4到=4 =r,得(x。-4)(后+x)=168 √6+6 又-2x。,所以(x。-4)(2x。+x)=32x,解得x=6或x=0(舍去)，所以r=x-4=2 所以，当点A在抛物线E上运动时，若存在实数r,使得直线BC始终与圆F相切，则r=2, 下证r=2时，直线BC始终与圆F相切： 如图，由上可知，A,B,C三点的横坐标各不相等， 则直线他的方程为(-x售-）-6，-%】 即2x-(y+y)y+y=0, 同理可得直线AC的方程为2x-(y2+yo)y+y2y。=0,所以直线BC的方程为2x-(y2+y)y+2y=0, 员为气与aF有2，国防-10 同理由直线AC与圆F相切得(%-4)+82-4(6-12)=0， 则、乃为方程(6-4)厂+8%y-4(6-12)=0的两个不等的实根，则y+以=-8 4(-12） -4’y= 哈-4 点F到直线BC的距离为 8+yy2 4+(y+) s6-4)-46G-2_46+42,即直线C与圆F相切， V4(-4+(8}26+4) 综上所述，存在r=2,使得当点A在抛物线E上运动时，直线BC总与圆F相切. 答案第4页，共4页