第二章 实数（运算抢分宝）-2025-2026学年新教材八年级上册数学优化课堂7分钟（北师大版2024）

数学·八年级·上册BS 参考答案 第一章勾股定理 x4x3+7×12x5=36(m2). 突破点1勾股数 所以需费用36×150=5400（元）. 1.B2.C3.C4.D5.D6.C7.D 答：这块空地全部绿化需要购买5400元的这种花草。 8.1709.510.2511.1712.2013.40 3.解：这辆小汽车没有超速，理由如下： 14.(11,60,61)15.17 在Rt△ABC中，AC=30m,AB=50m,根据勾股定理可得 突破点2利用勾股定理求方程 BC2=AB2-AC2=1600,.BC=40m,.小汽车的速度为 1.解：设其中一条直角边长为x,则斜边长为x+4, 2=20(m/s)=20×3.6(km/h)=72(km/h). 40 根据勾股定理得，x2+82=(x+4)2, 解得x=6,.x+4=10, 72km/h<75km/h,∴这辆小汽车没有超速。 答：斜边的长为10. 4.解：在Rt△ABC中，AC=3m,BC=1.5m,∠C=90°，由勾股 2.解：如图，过点A作AD⊥BC交BC于点D,设BD=x,则CD 定理得AB2=AC2+BC2=22+1.52=2.52,AB=2.5m, =14-x. .S长方形=AB·AD=2.5×10=25m2. 在Rt△ABD中，AD2=AB2- 答：覆盖在顶上的长方形塑料薄膜ABED的面积为25m2. BD2=152-x2,在Rt△ACD 中，AD2=AC2-CD2=132- 突破点4：判定直角三角形 (14-x)2,152-x2=132- 1.证明：由条件可知∠B=∠E=90°，AC2=BC2+AB2=92+ (14-x)2,解得x=9,此时AD2 122=225=152,4D2=AE2+ED2=152+82=289,AC2+ =152-92=122,故AD=12, CD2=152+82=289,AD2=289, B ·AC2+CD2=AD2,△ACD是直角三角形 5△ABC的面积为之BC·AD 2.解：根据题意得∠A0D=40°，0A=16×1.5=24(海里)，0B =分x14x12=84 =12×1.5=18(海里)， :它们离港口1.5h后相距30海里（即AB=30海里）， 3.解：设竹竿长x尺，由题意知，竹竿BD=x尺，门高AB=(x 0A2+0B2=242+182=302-AB2, -2)尺，门宽AD=6尺，：在Rt△ADB中，∠DAB=90°， △A0B为直角三角形，∠A0B=90°， .AD2+AB2=BD2,.62+(x-2)2=x2,解得x=10. .∠B0D=90°-40°=50°， 答：竹竿长10尺. 答：另一艘轮船航行的方向是北偏西50° 4.解：如图.设折断处离地面的高度为A 3.解：CH是从村庄C到河边最近的路；理由如下： 龙尺，则AB=(10-x)尺，BC=6尺 在△CHB中，CB=13km,CH=12km,HB=5km, 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 ∴C+B=BC2,.△CHB为直角三角形， 即x2+62=(10-x)2,解得x= ∠CHB=90°，.CHLAB, 3.2, B “,CH是从村庄C到河边最近的路. 答：折断处离地面的高度为3.2尺. 4.解：∠ABD=90°，AB=CD=60cm,AD=90cm, 突破点3勾股定理应用 BD2=AD2-AB2=902-602=4500, 1.解：由题意可知，∠A=90°， 在△BCD中，BC2+CD2=302+602=4500, AB2=BC2-AC2=172-82=225. BC2+CD2=BD2,△BCD是直角三角形， .AB=15m. ·∠BCD=90°，BC⊥CD,该车符合安全标准 答：A,B两点间的距离是15m 2.解：如图，连接AC,在Rt△ABC 第二章实数 中，AC2=AB2+BC2=32+42= 突破点1算术平方根的双重非负性 52,在△CAD中，AD2=132,DC 1.解：√a-5+(b+2)2=0,√a-5≥0，(b+2)2≥0， =122,而122+52=132，即AC2A a-5=0,b+2=0,∴.a=5,b=-2, +CD2=AD2,÷.∠DCA=90°， ·a-2b=5-（-4)=9,∴a-2b的平方根为±3. ·S四边形4BCD=S△aMC+S△D4C=B白 2.獬：√a-2+√b+3=0,a-2≥0，√b+3≥0， ∴.a-2=0,b+3=0,解得a=2,b=-3, .(a+b)2025+1=(2-3)2025+1=-1+1=0. 33 数学·八年级·上册BS 1新：自题可斑-00年利品 Ly=1 山原武=5-1+子-=6 则x2+2xy+y2=(x+y）2=32=9. 12原武=号4号+1=号 2 4.解：1a-21+(b-√5)2+√c-2024=0, 突破点5二次根式的乘法 1a-21≥0，(b-5)2≥0，√c-2024≥0， 1.解：(1)24=√4×6=26 1a-21=(b-√3)2=√c-2024=0, (2)√40=√4×10=2√0 .a=万，b=5,c=2024,.(a2-b2)e= [(w2)2-(W5)2]224=(2-3)2024=(-1)204=1. (3)√/72=36×2=62 5.解：由题意得a-4=0,b-7=0,.a=4,b=7, (4)√200=√100x2=102 将a=4,b=7代入(a-3)x-1=5b, (5)√132-11产=√(13+11)×(13-11)=√24x2= 得(4-3)x-1=5×7,∴.x=36. √42×3=45 6.证明：√3a-12+(b-25)2+lc-61=0, 2.解：(1)原式=√16×2m=45m .3a-12=0,b-25=0,c-6=0, (2)原式=√962×3b=3b√36 .a=4,b=25,c=6. (3)原式=√4a26×2a=2ab2√/2a .a2+b2=42+(25)2=36=62=c2, (4)原式=√a(a+3)7=(a+3)√a .△ABC是直角三角形. 3.原式=√5 突破点2利用平方根的定义解方程 4.原式=-√2x5=-√0 1x=±号2x=±分 3.x=±44.x=±5 5.原式=√4=2 5=±子6=±号 6 6.原式=√18×12=√9×2×4×3=66 7.原式=8×5=40 7.x1=5,x2=-1 8.x1=4,x32=-6 8原式-9×√3×7=9x兮=3 9.x=2或x=-1 10.x=22+1或x=-2万+1 9源赋亚-号-2 3 11.x=3或x=-1 10.原式=a√16a2=4a2 12.x=8或x=-2 突破点6，二次根式的除法 13.x1=0.2,为2=-2.2 14.x=3或x=-1 1解：（原式-号 突破点3利用立方根的定义解方程 1.x=22g=-弩3g=-34x-2 (2)原武：号 5=-156g=-27x=子8=1 (2)源武-√=原 4 9=-510y=子 ()原式-√？- 突破点4实数混合运算 4×2×52/10 1.原式=4-2+3=5 (5)原式=√5x5 5 3 3x2-6 2.原式=5-√5+5-2=3 (6)原式=√2=√2x22 3.原式=-3+5+√5-2=5 4原式-子×分-2=子 Bx2-6 (7)原式=4×√8×2 5.原式=2-3+5-1=3 （8)源式=-6×5-26 6.原式=5-2+3-5+2=3 3ab ab 7.原式=1+3+2=6 2.(1)原式=√27×3=9 8.原式=25-2+√5-2-4=35-8 4x2·3x_2x√3x 9.原式=6+3+4=13 (2)原式=√3×3 3 10原式=-6+号-3+分=-7 1 ()原武=六√受m 34 数学·八年级·上册BS 4原武=-空·√02西 2·c·2b 2原武=3G 3.(（1)原式=4=2 3.原式=a=-a 2=2=25 (2)原式=√6 4原式=√4×石×= (3)原武-√后-√受- 6- 5 5原武=竖+27-4n-=-4 (4)原式=√尽-6=4 6原式=26+55=名6 4 (5)原式=√×9=反=25 7原武=45+26-号6-号6=20 7 &原式=竖+9-2派=0 a=2 4.(1)原式=√3a )原式=(65-吾+45)36=号 2)原式=√层-号 10.原式=45÷(85+25-95)=45÷5=4 突破点10二次根式的化简求值 (3)原武=√ad·吾=6 1解：+任√仔何 ab 2ab_√2ab (4)原式=√8=√8×2 4 突破点7二次根式的乘除法 -V24VFy网 =5√/网-√x对-4y-√=-√xy, 1原武=35×压2/30=0 当=分y=4时，原武√分4： 1 31 2原武=-√/停+x分而=-2√/停2x0=-反 2.解：当x=万+5，y=万-5时，x-y=25,y=2, 3.原式=9×得26=子 ·x2-y+y2=(x-y)2+y=(25)2+2=22. 3.解：x=万+3， 4原式=-2÷35×是6=-2 x2=(2+3)2=2+62+9=11+62, (11-6/2)x2-(2-3)x+3 =(11-62)(11+62)-(2-3)(2+3)+3 6.原式=6/5÷65×65=65 =121-72-2+9+3=59. 原武古会√只 5-2 4解：万+万+6-万5-6， 1 8原式=- √m是景-46 4 1 2+5 y万-万2-n+-五-6， 突破点8二次根式的加减 x+y=5-2+(-2-5)=-22, 1原式=45-语+手万=5明 y=(5-2)(-3-2)=2-3=-1, x2+3y+y2=x2+2y+y2+y=(x+y)2+y 2.原式=23-25+5=5 =(-22)2-1=8-1=7. 3.原式=26+2-√2+6=36 5.解：x=25-1,x+1=25,(x+1)2=12, 4.原式=62-42-22=0 即x2+2x+1=12,.x2+2x=11, 5原武=36-9+子6+25=55 x2+2x-3=11-3=8. 第三章位置与坐标 6.原式=85+5-25-7w5 突破点1象限和坐标轴上的点 7.原式=22a+5√2a-√2a=6v√2a 1.22.63.04-号536-11(-3.0) 8.原式=3/a+4a-4/a=3a 突破点9二次根式的混合运算 8.(0,-8)9.(0,7)10.(-1,3)11.(1,-4) 1.原式=2 12.(-5,0或0,25)18.号<m<4 35数学·八年级·上册BS 第二章实数 突破点1算术平方根的双重非负性 （时间：30分钟满分120分) 1.(20分)已知√a-5+(b+2)2=0,求a-2b的平方根. 2.(20分)已知√a-2+√b+3=0,求(a+b)225+1的值. 3.(20分)已知(x-2)2+√y-x+1=0,求x2+2xy+y2的值 4.(20分)若1a-√21+(b-√5)2+√c-2024=0,求(a2-b2)°的值. 5.(20分)已知a,b满足|a-41+√b-7=0,解关于x的方程(a-3)x-1=5b. 6.(20分)若△ABC的三边长a、b、c满足√3a-12+(b-25)2+Ic-61=0.求证：△ABC是直 角三角形 5 数学·八年级·上册BS 突破点2利用平方根的定义解方程 （时间：30分钟满分120分) 类型1求满足下列各式的未知数x(每题8分，共48分)】 1.25x2=64; 2.4x2=1; 3.x2-16=0; 4.x2-17=8; 5.4x2-25=0; 6.25x2-36=0. 类型2求满足下列各式的未知数x(每题9分，共72分) 7.(x-2)2=9; 8.(x+1)2=25; 9.4(2x-1)2=36; 10.-2(x-102=-4: 11.(x-1)2-4=0: 12.（x-3)2-25=0; 13.25(x+1)2-36=0; 14.2(x-1)2-3=5. 6 数学·八年级·上册BS 突破点3利用立方根的定义解方程 （时间：30分钟满分120分) 求满足下列各式的未知数x(每题12分，共120分) 17-1=3 2.27x3+125=0. 3.(x+1)3=-8. 4.（2x-1)3=27. 5.(2x-1)3+64=0. 6.(2x-1)3+125=0. 7.-8(1-2x)3=27. 8.3(2x-1)3=-81. 92(+3)3+4=0 10.-8(1-2y)3+1=28. 数学·八年级·上册BS 突破点4实数混合运算 （时间：30分钟满分120分) 计算（每题10分，共120分） 1.√16-8+√(-3). 2.√25-5+12-√51. 3.(-3)下+√(-5)7-13-21. 4-v2 5.√22-27+1-√251. 6.1W2-31+3(3-1)+2. 7.√(-1)2--27+14-√361. 8.2(3-1)-1W5-21+/-64. 9.√/36+√(-3)2--64. 0-v6+2牙+-27-g-1. 11-1+名-福 2好--2+温-1-(-▣ 8 数学·八年级·上册BS 突破点5二次根式的乘法 (时间：30分钟满分120分) 类型1化简二次根式（√a=√bc=b√，其中a≥0，b≥0，c≥0）.（本题共40分）】 1.化简（每小题4分，共20分） (1)√24； (2)√40； (3)√72； (4)√200； (5)132-112. 2.含参化简（每小题5分，共20分） (1)√32m; (2)√27b3; (3)√8ab; (4)√/a3+6a2+9a. 类型2二次根式的乘法（√a·√6=√ab,其中a≥0，b≥0）.（每小题10分，共40分) 3.3×5; 4.-√2×5； 6.√/18×√12. 类型3二次根式的乘法(a√b·c√d=ac√bd,其中b≥0，d≥0).（每小题10分，共40分） 7.45×25; 8.93×√27 95x-2） 10.a√2a·8a. 9 数学·八年级·上册BS 突破点6二次根式的除法 (时间：30分钟满分120分) 类型1化简二次根式 8-哥-其中a≥060叶（本题共4分别 1.化简（每小题4分，共32分） V层： 2: s (6)1.5; 8)-6√/ 2.含参化简（每小题8分，共32分） ab (1)√ x3 (2)V3 (3)/m(m>0,n>0); (4)-cc3 m n 2/206(a>0,b>0,c>0). 类型2二次根式的除法 其中0,6>0 (本题共56分) 3.计算（每小题4分，共24分） (1)√12÷3； (2)√72÷√6； (3)6 √10 (4÷√分： .1 (6)N 1 3 4.含参除法（每小题8分，共32分） (1)√6a÷V√3a;(2)√2xy÷√8y; 3)va品V8; (4)ab÷√8. 10 数学·八年级·上册BS 突破点7二次根式的乘除法 (时间：30分钟满分120分) 计算（每题15分，共120分】 1.320x(-15)÷(-20列 2号+品号×可 3.318×5÷26. 6 42(-)×√ 3 527328×-7V 6.-3/12÷2/27×(-63). √受(-b日√倍(a>0.6>0>0)8名®：()÷3店 11 数学·八年级·上册BS 突破点8二次根式的加减 (时间：30分钟满分120分) 计算（每题15分，共120分） 2厘-2g+3胥 3.(v24+20.5)-(4g-6} 4.218-32-4② v-+2+ 6.280+220-10/写 7.8a+50a-2号 8va+ia-2a/日 12 数学·八年级·上册BS 突破点9二次根式的混合运算 (时间：30分钟满分120分) 类型1计算（每小题10分，共60分） 1.2网· 1 23F÷图 3.2ad(-ba6(a>0,b>0). 4压6×厚 (v+√-（号+6 类型2计算（每小题15分，共60分） 72n+31号-5号 8+-任 9(3D-√5+sm, 10.2厄÷2v48+4V得-327 13 数学·八年级·上册BS 突破点10二次根式的化简求值 （时间：30分钟满分120分) 类型1直接代入（共24分） 1.先化简，再求值：√25x灯+x 匠-4V得可，其中分=4 类型2整体代入（每小题24分，共48分） 2.已知：x=√7+√5，y=√7-√5，求代数式x2-xy+y2值. 3.已知x=√2+3，求(11-62)x2-(√2-3)x+3的值. 类型3分母有理化（共24分】 4已加：万丙”石后求代试刘+护的位 类型4变换条件（共24分）】 5.已知x=23-1,求x2+2x-3的值， 14