重难专题 数列的求和（6大基础题型+能力提升+拓展提升）（专项训练）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

培优专题02 数列的求和 题型一 公式法求和 1．（24-25高二下·广东江门·期末）记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广西钦州·期末）等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．100 B．102 C．103 D．105 3．（25-26高二上·上海·开学考试）已知数列是首项为3公差为2的等差数列，则 ． 题型二 分组求和法 1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的前n项和为，满足，且，则的值为（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前项和. 3．（25-26高三上·云南红河·阶段练习）记分别为数列的前项和，其中，. (1)求的通项公式； (2)求. 题型三 并项相加法求和 1．（2025·浙江嘉兴·一模）已知数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知数列{an}满足数列的前n项和，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）若数列满足，，则其前2025项的和为（   ） A．1517 B．1519 C．1521 D．1523 4．（25-26高三上·福建·开学考试）已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的值. 题型四 倒序相加法求和 1．（25-26高一上·重庆·阶段练习）已知函数，（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建漳州·阶段练习）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·湖南长沙·月考）已知，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山东济宁·月考）已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： . 题型五 裂项相消法求和 1．（25-26高三·全国·阶段练习）已知在数列中，，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 3．（24-25高三下·云南·月考）设正项数列的前项和为，满足. (1)求； (2)求证：数列为等差数列； (3)求数列的前100项的和. 4．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知数列中，为的前项和，是首项为1，公差为1的等差数列． (1)求数列的通项公式． (2)若，记数列的前项和为，证明：． 题型六 错位相减法求和 1．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知数列的前项和为，当时，，且 ． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 2．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）设为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 3．（24-25高三下·河南信阳·月考）已知数列的前n项和为，，. (1)求证：数列是等差数列. (2)设，数列的前n项和为，求. 1．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知数列满足，则（    ） A．100 B．101 C．102 D．103 2．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为.若，则（    ） A．80 B．85 C．90 D．95 4．（24-25高二下·陕西渭南·期末）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层共有扇面形石板（    ） A．2699块 B．3474块 C．3402块 D．2997块 5．（25-26高二上·江苏·阶段练习）数列满足，则数列的前9项和为（    ） A． B． C． D． 6．(多选)（25-26高三上·江苏无锡·阶段练习）等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当或13时，取得最大值 D．若．则数列的前36项和 7．（2024·浙江·一模）若，已知数列中，首项，则 ． 8．（25-26高三上·浙江·开学考试）记为正项数列的前项和，已知 (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和. 9．（24-25高三上·四川德阳·月考）已知数列．令， (1)证明数列是等差数列，并求出通项公式； (2)求数列的前项和． 10．（广东省部分学校2026届高三上学期联考数学试题）记为数列的前项和．已知． (1)求的通项公式； (2)记为在区间上的项的个数，求数列的前项和． 11．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 1．（25-26高三上·广东佛山·阶段练习）（　　） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·模拟预测）若，数列满足，则的值是（    ） A．2024 B．4048 C．3036 D．2025 3．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足 （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）设，问是否存在正整数，使得？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由. 6 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题02 数列的求和 题型一 公式法求和 1．（24-25高二下·广东江门·期末）记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为，由，得，解得， 所以，，ABC错误，D正确. 故选：D 2．（24-25高二下·广西钦州·期末）等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．100 B．102 C．103 D．105 【答案】C 【解析】等比数列的前项和为，且，， 所以公比为：， 所以， 所以. 故选：C. 3．（25-26高二上·上海·开学考试）已知数列是首项为3公差为2的等差数列，则 ． 【答案】 【解析】. 题型二 分组求和法 1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的前n项和为，满足，且，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且，所以，所以， 所以成首项为1公比为3的等比数列，成首项为3公比为3的等比数列， 所以. 故选：D. 2．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前项和. 【答案】(1)，；(2). 【解析】（1）在等差数列中，，解得，而， 因此数列的公差，； 设等比数列的公比为，由，得，解得， 又，则，解得，而，因此，， 所以数列和的通项公式分别为，. （2）由（1）得， 所以. 3．（25-26高三上·云南红河·阶段练习）记分别为数列的前项和，其中，. (1)求的通项公式； (2)求. 【答案】(1)；(2)1222 【解析】（1）因为， 当时，； 当时，则，又， 两式相减得； 且符合上式，所以 . （2）由（1）可得， 所以 . 题型三 并项相加法求和 1．（2025·浙江嘉兴·一模）已知数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，则， 由，则，故， 则、、、， 则. 故选：A. 2．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知数列{an}满足数列的前n项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 又，则， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列. 于是， 因为， 所以， 又，所以， 故选：A 3．（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）若数列满足，，则其前2025项的和为（   ） A．1517 B．1519 C．1521 D．1523 【答案】B 【解析】因， 则 . 故选:B. 4．（25-26高三上·福建·开学考试）已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的值. 【答案】(1)； (2)100或97 【解析】(1)设等差数列的公差为， 则，解得， 所以的通项公式为； （2）， ， 若为偶数，则， 若为奇数，则， ，若为偶数，则，解得， 若为奇数，则，解得， 综上，或97 题型四 倒序相加法求和 1．（25-26高一上·重庆·阶段练习）已知函数，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， 所以， 令， ， 所以， 即， 故选：A 2．（25-26高二上·福建漳州·阶段练习）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，设， ， 设， 倒序得， 两式相加得到，解得，故只有A正确. 故选：A 3．（24-25高三下·湖南长沙·月考）已知，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则 两式相加得 所以，所以.故选：A. 4．（24-25高三上·山东济宁·月考）已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： . 【答案】 【解析】因为函数是上奇函数，所以 ， 所以， ， 两式相加得： 即. 题型五 裂项相消法求和 1．（25-26高三·全国·阶段练习）已知在数列中，，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，即，又， 所以，则是以为首项，为公差的等差数列， 则， 故，得， 所以． 所以． 故选：A. 2．（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）因为， 所以当时， ， 是首项为1的正项数列，则， 又满足上式，所以. （2）由（1）可得，， 所以. 3．（24-25高三下·云南·月考）设正项数列的前项和为，满足. (1)求； (2)求证：数列为等差数列； (3)求数列的前100项的和. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)10 【解析】（1）当时，，整理得， 又，所以. 当时，即，解得， 又，所以. （2）， ， 上述两式相减，得， ， ， ， 数列为等差数列，首项为2，公差为4. （3））由（2）得：， ， ， ，由求根公式得， ， ， . 4．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知数列中，为的前项和，是首项为1，公差为1的等差数列． (1)求数列的通项公式． (2)若，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由已知有，所以，解得， 当时，， 又满足上式，所以． （2）， 所以， 因为，所以， 由于单调递减，所以单调递增， 所以当时，最小，为，故． 题型六 错位相减法求和 1．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知数列的前项和为，当时，，且 ． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）当时，，即， 则，即得， 即，而当时，， 故数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 故，则； （2）由题意得， 故， 则， 故 ， 则. 2．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）设为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，，解得， 当时，，， 两式相减可得：，即① 则②， ②①可得， 由于，所以数列是首项为2，公差为4的等差数列， 则 （2）设， 所以③ ④， ③④可得, 化简可得： 3．（24-25高三下·河南信阳·月考）已知数列的前n项和为，，. (1)求证：数列是等差数列. (2)设，数列的前n项和为，求. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：因为，可得，所以， 两边同除以，可得，即， 又因为，可得，所以数列是首项为，公差为1的等差数列. （2）由（1）可得，所以，可得， 所以， 则. 两式相减，可得 ， 所以. 1．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知数列满足，则（    ） A．100 B．101 C．102 D．103 【答案】B 【解析】因为，则． 故选：B 2．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令， 则 两式相减得 所以， 故选：D. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为.若，则（    ） A．80 B．85 C．90 D．95 【答案】C 【解析】方法一：，当时，， 两式相减，得当时，， 的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为 当为奇数时，； 当为偶数时，. . 方法二： ， ， 故数列是以5为首项，4为公差的等差数列， . 故选：C 4．（24-25高二下·陕西渭南·期末）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层共有扇面形石板（    ） A．2699块 B．3474块 C．3402块 D．2997块 【答案】D 【解析】设第n环天石心块数为，上层共有n环，为的前n项和， 则是首项为9，公差为9的等差数列，，， 上层、中层、下层的块数分别为， 由下层比中层多729块，得， 即，解得， 所以中下两层共有扇面形石板（块）. 故选：D 5．（25-26高二上·江苏·阶段练习）数列满足，则数列的前9项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】数列满足①, 当时，； 当时，②， ①②得，， 又因为，不满足上式， 故， 当时，， 设数列的前9项和为, 则 ， 故选：. 6．(多选)（25-26高三上·江苏无锡·阶段练习）等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当或13时，取得最大值 D．若．则数列的前36项和 【答案】BCD 【解析】在等差数列中，有，所以， 又因为，可得，所以，所以， 所以，所以，所以，故A不正确； 所以等差数列的公差， 所以等差数列的通项公式为，故B正确． 当时，；当时，； 当时，，故当或13时，取得最大值， 故C正确， 因为，，所以， 则，故D正确． 故选：BCD. 7．（2024·浙江·一模）若，已知数列中，首项，则 ． 【答案】158 【解析】， ，即， ， 时，，两式相减得， 时，，故， 又时也符合上式，故， ， ． 记， 则， 两式相加得，，即，则． 8．（25-26高三上·浙江·开学考试）记为正项数列的前项和，已知 (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1），当时，, 当时， 两式相减得，得， 因为，所以， ， 为等差数列，； （2） 9．（24-25高三上·四川德阳·月考）已知数列．令， (1)证明数列是等差数列，并求出通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【解析】（1），两端除以，得，即， 由，得，所以数列是以4为首项，3为公差的等差数列， ． （2）， ，① ，② 由①-②，得， ． 10．（广东省部分学校2026届高三上学期联考数学试题）记为数列的前项和．已知． (1)求的通项公式； (2)记为在区间上的项的个数，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）当时，由，得，则， 又，因此数列是以1为公差，2为首项的等差数列， . （2）由（1）知，且，而区间内有个整数，则， 因此， 所以数列的前项和. 11．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【解析】（1）由题可得，，所以， 又，则，则， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）知，所以， 所以. （3）由（2），则， 所以． 令，则， 的前项和为； 令，则， 的前项和为， 所以， 因为，所以，当时等号成立， 而，所以. 1．（25-26高三上·广东佛山·阶段练习）（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 . 故选：D 2．（2025·辽宁·模拟预测）若，数列满足，则的值是（    ） A．2024 B．4048 C．3036 D．2025 【答案】B 【解析】， ， 则. 因为 令，得 ； ； ； ………… 又. 故 故选：B 3．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足 （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）设，问是否存在正整数，使得？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）答案见解析； （ⅱ）答案见解析. 【解析】（1）当时，， 当时，， 化简得：， 当时，，所以； （2）（ⅰ）当时： ，， ， ， 因为，所以， 当时： ； . （ⅱ）当时： ， 计算（，）： 所以；​ 所以当时，单调递增； 所以当时，， 当时， ， 当时，， 当时： ， 计算（，）： ， 因为（），所以， 所以当时，单调递减， 所以， 由，解得，此时. 10 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $