2025-2026学年高三数学上期中押题卷2-1（人教A版）

绝密★启用前 2025-2026学年高三数学上期中押题卷2-1（人教A版） 考试分值：150分；考试时间：120分钟；命题人：冲冠数学 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（　　） A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP 2．（5分）已知集合P＝{x∈N|y，y∈N}，Q＝{x|﹣1≤x≤4}，则P∩Q＝（　　） A．{1，2，4} B．{0，1，3} C．{x|0≤x≤3} D．{x|﹣1≤x≤4} 3．（5分）已知甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）从小到大排列如下； 甲队：7，12，12，20，20+x，31； 乙队：8，9，10+y，19，25，28． 这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x+y的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD内接于一个半径为R的球，则正四棱锥P﹣ABCD体积的最大值是（　　） A． B． C． D．R3 5．（5分）设函数，若函数f（x）图象与直线y＝b有两个交点，则实数b的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B． C． D．（0，1] 6．（5分）已知sin2α＝m，sin2β＝n，且m≠n，则（　　） A． B． C． D． 7．（5分）把函数y＝f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，且y＝g（x）的图象关于点中心对称，则函数y＝f（x）的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 8．（5分）已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F分别是棱AB，CD的中点，则等于（　　） A． B． C． D． 评卷人 得 分 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） （多选）9．（6分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为B1C1，A1D1，BC的中点，则（　　） A．BE与CD异面 B．平面A1BE∥平面AFG C．平面AFG⊥平面ABCD D．BE与DD1所成角的正切值为 （多选）10．（6分）在平面直角坐标系中，定义d（A，B）＝max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}为两点A（x1，y1），B（x2，y2）的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P， l），则下列命题中正确的是（　　） A．，则 B．O为坐标原点，动点R满足d（O，R）＝1，则R的轨迹为圆 C．已知点P（3，1），直线l：2x﹣y﹣1＝0，则 D．定点F1（﹣c，0），F2（c，0），动点P满足|d（P，F1）﹣d（P，F2）|＝2a（2c＞2a＞0），则点P的轨迹与直线y＝k（k为常数）有且仅有2个公共点 （多选）11．（6分）已知直线l：（m+2）x﹣（m﹣2）y﹣4＝0（m∈R），圆C：x2+y2+4x﹣6y+9＝0，则下列说法正确的是（　　） A．直线l过定点（1，1） B．圆C与y轴相切 C．若l与圆C有交点，则m的最大值为0 D．若l平分圆C的周长，则 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（5分）设P为矩形ABCD所在平面外的一点，直线PA⊥平面ABCD，AB＝3，BC＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为 　 　 ． 13．（5分）如图，双曲线的左、右焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），A为双曲线C右支上一点，且OA＝c，AF1与y轴交于点B，若F2B是∠AF2F1的角平分线，则双曲线C的离心率是　 　 ． 14．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，△PBC为等边三角形，AC⊥AB，PA⊥BC，PA＝2，则三棱锥的外接球的表面积为 　 　 ． 评卷人 得 分 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．（13分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an+1＝Sn+1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn，数列{bn}前n项和为Tn，求证：Tn． 16．（15分）某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏；每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组．游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”．已知甲组两名队员投进篮球的概率分别为p1，p2． （1）若p1，p2，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率； （2）若p1+p2，则在游戏中，甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，理论上他们小组至少要进行多少轮游戏才行？并求此时p1，p2的值． 17．（15分）实数x，y满足x2+y2+2x﹣4y+1＝0，求： （1）的最大值和最小值； （2）2x+y的最大值和最小值． 18．（17分）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC和△AA1C1是等边三角形．E，F分别为棱AA1，AC的中点，平面AA1C1C⊥平面A1B1C1． （Ⅰ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，求AA1； （Ⅱ）在线段BF上是否存在点G，使得AG∥平面B1EF，证明你的结论． 19．（17分）已知函数． （1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若y＝f（x）在x＝2处取得极值，求f（x）的单调区间； （3）求证：当0＜a＜1时，关于x的不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解． 2025-2026学年高三数学上期中押题卷2-1（人教A版） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A C C B C D 二．多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 ABD ACD AB 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（　　） A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP 【答案】B 【解答】解：（本题属于选择题）不妨设抛物线的方程为y2＝4x，则F（1，0），准线为l为x＝﹣1， 不妨设P（1，2）， ∴Q（﹣1，2）， 设准线为l与x轴交点为A，则A（﹣1，0）， 可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直， 故可得线段FQ的垂直平分线，经过点P， 故选：B． 另解：由抛物线的定义知，|PF|＝|PQ|， 所以△PQF为等腰三角形，且FQ为等腰三角形PQF的底边， 所以线段FQ的垂直平分线经过点P． 故选：B． 2．（5分）已知集合P＝{x∈N|y，y∈N}，Q＝{x|﹣1≤x≤4}，则P∩Q＝（　　） A．{1，2，4} B．{0，1，3} C．{x|0≤x≤3} D．{x|﹣1≤x≤4} 【答案】B 【解答】解：集合P＝{x∈N|y，y∈N}＝{0，1，3}，Q＝{x|﹣1≤x≤4}， 则P∩Q＝{0，1，3}． 故选：B． 3．（5分）已知甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）从小到大排列如下； 甲队：7，12，12，20，20+x，31； 乙队：8，9，10+y，19，25，28． 这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x+y的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解答】解：甲队的中位数是（12+20）＝16，乙队的中位数是（10+y+19）＝16，解得y＝3； 所以乙队的平均数为（8+9+13+19+25+28）＝17， 甲队的平均数为（7+12+12+20+20+x+31）＝17，解得x＝0； 所以x+y＝3． 故选：A． 4．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD内接于一个半径为R的球，则正四棱锥P﹣ABCD体积的最大值是（　　） A． B． C． D．R3 【答案】C 【解答】解：在正四棱锥P﹣ABCD中，设正方形ABCD的边长为a，底面到球心的距离为x，则AC＝BDa， ∴x2+（a）2＝R2，则a2＝2（R2﹣x2），且正四棱锥P﹣ABCD的高为R+x， ∴Va2（R+x）（R2﹣x2）（R+x），则V'（﹣x3﹣Rx2+R2x+R3）'（﹣3x2﹣2Rx+R2）（x+R）（3x﹣R）， 由V'＝0得x，由V'＞0得0＜x，由V'＜0得x， ∴V（R2﹣x2）（R+x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减， ∴当x时，V取得极大值也是最大值，且Vmax[R2﹣（）2]（R）， 故选：C． 5．（5分）设函数，若函数f（x）的图象与直线y＝b有两个交点，则实数b的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B． C． D．（0，1] 【答案】C 【解答】解：当x≤0时，f（x）＝ex（x+1）， 则f'（x）＝ex（x+1）+ex＝ex（x+2）， 由f'（x）＜0，得x＜﹣2， 所以f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减； 由f'（x）＞0，得﹣2＜x≤0， 所以f（x）在（2，0]上单调递增． 当x＜﹣1时，f（x）＜0，当1＜x≤0时，f（x）＞0， 当x趋于﹣∞时，f（x）趋于0， 当x＝﹣2时，f（x）取得极小值，f（0）＝1． 又当x＞0时，， 作出函数f（x）的大致图象，如图所示： 由图可知，当b≤0或b＞1时，函数f（x）的图象与直线y＝b有两个交点， 所以实数b的取值范围是（，0]∪（1，+∞）． 故选：C． 6．（5分）已知sin2α＝m，sin2β＝n，且m≠n，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为sin2β＝sin[（α+β）﹣（α﹣β）]＝sin（α+β）cos（α﹣β）﹣cos（α+β）sin（α﹣β）＝n， sin2α＝sin[（α+β）+（α﹣β）]＝sin（α+β）cos（α﹣β）+cos（α+β）sin（α﹣β）＝m， 所以，， 又． 故选：B． 7．（5分）把函数y＝f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，且y＝g（x）的图象关于点中心对称，则函数y＝f（x）的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：对于选项A：假设函数为f（x）＝sin（）时，图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin（x），再把所得曲线向左平移个单位长度， 得到函数y＝g（x）＝sin（）的图象，当x时，g（）≠0，故A错误； 对于选项B：假设函数为时，图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin（），再把所得曲线向左平移个单位长度， 得到函数y＝g（x）＝sin（x）的图象，当x时，g（）≠0，故B错误； 对于选项C：假设函数为f（x）＝sin（）时，图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin（x），再把所得曲线向左平移个单位长度， 得到函数y＝g（x）＝sin（x）的图象，当x时，g（）＝0，故C正确； 对于选项D：假设函数为f（x）＝sin（）时，图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin（x），再把所得曲线向左平移个单位长度， 得到函数y＝g（x）＝sin（x）的图象，当x时，g（）≠0，故D错误． 故选：C． 8．（5分）已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F分别是棱AB，CD的中点，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图：∵点E，F分别是AB，CD的中点，∴， ∵空间四面体D﹣ABC的每条棱长都等于a，∴每个面都是等边三角形， ∴（）a2． 故选：D． 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） （多选）9．（6分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为B1C1，A1D1，BC的中点，则（　　） A．BE与CD异面 B．平面A1BE∥平面AFG C．平面AFG⊥平面ABCD D．BE与DD1所成角的正切值为 【答案】ABD 【解答】解：如图，CD∥AB，AB∩BE＝B，∴BE与CD异面，故A正确； ∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为B1C1，A1D1，BC的中点， ∴A1E∥AG，BE∥AF， ∵AG⊂平面AFG，A1E⊄平面AFG，∴A1E∥平面AFG， AF∩AG＝A，∴平面A1BE∥平面AFG，故B正确； 由图可知，平面AFG与平面ABCD不垂直，故C错误； BE与DD1所成的角即BE与BB1所成的角， ∴BE与DD1所成角的正切值为tan，故D正确． 故选：ABD． （多选）10．（6分）在平面直角坐标系中，定义d（A，B）＝max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}为两点A（x1，y1），B（x2，y2）的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P， l），则下列命题中正确的是（　　） A．，则 B．O为坐标原点，动点R满足d（O，R）＝1，则R的轨迹为圆 C．已知点P（3，1），直线l：2x﹣y﹣1＝0，则 D．定点F1（﹣c，0），F2（c，0），动点P满足|d（P，F1）﹣d（P，F2）|＝2a（2c＞2a＞0），则点P的轨迹与直线y＝k（k为常数）有且仅有2个公共点 【答案】ACD 【解答】解：d（A，B）＝max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}为两点A（x1，y1），B（x2，y2）的“切比雪夫距离”， 设点P及直线l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）， 对于A，∵，∴， ∴，故A正确； 对于B，设R（x，y），且d（O，R）＝1，则，等号至少有一个成立， ∴动点R的轨迹为如下正方形，故B错误； 对于C，设Q（x，2x﹣1），则d（P，Q）＝max{|x﹣3|，|2﹣2x|}， 当|x﹣3|≥|2﹣2x|，即时，d（P，Q）＝|x﹣3|＝3﹣x，此时最小值为， 当|x﹣3|＜|2﹣2x|，即x＜﹣1或时，，无最小值， 综上，，故C正确； 对于D，定点F1（﹣c，0），F2（c，0）， 动点P（x，y），满足|d（P，F1）﹣d（P，F2）|＝2a（2c＞2a＞0）， 则|max{|x+c|，|y|}﹣max{|x﹣c|，|y|}|＝2a， 显然方程所表示曲线关于原点和x轴对称， 不妨设x≥0，y≥0， 当时，有||x+c|﹣|x﹣c||＝2a，得， 当时，有0＝2a，无解， 当时，有x+c﹣y＝2a，则x＞a， 综上，P的轨迹如下图，以原点为中心的两支折线， 由图知，点P的轨迹与直线y＝k（k为常数）有且仅有2个公共点，故D正确． 故选：ACD． （多选）11．（6分）已知直线l：（m+2）x﹣（m﹣2）y﹣4＝0（m∈R），圆C：x2+y2+4x﹣6y+9＝0，则下列说法正确的是（　　） A．直线l过定点（1，1） B．圆C与y轴相切 C．若l与圆C有交点，则m的最大值为0 D．若l平分圆C的周长，则 【答案】AB 【解答】解：对A，整理直线l的方程，得m（x﹣y）+2（x+y）﹣4＝0，令x﹣y＝0，解得x＝y， 当x＝y时，直线方程与m的取值无关，又x+y＝2，解得x＝y＝1， 即l必过定点（1，1），故A正确； 对B，整理圆C的方程，得（x+2）2+（y﹣3）2＝4，易知圆心到y轴的距离为2， 又r＝2，故得圆C与y轴相切，故B正确； 对C，若l与圆C有交点，设圆心C到直线l的距离为d， 可得，解得，故C错误； 对D，若l平分圆C，则l必过圆心，易知圆心为（﹣2，3）， 将（﹣2，3）代入直线l的方程，得﹣5m+2﹣4＝0，解得，故D错误． 故选：AB． 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（5分）设P为矩形ABCD所在平面外的一点，直线PA⊥平面ABCD，AB＝3，BC＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵，，， ∴0，，0， ||＝|（）•（）| ＝|| ＝||2＝9， BD2＝BC2+CD2＝25，BP2＝BA2+AP2＝10， ∴||＝5，||2＝10， ∵，∴在上的射影长为， ∴点P到直线BD的距离为d． 故答案为：． 13．（5分）如图，双曲线的左、右焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），A为双曲线C右支上一点，且OA＝c，AF1与y轴交于点B，若F2B是∠AF2F1的角平分线，则双曲线C的离心率是　1　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由O为F1F2的中点， 且|OA|＝c， |OF1|＝|OF2|＝c， 可得AB⊥AF2， F2B是∠AF2F1的角平分线， 即有|BA|＝|BO|， |OF2|＝|AF2|＝c， 由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|＝2a， 则|AF1|＝c+2a， 即有在直角三角形AF1F2中，c2+（c+2a）2＝4c2， 即c2﹣2ac﹣2a2＝0， 由e，可得e2﹣2e﹣2＝0， 解得e＝1或1， 由于e＞1，则e＝1． 故答案为：1． 14．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，△PBC为等边三角形，AC⊥AB，PA⊥BC，PA＝2，则三棱锥的外接球的表面积为 　36π　 ． 【答案】36π． 【解答】解：∵BC⊥PA，设BC的中点为E，又△PBC为等边三角形， ∴BC⊥PE，又PA∩PE＝P， ∴BC⊥平面PAE，∴BC⊥AE，又AC⊥AB， ∴△ABC为等腰直角三角形， 又PA＝2，∴AE，PE， ∴PA2+AE2＝PE2，AB＝AC， ∴PA⊥AE，又PA⊥BC，且AE∩BC＝E， ∴PA⊥平面ABC，又AC⊥AB，且PA＝AB＝AC， ∴该三棱锥的外接球的直径2R即为棱长为的正方体的体对角线， ∴36， ∴三棱锥的外接球的表面积为4πR2＝36π． 故答案为：36π． 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．（13分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an+1＝Sn+1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn，数列{bn}前n项和为Tn，求证：Tn． 【答案】（1）an＝2n﹣1；（2）证明见解答． 【解答】解：（1）当n≥2时，an＝Sn﹣1+1，又an+1＝Sn+1， 两式相减得an+1﹣an＝an，即an+1＝2an， 又a1＝1，a2＝a1+1＝2，， 所以数列{an}是首项为1，公比是2的等比数列， 所以． （2）证明：， 因为， 所以 ， 所以． 16．（15分）某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏；每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组．游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”．已知甲组两名队员投进篮球的概率分别为p1，p2． （1）若p1，p2，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率； （2）若p1+p2，则在游戏中，甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，理论上他们小组至少要进行多少轮游戏才行？并求此时p1，p2的值． 【答案】（1）他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率为； （2）理论上他们小组至少要进行625轮游戏才行，此时p1＝p2． 【解答】解：（1）每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，则可能的情况有①甲投中一次，乙投中两次；②甲投中两次，乙投中一次；③甲投中两次，乙投中两次， ∵p1，p2， ∴他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率为•（）2×（）2+（）2（）2×（）2； （2）由题意得他们在一轮游戏获得“神投小组”称号的概率p•p1（1﹣p1）•p2（1﹣p2）•2p1p2（p1+p2）﹣3•， ∵p1+p2，∴pp1p2﹣3•， 又0≤p1≤1，0≤p2≤1，p1+p2，则p1≤1， 令m＝p1p2p1＝﹣（p1）2，则m∈[，]， ∴p＝y（m）＝﹣3m2m＝﹣3（m）2， ∴p＝﹣3m2m在[，]上单调递增，则pmax＝y（）， ∴他们小组在n轮游戏中获得“神投小组”称号的次数ξ满足ξ～B（n，p）， ∵np＝297，则n625， ∴理论上至少要进行625轮游戏，且p1+p2，p1p2，解得p1＝p2， 故理论上他们小组至少要进行625轮游戏才行，此时p1＝p2． 17．（15分）实数x，y满足x2+y2+2x﹣4y+1＝0，求： （1）的最大值和最小值； （2）2x+y的最大值和最小值． 【答案】（1）最大值为0，最小值为．（2）最大值为，最小值为． 【解答】解：在直角坐标系中，方程x2+y2+2x﹣4y+1＝0代表圆心为（﹣1，2），半径为2的圆． （1）表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的斜率， 设圆的切线斜率为k，圆的切线方程为y﹣0＝k（x﹣4）， 即kx﹣y﹣4k＝0，由2，k＝0或， 结合图形知，的最大值为0，最小值为． （2）令2x+y＝t，即y＝﹣2x+t，故t表示过圆上的点且斜率等于﹣2的直线在y轴上的截距， 当直线2x+y＝t和圆相切时，有2，∴t＝±， 故2x+y的最大值为，最小值为． 18．（17分）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC和△AA1C1是等边三角形．E，F分别为棱AA1，AC的中点，平面AA1C1C⊥平面A1B1C1． （Ⅰ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，求AA1； （Ⅱ）在线段BF上是否存在点G，使得AG∥平面B1EF，证明你的结论． 【答案】（Ⅰ）2； （Ⅱ）存在，证明见解答． 【解答】解：（Ⅰ）设AA1＝a， ∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC和△AA1C1是等边三角形． E，F分别为棱AA1，AC的中点，平面AA1C1C⊥平面A1B1C1． ∴， 点A到平面A1B1C1的距离h， ∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3， ∴V3，解得a＝2， ∴AA1＝2． （Ⅱ）由题意可知OB1⊥面AA1C1，所以以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz， 设AA1＝2，证明如下： O（0，0，0），A（0，0，），C（0，1，0），F（0，1，），B（，1，），B1（，0，0），G（m，1，），E（0，，）， 则，，， 设平面B1EF的一个法向量为， 则，令y＝1得x，z， 所以， 由可得m，所以0＜m， 综上所述，线段BF上存在点G，使得AG∥平面B1EF． 19．（17分）已知函数． （1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若y＝f（x）在x＝2处取得极值，求f（x）的单调区间； （3）求证：当0＜a＜1时，关于x的不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解． 【答案】（1）y＝﹣1； （2）f（x）的单调递增区间为（0，1）和（2，+∞），单调递减区间为（1，2）； （3）证明见解析． 【解答】解：（1）由， 可得， 当a＝0时，，f'（1）＝0， ∴y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣1； （2）因为y＝f（x）在x＝2处取得极值，所以，解得， 检验如下： 令，解得x＝2或x＝1， 若0＜x＜1或x＞2时，则f'（x）＞0；若1＜x＜2，则f'（x）＜0． 所以f（x）的单调递增区间为（0，1）和（2，+∞），单调递减区间为（1，2）， 故y＝f（x）在x＝2处取得极小值，满足题意， 故f（x）的单调递增区间为（0，1）和（2，+∞），单调递减区间为（1，2）； （3）证明：由（1）知，由0＜a＜1时，得，因x∈[1，e]， 当时，当x∈（1，e）时，f'（x）＜0，即函数f（x）在[1，e]上单调递减，则f（x）max＝f（1）＝a﹣1＜1， 因此不等式f（x）＞1不成立，即不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解； 当时，当时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，即f（x）在上递减，在上递增， 于是得f（x）在[1，e]上的最大值为f（1）或f（e）， 而f（1）＝a﹣1＜1，，，即f（e）＜1， 因此不等式f（x）＞1不成立，即不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解， 所以当0＜a＜1时，关于x的不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解． 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $