3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时）（教学设计）数学人教A版2019选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦抛物线几何性质综合应用，涵盖中点弦、距离最值、定点定值及实际应用。通过军防探照灯视频导入激发兴趣，结合旧知填空复习定义与基础性质，衔接综合题型，搭建学习支架。 特色在于情境导入渗透数学眼光，引导观察现实应用，分层例题拆解点差法、坐标法等培养数学思维，实际问题（抛物拱、探照灯）强化数学语言表达。助力学生提升综合解题能力，为教师提供系统教学流程与分层设计，提升课堂效率。

3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时） 教学设计 1.教学内容 本节课是抛物线简单几何性质的综合应用课时，核心围绕四大重点内容展开：中点弦问题聚焦利用点差法结合抛物线方程，推导中点与直线斜率的关系，求解中点弦方程；距离最值问题通过转化思想，将抛物线上点到定点、定直线的距离转化为函数最值或几何图形特征求解，体现数形结合优势；定点、定值问题则通过设参、化简抛物线相关表达式，探究恒成立的定点坐标与定值结论；同时融入抛物线的实际应用，结合生活场景中的抛物线模型解决实际问题.课程贯穿转化与化归、数形结合思想，帮助学生构建综合应用抛物线性质的解题框架，提升处理圆锥曲线综合问题的逻辑推理和运算求解能力. 2.内容解析 本节课作为抛物线简单几何性质的综合应用课时，承接基础性质认知，聚焦知识迁移与综合运用，是圆锥曲线综合题型的关键铺垫.中点弦问题以点差法为核心工具，通过联立抛物线方程与中点条件，建立直线斜率与中点坐标的关联，破解无交点坐标时的弦方程求解难题；距离最值问题立足转化与化归思想，将抛物线上点到定点、定直线的距离转化为函数最值或几何图形最短路径，凸显数形结合优势；定点、定值问题通过设参表达直线或点的坐标，代入抛物线方程化简推理，培养逻辑推理与运算化简能力；实际应用则要求从生活场景抽象抛物线模型，运用性质解决实际问题，强化知识应用价值.课程贯穿核心数学思想，着重提升综合分析、运算求解及模型构建能力，为后续圆锥曲线综合学习奠基. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握抛物线中点弦、距离最值及定点定值问题的核心解法与思想运用. 1.教学目标 （1）掌握抛物线的几何性质及其简单应用.（重点） （2）掌握抛物线中点弦、定点、定值、最值相关问题.（难点） （3）熟记一些常用的二级结论（培优） 2.目标解析 （1）该目标为课程重点，承接上一课时抛物线基础几何性质，聚焦 “掌握 + 应用” 双重要求.学生需熟练运用抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等核心性质，解决简单的轨迹判断、方程求解及图形分析问题.其核心是夯实性质认知，建立 “性质→问题” 的直接关联，为后续复杂综合题型奠定基础，是实现知识迁移的关键前提. （2）此为课程难点，集中体现抛物线性质的综合运用，覆盖中点弦、定点定值、最值三大核心题型.学生需掌握点差法、转化与化归、数形结合等关键方法，突破运算化简与逻辑推理的双重挑战.该目标着重培养学生分析复杂问题、拆解解题步骤的能力，是提升圆锥曲线综合解题素养的核心环节. （3）该目标为培优导向，二级结论源于核心题型的推导总结，如焦点弦性质、中点弦斜率公式等.要求学生在理解推导过程的基础上熟记结论，并非机械记忆.其价值在于缩短解题时间、优化解题思路，帮助学有余力的学生拓展思维深度，应对难度更高的综合题与变式题，实现能力拔高. 学生已掌握抛物线的定义、标准方程及基础几何性质，熟悉直线与圆锥曲线位置关系的基本解题思路，能运用点差法、韦达定理解决简单弦长或中点问题，但知识碎片化，综合运用能力薄弱.对于中点弦、定点定值等复杂题型，学生易在方法选择、条件转化上陷入困境，运算化简过程中易出错，对二级结论的推导逻辑理解不深，且缺乏数形结合思想的主动运用意识.​ 针对以上问题，教学中通过分层例题拆解解题步骤，强化 “条件→方法” 的关联训练；借助几何图形直观演示，助力学生理解转化逻辑；让学生参与二级结论推导，避免机械记忆；设置阶梯式练习，逐步提升运算与综合分析能力. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：掌握抛物线中点弦、定点定值及最值问题的转化方法，灵活运用数学思想解决综合题型. 教师：观看军防探照灯介绍视频，体会抛物线光学性质的应用. 教师：PPT展示复习的内容，并要求学生自主完成填空. 抛物线的简单几何性质 图形及方程 开口 范围 对称轴 顶点 离心率 通径 学生：按要求自主完成填空，并做好分享答案的准备，由学生代表分享答案，师生共同完善补充. 设计意图：通过军防探照灯视频激发兴趣、感知性质应用，以自主填空 + 分享完善巩固旧知，实现 “实际→理论” 衔接，为综合应用奠定基础. 教学建议：视频控制在 3 分钟内突出光学性质关联，填空聚焦核心性质，分享时鼓励补充质疑，师生完善时强化易错点，精准衔接后续综合题型. 例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴． 教师：如果使用坐标法来证明这个结论，怎么转化这个问题？ 学生：只要证明证明点的纵坐标和点的纵坐标相等即可. 教师：、两点的坐标与问题中的哪些几何量有关？ 学生：、两点的坐标与点的坐标和直线有关， 分析：我们用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系．建立如图3.3-5所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可． 预设：证明：如图3.3-5，以抛物线的对称轴为轴， 抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系． 设抛物线的方程为 ① 点的坐标为，则直线的方程为 ② 抛物线的准线方程是． ③ 联立②③，可得点的纵坐标为． 因为焦点的坐标是， 当时，直线的方程为 ④ 联立①④，消去，可得，即． 可得点的纵坐标为，与点的纵坐标相等，于是平行于轴． 当时，易知结论成立． 所以，直线平行于抛物线的对称轴． 思考：你还有其他证明方法吗？ 学生：思考并讨论，得出答案： 由于点、的坐标还和直线有关，我们还可以先设直线的方程. 证法二：以抛物线的对称轴为轴，抛物线的顶点为原点， 建立平面直角坐标系．设抛物线的方程为，， 设直线的方程为，将其代入，得 ，， 设，，则，， 过作垂直于抛物线的准线，垂足为，则， 则，，， 即三点共线，所以与重合， 从而直线平行于抛物线的对称轴． 结论： 牛刀小试： 练1：设抛物线的顶点为O，经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于B，C两点，经过抛物线上一点P且垂直于轴的直线与轴交于点Q．求证：是和的比例中项． 分析：设抛物线方程为，可求得，设，则证明即可. 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：设抛物线方程为， 则焦点为，联立解得， 则，， 设，则， ，则， 所以是和的比例中项. 设计意图：通过典例解析，归纳基本题型，帮助学生形成基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法.发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养. 例6如图3.3-6，已知定点，轴于点，是线段上任意一点，轴于点 ，于点，与相交于点，求点的轨迹方程． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：设点，，其中，则点的坐标为． 由题意，直线的方程为 ① 因为点在上，将点的坐标代入①，得 ， ② 所以点的横坐标满足②． 直线的方程为 ③ 因为点在上，所以点的坐标满足③． 将②代入③，消去，得，即点的轨迹方程． 追问：问题2中，若设点关于轴的对称点为，求点的轨迹方程，其轨迹是什么？你能在生活中找到实际例子吗？ 学生：相互讨论并思考得出答案： 轨迹方程为,其轨迹为抛物线的一部分，即为抛物拱，生活中的拱桥、卫星接受天线等都是抛物拱，抛出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分. 牛刀小试： 练2： 如图所示，已知点，轴于点，点为线段上的动点（不与端点重合），轴于点，于点，与相交于点，记动点的轨迹为．求的方程. . 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：设，则．直线的方程为，，． ，． ，，化简得，其中． 即的方程为：． 思考：(1)解决抛物线的综合问题时，一般的基本解题思路是什么？， (2) 生活中还有哪些事物与抛物线有关？ 师生活动：学生思考、小组谈论，推选代表发言. 教师引导学生对所学知识、数学思想进行小结，并对学生回答情况进行评价和补充. 题型一：抛物线的中点弦 例题 （1）过点作抛物线的弦，弦恰被点P平分. 求弦所在直线的方程. 预设：点在抛物线内部，过点的所有斜率不为0的直线都与抛物线相交，又是中点，直线斜率存在，设，则， 则，相减得， 所以， 所以直线方程为，即 方法总结：求抛物线中点弦方程方法： 设抛物线方程为 ，两点为 、，中点为 . · 步骤1：利用中点坐标公式得 ， · 步骤2：因 、 在抛物线上，代入方程得： · 步骤3：两式相减并因式分解，结合中点坐标可得斜率： · 步骤4：利用点斜式写出中点弦方程： 化简后为 . 所以，中点弦方程为：. 同理：对于 ，中点弦方程为 题型二：抛物线上点到定点（定直线）的最值 例题 （1）求抛物线上动点和圆上动点间的距离的最小值. 预设：如图所示，设圆心为，则， 因为点在上，则坐标，点坐标， 则， 因为圆的半径为，所以最小值为． （2）已知点是抛物线上一点，则点到直线的最短距离. 预设：设，则到直线的距离为：， 所以当时，距离取得最小值为. 故答案为： 方法总结：求抛物线上点到定点（定直线）的最值方法： 基本原则： 将抛物线上的动点坐标用参数表示 → 构造距离函数 → 转化为函数最值或几何最值问题. 1、到定点的最值： · 设抛物线 上动点 为 （ 为参数） · 定点 到 的距离： 平方后化简得：（二次函数或分式函数） · 通过配方法/导数/判别式求 的最值 → 得 或 2、到定直线的最值： 方法一： · 设动点 在抛物线上，即 · 点 到直线 的距离： · 代入抛物线方程消元 → 化 为关于 （或 ）的函数 → 求最值 方法二： · 切线平移法:平移直线直至与抛物线相切 → 切点到原直线的距离即为所求最值. 题型三：抛物线定点、定值问题 例题 （1）抛物线上两个不同的点，，满足，则直线一定过定点，求定点坐标． 预设：设直线的方程为代入抛物线，消去得, 设，，则，， ∴ ， ∴（舍去）或, 故直线过定点． （2）已知抛物线，，直线与抛物线交于两点，记直线，的斜率分别为，，求的值. 预设：设，，由得， ∴，， ，∴   , 所以的值为. 题型四：抛物线的应用 例题：抛物线有这样的光学性质：与抛物线的对称轴平行的光线经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点，由光路是可逆的，可知从焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行．如图，雷达接收器的截面曲线可看作抛物线，光信号沿着直线入射到上的点，经反射到点，反射光线与x轴交于的焦点，则光信号经点反射后，反射光线所在直线的方程为 ． 预设：易得点A的坐标为，所以直线的方程为，代入， 可得点B的坐标为，故光信号经B点反射后，反射光线所在直线的方程为． 故答案为：. 1．（24-25高二上·湖北襄阳·阶段练习）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（   ） A． B． C． D． 预设：联立，则， 设直线与抛物线交点， 则，故， 所以线段的中点坐标是. 故选：B. 2．（24-25高二上·陕西西安·期末）如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为 .    预设：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 则点在抛物线上，所以，得， 所以抛物线的方程为.令，则， 所以此时水面宽度为. 故答案为：    3．（24-25高二上·广西贵港·期末）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 预设：（1）由题意知动点到点的距离等于到直线的距离， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以的方程为. （2）设，，则， 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 4．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知抛物线：（），是的焦点，为上的一动点，且的最小值为1. (1)求的方程； (2)直线（不过坐标原点）交于、两点，且满足，证明过定点，并求出该定点的坐标. 预设：（1）因为的最小值为1，故，即，所以抛物线方程为 （2）显然直线的斜率存在，设方程为，则, 即，设，由韦达定理得，则， 因为，所以，解得（舍），，故的方程为：，故恒过点. 5．（24-25高二下·河南漯河·期末）已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 预设：（1）依题意，，得，所以抛物线C的方程为． （2）设，联立，得． 由，得． 设，，则． 由（1）知，，． 所以为定值． 1．设抛物线方程为，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于两点，为原点，为与对称轴正向所成的角，的中点为，又作，垂足分别为，则 （1）与相关的性质： ①焦半径公式： ， ； ②弦长公式： ， 特别地通径长公式： （通径最短）. ③ ， （2）与相关的性质 ①焦半径长公式：（在轴上方，在轴下方） ②焦点弦长公式： ． ③ 的数量关系： ， ． ④三角形AOB的面积： . （3）与几何位置相关的性质 ①点三点共线；点三点共线． ②以为直径的圆与准线 ． ③以为直径的圆必过焦点F （ ）． 【答案】 作业1：完成教材：第138页 练习1,2,3,4,5; 作业2：配套辅导资料对应的《抛物线的简单几何性质 第2课时》 3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时） 1. 应用：①证明几何关系 ②椭圆有关的轨迹问题 2. 中点弦 3. 到定点、定直线的距离最值问题 4. 定点、定值问题 5. 例题区：（学生板演区域） 本节课通过军防探照灯视频情境引入，有效激发了学生兴趣，帮助其感知抛物线性质的实际应用；自主填空 + 师生完善的复习环节，精准巩固了基础几何性质，为综合题型铺垫到位.但教学中发现，部分学生对中点弦、定点定值问题的转化方法掌握不熟练，运算化简易错，数形结合思想运用不主动.同时，培优目标中二级结论的推导讲解不够细致，导致学生机械记忆现象存在.后续需优化分层例题设计，增加方法拆解演示，强化 “条件 — 方法” 关联训练；设置小组讨论推导二级结论，加深理解；课后布置针对性变式练习，及时反馈纠错，提升学生综合解题能力与逻辑思维素养. 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $