第六单元 专题01：植树问题（计算专项）数学沪教版三年级上册

数学沪教版三年级上册第六单元：整理与提高 专题01：植树问题（计算专项） 知识点01：两端都植树的情况 1、模型特征：在直线型路线（如马路、小路）的两端都种上树，树的数量比间隔数多1。 2、关键关系： （1）间隔数=总长度÷相邻两棵树的距离（株距）； （2）棵数=间隔数+ 1； （3）总长度=株距×间隔数=株距×（棵数－1）。 【名师点拨】 （1）明确“两端”的定义：“两端”指路线的两个端点（如小路的起点和终点、马路的两端）。 （2）先算“间隔数”，再求“棵数”：需先通过“总长度÷株距”算出间隔数，再根据“两端都种”的规则加1，确保逻辑顺序正确。 知识点02：一端植树、一端不植树的情况 1、模型特征：在直线型路线的一端种树，另一端不种树（如一端靠近建筑物、墙壁，无法种树），树的数量与间隔数相等。 2、关键关系： （1）间隔数=总长度÷株距； （2）棵数=间隔数； （3）总长度=株距×间隔数=株距×棵数。 【名师点拨】 （1）判断“不种树的一端”是否合理：题目通常会给出“一端靠墙”“一端有障碍物”等提示，需根据场景确认“一端不种” 的条件。 （2）区分与“两端都种”的差异：核心区别是“棵数与间隔数的关系”（此模型棵数=间隔数，两端都种棵数=间隔数+ 1）。 （3）逆推计算需对应公式：已知棵数和株距求总长度时，直接用“株距×棵数”（因棵数=间隔数），不能用“株距×（棵数－1）”（此为两端都种的逆推公式）。 知识点03：两端都不植树的情况 1、模型特征：在直线型路线的两端都不种树（如路线两端都有建筑物，或在两个固定物体之间种树），树的数量比间隔数少1。 2、关键关系： （1）间隔数=总长度÷株距； （2）棵数=间隔数－1； （3）总长度=株距×间隔数=株距×（棵数+ 1）。 【名师点拨】 （1）场景识别是关键：此模型的典型场景是“两个固定端点之间种树”（如两栋楼之间、两根电线杆之间），需通过题目中的“之间”“两端有xx” 等关键词判断。 （2）避免“漏减1”或“多减1”：计算棵数时，需用“间隔－1”，不能直接用间隔数。 （3）逆推时“先补全间隔数”：已知棵数求总长度时，需先算“间隔数=棵数+ 1”，再用“株距×间隔数”，不能直接用“株距×棵数”。 知识点04：封闭图形（环形）植树的情况 1、模型特征：在封闭图形（如圆形花坛、正方形操场、环形跑道）上植树，树的数量与间隔数相等（因封闭图形无“两端”，首尾的树重合，棵数不再额外增减）。 2、关键关系： （1）间隔数=封闭图形的周长÷株距； （2）棵数=间隔数； （3）周长=株距×间隔数=株距×棵数。 【名师点拨】 （1）区分“封闭图形”与“直线型”：封闭图形的核心是“周长”（需用周长计算间隔数），直线型用“总长度”，避免用“直线型总长度”代替“封闭图形周长”。 （2）避免与“一端种、一端不种”混淆：虽两者均满足“棵数=间隔数”，但场景和计算依据不同（封闭图形用周长，一端种用直线总长度），需根据题目描述的图形类型判断（如“圆形”“环形”“正方形周围”对应封闭模型，“直线路边一端靠墙”对应一端种模型）。 （3）不规则封闭图形按“周长”计算：即使是不规则封闭图形（如椭圆形、三角形花坛），仍按“周长÷株距=间隔数=棵数”计算，无需考虑图形形状，只需准确计算或获取周长（如三角形周长=三边之和），避免因图形不规则而错误调整公式。 题型01：两端都栽 【典型例题】时钟6时敲响6下，10秒钟敲完。10时敲响10下，需要（ ）秒。（敲击时钟瞬间的时间忽略不计） 【跟踪训练1】街道一旁种着一排杨树，每相邻两棵树之间的距离是4米，小明从第3棵树走到第7棵树，一共走了（     ）米。 A．20 B．16 C．24 D．25 【跟踪训练2】在一条长为120m的公路两侧每隔8m植一棵树，两端都植，一共要植（     ）棵。 A．15 B．16 C．30 D．32 【跟踪训练3】8路公共汽车行驶路线全长10km，相邻两站之间的路程都是1km。一共设有（ ）个车站。 【跟踪训练4】园林工人沿一条笔直的公路一侧植树，每隔5米种一棵，一共种了40棵。从第一棵到最后一棵的距离（ ）米。 题型02：两端都不栽 【典型例题】一根木头20米，要把它平均锯成5段。每锯下一段需要9分钟，锯完一共要花（ ）分钟。 【跟踪训练1】丽江小区两栋楼之间有一条30米长的小路，物业公司要在路的一旁栽一排树。每隔6米栽一棵（两端都不栽），一共要栽（ ）棵。 【跟踪训练2】小红家住8楼，每上一层楼电梯要运行5秒，从一楼到八楼电梯一共要运行（ ）秒。 【跟踪训练3】校园里有一段长80米的路，在路的一侧栽松树，每隔5米栽一棵，两端不栽，一共可以栽（ ）棵。 【跟踪训练4】跑道的一侧插了20面红旗，如果每两面红旗中间再插一面黄旗，需要黄旗（ ）面，红旗和黄旗一共有（ ）面。 题型03：一端栽一端不栽 【典型例题】为庆祝“元旦”，学校准备在65米宽的教学楼前挂一排灯笼，每隔5米挂一个（一端挂，一端不挂），一共要挂（ ）个。 【跟踪训练1】一条项链长42厘米，每隔7厘米有颗珍珠。这条项链上共有（ ）颗珍珠。 【跟踪训练2】为庆祝元旦，衡阳市工人文化宫在一条林荫道的两旁安插彩旗（只插一端），每隔5米插一面，一共插了100面，则这条林荫道全长（     ）米。 A．500 B．245 C．250 【跟踪训练3】．马拉松比赛全程约42km，平均每3km设置一处饮水服务点（起点不设，终点设）。全程一共有（     ）处这样的服务点。 A．15 B．14 C．13 D．12 【跟踪训练4】为了迎接“元旦节”，学校准备在教学楼前60米的道路两旁摆放鲜花（靠教学楼墙的一端不放），一侧相邻两盆花之间的距离是3米，一共需要（     ）盆花。 题型04：封闭图形上的植树问题 【典型例题】有36名同学在操场上做游戏。大家围成一个正方形，每边人数相等，四个顶点都有人。每边各有（     ）名同学。 A．8 B．9 C．10 【跟踪训练1】绿化处沿着圆形广场的周围种树，每隔6米种一棵，正好种了20棵，这个广场的周长是（ ）米。 【跟踪训练2】公园里有一个周长30米的水池，为美化环境，工人叔叔要在水池的周边每隔2米放一盆花，一共要放（        ）盆花。 A．14 B．15 C．16 【跟踪训练3】全球基地教育联盟大会开幕式，需要在长方形喷水池周围布置盆景迎宾，喷水池周长48米，每隔3米放一盆花，一共放了（    ）盆花。 A．16 B．12 C．13 【跟踪训练4】一个实心方阵，每列站8人，这个方阵最外层站（     ）人。 A．32 B．64 C．28 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学沪教版三年级上册第六单元：整理与提高 专题01：植树问题（计算专项） 知识点01：两端都植树的情况 1、模型特征：在直线型路线（如马路、小路）的两端都种上树，树的数量比间隔数多1。 2、关键关系： （1）间隔数=总长度÷相邻两棵树的距离（株距）； （2）棵数=间隔数+ 1； （3）总长度=株距×间隔数=株距×（棵数－1）。 【名师点拨】 （1）明确“两端”的定义：“两端”指路线的两个端点（如小路的起点和终点、马路的两端）。 （2）先算“间隔数”，再求“棵数”：需先通过“总长度÷株距”算出间隔数，再根据“两端都种”的规则加1，确保逻辑顺序正确。 知识点02：一端植树、一端不植树的情况 1、模型特征：在直线型路线的一端种树，另一端不种树（如一端靠近建筑物、墙壁，无法种树），树的数量与间隔数相等。 2、关键关系： （1）间隔数=总长度÷株距； （2）棵数=间隔数； （3）总长度=株距×间隔数=株距×棵数。 【名师点拨】 （1）判断“不种树的一端”是否合理：题目通常会给出“一端靠墙”“一端有障碍物”等提示，需根据场景确认“一端不种” 的条件。 （2）区分与“两端都种”的差异：核心区别是“棵数与间隔数的关系”（此模型棵数=间隔数，两端都种棵数=间隔数+ 1）。 （3）逆推计算需对应公式：已知棵数和株距求总长度时，直接用“株距×棵数”（因棵数=间隔数），不能用“株距×（棵数－1）”（此为两端都种的逆推公式）。 知识点03：两端都不植树的情况 1、模型特征：在直线型路线的两端都不种树（如路线两端都有建筑物，或在两个固定物体之间种树），树的数量比间隔数少1。 2、关键关系： （1）间隔数=总长度÷株距； （2）棵数=间隔数－1； （3）总长度=株距×间隔数=株距×（棵数+ 1）。 【名师点拨】 （1）场景识别是关键：此模型的典型场景是“两个固定端点之间种树”（如两栋楼之间、两根电线杆之间），需通过题目中的“之间”“两端有xx” 等关键词判断。 （2）避免“漏减1”或“多减1”：计算棵数时，需用“间隔－1”，不能直接用间隔数。 （3）逆推时“先补全间隔数”：已知棵数求总长度时，需先算“间隔数=棵数+ 1”，再用“株距×间隔数”，不能直接用“株距×棵数”。 知识点04：封闭图形（环形）植树的情况 1、模型特征：在封闭图形（如圆形花坛、正方形操场、环形跑道）上植树，树的数量与间隔数相等（因封闭图形无“两端”，首尾的树重合，棵数不再额外增减）。 2、关键关系： （1）间隔数=封闭图形的周长÷株距； （2）棵数=间隔数； （3）周长=株距×间隔数=株距×棵数。 【名师点拨】 （1）区分“封闭图形”与“直线型”：封闭图形的核心是“周长”（需用周长计算间隔数），直线型用“总长度”，避免用“直线型总长度”代替“封闭图形周长”。 （2）避免与“一端种、一端不种”混淆：虽两者均满足“棵数=间隔数”，但场景和计算依据不同（封闭图形用周长，一端种用直线总长度），需根据题目描述的图形类型判断（如“圆形”“环形”“正方形周围”对应封闭模型，“直线路边一端靠墙”对应一端种模型）。 （3）不规则封闭图形按“周长”计算：即使是不规则封闭图形（如椭圆形、三角形花坛），仍按“周长÷株距=间隔数=棵数”计算，无需考虑图形形状，只需准确计算或获取周长（如三角形周长=三边之和），避免因图形不规则而错误调整公式。 题型01：两端都栽 【典型例题】时钟6时敲响6下，10秒钟敲完。10时敲响10下，需要（ ）秒。（敲击时钟瞬间的时间忽略不计） 【答案】18 【分析】已知时钟6时敲响6下，10秒钟敲完，即时钟敲了（6－1）个间隔用时10秒，用除法求出一个间隔所用的时间； 那么10时敲响10下，即敲了（10－1）个间隔，再乘一个间隔所用的时间，即是敲响10下需要的时间。 【详解】10÷（6－1） ＝10÷5 ＝2（秒） 2×（10－1） ＝2×9 ＝18（秒） 10时敲响10下，需要18秒。 【跟踪训练1】街道一旁种着一排杨树，每相邻两棵树之间的距离是4米，小明从第3棵树走到第7棵树，一共走了（     ）米。 A．20 B．16 C．24 D．25 【答案】B 【分析】先求出小明经过的间隔数，再乘每相邻两棵树之间的距离，就可以得出一共走了多少米。 【详解】从第3棵树走到第7棵树，经过的间隔数： 7－3＝4（个） 4×4＝16（米） 即一共走了16米。 故答案为：B 【跟踪训练2】在一条长为120m的公路两侧每隔8m植一棵树，两端都植，一共要植（     ）棵。 A．15 B．16 C．30 D．32 【答案】D 【分析】根据题意，在一条长为120m的公路两侧每隔8m植一棵树，根据全长÷间距＝间隔数，求出公路一侧种树的间隔数； 因为两端都植，那么棵数＝间隔数＋1，据此求出公路一侧种树的棵数，再乘2，即是公路两侧种树的总棵数。 【详解】120÷8＋1 ＝15＋1 ＝16（棵） 16×2＝32（棵） 一共要植32棵。 故答案为：D 【跟踪训练3】8路公共汽车行驶路线全长10km，相邻两站之间的路程都是1km。一共设有（ ）个车站。 【答案】11 【分析】根据公式：如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，所以先计算10km有多少1km的间隔，即10÷1＝10（个），所以一共设有10＋1＝11（个）车站，据此解答。 【详解】10÷1＋1 ＝10＋1 ＝11（个） 一共设有11个车站。 【跟踪训练4】园林工人沿一条笔直的公路一侧植树，每隔5米种一棵，一共种了40棵。从第一棵到最后一棵的距离（ ）米。 【答案】195 【分析】根据植树问题的解题方法，两端都植，段数＝棵数－1，间距×（棵数－1）＝总长度，据此列式解答。 【详解】5×（40－1） ＝5×39 ＝195（米） 从第一棵到最后一棵的距离有195米远。 题型02：两端都不栽 【典型例题】一根木头20米，要把它平均锯成5段。每锯下一段需要9分钟，锯完一共要花（ ）分钟。 【答案】36 【分析】锯5段，需要锯（5－1）次，用每锯一段需要的时间×需要锯的次数，即可解答。 【详解】9×（5－1） ＝9×4 ＝36（分钟） 一根木头20米，要把它平均锯成5段。每锯下一段需要9分钟，锯完一共要花36分钟。 【跟踪训练1】丽江小区两栋楼之间有一条30米长的小路，物业公司要在路的一旁栽一排树。每隔6米栽一棵（两端都不栽），一共要栽（ ）棵。 【答案】4 【分析】根据题意，要在路的一旁栽树，两端都不栽，树的棵数＝间隔数－1，间隔数＝小路长度÷间距。据此解答。 【详解】30÷6−1 ＝5−1 ＝4（棵） 则一共要栽4棵。 【跟踪训练2】小红家住8楼，每上一层楼电梯要运行5秒，从一楼到八楼电梯一共要运行（ ）秒。 【答案】35 【分析】根据题意可知，电梯从一楼到八楼要上（8－1）层，所以用5乘上（8－1）即可算出答案。 【详解】5×（8－1） ＝5×7 ＝35（秒） 所以从一楼到八楼电梯一共要运行35秒。 【跟踪训练3】校园里有一段长80米的路，在路的一侧栽松树，每隔5米栽一棵，两端不栽，一共可以栽（ ）棵。 【答案】15 【分析】已知路长80米，每隔5米栽一棵树，两端不栽。间隔数＝路长÷间隔长度，即一共有（个）间隔，根据两端不栽树的植树问题公式：棵数＝间隔数－1，那么树的棵数＝间隔数－1，也就是（）棵。 【详解】间隔数：（个） 树的棵数：（棵） 校园里有一段长80米的路，在路的一侧栽松树，每隔5米栽一棵，两端不栽，一共可以栽15棵。 【跟踪训练4】跑道的一侧插了20面红旗，如果每两面红旗中间再插一面黄旗，需要黄旗（ ）面，红旗和黄旗一共有（ ）面。 【答案】 19 39 【分析】两种物体间隔排列，两端相同，两端物体比中间物体多1个，中间物体比两端物体少1个。每两面红旗中间再插一面黄旗，黄旗比红旗少一面，需要黄旗（20－1）面。红旗面数加上黄旗面数，即可算出一共有多少面旗子。 【详解】20－1＝19（面） 20＋19＝39（面） 跑道的一侧插了20面红旗，如果每两面红旗中间再插一面黄旗，需要黄旗19面，红旗和黄旗一共有39面。 题型03：一端栽一端不栽 【典型例题】为庆祝“元旦”，学校准备在65米宽的教学楼前挂一排灯笼，每隔5米挂一个（一端挂，一端不挂），一共要挂（ ）个。 【答案】13 【分析】此题属于一端栽、一端不栽的植树问题，根据间隔数＝植树棵数，总长度÷间隔距离＝间隔数，用65÷5即可求出一共可以挂多少个灯笼。 【详解】65÷5＝13（个） 一共要挂13个。 【跟踪训练1】一条项链长42厘米，每隔7厘米有颗珍珠。这条项链上共有（ ）颗珍珠。 【答案】6 【分析】由题意可知，项链是环形的，珍珠的数量就是间隔数，直接用长度除以间隔距离即可。 【详解】（颗） 这条项链上共有6颗珍珠。 【跟踪训练2】为庆祝元旦，衡阳市工人文化宫在一条林荫道的两旁安插彩旗（只插一端），每隔5米插一面，一共插了100面，则这条林荫道全长（     ）米。 A．500 B．245 C．250 【答案】C 【分析】在林荫道的两旁插入彩旗，那么每一旁的彩旗数目＝100÷2＝50面；安插彩旗只插入一端，彩旗的数目等于间隔数目，则总长度＝间隔长度×间隔数，据此列式解答即可。 【详解】（100÷2）×5 ＝50×5 ＝250（米） 这条林荫道全长是250米。 故答案为：C 【跟踪训练3】．马拉松比赛全程约42km，平均每3km设置一处饮水服务点（起点不设，终点设）。全程一共有（     ）处这样的服务点。 A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】B 【分析】根据题意，起点不设，终点设，属于植树问题中的一端栽一端不栽的情况，则棵数＝间隔数；根据“全长÷间距＝间隔数”，即可求出服务点的数量。 【详解】42÷3＝14（处） 全程一共有14处这样的服务点。 故答案为：B 【跟踪训练4】为了迎接“元旦节”，学校准备在教学楼前60米的道路两旁摆放鲜花（靠教学楼墙的一端不放），一侧相邻两盆花之间的距离是3米，一共需要（     ）盆花。 【答案】40 【分析】在不封闭路线上一端栽树，另一端不栽树的问题的规律：总距离÷株距＝间隔数，棵数＝间隔数。由题意可知：靠教学楼墙的一端不放花，另一端放花。总距离是60米，株距是3米，用60÷3求出间隔数是20个，也就是一侧的盆数是20盆；再用20×2求出两侧的盆数，即一共需要的盆数。 【详解】60÷3×2 ＝20×2 ＝40（盆） 一共需要40盆花。 题型04：封闭图形上的植树问题 【典型例题】有36名同学在操场上做游戏。大家围成一个正方形，每边人数相等，四个顶点都有人。每边各有（     ）名同学。 A．8 B．9 C．10 【答案】C 【分析】因为正方形每个顶点共属于2条边，总人数除以4只包含1个顶点的人数，因此总人数÷4＋1＝每边人数，据此列式计算。 【详解】36÷4＋1 ＝9＋1 ＝10（名） 每边各有10名同学。 故答案为：C 【跟踪训练1】绿化处沿着圆形广场的周围种树，每隔6米种一棵，正好种了20棵，这个广场的周长是（ ）米。 【答案】120 【分析】根据植树问题的解题方法，封闭图形植树，棵数＝段数。种了20棵，说明有20个间隔，间距×间隔数＝广场的周长，据此列式计算。 【详解】6×20＝120（米） 这个广场的周长是120米。 【跟踪训练2】公园里有一个周长30米的水池，为美化环境，工人叔叔要在水池的周边每隔2米放一盆花，一共要放（        ）盆花。 A．14 B．15 C．16 【答案】B 【分析】根据题意知道，圆形是一个封闭的图形，摆放花盆数量＝周长÷间隔距离，所以只要求出30里面有几个2，就知道放几盆花。 【详解】30÷2＝15（盆） 一共要放15盆花。 故答案为：B 【跟踪训练3】全球基地教育联盟大会开幕式，需要在长方形喷水池周围布置盆景迎宾，喷水池周长48米，每隔3米放一盆花，一共放了（    ）盆花。 A．16 B．12 C．13 【答案】A 【分析】“在长方形喷水池周围布置盆景迎宾”，因为喷水池是一个封闭的长方形，因此此题是一个“封闭图形上的植树问题”，用喷水池的周长除以花盆放置的间隔即可得到花盆数。 【详解】48÷3＝16（盆） 因此一共放了16盆花。 故答案为：A 【跟踪训练4】一个实心方阵，每列站8人，这个方阵最外层站（     ）人。 A．32 B．64 C．28 【答案】C 【分析】最外层站的人围起来是个正方形，每边8人，每边人数×4－4个顶点重复的人数＝最外层人数，据此列式计算。 【详解】8×4－4 ＝32－4 ＝28（人） 这个方阵最外层站28人。 故答案为：C 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $