26.1.2（第1课时）反比例函数的图象和性质（培优教学课件）数学人教版九年级下册

该初中数学课件聚焦九年级下册反比例函数的图象和性质，通过矩形面积固定时对角顶点轨迹的情境引入，衔接已学反比例关系，搭建从数量关系到图形特征的学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，如画y=6/x图象时设问与坐标轴是否相交，类比y=-6/x总结k的符号影响，培养数学思维。典例中利用中心对称求交点坐标，渗透数学眼光，知识清单对比k>0与k<0性质，用数学语言精准表述，助力学生系统认知，教师可直接用于分层教学提升效率。

第26章 反比例函数 人教版 数学 九年级 下册 26.1.2 （第1课时） 反比例函数的 图象和性质 情境引入 矩形的面积一定时，矩形的长和宽成什么关系？ D C O B 如果把矩形的一个顶点固定，拖动这个固定顶点的对角顶点，拖动时必须保证矩形的面积不变，猜猜看，这个对角顶点的运动轨迹会是什么图象呢？ 新知探究 思考：如何画函数 的图象. 回顾：描点法画函数图象的步骤 列表：在自变量的取值范围内，列表表示几对 x 与 y 的对应值. 描点：以表中各对对应值为点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中描出各点. 连线：按从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点并向两端延伸. 新知探究 x … … -12 -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 12 … … 列表表示几组x与y的对应值如下： y= x 6 -0.5 -1 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 1 0.5 函数 所在象限 增减性 第一、三象限 x>0时，y 随 x 的增大而减小x<0时，y 随 x 的增大而减小 新知探究 思考：函数 的图象与坐标轴会相交吗？ 因为x≠0，y≠0，所以图象不会与x轴，y轴相交. 你能类比画出函数 的图象吗？ 新知探究 1. 该反比例函数图象由 条曲线组成. 2. 该图象位于 象限. 3. 在每个象限内，函数值y随着自变量x的 增大而 . 4. 猜想：当k>0时，反比例函数的图象位置和增减性. 两 第一，三 减小 图象位于第一、三象限， 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 思考： 知识清单 图象由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限， 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 反比例函数 (k＞0) 的图象和性质 这个条件可以删去吗？为什么？ x y o 不能，因为k>0时，第一象限图象对应的y值 永远大于第三象限图象对应的y值. 新知探究 x … … -12 -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 12 … … 0.5 1 1.5 2 3 6 -6 -3 -2 -1.5 -1 -0.5 思考：如何画函数 的图象. 1. 该反比例函数图象由 条曲线组成. 2. 该图象位于 象限. 3. 在每个象限内，函数值y随着自变量x的 增大而 . 4. 猜想：当k<0时，反比例函数的图象位置和增减性. 两 第二，四 增大 图象位于第二、四象限， 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 知识清单 反比例函数 (k<0) 的图象和性质 这个条件可以删去吗？为什么？ 不能，因为k<0时，第二象限图象对应的y值 永远大于第四象限图象对应的y值. 图象由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限， 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. x y o 图象 位置 增减性 图象的发展趋势 k>0 k<0 两支曲线分别位于 第一，三象限 两支曲线分别位于第二，四象限 在每一象限内, y随x的增大而减小 在每一象限内, y随x的增大而增大 无限接近于x,y轴，但永远不能于x,y轴相交 x y o x y o 一般地，反比例函数 的图象是两支双曲线，它具有以下性质： 新知探究 思考：已知反比例函数 当k>0时，两支曲线分别位于第一，三象限； 当k<0时，两支曲线分别位于第二，四象限. 因为反比例函数 所以6>0, 所以>2026. 新知探究 思考：如果反比例函数 A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 因为反比例函数 所以且交轴于负半轴 所以，第一、三、四象限. 即B正确. 新知探究 思考：双曲线是中心对称图形么？是轴对称图形么？如果是，请指出对称轴. 中心对称：反比例函数的图象关于原点对称 轴对称：反比例函数的图象关于第一，三象限角平分线(直线y=x或直线y=-x)对称. 新知探究 思考：观察右图所示的反比例函数的图象，你能发现k值和反比例函数图象离原点的远近有何关系？ 反比例函数∣k∣越大，反比 例函数的图象离原点越远. 典例精析 例1 如图，三个反比例函数的大小关系为？ 解：因为反比例函数 同理可得， 根据反比例函数∣k∣越大，反比 例函数的图象离原点越远， 可得， 所以. 典例精析 例2 反比例函数 的图象如图所示， 当x=2时，y= ， 当x<2时，y的取值范围是 ; 当y>1时，x的取值范围是 . 1 1<y<0 x<2或x>0 -2 -1 （2）x<2时，其图象为图中红色部分， 对应的y的取值范围是1<y<0， 特别注意别忘记y<0. （3）y>1时，其图象为图中蓝色部分， 对应的x的取值范围是x<2或x>0， 特别注意有两部分. 典例精析 例3 若点A(x1,2),B(x2,1),C(x3,3)均在反比例函数(a为常数)的图象上，则x1,x2,x3的大小关系为？ 解：因为反比例函数 ， 因为2<1<0<3, 所以A,B两点在第四象限,C点在第二象限，所以x3x1x2. x y o 3 x3 C 1 B x2 2 A x1 也可以数形结合！ 典例精析 例4 点(1，4)在反比例函数 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( ) A.(4，1) B.(，1) C.(4，1) D.(，2) 4×(1)=4 (4)×(1)=4 A 将点(1，4)带入，得k=(1)×4=4， 再逐一验证四个选项. 典例精析 例5 若正比例函2x与反比例函数(k≠0)图象的一个交点坐标为(1,2),求另一个交点的坐标. 解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点也关于原点对称， ∵一个交点坐标为(1,2), ∴另一个交点的坐标为(1,2). 点P(a,b)关于原点对称的点为P’(a,b) 典例精析 例6 如图，函k1x与函数(k≠0)图象交于A,B两点，AB=10,过点A作AE⊥x轴于点E,AE=4,求k1k2的值. 解：由题意得， AE⊥x轴，∴ ∴(3,4),带入得， ,解得 ∴k1k2=16. 典例精析 例7 已知反比例函数 的图象经过点A（2，4）. （1）求k 的值； （2）函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？ （3）画出函数的图象； （4）点 、C（3，5）在这个函数的图象上吗？ 解：（1）因为函数 的图象经过点A（2，4）， 把x=2，y=4代入 ，得4= ，解得k = 8. 典例精析 例7 解：（2）因为k=8＜0，由反比例函数的性质可知， 函数 的图象在第二、四象限， 在每一个象限内，y随x的增大而增大. （3）函数 的图象如图所示. （4）把 代入 ，得y=16， 所以点 在函数的图象上； 把x=-3代入 ，得 ， 所以点C（-3，5）不在函数的图象上. 反比例函数的 图象和性质 归纳总结 形状 双曲线 位置 1、k>0时，两支曲线分别位于第一，三象限； k<0时，两支曲线分别位于第二，四象限； 2、图象无限接近于x，y轴，但永远不能与x，y轴相交. 3、|k| 越大，反比例函数的图象离原点越远. 增减性 k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小； k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大. 对称性 1、中心对称：反比例函数的图象关于原点对称； 2、轴对称：反比例函数的图象关于第一，三象限角平分 线(直线y=x或直线y=-x)对称. 3、k值相反的两个反比例函数的图象关于x轴，y轴对称. 当堂检测 1.在函数 的图象上的点是（ ） A.（-2，6） B.（-2，-6） C.（3，-4） D.（-3，4） B 2.反比例函数 的图象位于（ ） A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 D 当堂检测 A A 3.一次函数反比例函数 在同一直角坐标系中的图象大致是如图中的（ ） A. B. C. D. 4.如图，△ABC的边BC=y,BC边上的高AD=x,△ABC的面积为5，则y与x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 当堂检测 5.对于反比例函数 ，下列说法不正确的是( ) A.图象经过点(1，-3) B.图象位于第二、四象限 C.图象关于直线 y=x 对称 D. y 随 x 的增大而增大 D 6.对于反比例函数 ，下列说法正确的是( ) A.图象经过点(1，2025) B.图象位于第二、四象限 C.当x<0时，y随x的增大而减小 D.若点A(x1,y1),B(x2,y2)都在该函数图象上，x1<x2,则y1>y2 C 当堂检测 (1)函数 的图象在第 象限，在每一象限内，y 随x 的增大而 . (2)函数 的图象在第 象限，在每一象限内，y 随x 的增大而 . (3)函数 ，当x>0时，图象在第 象限，y随x 的增大而 . (4)函数 ,当-2≤x≤-1时，y的最小值为 . 一、三 二、四 一 减小 增大 减小 7.填空： 2 当堂检测 8.（1）若点A（1，y1）和点B（2，y2）在反比例函数 图象上，则y1______y2；（填“＞”“＜”或“=”） （2）若关于x，y的函数 图象位于第一、三象限，则m的取值范围是____________； （3）已知点（－m，n）在反比例函数的图象上，则它的图象也一定经过点__________. > m＞-7 （m，－n） 当堂检测 9.已知点 (a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数 (k＞0)的图象上,若y1＜y2，求a的取值范围. 解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小. ① 当这两点在图象的同一支上时， ∵y1＜y2，∴a－1＞a+1， 无解； ②当这两点分别位于图象的两支上时， ∵y1＜y2，∴必有 y1＜0＜y2. ∴a－1＜0，a+1＞0， 解得：－1＜a＜1. 故 a 的取值范围为：－1＜a＜1．