专题04 一元一次方程70道计算题专项训练（7大题型）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

第04讲 一元一次方程70道计算题专项训练（7大题型） 题型一 一元一次方程的简单解法 题型二 解含分母的一元一次方程 题型三 解含绝对值的一元一次方程 题型四 根据两个一元一次方程的关系求解 题型五 一元一次方程的新定义问题 题型六 一元一次方程的整数解问题 题型七 有规律的一元一次方程问题 【经典计算题一 一元一次方程的简单解法】 1．（24-25七年级上·江苏常州·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题关键． 按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得． 【详解】解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得：． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法．按照去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的步骤逐步运算，确保每一步正确． 【详解】解： 3．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）解方程： 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，利用等式的性质解方程即可． 【详解】解： ． 4．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段练习）解方程 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握利用等式的性质解方程是解题的关键．先利用乘法分配律去括号，再利用等式的性质解方程即可． 【详解】解：， 去括号，得， 得， 得， 得． 5．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】此题考查解一元一次方程，先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可求出方程的解． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 6．（2025七年级上·江苏扬州·模拟预测）解方程，并检验： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）先把方程两边同时乘以x，再同时除以得到x的值，再把x的值代入方程左边，计算出方程左边的值，看方程左右两边是否相等即可得到答案； （2）先去括号，然后移项，合并同类项，最后把系数化为1求出x的值，再把x的值代入方程左右两边，计算出方程左右两边的值，看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 检验：当时，方程左边，此时方程左右两边相同，则是原方程的解； （2）解： ， ， 检验：当时，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相同，则是原方程的解． 7．（2025·江苏泰州·模拟预测）解方程． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）通过移项，合并同类项，一次项系数化为1等步骤解答即可； （2）通过去分母，一次项系数化为1的步骤解答即可； （3）通过移项，合并同类项，一次项系数化为1等步骤解答即可． 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得； （2）解：， 两边同乘以，得， 两边同除以4，得； （3）解：移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以2，得． 8．（25-26七年级上·江苏扬州·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解即可. 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）解：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得； （4）解：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得； （5）解：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得； （6）解：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得. 9．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）解方程． (1) (2) (3)3 (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，是解题的关键． （1）先移项并合并同类项，然后系数化为1即可； （2）先合并同类项，然后再系数化为1即可； （3）先去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解； （4）根据比例的基本性质，得出方程，然后解方程即可； （5）先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解； （6）先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解． 【详解】（1）解：， ， 3x=3+24， 3x=27， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：3， ， ， ； （4）解：， ， ， （5）解：， ， ， ， 9x=162， ； （6）解：， ， ， ， ， ． 10．（24-25七年级上·江苏扬州·课后作业）利用等式的性质解下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解． （2）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解． （3）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解． （4）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解． （5）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解． （6）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （3）解： 移项得， 合并同类项得，； （4）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （5）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （6）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 【经典计算题二 解含分母的一元一次方程】 11．（24-25七年级上·江苏扬州·随堂练习）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 将x的系数化为1，得； （2）解： 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 将x的系数化为1，得． 12．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段练习）解一元一次方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键． （1）依次移项、合并同类项，即可解方程； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：． 13．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)x＝18 (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题的关键． （1）运用移项，合并同类项，系数化1即可求解； （2）运用去括号，去分母，移项合并同类项，系数化即可求解． 【详解】（1）， 移项，得：， 合并同类项，得： 系数化1，得：； （2） 去括号，得：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得． 14．（25-26七年级上·江苏扬州·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）根据去分母， 移项，合并同类项， 系数化为1即可求解． （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项， 系数化为1即可求解． （3）根据去分母，去括号，移项，合并同类项， 系数化为1即可求解． （4）根据去分母，去括号，移项，合并同类项， 系数化为1即可求解． 【详解】（1）解： 去分母得：， 移项，合并同类项：， 系数化为1：． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1：． （3）解：     去分母得： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1：． （4）解：， 去分母得： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1：． 15．（2025七年级上·江苏泰州·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，数式的规律探索，有理数的混合运算，熟练根据题意得出，再进行裂项计算是解题的关键．先得出，方程化为，整理后裂项为，计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴原方程可化为：， 即：， 所以， 化为， 则， 即， 解得． 16．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）已知关于的方程与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，熟知同解方程的定义是解题的关键． 先求出方程的解，再根据同解方程的定义把代入关于x的方程中，即可求出的值． 【详解】解： ， 由题意，把代入中， ， 答：的值为． 17．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段练习）（1）的值比的值小1，求的值． （2）取何值时，代数式与的差为1． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的应用． （1）根据题意，可建立方程，解方程即可求得的值； （2）根据题意，可建立方程，解方程即可求得的值． 【详解】解：（1）由题意得：， 方程两边同乘6，得 ， 去括号得： ， 移项，合并同类项得：， 解得：； （2）根据题意得， 去括号得： ， 移项合并同类项得：， 解得：． 18．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）计算 (1) (2) (3) (4)， 其中， 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程，整式的化简求值等，注意明确有理数混合运算顺序，掌握合并同类项和去括号的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算进行计算，先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减，即可求解； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解； （3）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解． （4）先去括号，然后合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （3）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （4）解： 当，时，原式． 19．（24-25七年级上·江苏常州·期中）已知，，当给定x的一个值，M、N都有唯一的值与之对应，例如： 当时． (1)当时，求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式求值及解一元一次方程，解决本题的关键是熟练掌握一元一次方程的解法． （1）将分别代入M，N，求出其值，再求得的值即可； （2）先根据题意列出一元一次方程，再求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ； （2）解：依题意可得：， ， ， ， ． 20．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）下面是小亮解方程的过程： 解：    （第一步）     （第二步）     （第三步）     （第四步）     （第五步） (1)以上求解步骤中，第一步进行的是_______，这一步的依据是_______． (2)以上求解步骤中，第_______步开始出现错误，错误的原因是_______． (3)请写出方程正确的解________． 【答案】(1)去分母；等式的基本性质（等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立） (2)二；等号右边的括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，等式的基本性质． （1）根据等式的基本性质即可作答； （2）结合解一元一次方程的基本方法逐步核算，即可作答； （3）按照解一元一次方程的基本方法解答即可． 【详解】（1）解：第一步进行的是去分母，依据是等式的基本性质（等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立）， 故答案为：去分母；等式的基本性质（等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立）； （2）解：第二步开始出现错误，原因是：等号右边的括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号， 故答案为：二；等号右边的括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； （3）解：原式去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为一得， 故答案为：． 【经典计算题三 解含绝对值的一元一次方程】 21．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）解方程：． 【答案】或6 【分析】本题考查解一元一次方程，化简绝对值，正确掌握方法和步骤是解题的关键． 根据题意分情况讨论，然后分别解方程即可． 【详解】解析：当时，， 解得，不符合题意，舍去 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得，符合题意． 综上，或6． 22．（2025七年级上·江苏南京·模拟预测）若，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值方程，求解代数式的值，由绝对值的含义可得，，再结合，再分情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，或，， ∴当，时，则； 当，时，则， ∴． 23．（2025七年级上·江苏·模拟预测）求方程的所有解的和． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的性质及一元一次方程的解法，先根据绝对值的性质求出的值，再求出x的值，再求和即可解答． 【详解】解：， ，， ，， 或或或， 所有解的和为：． 故答案为：． 24．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：，，求的值． 【答案】或或或 【分析】本题考查绝对值的性质以及有理数的加减运算，根据绝对值的性质求出、的可能取值是解题的关键．先根据绝对值的性质求出、的可能取值，计算的值． 【详解】，， ，， 的值为或或或． 25．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算：已知，， (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)的值为或． (2)的值为或． 【分析】（1）根据绝对值的含义先求解，的值，再分类求解代数式的值即可； （2）根据绝对值的含义先求解，的值，再分类求解代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 综上：的值为或． （2）∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 综上：的值为或． 【点睛】本题考查的是绝对值的含义，求解代数式的值，清晰的分类讨论是解本题的关键． 26．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下问题： 解方程：； 【答案】或 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论：，，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案是解题关键，以防遗漏． 【详解】当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意； 所以，原方程的解为：或． 27．（2025七年级上·江苏扬州·模拟预测）同学们，你们知道怎样解“绝对值方程”吗？我们可以这样考虑：因为，，所以有或，分别解得或，根据以上解法，求方程的解． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，绝对值等知识点，根据绝对值的性质得到两个一元一次方程，分别解一元一次方程即可，熟练掌握绝对值和解一元一次方程是解决此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴或， ∴或． 28．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）定义新运算，如； 若，则称与互为“望一”数； 若，则称与互为“望外”数； (1)计算： ． (2)下列互为“望一”数的是 ；互为“望外”数的是 ．（填序号） ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤； (3)若，则的值为多少？ 【答案】(1) (2)①④；③⑤ (3)0 【分析】本题考查了新定义运算、绝对值的化简、解一元一次方程等知识点，根据新定义将所给等式转化为带有绝对值的式子是解答本题的关键． （1）根据新定义的运算代入数值计算即可； （2）根据新定义的运算代入数值计算，再根据“望一”数和“望外”数的定义逐个进行判断即可； （3）根据新定义的运算化简后，得到，从而通或，即可求解； 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：． （2）①， 是互为“望一”数； ②， 既不是互为“望一”数，也不是互为“望外”数； ③， 是互为“望外数”； ④， 是互为“望一数”； ⑤， 是互为“望外数”； 综上所述：互为“望一”数的是①④，互为“望外”数的是③⑤． 故答案为：①④；③⑤． （3）解：∵， ， ∴， ∴， ∴或， ∵方程无解， 解方程得， ∴x的值为0． 29．（2025七年级上·江苏扬州·模拟预测）先阅读下列解题过程，再解答问题． 解方程∶． 解∶当时，原方程可化为， 解得； 当时，原方程可化为， 解得． 所以原方程的解是或． 解方程∶． 【答案】或 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．根据绝对值的性质，可化简方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解∶移项，得． 当，即时， 原方程可化为，解得； 当，即时， 原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． 30．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程： (2)已知关于x的方程 ①若方程无解，则m的取值范围是______； ②若方程只有一个解，则m的值为______； ③若方程有两个解，则m的取值范围是______； (3)解方程： 【答案】(1)或 (2)；； (3)无解 【分析】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用分类讨论得出是解题关键． （1）首先要认真审题，解此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值，然后化为一元一次方程即可求得； （2）运用分类讨论进行解答； （3）先去分母，再分别根据当，以及当分别求出即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是或； （2）解：∵， ∴①当时，方程无解； ②当时，方程只有一个解； ③当时，方程有两个解； 故答案为：；；； （3）解： 去分母，得， ①当，即时， 原方程化为，， 解得，不符合题意，舍去； ②当，即时， 原方程化为， 解得 ，不符合题意，舍去； 所以，原方程无解． 【经典计算题四 根据两个一元一次方程的关系求解】 31．（2025七年级上·江苏扬州·模拟预测）关于的方程与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解和解一元一次方程，掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值和解一元一次方程的步骤是解题关键．先求出的解，再代入中，求出m的值即可． 【详解】解： 所以． ∵关于的方程与的解相同， 所以， 所以． 32．（24-25七年级上·江苏扬州·课后作业）求当为何值时，关于的方程的解比的解小2． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，先求出两个方程的解，根据已知得出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：解方程得， 解方程得， 由题意可知， 解得． 33．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于x的方程与，如果这两个方程的解的和为6，请你求出k的值． 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次方程，解决本题的关键是先求出两个方程的根，根据两个方程的解的和列出关于k的方程． 分别计算出两个方程的解，根据两个方程的解的和为6列出方程，即可解答． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， ∵这两个方程的解的和为6， ∴， 解得：． 34．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）若方程与关于x的方程的解相同，求的值． 【答案】27 【分析】本题考查一元一次方程的解法（同解问题）及代数式求值，解题关键是通过第一个方程求出公共解，再代入第二个方程求a的值． 解第一个方程：通过去分母、去括号、移项合并，求出x的值（公共解）；代入第二个方程：将公共解代入含a的方程，解关于a的一元一次方程；计算代数式：用求得的a值代入，算出结果． 【详解】解：解第一个方程 两边同乘（分母最小公倍数），得： 去括号： 合并同类项： 移项得：， 解得． 将代入，得： 两边同乘6消分母： 去括号： 合并同类项： 移项得：， 解得． ∴． 35．（24-25七年级上·江苏南京·期中）已知关于x的方程与方程的解互为相反数，求m的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，可先求出一个方程的解，再代入第二个含有的方程，从而求出即可．先将的解求出，然后将的相反数代入求出的值． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 解得：， 是方程的解， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 答：的值为． 36．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）（1）已知是方程的解，求m的值； （2）方程的解与方程的解相同，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查方程的解，同解方程，熟练掌握方程的解的定义，解一元一次方程的步骤是解题的关键： （1）把代入方程，进行求解即可； （2）求出方程的解，再把解代入中，进行求解即可． 【详解】解：（1）把代入，得：， ∴， 解得：； （2）∵， ∴， 解得：， 把代入，得：， ∴， 解得：． 37．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知方程的解比关于的方程的解大5． (1)求方程的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程以及一元一次方程的解，熟练掌握方程解的定义和解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）直接解方程即可； （2）通过前面方程的解推出后面方程的解，再将解代入后面方程，解出k即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）∵方程的解比关于的方程的解大5． ∴方程的解为， 将代入方程得到， ∴， 解得， 故的值为． 38．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)若方程与方程的解相同，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算，是解题的关键： （1）去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可． （3）先求出的解，将解代入中，求出的值，代入代数式中进行计算即可． 【详解】（1）解： ∴； （2） ， ∴； （3）解，得：， 把代入，得：， 解得：， ∴． 39．（2025七年级上·江苏扬州·模拟预测）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)； (5) 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值， （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由是方程的解，得，解关于的方程，再将的值代入计算即可； （3）依据题意，由方程的解为，从而得，再解关于的方程即可； （4）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （5）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为； （3）解：∵， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （4）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （5）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 40．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）如果有两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“漂移方程”．例如：方程是方程的“漂移方程”． (1)判断方程是否为方程的“漂移方程”，并说明理由 (2)若关于的方程是关于的方程的“漂移方程”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，弄清题中“漂移方程”的定义是解题的关键． （1）求出两个方程的解，利用“漂移方程”的定义判定即可． （2）分别表示出两个方程的解，根据“漂移方程”的定义列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值． 【详解】（1）解：方程①是方程②的漂移方程，理由如下： 解方程①得，解方程②得， ， 方程是方程的漂移方程； （2）解：，解得， 方程是关于的方程的“漂移方程”， 方程的解为， 把代入，得， 解得． 【经典计算题五 一元一次方程的新定义问题】 41．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义一种新运算“＊”，解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 首先得出方程，然后去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：根据题中的新定义，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 将未知数的系数化为1，得． 42．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）定义一种新的运算：，例如：，如果，求的值． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，一元一次方程的应用，根据新定义列出关于x的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意知， ， ， ， 解得， 即的值为． 43．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）对于整数，，，，定义，如：，当时，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据新定义得出方程是解题的关键． 根据新定义得出方程，再解一元一次方程即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得：． 44．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）对于有理数a，b，规定一种新运算：． (1)计算：． (2)若方程，求x的值． 【答案】(1)6 (2)x=37 【分析】（1）原式利用新定义化简即可求出值； （2）已知等式利用新定义化简，计算即可求出x的值． 【详解】（1）解：∵a∗b=ab+b2， ∴(−5)∗6=(−5)×6+62=6． （2）解：利用新运算，得， 去分母得：5(x-1)=4(x-2)+40， 去括号得：5x-5=4x-8+40， 移项合并得：x=37． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 45．（24-25七年级上·江苏常州·期中）用“※”定义一种新运算，规则如下，． (1)计算：______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，理解新定义运算法则是解题关键． （1）根据已知新定义运算法则计算即可； （2）根据已知新定义运算法则得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：， ， 解得：． 46．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）对于有理数，定义一种新运算“*”，规定． (1)计算的值； (2)已知且，求的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程．掌握新运算的法则，是解题的关键． （1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可； （2）根据新运算的法则，列出方程进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 47．（24-25七年级上·江苏南京·期中）对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，能根据新定义得出方程是解此题的关键． （1）根据新定义得出，进一步计算即可求解； （2）根据新定义得出，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得． 48．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，则 ； (2)若关于x的两个方程与是“和谐方程”，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“和谐方程”得出，再求出m即可； （2）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“和谐方程”得出，再求出m即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于x的方程与方程是“和谐方程”， ， 解得：． 故答案为：9； （2）， ， ， ， ， ， ， ∵关于x的两个方程与是“和谐方程”， ， 解得：． 49．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“互补方程”．例如：方程和为“互补方程”． (1)方程与方程______“互补方程”（填“是”或“不是”）． (2)若关于的方程与方程是“互补方程”，求的值． (3)若关于的方程与是“互补方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， （1）分别求得两个方程的解，再利用“互补方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“互补方程”的定义列出关于 的方程解答即可； （3）分别求得两个方程的解，利用“互补方程”的定义列出关于的方程，求得的值即可． 【详解】（1）由，解得； 由，解得． ， 方程与方程是“互补方程”． 故答案为：是； （2）由，解得； 由解得． 关于的方程与方程是“互补方程”， ， 解得． （3）由，解得； 由，解得； 关于的方程与是“互补方程”， ， 解得． 50．（24-25七年级上·江苏常州·期中）现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4”进行如下分组： 第一列 第二列 第一排 1 2 第二排 4 3 然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”． 例如，以上分组方式的“M值”为． (1)另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M值”： (2)将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，求a的值． 【答案】(1)分组方式见解析，相应的“M值”为4 (2)或11 【分析】（1）根据题意进行分组求解即可； （2）根据题意分两种情况分析：①当时，②当时，然后根据题中的分组方法计算求解即可． 【详解】（1）将“1，2，3，4”进行如下分组： 第一列 第二列 第一排 1 3 第二排 4 2 ∴以上分组方式的“M值”为：； （2）①当时， 将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求进行如下分组： 第一列 第二列 第一排 a 6 第二排 8 7 ∵以上分组方式的“M值”为6， ∴． ∴； ②当时， 将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求进行如下分组： 第一列 第二列 第一排 6 7 第二排 a 8 ∵以上分组方式的“M值”为6， ∴． ∴； 综上，或11． 【点睛】题目主要考查有理数比较大小及绝对值的化简，解一元一次方程，理解题目中新定义的运算是解题关键． 【经典计算题六 一元一次方程的整数解问题】 51．（2025七年级·江苏盐城·模拟预测）已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是先将a看作已知数，得出，根据x为整数，得出或，再求出a的值即可． 【详解】解： 去括号得：， 整理得：， 解得， 当或时，是整数， ∴． 52．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的一元一次方程，其中k为常数． (1)若是该方程的解，求k的值； (2)若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数k的值． 【答案】(1) (2)，，， 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键． （1）把代入方程解关于的方程即可； （2）解方程得，根据方程的解为正整数可得可能为1，2，3，6，解题即可求出k的值． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得； （2）解： 解得：， ∵方程的解为正整数， ∴可能为1，2，3，6， 故k的值为，，，． 53．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）定义一种新运算“”：，比如：． (1)若，求的值， (2)若关于的方程的解为正整数，则满足条件所有整数的和为_____． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握理解新运算的定义是解题关键． （1）先根据新运算的定义可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）先根据新运算的定义可得一个关于x的一元一次方程，解方程得出方程的解，再根据方程的解为正整数和k为整数即可得． 【详解】（1）解：， 则， 解得； （2）， 则， 整理得：， ∵关于x的方程的解为正整数，且为整数， ∴或或或， 故答案为：12． 54．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）规定：用表示大于m的最小整数，例如，，．用表示a，b两数中较大的数，例如．按上述规定： (1)______，______； (2)若，则x的取值范围是______； (3)如果整数x满足，求x的值． 【答案】(1)4； (2) (3)或 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元一次方程的求解： （1）根据新定义，即可求解； （2）根据新定义，即可求解； （3）分两种情况讨论：当，即时，当，即时，结合新定义，即可求解． 【详解】（1）解：，； 故答案为：4； （2）解：∵， ∴x的取值范围是； 故答案为： （3）解：当，即时，， ∵整数x满足， ∴， 解得：； 当，即时，， ∵整数x满足， ∴， 解得：； 综上所述，或． 55．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)求的值 (2)若该方程与方程同解，求的值 (3)若该方程有整数解，求的值 【答案】(1)2 (2)7 (3)或或或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、解一元一次方程、一元一次方程的解等知识，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键． （1）一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，据此即可获得答案； （2）首先解方程可得，然后将代入方程并求解，即可获得答案； （3）根据题意，当时，，易知当取、时才能使该方程有整数解为整数，然后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，方程为关于的一元一次方程， ∴，， 解得，， ∴的值为2； （2）解方程，可得， 依题意得，方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得， ∴的值为7； （3）解：∵关于的一元一次方程有整数解， ∴当时，， ∵当取、时才能使该方程有整数解为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，或或或． 56．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）我们定义一种新的运算“☆”，对于任意四个有理数x，y，a，b，可以组成两个有理数对（x，y）与（a，b），规定：（x，y）☆（a，b）=ax﹣by． 根据上述规定，解决下列问题： （1）计算：（2，﹣3）☆（1，﹣2）=　 　； （2）若（2，3x﹣1）☆（x+2，1）=5，则x=　 　； （3）若（2x﹣1，﹣3）☆（k，x+k）=7+2k，其中x是整数，求整数k的值． 【答案】（1）-4；（2）0；（3）-1，-2，2或-5 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值； （3）已知等式利用题中的新定义化简，表示出x，根据x与k都为整数，确定出k的值即可． 【详解】解：（1）根据题中的新定义得：原式=1×2-（-2）×（-3）=2-6=-4， 故答案是：-4； （2）根据题中的新定义化简得：2（x+2）-（3x-1）=5， 去括号得：2x+4-3x+1=5， 移项合并得：-x=0， 解得：x=0， 故答案是：0； （3）根据题中的新定义化简得：k（2x-1）+3（x+k）=7+2k， 去括号得：2kx-k+3x+3k=7+2k， 移项合并得：（2k+3）x=7， 解得：x=， 由x为整数，得到2k+3=±1或2k+3=±7， 则整数k的值为-1，-2，-5，2． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键． 57．（24-25七年级上·江苏·期中）我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值； (3)已知为整数，若关于的方程的解是整数，且其与方程互为“互反方程”，试求所有可能的的和． 【答案】(1)是，见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 对于（1），先求出两个方程的解，再根据“互反方程”定义解答即可； 对于（2），先分别求出两个方程的解，再根据“互反方程”定义得出两个根的乘积等于1列出方程，然后求出解即可； 对于（3），先求出第一个方程的解，再根据整数解讨论m的值，然后根据结果得出另一个方程的解，进而根据“互反方程”定义判断即可． 【详解】（1）解：方程的解为， 方程的解为， ， 方程与为“互反方程”； （2）解：方程的解为， 方程的解为， 这两方程为“互反方程”， ，解得； （3）解：方程的解为， 为整数，且也为整数， ，，，1， 当时，原方程的解为，方程的解为，不满足题意； 当时，原方程的解为，方程的解为，满足题意； 当时，原方程的解为，方程的解为，不满足题意； 当时，原方程的解为，方程的解为，满足题意， 综上可得，或1，故所有可能的的和为． 58．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）我们把“”叫做“的阶乘”，其中为正整数．规定：．例如．规定：在含有阶乘和加、减、乘、除运算时，应先计算阶乘，再乘除，后加减，有括号就先算括号里面的． (1)按照以上的规定，计算： ； ； ； (2)计算： (3)已知为整数，求出满足该等式的． 【答案】(1)；； (2) (3)或 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，数字的变化规律，绝对值的定义，解一元一次方程，解答的关键是对题干中已知的运算法则的掌握． （1）利用阶乘的定义进行运算即可； （2）利用阶乘的定义及有理数的相应的法则进行运算即可； （3）利用阶乘的定义先化简，再利用绝对值的定义得到一元一次方程，解方程求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； 故答案为：；；； （2）解： ； （3）解：， ， ，即， ， 解得或． 59．（24-25七年级上·江苏常州·期中）【材料阅读】通过学习绝对值之后，我们知道，表示8与的差的绝对值，实际上也可理解为8与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．同理，也可理解为x与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)计算： ． (2)若，求x的值． (3)请你找出所有符合条件的整数x，使得，并写出解题过程． 【答案】(1) (2)或 (3)，过程见解析 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，求一个数的绝对值，一元一次方程的应用，正确讨论x的取值范围从而去绝对值解方程是解题的关键． （1）先计算出的结果，再根据绝对值的意义求解即可； （2）根据绝对值的意义可得或，解方程即可； （3）分当时，当时，当时，三种情况去绝对值，然后解方程求出x的取值范围，进而求出符合题意的整数x的值． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴或， 解得或； （3）解：当时， ∵， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； 当时， ∵， ∴，此时恒成立； 当时， ∵， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，当时，， ∴符合题意的整数x有． 60．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）阅读与理解：对一个关于x的多项式求导数，多项式中的导数等于，常数项的导数为0．已知是关于x的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为，记为．例如：若，则的导出多项式；若，要求的导出多项式，先化简，则的导出多项式．根据以上材料，回答问题： (1)若，则它的导出多项式 ； (2)设是的导出多项式． ①若，求关于x的方程的解； ②已知是关于x的二次多项式，且关于x的方程的解为整数，求正整数a的值． 【答案】(1) (2)①；②2或4； 【分析】（1）利用题目已知的规定求解即可； （2）①先把化简，根据题目已知的规定求出，再根据列方程求解即可； ②根据题目已知的规定，求出导出的多项式，再根据关于x的方程的解为整数，进行计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， 解得； ②∵是关于x的二次多项式， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵有整数解， ∴， 且为整数， ∵a为正整数，且， ∴a的值为2或4． 【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的解法，根据题目的已知理解，是解题的关键． 【经典计算题七 有规律的一元一次方程问题】 61．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）有一列数，按一定规律排列成，，，，，，……，其中某三个相邻数的和是，求这三个数各是多少？ 【答案】这三个数分别是，242，． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，观察可知后面一个数是前面一个数的倍，则可设所求三个数为从左到右分别为x，，，根据这三个数的和为可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设所求三个数为从左到右分别为x，，， 由题意得，， ∴， 解得， ∴， 答：这三个数分别是，242，． 62．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）下列图形按一定规律排列，观察并回答： (1)依照此规律，第4个图形共有______个★，第7个图形共有______个★； (2)第个图形中有★______个； (3)根据（2）中的结论，第几个图形中有2023个★？ 【答案】(1)13，22 (2) (3)674 【分析】考查图形的变化类，解答本题的关键是明确图形中★的个数的变化规律，利用数形结合的思想解答． （1）根据题目中的图形，可以得到第四个图形和第六个图形中★的个数； （2）根据题目中的图形，可以得到第n个图形中有★的个数； （3）根据（2）中的结论，可以解答本题． 【详解】（1）解：（1）由图可知， 第一个图形中有★：， 第二个图形中有★：， 第三个图形中有★：， 故第四个图形中有★：， 故第七个图形中有★：， 故答案为13，22； （2）第一个图形中有★：， 第二个图形中有★：， 第三个图形中有★：， 故第n个图形中有★：． 故答案为 （3）解：设第x个图形中有2023个★， ， 解得，， 答：第674个图形中有2023个★ 63．（24-25七年级上·江苏南京·期中）观察下列三行数： ，   4，   ，   16，   ，   …，      … ，   1，   ，   4，   ，   …，   ，   … ，   5，   ，   17，   ，   …，   ，   … 第一行数的第n（n为正整数）个数用来表示，第二行数的第n个数用来表示，第三行数的第n个数用来表示． (1)根据你发现的规律，填空________；________；_______； (2)取每行的第6个数，计算这三个数的和： (3)如果，请直接写出__________． 【答案】(1)，4， (2) (3) 【分析】（1）根据题目中数字的特点可知，第一行第n个数的数值为，当n为偶数时，符号为正，当n为奇数时，符号为负，第二行第n个数是第一行第n个数的，第三行第n个数比第一行第n个数大1，据此求解即可； （2）根据题目中的数字，可以写出第②行数的第n个数和第③行数的第n个数； （3）根据题意，可以列出相应的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：，   4，   ，   16，   ，   …，      … ，   1，   ，   4，   ，   …，   ，   … ，   5，   ，   17，   ，   …，   ，   … ∴第一行第n个数的数值为，当n为偶数时，符号为正，当n为奇数时，符号为负，第二行第n个数是第一行第n个数的，第三行第n个数比第一行第n个数大1， ∴第一行第n个数为：，即， 第二行第n个数为：，即， 第三行第n个数为：，即， ∴当时，， 故答案为：，4，； （2）解：由（1）得，第一行第6个数为， ∴第二行数的第6个数是；第三行数的第6个数是， ∴这三行第6个数的和为； （3）解：∵， ∴， ∴， 当为奇数时，则， ∴， 解得； 当为偶数时，， ∴，即不符合题意； 综上所述，， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了数字变化类的规律探索，解一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数据． 64．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）观察下列三行数： 1， ， 5， ， 9， ， 13，； 0， ， 4， ， 8， ， 12，； 2， ， 10，， 18，， 26，； (1)根据其规律，第一行第8个数为 ； (2)取每行数的第10个数，计算这三个数的和； (3)若每行都取第个数，是否存在这样的，使得这三个数的和为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）通过观察可得第一行数的规律，令，即可求得答案； （2）通过观察可知第2行的每个数均比第一行相应位置的数小1，第三行的每个数均为第一行相应位置数的2倍，先求得第一行的第10个数，从而得到第二行、第三行的第10个数，再相加即可得到答案； （3）由（1）知，第一行第个数为，第二行第个数为，第三行第个数为，再根据题意列出方程，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：根据第一行数的规律知，第个数为， 当时，第8个数为， 故答案为：； （2）解：由（1）中规律知，第一行的第10个数为， 第2行的每个数均比第一行相应位置的数小1， 第二行的第10个数为， 第三行的每个数均为第一行相应位置数的2倍， 第三行第10个数为， 这三个数的和为：； （3）解：不存在， 由（1）知，第一行第个数为， 第二行第个数为， 第三行第个数为， 根据题意知，， 当为奇数时，有， 解得：，不合题意，舍去， 当为偶数时，有， 解得：，不合题意，舍去， 因此，不存在着满足条件的的值． 【点睛】本题考查数字的变化规律、解一元一次方程，通过观察所给的数，探索出每行数与每列数之间的关系，从而得到一般规律是解题的关键． 65．（24-25七年级上·江苏南京·期中）如图是用棋子摆成的“上”字图案，按照这种规律继续摆下去，通过观察、对比、总结，找出规律，解答下列问题． （1）摆成图1需要 　 　枚棋子，摆成图2需要 　 　枚棋子，摆成图3需要 　 　枚棋子； （2）摆成图n需要 　 　枚棋子； （3）七（1）班有46名同学，把每名同学当成一枚“棋子”，能否让这46枚“棋子”按照以上规律恰好站成一“上”字？若能，请问能站成图几？并计算最下面一“横”的学生数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）6；10；14；（2）4n＋2；（3）能，图11，最下面一横23人 【分析】（1）根据题目所给图形进行求解即可； （2）根据图1需要1×4+2=6枚棋子，图2需要2×4+2=10枚棋子，图3需要3×4+2=14枚棋子，图4需要4×4+2=18枚棋子，可以推出图n需要n×4+2=（4n＋2）枚棋子，由此求解即可； （3）令4n＋2＝46，解得n＝11；再根据图1下面的一需要3枚棋子，图2下面的一需要5枚棋子，图3下面的一需要7枚棋子，图4下面的一需要9枚棋子，可以推出图n下面的一需要3+2（n-1）=（2n+1）枚棋子，由此求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：图1需要6枚棋子，图2需要10枚棋子，图3需要14枚棋子， 故答案为：6；10；14 ；   （2）∵图1需要1×4+2=6枚棋子，图2需要2×4+2=10枚棋子，图3需要3×4+2=14枚棋子，图4需要4×4+2=18枚棋子， ∴可以推出图n需要n×4+2=（4n＋2）枚棋子， 故答案为：4n＋2； （3）令4n＋2＝46， 解得n＝11； 图1下面的一需要3枚棋子，图2下面的一需要5枚棋子，图3下面的一需要7枚棋子，图4下面的一需要9枚棋子， ∴可以推出图n下面的一需要3+2（n-1）=（2n+1）枚棋子 ∴当n=11时，2n+1=23， ∴这46枚“棋子”可以按照以上规律恰好站成一“上”字，能站成图11，最下面一横学生数是23人； 答：这46枚“棋子”可以按照以上规律恰好站成一“上”字，能站成图11，最下面一横学生数是23人． 【点睛】本题主要考查了图形类的规律性问题和解一元一次方程，解题的关键在于能够根据题意找到规律进行求解． 66．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）如图是由一些火柴棒搭成的图案： （1）摆第①个图案用5根火柴棒，摆第②个图案用　 根火柴棒，摆第③个图案用　 　根火柴棒． （2）按照这种方式摆下去，摆第n个图案用　 根火柴棒． （3）计算一下摆2025根火柴棒时，是第几个图案？ 【答案】（1）9，13；（2）4n+1；（3）n＝506． 【分析】（1）分别算出前面几个图形中的根数即可； （2）由前面几个图形的过程即可得出规律； （3）根据（2）得出的结果计算即可； 【详解】（1）由题可得：第①个图案所用的火柴数：， 第②个图案所用的火柴数：， 第③个图案所用的火柴数：； 故答案是：9，13； （2）由（1）的方法可得：，，， 第n个图案中所用的火柴数为：， 故答案是4n+1； （3）根据规律可知4n+1＝2025得，n＝506； 【点睛】本题主要考查了规律型图形变化类和一元一次方程求解，准确计算是解题的关键． 67．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）小明研究规律方程的时候遇到了下面一组方程： ①； ②； ③； ④… （1）请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息； （2）小明通过计算发现，第一个方程的解是，第二个方程的解为，因此他就大胆地推测出第三个方程的解为，并写出了第四个方程．请你验证一下小明的推测是否正确，如果正确，请你写出验证过程，并写出第四个方程；如果不正确，请说明理由； （3）你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律，解为（为正整数，且）的方程吗？ 【答案】（1）等号右边都是1；等号左边第二项的分母都是2；（2）正确，见解析，；（3）能，见解析， 【分析】（1）观察方程，可得出规律； （2）根据方程中每部分的数字与方程的解的关系即可直接写出方程，然后解方程即可； （3）根据方程中每部分的数字与方程的解的关系直接写出方程 【详解】解：（1）等号右边都是1；等号左边第二项的分母都是2（答案不唯一，答出一条即可）） （2）正确． 验证如下： 把代入到方程中，左边， 右边，所以是方程的解，小明的推测正确． 第四个方程为． （3）（为正整数，且）． 【点睛】本题考查了学生的观察分析能力，理解方程中每部分的数字与方程的解的关系是解题的关键． 68．（24-25七年级上·江苏徐州·单元测试）（1）观察下面的变形规律：，，，，则当为正整数时，请你猜想 ． （2）若为正整数，我们把称为单位分数，试把分解成两个单位分数之和． （3）对于正整数、定义一种新运算“”； 等于由开始的连续个正整数之和的倒数，比如，， ①若的等于，求的值． ②计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出相应的猜想； （2）根据题意和（1）中的结果可以把分成两个单位分数之和； （3）①根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得x的值；②根据题意和式子的特点，拆项，然后计算即可． 【详解】解：（1）由题目中的式子得， ， 故答案为：； （2）由（1）可知， ， ， ， ， 即把分解成两个单位分数之和是：； （3）①的等于， ， ， 解得∶； ② ． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值． 69．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请你利用数轴解决以下问题： (1)若点P与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则a的值为　　　； (2)若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则　　　； (3)若数轴上比a小2的数用b表示，比a大5的数用c表示，则的最小值为　　　； (4)若，，，…，．则式子的最小值为　　　． 【答案】(1)1或 (2)7 (3)14 (4)284 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求解即可； （2）根据数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义求解即可； （3）根据数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义求解即可； （4）根据数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义求解即可． 【详解】（1）∵点P与表示有理数的点的距离是3个单位长度， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：1或； （2）∵点P位于表示的点与表示2的点之间， ∴表示点P到2和的距离和， ∵， ∴， 故答案为：7； （3）∵数轴上比a小2的数用b表示， ∴， ∵比a大5的数用c表示， ∴， ∴， ∵表示数轴上表示数a的点到表示数与4的点的距离之和， 当时，有最小值14， 故答案为：14； （4）∵，，，…，， ∴ ， 根据绝对值的几何意义，相当于找到表示数a的点，使得这个点到表示数1，，9，，……81的点的距离和最小， 只能取， 当时，有最小值284， 故答案为：284． 【点睛】此题考查了数轴，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键． 70．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）阅读理解：给定一列数，把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，依此类推，第个数记为，（为正整数），符号“”表示从这列数的第一个数开始依次加到第个数的和，即，例如：一列数1，3，4，7，9中，，，，，，； 请解决下面的问题： (1)已知一列数2，，6，，10，，14，，18，…，求值； (2)已知一列数0，，8，，16，，24，，32，…，按照规律可以无限写下去，那么的值是多少？并求的值； (3)在（2）的条件下，是否存在正整数使等式成立，若存在请求出的值，不存在请说明理由． 【答案】(1)6 (2)， (3)存在，1012或1013 【分析】本题考查新定义问题，涉及一列数的数字规律、前项和的规律、绝对值运算、有理数加减运算和一元一次方程的运用等知识，读懂题意，按照前项的定义列式、找规律是解决问题的关键. （1）根据题中的定义列式得，代值求解即可得到答案； （2）由题中所给一列数，找到规律，第偶数个数的符号为负；第项的绝对值是，且这一列数从第一项起，前后两项和为，根据题中的定义列式求解即可得到答案； （3）由（2）中规律，当时，对分奇数和偶数分类讨论，列方程求解即可得到答案. 【详解】（1）解：由题中的定义列式得 ； （2）解：一列数0，，8，，16，，24，，32，…， 这一列数的第偶数个数的符号为负，则第50个数为负数， 又这一列数的绝对值依次为、、、…、、…，则； ； （3）解：存在， 理由如下： 若为偶数，由（2）可知， ，解得； 若n为奇数，由（2）可知 （去掉第一数0，共有个数） ， ，解得； 当时，的值为1012或1013 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 一元一次方程70道计算题专项训练（7大题型） 题型一 一元一次方程的简单解法 题型二 解含分母的一元一次方程 题型三 解含绝对值的一元一次方程 题型四 根据两个一元一次方程的关系求解 题型五 一元一次方程的新定义问题 题型六 一元一次方程的整数解问题 题型七 有规律的一元一次方程问题 【经典计算题一 一元一次方程的简单解法】 1．（24-25七年级上·江苏常州·期中）解方程：． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）解方程： 3．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）解方程： 4．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段练习）解方程 5．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）解方程：． 6．（2025七年级上·江苏扬州·模拟预测）解方程，并检验： (1)； (2)． 7．（2025·江苏泰州·模拟预测）解方程． (1) (2) (3) 8．（25-26七年级上·江苏扬州·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 9．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）解方程． (1) (2) (3)3 (4) (5) (6) 10．（24-25七年级上·江苏扬州·课后作业）利用等式的性质解下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【经典计算题二 解含分母的一元一次方程】 11．（24-25七年级上·江苏扬州·随堂练习）解下列方程： (1) (2) 12．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段练习）解一元一次方程： (1)； (2) 13．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）解下列方程： (1)； (2)． 14．（25-26七年级上·江苏扬州·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（2025七年级上·江苏泰州·模拟预测）解方程：． 16．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）已知关于的方程与的解相同，求的值． 17．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段练习）（1）的值比的值小1，求的值． （2）取何值时，代数式与的差为1． 18．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）计算 (1) (2) (3) (4)， 其中， 19．（24-25七年级上·江苏常州·期中）已知，，当给定x的一个值，M、N都有唯一的值与之对应，例如： 当时． (1)当时，求的值； (2)若，求x的值． 20．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）下面是小亮解方程的过程： 解：    （第一步）     （第二步）     （第三步）     （第四步）     （第五步） (1)以上求解步骤中，第一步进行的是_______，这一步的依据是_______． (2)以上求解步骤中，第_______步开始出现错误，错误的原因是_______． (3)请写出方程正确的解________． 【经典计算题三 解含绝对值的一元一次方程】 21．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）解方程：． 22．（2025七年级上·江苏南京·模拟预测）若，，且，求的值． 23．（2025七年级上·江苏·模拟预测）求方程的所有解的和． 24．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：，，求的值． 25．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算：已知，， (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 26．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下问题： 解方程：； 27．（2025七年级上·江苏扬州·模拟预测）同学们，你们知道怎样解“绝对值方程”吗？我们可以这样考虑：因为，，所以有或，分别解得或，根据以上解法，求方程的解． 28．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）定义新运算，如； 若，则称与互为“望一”数； 若，则称与互为“望外”数； (1)计算： ． (2)下列互为“望一”数的是 ；互为“望外”数的是 ．（填序号） ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤； (3)若，则的值为多少？ 29．（2025七年级上·江苏扬州·模拟预测）先阅读下列解题过程，再解答问题． 解方程∶． 解∶当时，原方程可化为， 解得； 当时，原方程可化为， 解得． 所以原方程的解是或． 解方程∶． 30．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程： (2)已知关于x的方程 ①若方程无解，则m的取值范围是______； ②若方程只有一个解，则m的值为______； ③若方程有两个解，则m的取值范围是______； (3)解方程： 【经典计算题四 根据两个一元一次方程的关系求解】 31．（2025七年级上·江苏扬州·模拟预测）关于的方程与的解相同，求的值． 32．（24-25七年级上·江苏扬州·课后作业）求当为何值时，关于的方程的解比的解小2． 33．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于x的方程与，如果这两个方程的解的和为6，请你求出k的值． 34．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）若方程与关于x的方程的解相同，求的值． 35．（24-25七年级上·江苏南京·期中）已知关于x的方程与方程的解互为相反数，求m的值． 36．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）（1）已知是方程的解，求m的值； （2）方程的解与方程的解相同，求m的值． 37．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知方程的解比关于的方程的解大5． (1)求方程的解； (2)求的值． 38．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)若方程与方程的解相同，求的值． 39．（2025七年级上·江苏扬州·模拟预测）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 40．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）如果有两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“漂移方程”．例如：方程是方程的“漂移方程”． (1)判断方程是否为方程的“漂移方程”，并说明理由 (2)若关于的方程是关于的方程的“漂移方程”，求的值． 【经典计算题五 一元一次方程的新定义问题】 41．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义一种新运算“＊”，解方程：． 42．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）定义一种新的运算：，例如：，如果，求的值． 43．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）对于整数，，，，定义，如：，当时，求的值． 44．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）对于有理数a，b，规定一种新运算：． (1)计算：． (2)若方程，求x的值． 45．（24-25七年级上·江苏常州·期中）用“※”定义一种新运算，规则如下，． (1)计算：______； (2)若，求的值． 46．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）对于有理数，定义一种新运算“*”，规定． (1)计算的值； (2)已知且，求的值． 47．（24-25七年级上·江苏南京·期中）对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 48．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，则 ； (2)若关于x的两个方程与是“和谐方程”，求m的值． 49．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“互补方程”．例如：方程和为“互补方程”． (1)方程与方程______“互补方程”（填“是”或“不是”）． (2)若关于的方程与方程是“互补方程”，求的值． (3)若关于的方程与是“互补方程”，求的值． 50．（24-25七年级上·江苏常州·期中）现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4”进行如下分组： 第一列 第二列 第一排 1 2 第二排 4 3 然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”． 例如，以上分组方式的“M值”为． (1)另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M值”： (2)将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，求a的值． 【经典计算题六 一元一次方程的整数解问题】 51．（2025七年级·江苏盐城·模拟预测）已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 52．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的一元一次方程，其中k为常数． (1)若是该方程的解，求k的值； (2)若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数k的值． 53．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）定义一种新运算“”：，比如：． (1)若，求的值， (2)若关于的方程的解为正整数，则满足条件所有整数的和为_____． 54．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）规定：用表示大于m的最小整数，例如，，．用表示a，b两数中较大的数，例如．按上述规定： (1)______，______； (2)若，则x的取值范围是______； (3)如果整数x满足，求x的值． 55．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)求的值 (2)若该方程与方程同解，求的值 (3)若该方程有整数解，求的值 56．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）我们定义一种新的运算“☆”，对于任意四个有理数x，y，a，b，可以组成两个有理数对（x，y）与（a，b），规定：（x，y）☆（a，b）=ax﹣by． 根据上述规定，解决下列问题： （1）计算：（2，﹣3）☆（1，﹣2）=　 　； （2）若（2，3x﹣1）☆（x+2，1）=5，则x=　 　； （3）若（2x﹣1，﹣3）☆（k，x+k）=7+2k，其中x是整数，求整数k的值． 57．（24-25七年级上·江苏·期中）我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值； (3)已知为整数，若关于的方程的解是整数，且其与方程互为“互反方程”，试求所有可能的的和． 58．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）我们把“”叫做“的阶乘”，其中为正整数．规定：．例如．规定：在含有阶乘和加、减、乘、除运算时，应先计算阶乘，再乘除，后加减，有括号就先算括号里面的． (1)按照以上的规定，计算： ； ； ； (2)计算： (3)已知为整数，求出满足该等式的． 59．（24-25七年级上·江苏常州·期中）【材料阅读】通过学习绝对值之后，我们知道，表示8与的差的绝对值，实际上也可理解为8与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．同理，也可理解为x与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)计算： ． (2)若，求x的值． (3)请你找出所有符合条件的整数x，使得，并写出解题过程． 60．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）阅读与理解：对一个关于x的多项式求导数，多项式中的导数等于，常数项的导数为0．已知是关于x的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为，记为．例如：若，则的导出多项式；若，要求的导出多项式，先化简，则的导出多项式．根据以上材料，回答问题： (1)若，则它的导出多项式 ； (2)设是的导出多项式． ①若，求关于x的方程的解； ②已知是关于x的二次多项式，且关于x的方程的解为整数，求正整数a的值． 【经典计算题七 有规律的一元一次方程问题】 61．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）有一列数，按一定规律排列成，，，，，，……，其中某三个相邻数的和是，求这三个数各是多少？ 62．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）下列图形按一定规律排列，观察并回答： (1)依照此规律，第4个图形共有______个★，第7个图形共有______个★； (2)第个图形中有★______个； (3)根据（2）中的结论，第几个图形中有2023个★？ 63．（24-25七年级上·江苏南京·期中）观察下列三行数： ，   4，   ，   16，   ，   …，      … ，   1，   ，   4，   ，   …，   ，   … ，   5，   ，   17，   ，   …，   ，   … 第一行数的第n（n为正整数）个数用来表示，第二行数的第n个数用来表示，第三行数的第n个数用来表示． (1)根据你发现的规律，填空________；________；_______； (2)取每行的第6个数，计算这三个数的和： (3)如果，请直接写出__________． 64．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）观察下列三行数： 1， ， 5， ， 9， ， 13，； 0， ， 4， ， 8， ， 12，； 2， ， 10，， 18，， 26，； (1)根据其规律，第一行第8个数为 ； (2)取每行数的第10个数，计算这三个数的和； (3)若每行都取第个数，是否存在这样的，使得这三个数的和为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 65．（24-25七年级上·江苏南京·期中）如图是用棋子摆成的“上”字图案，按照这种规律继续摆下去，通过观察、对比、总结，找出规律，解答下列问题． （1）摆成图1需要 　 　枚棋子，摆成图2需要 　 　枚棋子，摆成图3需要 　 　枚棋子； （2）摆成图n需要 　 　枚棋子； （3）七（1）班有46名同学，把每名同学当成一枚“棋子”，能否让这46枚“棋子”按照以上规律恰好站成一“上”字？若能，请问能站成图几？并计算最下面一“横”的学生数；若不能，请说明理由． 66．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）如图是由一些火柴棒搭成的图案： （1）摆第①个图案用5根火柴棒，摆第②个图案用　 根火柴棒，摆第③个图案用　 　根火柴棒． （2）按照这种方式摆下去，摆第n个图案用　 根火柴棒． （3）计算一下摆2025根火柴棒时，是第几个图案？ 67．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）小明研究规律方程的时候遇到了下面一组方程： ①； ②； ③； ④… （1）请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息； （2）小明通过计算发现，第一个方程的解是，第二个方程的解为，因此他就大胆地推测出第三个方程的解为，并写出了第四个方程．请你验证一下小明的推测是否正确，如果正确，请你写出验证过程，并写出第四个方程；如果不正确，请说明理由； （3）你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律，解为（为正整数，且）的方程吗？ 68．（24-25七年级上·江苏徐州·单元测试）（1）观察下面的变形规律：，，，，则当为正整数时，请你猜想 ． （2）若为正整数，我们把称为单位分数，试把分解成两个单位分数之和． （3）对于正整数、定义一种新运算“”； 等于由开始的连续个正整数之和的倒数，比如，， ①若的等于，求的值． ②计算：． 69．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请你利用数轴解决以下问题： (1)若点P与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则a的值为　　　； (2)若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则　　　； (3)若数轴上比a小2的数用b表示，比a大5的数用c表示，则的最小值为　　　； (4)若，，，…，．则式子的最小值为　　　． 70．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）阅读理解：给定一列数，把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，依此类推，第个数记为，（为正整数），符号“”表示从这列数的第一个数开始依次加到第个数的和，即，例如：一列数1，3，4，7，9中，，，，，，； 请解决下面的问题： (1)已知一列数2，，6，，10，，14，，18，…，求值； (2)已知一列数0，，8，，16，，24，，32，…，按照规律可以无限写下去，那么的值是多少？并求的值； (3)在（2）的条件下，是否存在正整数使等式成立，若存在请求出的值，不存在请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $