专题02 一元一次方程及其解法重难点题型专训（2个知识点+8大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题02 一元一次方程及其解法重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 判断是否是一元一次方程 题型二 判断是否是一元一次方程解 题型三 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 题型四 解一元一次方程（二）——去括号 题型五 解一元一次方程（三）——去分母 题型六 已知一元一次方程的解，求参数 题型七 一元一次方程解的关系 题型八 含绝对值计算的一元一次方程 拓展训练一 一元一次方程的解相同计算 拓展训练二 一元一次方程的含参计算 拓展训练三 一元一次方程的遮挡问题 拓展训练四 一元一次方程中的新定义问题 拓展训练五 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解 知识点一：一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）． 一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式． 一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏常州·期中）下列等式中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）未知数为，未知项的系数为、常数项为的一元一次方程是 ． 知识点二：解一元一次方程 步骤 具体做法 变形依据 去分母 在方程的两边同乘各分母的最小公倍数 等式性质2 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则、分配律 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其它各项都移到方程的另一边（记住移项要变号） 等式性质1 合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则 系数化为1 在方程的两边都除以未知数的系数，得到方程的解 等式性质2 温馨提示： 1. 解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，注意灵活运用。 2. 在解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下： 去分母 （1） 分子是多项式的，去分母后要加括号； （2） 不要漏乘不含分母的项 去括号 （1） 括号前的数要乘括号内的每一项； （2） 括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号 移项 （1） 移项时不要漏项； （2） 将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置时不变号 合并同类项 按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当 系数化为1 （1） 未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数； （2） 未知数的系数为分数时，方程两边同乘该系数的倒数 【即时训练】 1．（25-26七年级上·江苏常州·课后作业）解方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期中）方程的解是 ． 【经典例题一 判断是否是一元一次方程】 【例1】（24-25七年级上·江苏常州·期中）若是关于x的一元一次方程，则a的值为（   ） A．1 B．4 C．4或0 D．0 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）方程是关于x的一元一次方程，则a=（   ） A．2 B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏常州·期中）已知是关于x的一元一次方程，则 ． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知方程是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，且m为整数，则 ． 4．（2025七年级上·江苏徐州·模拟预测）已知方程是关于x的一元一次方程． (1)求m和x的值； (2)若n满足等式，求n的值 【经典例题二 判断是否是一元一次方程解】 【例2】（24-25七年级上·江苏苏州·期中）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）多项式和（、为实数，且）的值随的取值不同而变化，上表是当取不同值时分别对应的两个多项式的值，则关于的方程：的解是（　　） 0 1 2 5 3 1 A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）写出一个解为，且未知数的系数为2的一元一次方程 ． 3．（24-25七年级上·江苏南京都·期中）已知方程中，★处被盖住了一个数字，如果此方程的解是，那么★处的数字为 ． 4．（2025七年级上·江苏·模拟预测）检验括号内的数是不是方程的解． (1)（，）； (2)（ ） 【经典例题三 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项】 【例3】（24-25七年级上·江苏常州·课后作业）方程的解是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）设，满足，则 ． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期中）问题背景：“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格．它将整个区　域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更加斑斓绚丽．如图，当正五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当正五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．那么，当正五边形内有 个点时，可分得77个三角形． 4．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）（1）已知：与的差中不含二次项，求的值． （2）已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，解方程：． 【经典例题四 解一元一次方程（二）——去括号】 【例4】（24-25七年级上·天津南开·阶段练习）设，，有，则y的值是（   ） A．－4 B．4 C．－1 D．1 1．（24-25七年级上·山东青岛·期中）按下面的程序计算：    若输入n=100，输出结果是501；若输入n=25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可能有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．（24-25七年级上·江苏常州·期中）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则x= ． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平安方程”．例如，方程的解是，而，则方程是“平安方程”．如果关于的一元一次方程是“平安方程”，那么的值是 ． 4．（24-25七年级上·江苏常州·课后作业）解下列方程： (1)； (2) 【经典例题五 解一元一次方程（三）——去分母】 【例5】（2025七年级上·吉林·模拟预测）若方程的解与关于的方程的解互为相反数,则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图是方程的变形求解过程，最开始出现错误的步骤是（    ） 解：去分母．得     第一步 去括号，得            第二步 移项，合并同类项，得            第三步 系数化为1，得                   第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 2．（24-25七年级上·四川雅安·阶段练习）已知关于的方程与的解互为倒数，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程： 解方程：． 解：原方程可化为：．    ……第①步 方程两边同时乘以，去分母，得： ．      ……第②步 去括号，得：    ．  ……第③步 移项，得： ．   ……第④步 合并同类项，得： ．           ……第⑤步 系数化，得：     ．          ……第⑥步 所以为原方程的解． 上述小亮的解题过程中 （1）第②步的依据是 ； （2）第 （填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子 ． 4．（24-25七年级上·江苏南京·期中）小强解方程的过程如下： 解：去分母，得，第①步 去括号，得，第②步 移项，合并同类项，得，第③步 系数化为1，得．第④步 他把代入原方程后发现方程左、右两边的值不相等，小强因此意识到自己解错了． 他从第______步开始出错，请给出正确的解答过程． 【经典例题六 已知一元一次方程的解，求参数】 【例6】（24-25七年级上·四川绵阳·期中）已知关于x的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的和是（　　） A． B． C． D． 1．（2025·江苏镇江·模拟预测）若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．6 2．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）已知为整数，关于的方程有正整数解，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 4．（24-25七年级上·江苏常州·期中）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号______． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值； (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出的值． 【经典例题七 一元一次方程解的关系】 【例7】（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）关于的两个一元一次方程与的解互为相反数，则的值为（   ） A． B．26 C．15 D． 1．（24-25七年级上·浙江·假期作业）多项式和（，，为实数，）的值由的取值决定．下表是当取不同值时多项式对应的值，由此可知，关于的方程的解是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 3．（2025七年级上·浙江·模拟预测）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 4．（25-26七年级上·江苏常州·课后作业）我们把解相同的两个方程称为“同解方程”，例如：方程与方程的解都为，所以它们为“同解方程”． (1)若方程与关于的方程为“同解方程”，求的值． (2)若关于的方程与为“同解方程”，求的值． 【经典例题八 含绝对值计算的一元一次方程】 【例8】（2025七年级上·河南·模拟预测）方程的解是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 1．（24-25七年级上·河南·期中）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距个单位长度时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）用“★”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有，则： （1） ．（2）若，则n的值是 ． 3．（24-25七年级上·四川成都·期中）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”．若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·江苏常州·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义： 例：已知，求的值． 解：在数轴上与原点距离为的点对应的数为， 即． 例：已知，求的值． 解：在数轴上与的距离为的点对应的数为，， 即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则的值为 ； (2)已知，则的值为 ； (3)已知是有理数，当取不同数时，式子的值也会发生变化 (填“是”或“否”)？若有，请直接写出最小值 ；若没有，请说出理由． 【拓展训练一 一元一次方程的解相同计算】 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 2．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知关于的两个方程和． (1)若方程的解为，求方程的解； (2)若方程和的解相同，求的值． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． (1)若方程与关于x的方程是同解方程，求m的值； (2)若关于x的两个方程与是同解方程，求a的值； (3)若关于x的两个方程与是同解方程，求此时符合要求的正整数m，n的值． 【拓展训练二 一元一次方程的含参计算】 1．（24-25七年级上·湖南湘西·阶段练习）如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．求的值． 2．（25-26七年级上·河南·期中）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”如：有理数与，因为，所以与互为“友好数”． (1)判断与是否互为“友好数”，并说明理由． (2)若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数且，设的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；；依次按如上的操作，得到一组数，，，，，当时，求的值． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______； (3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值． 【拓展训练三 一元一次方程的遮挡问题】 1．（24-25七年级上·甘肃张掖·期中）已知两个整式，，其中系数■被污染，当时，B的值为． (1)求■所表示的数字； (2)先化简，并求值，其中． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）嘉淇在解关于x的一元一次方程＝3时，发现正整数被污染了； (1)嘉淇猜是2，请解一元一次方程； (2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？ 3．（24-25七年级上·山东·期中）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，导致其看不清楚，被污染的方程是，怎么办呢？ (1)小明猜想“”部分是，请你算一算的值； (2)小明翻看了书后的答案，此方程的解是．请你算一算这个常数应是多少． 【拓展训练四 一元一次方程中的新定义问题】 1．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）对于有理数，定义一种新运算“*”，规定． (1)计算的值； (2)已知且，求的值． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）对于有理数定义一种新运算“※”，规定：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）定义：关于的方程与（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”． 例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”． (1)若关于的方程与（为不等于0的常数）互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，求的值及它的“反对方程”的解； (3)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，请直接写出的解． 【拓展训练五 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解】 1．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）已知方程①的解与方程②的解互为相反数，求： (1)的值； (2)代数式的值． 2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）历史上的数学巨人欧拉最先把关于的多项式用记号的形式来表示（f可用其他字母表示，但不同的字母表示不同的多项式）．例如：，把时的多项式的值用来表示．当时，多项式的值记为． 已知，． (1)直接写出的值_______； (2)当时，求的值． (3)若，求的值． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知（，，…an是各项的系数，c是常数项）：我们规定的伴随多项式是，且，例：如果，则它的伴随多项式． (1)已知，则它的伴随多项式 ； (2)已知，它的伴随多项式，求x的值； (3)已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于x的方程有正整数解，求整数a的值． 1．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25七年级上·辽宁丹东·阶段练习）下列各对不等式中，变形错误的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·江苏常州·课后作业）某书中有一个方程，■处在印刷时被墨盖住了．若已知书后的答案为，则■处的数字应是（   ） A．7 B．5 C． D． 5．（25-26七年级上·江苏常州·课后作业）将正方形图1作如下操作．第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，……，以此类推，根据以上操作，若要得到2025个正方形，则需要操作的次数是（   ） A．504 B．505 C．506 D．507 6．（25-26七年级上·江苏常州·期中）定义一种新运算：，若，则的值为 ． 7．（24-25七年级上·甘肃定西·期中）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是 ． 8．（24-25七年级上·江苏南通·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 9．（2025七年级上·江苏常州·模拟预测）学习情境·规律 探究一列方程如下排列： 的解是的解是的解是，…根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ． 10．（24-25七年级上·江苏·期中）观察下列两个等式： ．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为，数对，和都是“共生有理数对”． （1）数对和中是“共生有理数对”的是 ． （2）若是“共生有理数对”，a＝ ． 11．（25-26七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）解方程： (1) (2) 12．（25-26七年级上·江苏常州·课后作业）根据如图所示“程序”计算代数式的值，若输出的值为32，求x． 13．（24-25七年级上·江苏常州·课后作业）已知关于的方程． (1)当为何值时，该方程与的解相同？ (2)佳佳同学在解这个方程，去分母时忘记给右边的乘分母的最小公倍数，最终解得，求这个方程正确的解． 14．（25-26七年级上·江苏常州·课后作业）阅读下面的材料，回答问题． 化简，使结果不含绝对值． 解：当，即时，原式； 当，即时，原式． 综上所述，的化简结果为或． 这种解题的方法叫做“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 15．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）“分数均可化为有限小数或无限循环小数”反之“有限小数或无限循环小数怎样化为分数呢” 例如：或， 反之或． 那么怎么化为． 解：因为 所以不妨设，则上式变为 解得 即 根据以上材料，回答下列问题： (1)将分数化为小数：___________ (2)将小数化为分数．（写出推理过程） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元一次方程及其解法重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 判断是否是一元一次方程 题型二 判断是否是一元一次方程解 题型三 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 题型四 解一元一次方程（二）——去括号 题型五 解一元一次方程（三）——去分母 题型六 已知一元一次方程的解，求参数 题型七 一元一次方程解的关系 题型八 含绝对值计算的一元一次方程 拓展训练一 一元一次方程的解相同计算 拓展训练二 一元一次方程的含参计算 拓展训练三 一元一次方程的遮挡问题 拓展训练四 一元一次方程中的新定义问题 拓展训练五 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解 知识点一：一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）． 一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式． 一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏常州·期中）下列等式中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，由定义逐一判断，即可求解；理解“只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．”是解题的关键． 【详解】解：A.未知数的次数是，故不符合题意； B.含有两个未知数，故不符合题意； C.符合定义，故符合题意； D.不含有未知数，故符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）未知数为，未知项的系数为、常数项为的一元一次方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的概念，掌握概念是关键；根据题意直接写出方程即可． 【详解】解：由题意得：； 故答案为：． 知识点二：解一元一次方程 步骤 具体做法 变形依据 去分母 在方程的两边同乘各分母的最小公倍数 等式性质2 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则、分配律 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其它各项都移到方程的另一边（记住移项要变号） 等式性质1 合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则 系数化为1 在方程的两边都除以未知数的系数，得到方程的解 等式性质2 温馨提示： 1. 解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，注意灵活运用。 2. 在解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下： 去分母 （1） 分子是多项式的，去分母后要加括号； （2） 不要漏乘不含分母的项 去括号 （1） 括号前的数要乘括号内的每一项； （2） 括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号 移项 （1） 移项时不要漏项； （2） 将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置时不变号 合并同类项 按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当 系数化为1 （1） 未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数； （2） 未知数的系数为分数时，方程两边同乘该系数的倒数 【即时训练】 1．（25-26七年级上·江苏常州·课后作业）解方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，方程两边乘以6去分母得到结果，即可作出判断． 【详解】解： 方程左右两边同时乘以6，得：， 故选D. 2．（25-26七年级上·江苏南京·期中）方程的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程．利用移项、系数化为1的步骤进行解答即可． 【详解】解： ， 移项，得 ， 系数化为，得 ， 故方程的解是． 故答案为： 【经典例题一 判断是否是一元一次方程】 【例1】（24-25七年级上·江苏常州·期中）若是关于x的一元一次方程，则a的值为（   ） A．1 B．4 C．4或0 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴， 解得， 故选：D 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）方程是关于x的一元一次方程，则a=（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，据此进行解答即可． 根据x的指数为1，且含x项的系数不为0即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏常州·期中）已知是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键． 根据一元一次方程的定义列式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴， 解得：， ∴， 故答案为： 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知方程是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，且m为整数，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查一元一次方程的定义，解一元一次方程．根据一元一次方程的定义：“只含有一个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程”，列式求出的值，再解方程，根据方程的解为正整数，求出即可． 【详解】解：∵已知方程是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， ∴方程化为：， 解得：； 此方程的解为正整数，且m为整数， ∴或， ∴或 故答案为：或． 4．（2025七年级上·江苏徐州·模拟预测）已知方程是关于x的一元一次方程． (1)求m和x的值； (2)若n满足等式，求n的值 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的定义和解法． （1）根据一元一次方程的定义，可得出，，进而求出的值，把的值代入方程，即可求得的值； （2）把的值代入，分情况讨论，即可求得的值． 【详解】（1）解：因为方程是关于x的一元一次方程， 所以，解得． 将代入原方程， 得， 解得． （2）解：将代入， 得， 所以或． 解方程，得． 解方程，得． 综上所述，n的值为或． 【经典例题二 判断是否是一元一次方程解】 【例2】（24-25七年级上·江苏苏州·期中）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了方程的解，掌握方程的解是方程左右两边相等的未知数的值成为解题的关键．将代入各项逐项判断即可． 【详解】解：当时， A．，符合题意；     B．，不符合题意； C．，不符合题意；     D．，不符合题意． 故选：A． 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）多项式和（、为实数，且）的值随的取值不同而变化，上表是当取不同值时分别对应的两个多项式的值，则关于的方程：的解是（　　） 0 1 2 5 3 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程． 首先将方程变形为，观察表格可知，当时，，即可得出方程的解． 【详解】解：∵方程可以变形为， 而由表格中的对应值可知，当时，， ∴是方程的解， 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）写出一个解为，且未知数的系数为2的一元一次方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，结合题干给出的条件写出方程即可． 【详解】解：由题意，一元一次方程可以为：； 当时，， ∴是方程的解； 故答案为：（答案不唯一） 3．（24-25七年级上·江苏南京都·期中）已知方程中，★处被盖住了一个数字，如果此方程的解是，那么★处的数字为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了方程的解、解一元一次方程，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．代入到已知方程，得到关于★的方程，解该方程即可求出★处的数字． 【详解】解：代入到方程，得， 解得：， ★处的数字为13． 故答案为：13． 4．（2025七年级上·江苏·模拟预测）检验括号内的数是不是方程的解． (1)（，）； (2)（ ） 【答案】(1)不是方程的解；不是方程的解 (2)不是方程的解；不是方程的解 【分析】本题主要考查的是方程的解的定义，掌握方程的解的定义是解题的关键． （1）将x的值代入方程，看方程左右两边是否相等即可得到结论； （2）将y的值代入方程，看方程左右两边是否相等即可得到结论． 【详解】（1）解：把代入方程，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等， ∴不是原方程的解； 把代入方程，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等， ∴不是原方程的解； （2）解：把代入方程，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等， ∴不是原方程的解； 把代入方程，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等， ∴不是原方程的解． 【经典例题三 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项】 【例3】（24-25七年级上·江苏常州·课后作业）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键． 按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 【详解】解： ． 故选B． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的解，解答本题的关键要明确：把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．由表格可知，当时，，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，当时，， ， 当时，； 的解为； 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）设，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先根据新定义计算出，再根据可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期中）问题背景：“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格．它将整个区　域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更加斑斓绚丽．如图，当正五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当正五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．那么，当正五边形内有 个点时，可分得77个三角形． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据题意先确定正五边形内点的个数与被分割成的三角形的个数之间的关系，即可得出规律解答． 【详解】解：正五边形有1个点时，三角形个数为（个）； 正五边形内有2个点时，三角形个数为（个）； 如图， 正五边形内有3个点时，三角形个数为（个）； 以后每增加一个点，必然在某一个三角形内部，图形增加2个三角形， 以此类推有正五边形内有n个点时，可分成的三角形的个数为个， 令， 解得：， 故答案为：37． 4．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）（1）已知：与的差中不含二次项，求的值． （2）已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，解方程：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查了整式的加减和相反数，倒数的概念． （1）先求差化简，根据差的二次项系数为0，据此可得到a和3b的值，进一步可得解； （2）利用相反数，倒数，以及绝对值的定义求出，，代入方程可得，再解方程即可求出． 【详解】解：（1） ∵此差中不含二次项， ∴  解得： 当且时， ． （2）解：根据题意得：，， 代入方程得， ， ∴ 解得． 【经典例题四 解一元一次方程（二）——去括号】 【例4】（24-25七年级上·天津南开·阶段练习）设，，有，则y的值是（   ） A．－4 B．4 C．－1 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，把相应的式子代入，利用去括号的法则，及合并同类项的法则进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ， ， ， ， 故选：B． 1．（24-25七年级上·山东青岛·期中）按下面的程序计算：    若输入n=100，输出结果是501；若输入n=25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可能有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】分三种情况讨论，当输入n经过一次运算即可得到输出的结果为 当输入n经过两次运算即可得到输出的结果为 当输入n经过三次运算即可得到输出的结果为 再列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：当输入n经过一次运算即可得到输出的结果为 ， 当输入n经过两次运算即可得到输出的结果为 当输入n经过三次运算即可得到输出的结果为 ． 综上：开始输入的n值可能是5或26或131 ． 故选：C． 【点睛】本题考查的是程序框图的含义，一元一次方程的解法，分类思想的应用，掌握以上知识是解题的关键． 2．（24-25七年级上·江苏常州·期中）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则x= ． 【答案】2 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，先根据新定义得出关于x的方程，然后求解即可． 【详解】解：根据题意化简，得：， 整理得：，即， 解得：． 故答案为：2 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平安方程”．例如，方程的解是，而，则方程是“平安方程”．如果关于的一元一次方程是“平安方程”，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查对“平安方程”得理解和一元一次方程得运用，根据题干得出，再将代入中计算即可． 【详解】解：关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平安方程”． 又关于的一元一次方程是“平安方程”， ， 将代入中，有，解得． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏常州·课后作业）解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 【经典例题五 解一元一次方程（三）——去分母】 【例5】（2025七年级上·吉林·模拟预测）若方程的解与关于的方程的解互为相反数,则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解法，先解两个方程求出方程的解，然后根据题意得到，解题求出m的值即可． 【详解】解：解方程得， 解方程得， 因为两个方程的解互为相反数， 所以， 解得． 故选C． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图是方程的变形求解过程，最开始出现错误的步骤是（    ） 解：去分母．得     第一步 去括号，得            第二步 移项，合并同类项，得            第三步 系数化为1，得                   第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．根据去分母解一元一次方程的步骤即可得到答案． 【详解】解：去分母，等式两边同时乘以， 得， 故最开始出现错误的步骤是第一步． 故选：A． 2．（24-25七年级上·四川雅安·阶段练习）已知关于的方程与的解互为倒数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，倒数，先求出方程的解，根据两个方程的解互为倒数可得方程的解，进而把所得解代入方程即可求出的值，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：解方程，得， ∵关于的方程与的解互为倒数， ∴方程的解为， 把代入方程，得， 解得， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程： 解方程：． 解：原方程可化为：．    ……第①步 方程两边同时乘以，去分母，得： ．      ……第②步 去括号，得：    ．  ……第③步 移项，得： ．   ……第④步 合并同类项，得： ．           ……第⑤步 系数化，得：     ．          ……第⑥步 所以为原方程的解． 上述小亮的解题过程中 （1）第②步的依据是 ； （2）第 （填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子 ． 【答案】 等式的性质2 ③ 【分析】本题主要考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1： （1）根据第②步变形即可得到答案； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1看过程中变形是否计算错误即可得到答案； 【详解】解：（1）第②步，两边同时乘了， ∴理论依据是等式的性质2， 故答案为：等式的性质2； （2）由题意可得， 第③步开始错误， ∵， ∴正确式子是： 故答案为：③，． 4．（24-25七年级上·江苏南京·期中）小强解方程的过程如下： 解：去分母，得，第①步 去括号，得，第②步 移项，合并同类项，得，第③步 系数化为1，得．第④步 他把代入原方程后发现方程左、右两边的值不相等，小强因此意识到自己解错了． 他从第______步开始出错，请给出正确的解答过程． 【答案】①，见解析． 【分析】本题考查了解一元一次方程． 根据去分母时1没有乘以12可知第①步开始出错，根据解一元一次方程的步骤计算即可． 【详解】解：小强在去分母时1没有乘以12，则他从第①步开始出错， 解方程如下： 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 故答案为：① 【经典例题六 已知一元一次方程的解，求参数】 【例6】（24-25七年级上·四川绵阳·期中）已知关于x的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的和是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的求解以及整数解的讨论，解题的关键是先求出方程的解，再根据解是非正整数确定的取值． 先对原方程去分母，去括号，移项，合并同类项，将方程化为用表示的形式，再根据是非正整数求出的取值，最后计算这些值的和． 【详解】 去分母，方程两边同时乘以6得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 解得， 因为方程的解是非正整数，即且为整数，而，所以，且是5的负因数， 5的负因数为和， 当时，解得， 当时，解得， 则符合条件的所有整数的和为， 故选：C． 1．（2025·江苏镇江·模拟预测）若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的求解及新定义“ —方程”的应用，熟练求解一元一次方程、理解新定义并据此建立等式是解题的关键．先分别求解两个方程的解，再根据“ —方程”的定义得出关于、、的等式，最后代入代数式求值． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵方程是方程的“ —方程”，且解较大的为前者， ∴． 对化简： ，即，， ∴，也就是． 对变形可得． 把代入上式，得． 故选：C 2．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）已知为整数，关于的方程有正整数解，则的值为 ． 【答案】1或6 【分析】本题考查含参数的一元一次方程的求解以及正整数的性质，解题的关键是用含的式子表示出方程的解，再根据正整数解的条件确定的值． 先对给定方程进行求解，得到关于的表达式，再根据是正整数且是整数这两个条件，确定的取值． 【详解】根据题意，可得， ， 因为为正整数，为整数，所以必须是整数． 6的因数有， 当时，，符合正整数解的条件； 当时，，不符合正整数解的条件； 当时，，不符合正整数解的条件； 当时，，符合正整数解的条件； 当时，，不符合正整数解的条件； 当时，，不符合正整数解的条件； 当时，，不符合正整数解的条件； 当时，，不符合正整数解的条件． 综上，的值为1或6． 故答案为：1或6． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． 先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义将关于y的方程变形，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， 方程与是“美好方程”， ， ， 可化为：， ， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏常州·期中）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号______． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值； (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)② (2)95或97 (3)16 【分析】（1）先求出一元一次方程的解，再解方程和，根据“景元方程”的定义去判断； （2）解出方程的解，一元一次方程的解是，分类讨论，令，求出a的值； （3）解一元一次方程，得，由，得到，把它代入关于y的方程即可求出结果． 【详解】（1）解：一元一次方程的解是， 方程的解是， ， ①不是“景元方程”，不符合题意； 方程的解是或， 当时，， ②是“景元方程”，符合题意， 故答案为：②； （2）解：∵方程， 即或， 解得或， 方程的解为或， 一元一次方程的解为， 若，， 则， 解得， 若，， 则， 解得， 综上，a的值是95或97； （3）解：方程， 解得， ， ， ， ， ， ， 分母m不能为0， ， 即， ， ∴． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题目中定义的“景元方程”，通过解一元一次方程的方法求解． 【经典例题七 一元一次方程解的关系】 【例7】（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）关于的两个一元一次方程与的解互为相反数，则的值为（   ） A． B．26 C．15 D． 【答案】A 【分析】本题考查根据方程的解的关系求参数的值，熟练掌握方程的解得定义是解题关键．求出的解，进而得到的解，再代入到中，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程与的解互为相反数， ∴的解为， ∴， 解得：． 故选：A． 1．（24-25七年级上·浙江·假期作业）多项式和（，，为实数，）的值由的取值决定．下表是当取不同值时多项式对应的值，由此可知，关于的方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，弄清表格中的数据是解本题的关键； 观察表格看取何值时，多项式和对应的值相等即可． 【详解】解：由题意知，当时，和的值相等，都是， 关于的方程的解是； 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元一次方程的解，比较两个方程的特点即可得出解．把看作一个整体，结合已知方程即可得出，即可求出y的值． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程中的， ∴， 故答案为：2025． 3．（2025七年级上·浙江·模拟预测）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用整体思想，找出关于的一元一次方程的解为是解题的关键．由关于x的一元一次方程的解为，可得出关于的一元一次方程的解为，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·江苏常州·课后作业）我们把解相同的两个方程称为“同解方程”，例如：方程与方程的解都为，所以它们为“同解方程”． (1)若方程与关于的方程为“同解方程”，求的值． (2)若关于的方程与为“同解方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，本题是阅读型题目，理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）解方程，再将求出的解代入方程即可求出； （2）解关于的方程，再将求出的解代入方程即可求出． 【详解】（1）解：方程去分母，得， 去括号，得， 移项，得，   合并同类项，得， 两边都除以5，得． 把代入，得，所以． （2）由方程，得．把 代入，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边都除以11，得． 【经典例题八 含绝对值计算的一元一次方程】 【例8】（2025七年级上·河南·模拟预测）方程的解是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了解绝对值方程，由得，分两种情况分别解方程即可． 【详解】解：因为， 所以分以下两种情况讨论： ①当时，解得； ②当时，解得． 综上所述，方程的解是或． 故选：A． 1．（24-25七年级上·河南·期中）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距个单位长度时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据可得，，由已知条件可得表示的数是，表示的数是，而、两点相距个单位长度，故可列方程，解之即可得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， 表示的数是，表示的数是， 根据题意可得： ， 即：， 解得：或， 故选：． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值的非负性，解一元一次方程，列代数式，整式的加减运算，绝对值方程等知识点，用含的代数式表示、表示的数并列方程解决问题是解题的关键． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）用“★”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有，则： （1） ．（2）若，则n的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，解绝对值方程，正确理解题目所给的新定义是解题的关键． 根据题意可得，，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 3．（24-25七年级上·四川成都·期中）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”．若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次方程，新定义，绝对值方程，理解新定义，掌握解一元一次方程的方法，绝对值方程的方法是关键． 根据解一元一次方程的方法得到，，再根据“差解方程”的定义得，根据绝对值方程的计算方法即可求解． 【详解】解：关于的方程， 解得，， 关于的方程， 解得，， ∵是“差解方程”， ∴， 整理得，， ∵为正数， ∴等式两边同时除以得，， ∴， ∴或， 解得，或， ∴的值为或， 故答案为：或 ． 4．（24-25七年级上·江苏常州·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义： 例：已知，求的值． 解：在数轴上与原点距离为的点对应的数为， 即． 例：已知，求的值． 解：在数轴上与的距离为的点对应的数为，， 即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则的值为 ； (2)已知，则的值为 ； (3)已知是有理数，当取不同数时，式子的值也会发生变化 (填“是”或“否”)？若有，请直接写出最小值 ；若没有，请说出理由． 【答案】(1) (2)2或 (3)是，7 【分析】本题考查了非负数的性质及数轴上两点间距离、绝对值的意义，读懂并理解题目材料，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键． （1）根据表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，求解即可； （2）根据，表示在数轴上与的距离为4的点对应的数，求出答案； （3）表示在数轴上表示数x的点到表示数3与表示数的距离之和，因此当x在3与之间时，这个距离之和最小，最小值为3与之间的距离． 【详解】（1）解：，数轴上表示数x的点到原点的距离为3， 因此或， 故答案为：； （2）解：，在数轴上与的距离为4的点对应的数2或， 故答案为：2或； （3）解：表示在数轴上表示数x的点到表示数3与表示数的点的距离之和， 因此当时，这个距离之和最小，最小值就是3与之间的距离，为7， 故答案为∶是，7． 【拓展训练一 一元一次方程的解相同计算】 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 【答案】 【分析】先求出第一个方程的解，再把代入第二个方程得出，再求解即可得到答案． 【详解】解：解方程， 得：， 把代入方程， 得：， 解得：． 【点睛】本题考查了同解方程和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键． 2．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知关于的两个方程和． (1)若方程的解为，求方程的解； (2)若方程和的解相同，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程的解的定义，将方程的解代入方程，求得，再将的值代入方程，求解即可得到答案； （2）分别求解两个方程，得到和，再根据两个方程的解相同，得到，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入方程， 得：， 解得：， 把代入方程， 得：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：， 即方程的解是； （2）解：解方程，得：， 解方程，得：， 方程和的解相同， ， 解得：． 【点睛】本题考查了方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． (1)若方程与关于x的方程是同解方程，求m的值； (2)若关于x的两个方程与是同解方程，求a的值； (3)若关于x的两个方程与是同解方程，求此时符合要求的正整数m，n的值． 【答案】(1) (2)1 (3)，或 【分析】（1）先解方程得到，再根据同解方程的定义得到方程的解为，则，解方程即可； （2）分别求出方程与的解，再根据这两个方程是同解方程得到关于a的方程，解方程即可得到答案； （3）分别求出方程与的解，再根据这两个方程是同解方程得到，再根据m，n都是正整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵方程与关于x的方程是同解方程， ∴方程的解为， ∴， ∴； （2）解：解方程得：， 解方程得：； ∵关于x的两个方程与是同解方程， ∴， 解得； （3）解：解方程得：， 解方程得：； ∵关于x的两个方程与是同解方程， ∴， ∴， ∵m，n都是正整数， ∴是正整数， ∴当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查了同解方程问题，熟知解一元一次方程的方法和同解方程的定义是解题的关键． 【拓展训练二 一元一次方程的含参计算】 1．（24-25七年级上·湖南湘西·阶段练习）如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，牢记“使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解”是解题的关键． 将代入原方程，整理后可得出，结合原方程的解与值无关，可得到关于，的方程，解之得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：将代入方程， 得， ， ， ， 由题意可知：，， ，， ． 2．（25-26七年级上·河南·期中）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”如：有理数与，因为，所以与互为“友好数”． (1)判断与是否互为“友好数”，并说明理由． (2)若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数且，设的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；；依次按如上的操作，得到一组数，，，，，当时，求的值． 【答案】(1)与是互为“友好数”，见解析 (2) (3)的值为 【分析】本题考查了对新定义“友好数”的理解与应用、相反数的性质、代数式的化简求值以及数字循环规律的探究，解题的关键是紧扣“友好数”的定义（两数积等于两数和），结合相反数性质、代数式化简方法及循环规律求解各问． （1）根据“友好数”定义，分别计算与3的和、积，若两者相等则互为“友好数”； （2）由“友好数”定义得，由相反数性质得，将其代入代数式展开化简，消去未知量即可求值； （3）从开始，依次求出至，找出数字循环周期，用2025除以周期得余数，根据余数确定对应的值． 【详解】（1）解：与3互为“友好数”，理由如下： 根据“友好数”定义，需验证两数积是否等于两数和． 计算两数和：； 计算两数积：； ∵ 两数和等于两数积， ∴ 与3互为“友好数”． （2）解：∵ 与互为“友好数”， ∴ ； ∵ 与互为相反数， ∴ ． 将代入代数式： ． （3）解：当时， 由“友好数”定义：，解得； 是的倒数：； 由“友好数”定义：，解得； 是的倒数：； 由“友好数”定义：，解得； 是的倒数：． 观察得：数列以为周期循环，周期为6． ∵ 余3， ∴ ． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______； (3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值． 【答案】(1)1 (2)5 (3)， 【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键． （1）根据“立信方程”的定义解答即可； （2）根据，可得，再代入，即可求解； （3）先根据方程，得出的取值，再根据方程，得出的取值，最后根据相同的解，即可确定的值． 【详解】（1）解： ， 将，代入得， ， 故答案为：1； （2）解：∵ ∴ ∴，代入得， ， ， 故答案为：5； （3）解：由，得， ∵的值为整数， ∴为整数，且取正整数， ∴或或 当时，； 当时，； 当时，； ∵ ∴ ∴， ∵的值为整数， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； ∵方程的解也是关于的方程的解， ∴，． 【拓展训练三 一元一次方程的遮挡问题】 1．（24-25七年级上·甘肃张掖·期中）已知两个整式，，其中系数■被污染，当时，B的值为． (1)求■所表示的数字； (2)先化简，并求值，其中． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握整式加减的运算法则． （1）设■所表示的数字为a，根据当时，B值为，列出方程，解方程即可； （2）先根据整式加减运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】（1）解：设■所表示的数字为a，根据题意得： ， 解得：， 即■所表示的数字为； （2）解：∵■所表示的数字为， ∴， ∴ ， 当时，原式． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）嘉淇在解关于x的一元一次方程＝3时，发现正整数被污染了； (1)嘉淇猜是2，请解一元一次方程； (2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？ 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由题意得方程，按解一元一次方程的一般步骤求解即可； （2）设被污染的正整数为m，得方程，求解得，再根据解是正整数求解即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得； 移项，合并同类项，得； 系数化为1，得． （2）解：设被污染的正整数为m， 则有， 解之得，， ∵是正整数，且m为正整数， ∴． 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 3．（24-25七年级上·山东·期中）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，导致其看不清楚，被污染的方程是，怎么办呢？ (1)小明猜想“”部分是，请你算一算的值； (2)小明翻看了书后的答案，此方程的解是．请你算一算这个常数应是多少． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、未知数系数化为1． （1）代入，解方程即可； （2）设常数为y，把代入解关于y的方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：设常数为y，把代入得：， 解得：． 【拓展训练四 一元一次方程中的新定义问题】 1．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）对于有理数，定义一种新运算“*”，规定． (1)计算的值； (2)已知且，求的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程．掌握新运算的法则，是解题的关键． （1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可； （2）根据新运算的法则，列出方程进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）对于有理数定义一种新运算“※”，规定：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义运算，解题的关键是熟练掌握新定义． （1）根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （2）首先根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，根据题意列出方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意，得， 即， 解得． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）定义：关于的方程与（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”． 例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”． (1)若关于的方程与（为不等于0的常数）互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，求的值及它的“反对方程”的解； (3)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，请直接写出的解． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】此题考查的是新定义，解一元一次方程，能够正确理解新定义是解决此题的关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将代入求出，然后得到方程为，然后根据“反对方程”的概念求解即可； （3）首先得到互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数，然后判断出方程和方程互为“反对方程”，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，与、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， 与方程互为“反对方程”， ； （2）解：∵关于的方程（为不等于0的常数）的解为， ∴ ∴； ∴， ∴ ∴关于的方程的“反对方程”为 ∴； （3）解：∵关于的方程的解为，关于的方程的解为，且关于的方程与（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， ∴互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数， ∵方程 ∴ ∴ ∵方程 ∴ ∴方程和方程互为“反对方程” ∵关于的方程（为不等于0的常数）的解为， ∴的解为． 【拓展训练五 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解】 1．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）已知方程①的解与方程②的解互为相反数，求： (1)的值； (2)代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程、相反数、代数式求值、有理数乘方的逆运算，熟练掌握方程的解法和代数式求值是解题关键． （1）先分别求出两个方程的解，再根据这两个方程的解互为相反数可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）将的值代入，利用有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】（1）解：方程的解为， 方程的解为， ∵方程①的解与方程②的解互为相反数， ∴， 解得． （2）解：由（1）已得：， 则 ． 2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）历史上的数学巨人欧拉最先把关于的多项式用记号的形式来表示（f可用其他字母表示，但不同的字母表示不同的多项式）．例如：，把时的多项式的值用来表示．当时，多项式的值记为． 已知，． (1)直接写出的值_______； (2)当时，求的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代数式求值，解一元一次方程，有理数的混合运算和新定义，关键是培养学生的阅读能力和理解能力，也培养学生的计算能力，题目比较典型，是一道比较好的题目． （1）根据举例过程，把代入，进行计算即可； （2）把代入，，进行计算即可． （3）把代入得出一个关于a的方程，求出a的值，则，把代入即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时， ， ， ∴； （3）解：∵， ∴， 解得：， ∴． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知（，，…an是各项的系数，c是常数项）：我们规定的伴随多项式是，且，例：如果，则它的伴随多项式． (1)已知，则它的伴随多项式 ； (2)已知，它的伴随多项式，求x的值； (3)已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于x的方程有正整数解，求整数a的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】此题考查新定义，一元一次方程的解和解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据新定义，确定出伴随多项式即可； （2）根据新定义，确定出伴随多项式，进而列出关于x的方程，求解即可； （3）根据新定义，表示出的伴随多项式，根据有正整数解，确定出的整数值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴它的伴随多项式； 故答案为：； （2）解：， 它的伴随多项式， ∵ ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴它的伴随多项式， ∵， ∴， ∴， ∵方程有正整数解，且a为整数， ∴或， 解得： 或 ． 1．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握：含有一个未知数且未知数的次数为1的整式方程是一元一次方程，根据定义逐一判断各方程是否符合条件即可． 【详解】解：方程①：，右边为分式，不是整式方程，不符合一元一次方程的定义； 方程②：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义； 方程③：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义； 方程④：，含项，次数为2，不符合一元一次方程的定义； 方程⑤：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义； 方程⑥：，含两个未知数x和y，不符合一元一次方程的定义； 综上，符合条件的一元一次方程为②、③、⑤，共3个， 故选：B． 2．（24-25七年级上·辽宁丹东·阶段练习）下列各对不等式中，变形错误的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式同时乘以或除以负数不等号方向改变． 根据不等式性质，逐项判断即可． 【详解】对于A、不等式两边同时乘以14得：， 即，故A正确，不符合题意； 对于B、不等式两边同时乘以6得：， 再同时乘以得：，故B错误，符合题意； 对于C、不等式两边同时乘以6得：，故C正确，不符合题意； 对于D、不等式两边同时乘以4得：； 故选：B． 3．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是方程的解，熟练掌握解方程是解决此题的关键； 先计算方程的解，然后选取和题意符合的解，即可求解； 【详解】解： 关于的方程的解是整数； 则整数，，共个； 故选：C 4．（25-26七年级上·江苏常州·课后作业）某书中有一个方程，■处在印刷时被墨盖住了．若已知书后的答案为，则■处的数字应是（   ） A．7 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，把代入原方程，得到关于■的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ ∴ ∴， 解得： ， 故选B. 5．（25-26七年级上·江苏常州·课后作业）将正方形图1作如下操作．第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，……，以此类推，根据以上操作，若要得到2025个正方形，则需要操作的次数是（   ） A．504 B．505 C．506 D．507 【答案】C 【分析】此题主要考查了图形的变化类规律问题，根据正方形的个数变化的规律，以此类推，可得第次正方形个数，即可求解． 【详解】解：第次：分别连接各边中点如图，得到个正方形； 第次：将图左上角正方形按上述方法再分割如图，得到个正方形， 第次得到：个正方形； 第次得到：个正方形； 以此类推，根据以上操作，第次得到个正方形， 根据以上操作，若第次得到个正方形，则， 解得：． 故选：C． 6．（25-26七年级上·江苏常州·期中）定义一种新运算：，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，首先根据新运算的规则把新运算转化为一般形式的运算，得到一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：， ， 又， ， 解得：． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·甘肃定西·期中）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是，系数不为，则这个方程是一元一次方程．可根据未知数的系数及未知数的指数列出关于的方程，继而求出的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， 解得：． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·江苏南通·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义． 把关于的方程化成，然后根据关于的一元一次方程的解为，求出关于的一元一次方程的解即可． 【详解】解：， ， 观察知：关于y的方程，形式与变形后的关于x的方程相似， 令． 关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程的解为： ， 故答案为：． 9．（2025七年级上·江苏常州·模拟预测）学习情境·规律 探究一列方程如下排列： 的解是的解是的解是，…根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，观察方程可得：的解是，进而求出时的值，即可得出结果． 【详解】解：观察可知：方程的解为， ∴当， ∴， ∴方程为：； 故答案为：． 10．（24-25七年级上·江苏·期中）观察下列两个等式： ．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为，数对，和都是“共生有理数对”． （1）数对和中是“共生有理数对”的是 ． （2）若是“共生有理数对”，a＝ ． 【答案】 【分析】本题考查新定义的理解，有理数的运算及解方程的能力，解题的关键是对定义的理解，熟练掌握有理数的运算是解题关键． （1）根据“共生有理数对”的定义即可判断； （2）根据“共生有理数对”的定义，构建方程即可解决问题． 【详解】解：（1）， ∴ ∴不是“共生有理数对”， ∵， ， ∴是“共生有理数对”， 故答案为：； （2）由题意得：， 解得． 故答案为：． 11．（25-26七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解方程，解题的关键是掌握等式的性质：方程两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立；方程两边同时乘（或除以）相同的数（0除外），等式仍然成立． （1）先计算，根据等式的性质，方程的两边同时除以求解． （2）先计算，根据等式的性质，方程的两边同时除以2求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴． （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26七年级上·江苏常州·课后作业）根据如图所示“程序”计算代数式的值，若输出的值为32，求x． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 根据程序可得一元一次方程，再根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解即可. 【详解】解：根据题意，得 ， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得. 13．（24-25七年级上·江苏常州·课后作业）已知关于的方程． (1)当为何值时，该方程与的解相同？ (2)佳佳同学在解这个方程，去分母时忘记给右边的乘分母的最小公倍数，最终解得，求这个方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解答本题的关键． （1）首先求出方程的解，然后代入求解即可； （2）首先将代入，求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得． 将代入， 得， 解得； （2）解：由题意，将代入， 得， 解得． 将代入， 得， 解得， 所以这个方程正确的解为． 14．（25-26七年级上·江苏常州·课后作业）阅读下面的材料，回答问题． 化简，使结果不含绝对值． 解：当，即时，原式； 当，即时，原式． 综上所述，的化简结果为或． 这种解题的方法叫做“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 【答案】或 【分析】根据示例，分两种情况，当和时，先去掉绝对值符号，再解方程即可． 【详解】解：当，即时， 原方程为， 即， 解得； 当，即时， 原方程为， 即， 解得． 综上所述，方程的解为或． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，解题的关键是能正确去掉绝对值符号． 15．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）“分数均可化为有限小数或无限循环小数”反之“有限小数或无限循环小数怎样化为分数呢” 例如：或， 反之或． 那么怎么化为． 解：因为 所以不妨设，则上式变为 解得 即 根据以上材料，回答下列问题： (1)将分数化为小数：___________ (2)将小数化为分数．（写出推理过程） 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了分数小数互化，一元一次方程，能够正确转化是解题的关键． （1）将分数化为小数即可； （2）根据分析材料，将小数化为分数即可 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：因为， 所以不妨设，则上式变为， 解得， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $