22.2角平分线学案2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦角平分线，围绕尺规作图、性质定理及逆定理展开，通过课前预习的实际问题与动手操作导入，衔接全等三角形旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以探究活动为主线，通过画法证明培养推理意识，分层例题与实际问题设计发展几何直观与应用意识，助力学生用数学思维理解定理本质，提升解决综合问题的能力。

22.2角平分线 1、 学习目标 1.会用尺规作图画角的平分线； 2.理解角平分线性质定理及其逆定理； 3.能熟练地运用角平线性质定理及其逆定理解决问题。 2、 课前预习 预习课本P117-119完成下列任务： 1．如图∵OP平分∠AOB，点P在射线OP上，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D ∴ (角平分线的性质定理) 2． ∵PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，_________________ ∴ (角平分线的判定定理) 3．如图，有一学校在公路南侧铁路的东侧，到公路的距离与到铁路的距离相等，并且与两路交叉处O的距离为300m，你能在图上标出学校的位置吗？ 3、 新课学习 1.探究角平分线的画法 如图，已知∠AOB，求作∠AOB的平分线. 作法： (1)以点O为圆心、以任意长度a为半径作弧，分别交OA、OB于点D、E; (2)分别以点D、E为圆心，以DE的长为半径作弧，两弧相交于∠AOB内的一点C; (3)作射线OC. 射线OC就是∠AOB的平分线. 尝试证明你的画法 分析：画角平分线的本质是画了一组全等的三角形，所以证明的关键就证明两个三角形全等。 例1 四等分∠AOB； 挑战自己：已知△ABC （1） 分别画∠ABC、∠ACB的平分线BE 、BF； （2）若∠A=60o,BE,BF交于点P，求∠BPC的度数. 2.探究角平分线的性质定理 定理 角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等. 如图已知：OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点(点P不与点O重合),PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E. 求证：PD=PE. 例2 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cmAB=7cm，AD平分∠BAC，求 S△ABD：S△ADC的比值 分析：由角平线的性质可知两个三角形高相等，所以面积之比就等于AB与AC的 比. 3.探究角平分线的逆定理 定理 在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上 如图,已知：Q为∠AOB内部一点，QD⊥OA,QE⊥OB,垂足分别为D、E,QD=QE. 求证：点Q在∠AOB的平分线上. 例3 如图，已知△ABC中，∠B=∠C，D为BC的中点求证：AD平分∠BAC 尝试练习： 1.如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC 于E，CD，BE交于点O ，且∠1=∠2 ，求证：OB=OC 2.如图，已知：点P、D在∠AOB的平分线上，OA=OB,PM⊥BD,PN⊥AD,垂足分别是M、N.求证：PM=PN. 4、 课后练习 1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.下列推理中正确的结论有____________(填序号) ①AD上任意一点到点C，B的距离相等； ②AD上任意一点到AC，AB的距离相等； ③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF 2.已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E,且DE=3cm,则点D到AC的距离是( ) A.2cm; B.3cm; C.4cm; D.6cm 3.如图，已知CE、CF分别是△ABC的内角和外角平分线，�则图中与∠BCE互余的角是_________ 4.如图已知点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠BCE的平分线上；③点P在∠DBC的平分线上；其中正确的是（ ） A． ② B． ③ C． ②③ D．① ②③ 5．AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=�2cm，则AB与CD之间的距离是___________． 6.如图，四边形ABCD中AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是对角线AC上一点，�求证：PB=PD． 7.如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD交BE于点O． ①若OC=OB，求证：点O在∠BAC的平分线上． ②若点O在∠BAC的平分线上，求证：OC=OB． 8.如图，PB和PC是△ABC的两条外角平分线。 ①求证：∠BPC=90°-∠BAC. ②点P在不在∠BAC的平分线线上. 9.如图，∠A=∠B=90°，M是AB的中点，DM平分∠ADC，求证：CM平分∠BCD 学科网（北京）股份有限公司 $