22.2角平分线（2）学案2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“角平分线”主题，核心内容涵盖角平分线性质定理、逆定理及三角形内心概念。课前预习通过填空任务引导学生回顾三角形角平分线交点及内心定义，衔接上节课角平分线性质，新课学习以“精彩回放”剖析旧例为支架，结合例1证明内心存在等例题，构建从概念理解到综合应用的学习脉络。 资料特色在于融合数学核心素养培养，借助几何图形分析引导学生用数学眼光抽象内心本质，通过例1逻辑证明等环节发展数学思维中的推理能力，结合尺规作图（例2）和实际问题（课后练习购物中心位置）强化数学语言表达的模型意识。“精彩回放”衔接新旧知识，分层例题设计助力学生构建知识网络，提升问题解决与创新意识。

22.2角平分线 1、 学习目标 1. 理解三角形内心的概念； 2. 熟练地运用角平线性质定理、逆定理定理解决问题。 2、 课前预习 预习课本P120-123完成下列任务： 1、三角形的三条 的交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．这个点叫做三角形的________. 2、在证明三角形的三条角平分线交于一点时，我们应先假设三角形的 ______条角平分线交于一点，再证明 也经过这一点，这样就间接证明了三角形的三条角平分线交于一点． 3、 新课学习 1.三角形内心的概念 三角形的三个内角的平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的内心. 例1如图,已知：在△ABC中，AO、BO分别是∠BAC、∠ABC的平分线，OD⊥BC,OE⊥AB,垂足分别为D、E. 求证：点O在∠C的平分线上. 2.有关内心的倒角题型 已知△ABC中， ①PB和PC是△ABC的两条内角平分线，∠BPC=90°+∠BAC. ②PB和PC是△ABC的两条外角平分线，∠BPC=90°-∠BAC. ③PB是内角平分线和PC是外角平分线，∠BPC=∠A. 3.角平分线性质定理和逆定理 性质定理：角平分线到角两边的距离相等 逆定理：要证明某线是角平分线 先证到角两边距离相等 精彩回放（剖析上一节课的例题和练习的部分题型） 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cmAB=7cm，AD平分∠BAC，求 S△ABD：S△ADC的比值 剖析：由AD平分∠BAC联想到过点D向角两边作垂线 2.如图，已知△ABC中，∠B=∠C，D为BC的中点求证：AD平分∠BAC 剖析：要证AD平分∠BAC先证DE=DF证△BDE≌△CDE 3.如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC 于E，CD，BE交于点O ，且∠1=∠2 ，求证：OB=OC 剖析：由AD平分∠BAC联想到OD=OE证△BDO≌△CEO. 4．AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=�2cm，则AB与CD之间的距离是___________． 剖析：由PA，PC平分∠BAC，∠DAC联想到PM=OE=PN 5.如图，四边形ABCD中AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是对角线AC上一点，�求证：PB=PD． 剖析：由AB=AD,AB⊥BC，AD⊥CD联想到∠1=∠2∠3=∠4 △ABP≌△ADP（SAS） 6.如图，∠A=∠B=90°，M是AB的中点，DM平分∠ADC，求证：CM平分∠BCD. 剖析： 由 DM平分∠ADCMA=MH； 要证CM平分∠BCD MH=MBMA=MB（已知） 例题讲解： 例2如图已知∠AOB及其内部一点C. 求作∠AOB内部一点P,使PC=PO,且点P到直线OA、OB的距离相等. 例3 如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE则∠B与∠ADC互补，为什么？ 分析：AC平分∠BAD联想到CF=CH△ACF≌△ACE，△DCF≌△BCE 四、课后练习 1.用尺规作∠AOB=45°. 2.如图，在△ABC中，∠C=90°,AC=BC,点D在边BC上，DE⊥AB,E为垂足，且DE=DC,连接AD.求∠ADB的度数. 3. 如图，两条公路a、b相交于点O,要在M区(阴影部分)建一个购物中心G,使它到两条公路的距离相等，且与点O相距1000 m,这个购物中心应建于何处(在图上标出点G的位置，比例尺1:50000)? 4.如图，已知线段a及∠MON,点G在OM上，在∠MON的内部求作点P,使点P到直线OM、ON的距离相等，且PG=a. 5.如图，已知：在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°,BD平分∠ABC.点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，连接DE、DF,DE=DF.求证：∠BED+∠DFB=180°. 6.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=7，BC=24，AC=25，P为△ABC的内心，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为D，E，F，求四边形PDBF的面积。 7. 如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点O， （1）求∠EOF的度数； （2）求证：OE=OF．（提示：证明全等） 8.如图，已知：AB//CD,∠A=90°,G为线段AD的中点，BG平分∠ABC.求证：点G在∠BCD的平分线上. 学科网（北京）股份有限公司 $