22.2角平分线（2）学案2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

22.2角平分线

一、学习目标

1. 理解三角形内心的概念；
2. 熟练地运用角平线性质定理、逆定理定理解决问题。

二、课前预习

预习课本P120-123完成下列任务：

1、三角形的三条         的交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．这个点叫做三角形的________.

2、在证明三角形的三条角平分线交于一点时，我们应先假设三角形的           ______条角平分线交于一点，再证明         也经过这一点，这样就间接证明了三角形的三条角平分线交于一点．

三、新课学习

1.三角形内心的概念

三角形的三个内角的平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的内心.

例1如图,已知：在△ABC中，AO、BO分别是∠BAC、∠ABC的平分线，OD⊥BC,OE⊥AB,垂足分别为D、E.

求证：点O在∠C的平分线上.

2.有关内心的倒角题型

已知△ABC中，

①PB和PC是△ABC的两条内角平分线，∠BPC=90°+∠BAC.

②PB和PC是△ABC的两条外角平分线，∠BPC=90°-∠BAC.

③PB是内角平分线和PC是外角平分线，∠BPC=∠A.

3.角平分线性质定理和逆定理

性质定理：角平分线到角两边的距离相等

逆定理：要证明某线是角平分线           先证到角两边距离相等           

精彩回放（剖析上一节课的例题和练习的部分题型）

1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cmAB=7cm，AD平分∠BAC，求

S△ABD：S△ADC的比值

剖析：由AD平分∠BAC联想到过点D向角两边作垂线

2.如图，已知△ABC中，∠B=∠C，D为BC的中点求证：AD平分∠BAC

剖析：要证AD平分∠BAC先证DE=DF证△BDE≌△CDE

 

3.如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC 于E，CD，BE交于点O ，且∠1=∠2 ，求证：OB=OC

剖析：由AD平分∠BAC联想到OD=OE证△BDO≌△CEO.

4．AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=2cm，则AB与CD之间的距离是___________．

剖析：由PA，PC平分∠BAC，∠DAC联想到PM=OE=PN

5.如图，四边形ABCD中AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是对角线AC上一点，求证：PB=PD．

剖析：由AB=AD,AB⊥BC，AD⊥CD联想到∠1=∠2∠3=∠4

△ABP≌△ADP（SAS）

6.如图，∠A=∠B=90°，M是AB的中点，DM平分∠ADC，求证：CM平分∠BCD.

 

剖析：

由   DM平分∠ADCMA=MH；

要证CM平分∠BCD MH=MBMA=MB（已知）