精品解析：广东省深圳市宝安中学2025-2026学年高一上学期阶段考试数学试卷

宝安中学2025-2026学年第一学期高一阶段考试数学试卷 考试时间：120分钟 卷面总分：150分 命题人： 审题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 定义差集．现有三个集合，如图所示，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若命题“，不等式恒成立”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义：表示中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 集合 C. 集合 D. 若，则 10. 已知的解集是，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. 的最小值是 D. 当时，，的值域是，则的取值范围是 11. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小值为16 B. 的最小值为13 C. 的最小值为10 D. 的最小值为128 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为___________. 13. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______. 14. 已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 四、解答题：本题共5小题，13+15+15+17+17=77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若存在正实数，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数的取值范围. 16. 已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. （1）某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； （2）一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值. 17. 已知函数. （1）若是上的增函数，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集； （3）当时，用单调性的定义证明：函数在区间上单调递增. 18. 已知函数. （1）当时，解不等式； （2）求关于的不等式的解集； （3）若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 19. 已知正数满足. （1）求的取值范围. （2）求的最小值 （3）若正数满足，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝安中学2025-2026学年第一学期高一阶段考试数学试卷 考试时间：120分钟 卷面总分：150分 命题人： 审题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的概念进行运算. 【详解】因为，，所以. 故选：A 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，直接得出答案. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定是“，”. 故选：A 3. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意函数的定义域即可. 【详解】令， 由， 则，即. 故选：C. 4. 定义差集．现有三个集合，如图所示，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义作出，再作出，由此判断A，根据新定义作出，再作出，由此判断B，再进行集合的运算判断CD. 【详解】根据差集的定义可得图（1）中的阴影部分表示的集合是， 所以可用图（2）中的阴影部分表示， 所以， A错误， 根据差集的定义可得图（3）中的阴影部分表示的集合是， 所以可用图（4）中的阴影部分表示， 所以，B错误， 因为图（1）中的阴影部分表示的集合是，图（3）中的阴影部分表示的集合是， 所以，所以，C错误， 因为可用图（2）中的阴影部分表示，可用图（4）中的阴影部分表示， 所以原图中阴影部分表示的集合是， 又，所以D正确， 故选：D. 5. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质判断A；举例说明判断BD；作差比较大小判断C. 【详解】对于A，由，得，因此，A正确； 对于B，取，得，B错误； 对于C，，由，得， 则，，即，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：A 6. 已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要使得二次函数在上单调，则二次函数对称轴在3的左侧或4的右侧（包含端点），据此作答即可． 【详解】二次函数的对称轴为， 要使二次函数在上单调， 则或， 即或， 故选：B． 7. 若命题“，不等式恒成立”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，由参变量分离法可得，求出函数在区间上的最小值，由此可得出实数的取值范围. 【详解】命题“，不等式恒成立”是真命题，则， 令，则，则，可得， 因为函数、在区间上均为减函数， 所以，函数在区间上为减函数， 故当时，，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 8. 定义：表示中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先作出的图象，然后分析时的取值，根据值域结合图象确定出的最大值. 【详解】在平面直角坐标系中作出的图象如图所示， 令，解得或，所以， 令，解得，所以， 由题可知，当在区间上的取值范围为时， 当且仅当时取得最大值，且最大值为， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 集合 C. 集合 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系判断A，利用相等集合的概念判断BC；利用集合相等，结合集合元素的互异性求解即可判断D. 【详解】对于A，不是的元素，，故A错误； 对于B，集合表示所有2的整数倍的数组成的集合即偶数集， 集合表示为整数的数组成的集合，则， 即，也是偶数集，所以两个集合相等，故B正确； 对于C，集合，而集合，不是同一集合，故C错误． 对于D，由，由可知，所以， 则，所以，解得或， 由集合元素的互异性可知，所以.故D正确． 故选：BD 10. 已知的解集是，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. 的最小值是 D. 当时，，的值域是，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，B，利用一元二次不等式与相应函数和方程的关系求解判断；对C，利用基本不等式求最值，对D，利用二次函数图象与性质，进行分析可得结果. 【详解】对于A，由题意可知： 是关于x的方程 的两个根，且 ，故A错误； 对于B，由题意可知： ，可得 ，. 不等式 化为： ， 由 可得 ，解得 ， 所以不等式 的解集为 ，故B正确； 对于C，因为， ，  可得 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 的最小值是，故C正确； 对于D，当 时， ， 则 ， 当 时， 取到最大值 ， 由 得， 或 ，  的值域是 ， 因 在 上的最小值为 ，最大值为1， 从而得 或 ， 因此 ，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小值为16 B. 的最小值为13 C. 的最小值为10 D. 的最小值为128 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项由所给等式直接运用基本不等式再解不等式即可判断；B选项利用“1的妙用”求出最小值即可判断；C选项通过变形利用“1的妙用”求出最小值来判断；D选项利用及重要不等式求解最小值即可判断. 【详解】因为， 所以由（当且仅当时等号成立），可得. 所以，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为16，故A正确； 因为，即， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故B错误； ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故C错误； 因为由选项A可知，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式列出不等式组，求得答案. 【详解】由可知： ，故， 即函数的定义域为， 故答案为： 13. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】当，符合题意，当，列不等式组，解不等式即可得出答案. 【详解】当时，在区间上单调递减，故成立， 当时，要使函数在区间上单调递减， 所以，解得：. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式分类讨论分析可知，为方程的根，代入化简可得，进而代入消去，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以当时，；当时. 要使关于的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立. 则当时，；当时，； 所以当时，， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，13+15+15+17+17=77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若存在正实数，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由写出集合，根据补集的运算求出，求出集合，根据交集运算求出. （2）由“”是“”成立的必要不充分条件得到集合是集合的真子集，根据真子集的定义列出的不等式（组），计算求解. 【小问1详解】 当时，集合，则或， 又由不等式解得，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，集合，当时，， 因为“”是“”成立的必要不充分条件，即集合是集合的真子集， 则且等号不能同时成立，解得， 所以正实数m的取值范围是. 16. 已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. （1）某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； （2）一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形性质可计算各线段长度，再根据速度可得时间； （2）根据时间相等可列方程，再结合基本不等式可得最值. 【小问1详解】 如下图所示： 由题意可得，，，，， 由勾股定理可得， 因此，此人从海岛到达地的时间为； 【小问2详解】 如下图所示：，，，， 由勾股定理可得， 由题意可得，即， 可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，快递员的速度的最大值为. 17. 已知函数. （1）若是上的增函数，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集； （3）当时，用单调性的定义证明：函数在区间上单调递增. 【答案】（1）； （2）或； （3） 证明：当时，函数 设 ，，， 所以函数在区间上单调递增. 【解析】 【分析】（1）根据一次函数和二次函数的单调性以及临界值大小关系即可得到不等式组，解出即可； （2）代入，即可得到一元二次不等式，解出即可； （3）代入值得，再取值，作差，因式分解，最后判断符号即可. 【小问1详解】 因为， 又是上的增函数，所以，解得， 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 当时，不等式， 即，即， 解得或，则解集为或. 【小问3详解】 略 18. 已知函数. （1）当时，解不等式； （2）求关于的不等式的解集； （3）若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）代入，解一元二次不等式即可得结果； （2）整理可得，分类讨论最高项系数的符号以及两根大小解不等式即可； （3）整理可得，换元结合基本不等式可得，根据存在性问题即可得结果. 【小问1详解】 当时，， 即，解得， 所以的解集为. 【小问2详解】 由不等式， 若，不等式即为，解得； 若，不等式可化为，即， 此时方程的两根分别为， 当时，不等式即为，解得； 当时，不等式即为， 若，可得，解得或； 若，可得，不等式即为，此时不等式的解集为； 若，可得，解得或； 综上可得： 当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 因为，，即， 且，可得， 设，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最大值为， 若存在，使得不等式成立， 可得，所以的取值范围是. 19. 已知正数满足. （1）求的取值范围. （2）求的最小值 （3）若正数满足，证明：. 【答案】（1） （2）9 （3）证明：因为，即，则需证明， 因为，当且仅当时等号成立， 同理可得、， 当且仅当、时等号成立， 则， 可得， 即，当且仅当时等号成立， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，运算求解即可； （2）整理可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可； （3）利用基本不等式可得，、，结合题意分析证明，注意等号成立的条件. 【小问1详解】 因为，可得， 等价于，解得或， 且，可得，所以的取值范围为. 【小问2详解】 因为正数满足，可得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是9. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $