精品解析：江苏省常州市第一中学2025-2026学年高二上学期10月质量调研数学试卷

常州市第一中学2025一2026学年第一学期10月质量调研 高二数学试卷 一、选择题：本大题共8题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡的相应位置上． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线在轴上的截距是（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 3. 若点，关于直线l对称，则l的方程为（　　） A. B. C. D. 4. 已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. “点在圆外”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知圆，直线，M为直线l上一动点，N为圆C上一动点，定点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在正中，为中点，为平面内一动点，且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）下列说法正确的有（ ） A. 点斜式方程可表示过点的所有直线 B. 若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C. 过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D. 斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 10. 已知圆，圆，为坐标原点，动点在轴上，动点在圆上，线段的中点为.则下列选项正确的是（ ） A. 的轨迹方程为 B. 过点作圆的一条切线，则切线长最短为2 C. 圆和圆有两条公切线 D. 的最大值为 11. 已知圆的方程为，点，点是轴上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ） A. 存在切点使得为直角 B. 直线过定点 C. 的取值范围是 D. 面积的取值范围是 三、填空题；本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有_____________条． 13. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 14. 已知圆与y轴交于A，B两点，点C的坐标为.圆过A，B，C三点，当实数t变化时，存在一条定直线l被圆截得的弦长为定值，则此定直线l的方程是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与直线． （1）当时，求a的值； （2）当时，求与之间的距离． 16. 1.已知圆：，其中． （1）如果圆与圆外切，求的值； （2）如果直线与圆相交所得的弦长为，求的值． 17. 在平面直角坐标系中，已知圆经过点，且与圆相切于点． （1）求圆的方程： （2）过点作圆的切线，求切线方程； （3）圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由． 18. 如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点 且被x轴分成的两段圆弧长之比为 ，过点 的直线与圆C相交于M、N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O． （1）求圆C的方程； （2）当 时，求出直线 的方程； （3）求直线OM的斜率k的取值范围． 19. 如图，过点的直线与圆相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为. （1）当点坐标为时，求直线的方程； （2）求四边形面积S的取值范围； （3）记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市第一中学2025一2026学年第一学期10月质量调研 高二数学试卷 一、选择题：本大题共8题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡的相应位置上． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线一般式化为斜截式，由斜率与倾斜角的关系计算即可. 【详解】由化为，即该直线斜率为， 所以其倾斜角为. 故选：A 2. 直线在轴上的截距是（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用在轴上的截距定义可知，只需令即可求得结果. 【详解】令得，故直线在轴上的截距是-1 故选：A 3. 若点，关于直线l对称，则l的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据A，B关于直线l对称，直线l经过AB中点且直线l和AB垂直，可得l的方程. 【详解】由题意可知AB中点坐标是， ， 因为A，B关于直线l对称， 所以直线l经过AB中点且直线l和AB垂直， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为， 即， 故选：A. 【点睛】本题考查直线位置关系的应用，垂直关系利用斜率之积为求解，属于简单题. 4. 已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点在圆外及方程表示圆，列出不等式求解. 【详解】由点在圆外，则，得． 又表示圆，得，得． 综上：，即实数的取值范围为． 故选：D 5. “点在圆外”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出给定的两个命题的充要条件，再分析即可判断得解. 【详解】命题p：点在圆外等价于， 命题q：直线与圆相交等价于， 从而有，所以p是q的必要不充分条件. 故选：B 6. 已知圆，直线，M为直线l上一动点，N为圆C上一动点，定点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的性质可知，求点C关于l的对称点为，根据对称性转化，并结合几何性质运算求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径， 因为，当且仅当点在线段上时，等号成立， 设点C关于l的对称点为， 则，解得，即， 则， 所以的最小值为． 故选：C. 7. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与半圆的位置关系可求的取值范围. 【详解】曲线即为半圆：，其图象如图所示， 曲线与轴的交点为， 而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得， 当直线过时，有， 因为直线与半圆有两个不同的交点，故， 故选：D. 8. 在正中，为中点，为平面内一动点，且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】建立直角坐标系，由求得点轨迹，再将转化为关于的函数，利用直线斜率的几何意义求得的范围，进而求得的最大值，从而的最大值可求. 【详解】依题意，以为坐标原点，以为轴，以为轴建立直角坐标系如图1， 不妨设正三角形的边长为2，则， 设，则 ， ， 即，即， 点轨迹为：， 则， 所以 ， 当时，，即； 当时，令，则表示与连线的斜率，如图2，且， 设直线与圆相切，直线化为， 则圆心到直线距离， 解得或 ， 故， 则当时，取得最大值为 的最大值为； 综上：的最大值为． 故选：A 二、选择题：本题共3题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）下列说法正确的有（ ） A. 点斜式方程可表示过点的所有直线 B. 若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C. 过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D. 斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A、C、D: 由直线点斜式和斜截式方程定义可判断正误；对于选项B：由直线经过象限可确定，的正负，进而得到点所在象限. 【详解】对于选项A：点斜式方程的局限性是不含斜率不存在的直线,故选项A错误； 对于选项B：由直线经过第一、二、四象限可得：，，所以点在第二象限，故选项B正确； 对于选项C：直线倾斜角为，则斜率，由点斜式方程的定义易得；，故选项C正确； 对于选项D：因为直线在轴上的截距为3，斜率为，所以斜截式方程为，故选项D错误． 故选：BC. 10. 已知圆，圆，为坐标原点，动点在轴上，动点在圆上，线段的中点为.则下列选项正确的是（ ） A. 的轨迹方程为 B. 过点作圆的一条切线，则切线长最短为2 C. 圆和圆有两条公切线 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，设点，结合点为线段的中点，可得，求出的轨迹方程即可判断；对于B，根据切线长定理结合勾股定理转化为利用二次函数的性质求距离最小值即可；对于C，利用圆和圆的位置关系确定切线有几条；对于D，将的最大值问题转化为定点与圆上的任意一点的斜率的最大值即可求解. 【详解】对于A，设点，又点为线段的中点， 由，则， 又动点在圆上，则，即，即， 即的轨迹方程为，故A错误； 对于B，设点， 又圆，则圆心坐标为，半径， 则切线长为， 由函数的性质知，当时，切线长最短为，故B正确； 对于C，圆的圆心坐标为，半径， 圆，则圆心坐标为，半径， 又，， 则圆与圆相交，因此有两条公切线，故C正确； 对于D，由，则其几何意义可为定点与动点的构成的直线的斜率， 又动点在圆上，则也在圆上， 则问题转化为定点与圆上的任意一点的斜率的最大值， 由图知过点且与圆相切的直线的斜率存在， 设过点且与圆相切的直线为，即， 则到直线的距离，即，解得或， 结合图象知，斜率最大为，即的最大值为，故D正确； 故选：BCD. 11. 已知圆的方程为，点，点是轴上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ） A. 存在切点使得为直角 B. 直线过定点 C. 的取值范围是 D. 面积的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】通过分析知不可能为直角，可判断A、C错误；求出直线的方程，令，，即可得直线恒过的定点可判断B；求出面积的取值范围可判断D. 【详解】对于A，圆的上顶点为，即点，若为直角，则为直径， 显然同一直径不能同时垂直两条相交直线，所以不可能为直角，故A错误； 同理C选项的数量积也取不到，所以C错误； 对于B,设， 因为，，， 则的方程为：，因为 化简可得：， 同理的方程为：， 而在切线，上，所以 ，， 因为在直线 故直线的方程为，令，， 即过定点，故B正确； 对于D，圆心到直线的距离平方为， 线段一半的平方为：， 点到直线的距离的平方为：， 所以面积的平方为： ①，因为， 所以由对勾函数的性质可知当时，①的分母取得最小值， 所以面积平方的最大值， 故面积的最大值为，故面积的取值范围是，故D正确. 故选：BD. 三、填空题；本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有_____________条． 【答案】3 【解析】 【分析】先设直线为或或，计算得出满足截距绝对值相等直线方程即可判断. 【详解】因为在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线， 故设直线为或或， 若直线过点，则，得直线为； 若直线过点，则，得直线为； 若直线过点，则，得直线为； 所以满足条件的直线有3条； 故答案为：3. 13. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 14. 已知圆与y轴交于A，B两点，点C的坐标为.圆过A，B，C三点，当实数t变化时，存在一条定直线l被圆截得的弦长为定值，则此定直线l的方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法，结合圆的方程和题意进行求解即可, 【详解】在圆中，令，得， 设A，B，设圆的方程为： ，因为过A，B， 所以有，而，所以， 所以的方程为： ，而圆过C点， 所以， 所以的方程为： ， 因此该圆经过圆和直线的交点， 则圆被直线截得的弦长为定值，由， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与直线． （1）当时，求a的值； （2）当时，求与之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直的条件列方程求解； （2）由平行求得参数值，再由平行间距离公式计算． 【小问1详解】 由，则，解得． 【小问2详解】 由得，解得， 直线的方程为，即， 直线的方程为， 因此，与之间的距离为． 16. 1.已知圆：，其中． （1）如果圆与圆外切，求的值； （2）如果直线与圆相交所得的弦长为，求的值． 【答案】（1）20 （2）8 【解析】 【分析】（1）两圆外切，则两圆的圆心距等于两圆半径之和，列出方程，进行求解；（2）先用点到直线距离公式，求出圆的圆心到直线的距离，再用垂径定理列出方程，求出的值. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为，若圆与圆外切，故两圆的圆心距等于两圆半径之和，故，解得： 【小问2详解】 圆的圆心到直线的距离为，由垂径定理得：，解得： 17. 在平面直角坐标系中，已知圆经过点，且与圆相切于点． （1）求圆的方程： （2）过点作圆的切线，求切线方程； （3）圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在；2个点. 【解析】 【分析】（1）根据题意利用圆系方程运算求解； （2）分切线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线距离公式求解即可； （3）设，根据题意可知点轨迹是以为圆心，半径的圆，结合两圆的位置关系分析判断. 【小问1详解】 将点代入圆可得， 解得，即圆， 将点表示成“点圆”形式：， 可设圆的方程为， 代入点可得，解得， 所以圆的方程为， 即； 【小问2详解】 由（1）可知，圆的圆心为，半径， 若切线斜率不存在，则，不满足题意舍去； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，解得或， 所以切线方程为； 【小问3详解】 由（1）可知：，圆的圆心，半径， 设，因为， 即， 整理得， 可知点轨迹是以为圆心，半径的圆， 且， 可知圆与圆的位置关系为相交，两圆有2个公共点， 所以圆上存在2个点，使得． 18. 如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点 且被x轴分成的两段圆弧长之比为 ，过点 的直线与圆C相交于M、N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O． （1）求圆C的方程； （2）当 时，求出直线 的方程； （3）求直线OM的斜率k的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3）. 【解析】 【分析】（1）由题意，圆心在直线上，根据两段弧长的比有，进而得到圆心坐标和半径，即可得圆的方程． （2）根据t的值得H的坐标，由斜率一定存在，设直线方程，与圆的方程联立，求得两个交点M和N的坐标；由题意，利用向量数量积的坐标表示得到关于m的方程，求m值即可得直线方程． （3）设直线OM、的方程，根据圆心到直线距离小于等于半径，求得k的取值范围． 【详解】（1）位于轴左侧的圆与轴相切于点，则圆心在直线上， 设圆与轴的交点分别为、，且被轴分成的两段弧长之比为， 所以，则且圆心为， 所以圆的方程为：. （2）当时，由题意直线的斜率存在，设直线为， 由得： 或， 不妨设，又以为直径的圆恰好经过， 所以 ，解得， 所以直线为或. （3）设直线为，则，解得：， 直线为，则，整理得，解得：或， 由（2）知： 也满足题意． 综上，的取值范围是. 19. 如图，过点的直线与圆相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为. （1）当点坐标为时，求直线的方程； （2）求四边形面积S的取值范围； （3）记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线恒过定点. 【答案】（1）； （2） ； （3） 设，，则， 由对称性可知直线恒过的定点必在轴上，记为， 设由题意直线斜率存在且不为， 设方程为，代入圆可得：， ∴，，， ∵三点共线    ∴，解得， ∴， ∴直线恒过定点. 【解析】 【分析】（1）当时，直线的斜率为2，由与垂直，直线的斜率为，由此能求出直线的方程； （2）当直线与轴垂直时，求出四边形的面积，当直线与轴不垂直时，设直线方程为，则直线方程为，求出点到直线的距离，从而得到弦长和，然后表示出面积，然后用换元法能求出四边形面积的范围． （3）由对称性可知直线恒过的定点必在轴上，记为，设方程为，，，然后联立直线的方程与圆的方程消元，求出，，然后利用算出答案即可； 【小问1详解】 当点坐标为时，直线的斜率为， 因为与垂直，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 【小问2详解】 当直线与轴垂直时，， 所以四边形面积． 当直线与轴不垂直时，设直线方程为， 即， 则直线方程为，即 点到直线的距离为，所以， 点到直线的距离为，所以， 则四边形面积 ， 令（当时四边形不存在）， 所以 ， 综上：四边形面积S的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $