4.4探索三角形相似的条件随堂练习2025-2026学年北师大版数学九年级上册

4.4探索三角形相似的条件 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，则添加下面的条件后，不能判断△AED∽△ABC的是（　　） A．＝ B．＝ C．∠AED＝∠B D．∠ADE＝∠C 2．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形（ ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断 3．如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（　　） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 4．下列说法不正确的是（ ） A．有一个角等于60°的两个等腰三角形相似 B．有一个底角等于30°的两个等腰三角形相似 C．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似 D．有一个锐角相等的两个直角三角形相似 5．如图，为的边上的一点，连接，要使，应具备下列条件中的（　　） A． B． C． D． 6．如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 7．如图，在中，F为延长线上一点，则图中相似三角形有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 8．△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（　　） A．27 B．12 C．18 D．20 9．如图，根据图中给出的数据，一定能得到（   ） A． B． C． D． 10．如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（ ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 11．如图，在中，于点，于点，与交于点，则图中与相似（不含）的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．定义：我们知道，凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这个凸四边形叫做“自相似四边形”． 如图，点A、B、C是正方网格中的格点，在网格中确定格点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是“自相似四边形”，符合条件的格点D的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 13．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件 ，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可） 14．如图，，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形共有 组． 15．如图，点是等腰梯形的底上的一点，若，则和相似的三角形有 个． 16．在中，点、分别在、边上，连结，要使与相似，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可） 17．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有 个． 三、解答题 18．如图，在△ABC中，AB=AC,AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.求证：∽. 19．如图，点P在平行四边形的边上，连接并延长与的延长线交于点Q． (1)求证：； (2)当，且时，求的长． 20．如图，D、E、F分别是的、、边上的点，且，，求证：． 21．已知：如图，在△中，∥，点在边上，与相交于点，且∠． 求证：（1）△∽△；（2） 22．如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 23．如图、已知，，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 24．如图，． （1）求，，的值； （2）证明与相似． 《4.4探索三角形相似的条件》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A C B C D C C D 题号 11 12 答案 C D 1．A 【分析】根据相似三角形的判定方法，一一判断即可． 【详解】解：A、不能判断，△AED∽△ABC． B、由＝，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，故能判断相似． C、∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，故能判断相似． D、∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，故能判断相似． 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解此题的关键，相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，在应用时要善于从复杂的图形中抽象出基本图形． 2．A 【详解】解：∵， ∴这两个三角形一定相似． 故选A． 3．A 【分析】分别算出四个三角形的边长，然后根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：①三角形的三边的长度为：2，2，2； ②三角形的三边的长度为：，2，； ③三角形的三边的长度为：，3，； ④三角形的三边的长度为：，，3； ∵， ∴相似三角形的是①和②， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 4．C 【详解】试题分析：由相似三角形的判定方法得出A、B、D正确，C不正确，即可得出结果． 解：∵有一个角等于60°的两个等腰三角形相似， ∴A正确； ∵有一个底角等于30°的两个等腰三角形相似， ∴B正确； ∵有一个锐角相等的两个等腰三角形不一定相似， ∴C不正确； ∵有一个锐角相等的两个直角三角形相似， ∴D正确． 故选C． 考点：相似三角形的判定． 5．B 【详解】试题分析：由图可得已具备公共角∠B，再有，即，即得结论. ∵∠B=∠B，，即 ∴ 故选B. 考点：相似三角形的判定 点评：本题是相似三角形的判定的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般. 6．C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据根据题意当时，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，当时，， 由图可知，，，，，，， ∴， ∴， 故选：C． 7．D 【分析】根据平行四边形的性质，得到平行线，再利用平行线去判定三角形的相似． 本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 8．C 【详解】解：设另一个三角形最短的一边是x，∵△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，∴，解得x=18．故选C． 9．C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据题意，推得，再利用相似三角形的判定即可求解． 【详解】解：，，，， ，， ，， ， ， ． 故选：C． 10．D 【详解】试题分析：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠ACD=∠ABC，∴△EDC∽△DCB，同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，∴△ADE∽△ACD，∴共4对，故选D． 考点：1．相似三角形的判定；2．平行线的判定． 11．C 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 根据“同角（等角）的余角相等”，结合“两角分别相等的两个三角形相似”，可得图中与相似的三角形的个数． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴图中与相似（不含）的三角形有个， 故选：C． 12．D 【分析】根据题目中“自相似四边形”的定义，在网格中找到符合条件的点即可． 【详解】解：如图1，由，得，故为所求点； 如图2，由，得，故为所求点； 如图3，由，得，故为所求点； 如图4，由，得，故为所求点； 如图5，由，得，故为所求点； 符合条件的格点D的个数有5个． 故选：D． 【点睛】此题是新定义题，主要考查了网格中的勾股定理、判定两个格点三角形相似，熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答此题的关键． 13．∠ABC =∠ACD（答案不唯一） 【分析】根据相似三角形的判定定理，即可求解． 【详解】解：由题意得，∠A＝∠A（公共角）， 所以可添加∠ACD＝∠ABC，使△ABC∽△ACD． 故答案为：∠ABC =∠ACD（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 14．3 【分析】根据，即可得到△DEA∽△FGA∽△BCA，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴△DEA∽△FGA∽△BCA， ∴一共有3组相似三角形， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定方法． 15．2 【分析】根据等腰梯形的性质可得∠APB＝∠CBP，∠DPC＝∠BCP，∠A＝∠D＝∠BPC，然后根据两个角对应相等的两个三角形互为相似三角形，从而找出图中的相似三角形． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠APB＝∠CBP，∠DPC＝∠BCP， ∵∠A＝∠BPC， ∴△APB∽△PBC， ∵等腰梯形ABCD， ∴∠A＝∠D＝∠BPC， ∴△DPC∽△PCB， ∴△ABP∽△PCB∽△DPC， 故答案为：2. 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 16．（答案不唯一） 【分析】由∠A是公共角，根据相似三角形的判定定理求解即可求得答案． 【详解】∵∠A是公共角， ∴当∠ADE=∠B或∠AED=∠B或DE∥BC或AD:AC=AE:AB等时，△ADE与△ABC相似. 故答案为∠ADE=∠B(答案不唯一). 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定. 17．6 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理与网格．欲求有几个符合条件的三角形与相似，先利用勾股定理求出的三边的长度，然后再去求以，，为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边时否成比例，便可判定是不符合．按这种方法一一计算判定可得结论． 【详解】解：则，，． 连接， ，，． ， ． 同理可找到，，，，和相似，共6个． 故答案为：6． 18．见解析 【分析】由已知条件可得，，，即可证明结论． 【详解】证明：在中，，， ∴，，      ∵， ∴，     ∴∽． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，根据已知条件得出是解此题的关键． 19．(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）根据平行四边形的性质推出，即可证明； （2）根据平行四边形的性质得到，再由全等三角形的性质即可得到． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定，熟知平行四边形对边相等且平行是解题的关键． 20．证明见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定以及平行线的性质，根据平行线的性质可得，，再根据相似三角形的判定即可求证结论，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ，． ． 21．见解析 【详解】证明：（1）∵，∴ ∠． ∵∥，∴ ，． ∴． ∵，∴△∽△． （2）由△∽△，得，∴ ． 由△∽△，得． ∵∠∠，∴△∽△．∴． ∴． ∴ ． 22．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 23．(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定． （1）在中，根据勾股定理求出，再用即可求出的长； （2）先求出的长，得到，再根据，即可证明． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 24．（1）；（2）见解析 【分析】（1）由图可知、的长度，分别代入，，计算即可得本题答案； （2）由（1）知和对应边成比例，由可知，，；再根据相似三角形的判定定理，对应边成比例，对应角分别相等的两个三角形相似，即可判定与相似． 【详解】（1）∵， ∴，，， 即． （2）由（1）知，， 又∵ ∴，，， ∴∽（对应边成比例，对应角分别相等的两个三角形相似）． 【点睛】本题主要考查了比例线段及相似三角形的判定定理的知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $