4.4 探索三角形相似的条件 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2025-2026学年北师大版数学九年级上册 第四章 图形的相似 4.4 探索三角形相似的条件（同步练习） 姓名： 班级： 一、选择题 1．如图，D是边延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 3．下列条件中，一定能判定两个等腰三角形相似的是(　　) A．都含有一个50°的内角 B．都含有一个70°的内角 C．都含有一个80°的内角 D．都含有一个100°的内角 4．已知是的边上一点，连接，则下列不能判定的是（　　） A． B． C． D． 5．设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.若按此比例设计一座高度为2m 的雷锋雕像，则该雕像的下部设计高度约为(参考数据：(　　) A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m 6． 如图，D，E 分别是△ABC 的边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB.若 AD =2，AB=6，AC=4，则AE 的长是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知与相似，，，，，则的长可能是（　　） A． B． C． D． 8．已知，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 9．如图， 在 中， 点 分别在边 上， 下列条件中不能判断 的是（ ） A． B． C． D． 10．已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（　　） A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC•BA C． D． 二、填空题 11．点P为线段AB的黄金分割点（AP>BP），若AB=2，则AP=　 　. 12．如图，当圆中扇子对应的圆心角α(α<180°)与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观.若黄金比取0.6，则β-α的度数是　 　. 13．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值　 　 14．如图，在矩形的边上取一点，使得，点是上一点，以为直角边作等腰，．连接并延长交于点． （1）若，则的度数为　 　°； （2）连接，若，，则的最小值为　 　． 15． 如图， 点 是 ABC边 B C 上一点， 若 ，则 　 　 16． 如图，点 B，D，E 在一条直线上，BE 与AC相交于点F， 若∠BAD=21°，则∠EBC 的度数为　 　. 17．如图，在四边形中，，，，点P是边上一点，，将线段绕点A旋转，点C的对应点是E，连接，，则的最小值为　 　． 18．如图，在平面直角坐标系中，已如，，，在坐标轴上有一点，它与，两点形成的三角形与相似，则点的坐标是　 　． 三、解答题 19．数学实践课上，老师带领同学们探究与折叠相关的计算，如图①，四边形ABCD是矩形，是的中点，将沿折叠，得到，点的对应点为，延长交边于点，若，求线段的长．经过小组讨论，有以下两种作辅助线的方案： 方案一：如图②，连接； 方案二：如图③，将绕点旋转至． （1）请你按照方案一计算线段的长； （2）请你按照方案二计算线段的长； （3）在方案二的条件下，连接并延长，交于点，求的长． 20．综合与实践． （1）提出问题．如图1，在和中，，且，，连接，连接交的延长线于点O． ①的度数是___________． ②__________． （2）类比探究．如图2，在和中，，且，连接并延长交于点O． ①的度数是___________． ②___________． （3）问题解决．如图3，在等边中，于点D，点E在线段上（不与A重合），以为边在的左侧构造等边，将绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为的中点，N为的中点． ①试说明为等腰三角形． ②求的度数． 21． （1）如图①，正方形AEGH 的顶点E，H 在正方形AB-CD 的边上，直接写出 HD：GC：EB 的结果(不必写计算过程). （2）将图①中的正方形 AEGH 绕点A 旋转一定角度，如图②，求HD：GC：EB 的值. （3）把图②中的正方形都换成矩形，如图③，且已知 DA ：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB 的值与第(2)小题的结果相比有变化吗?如果有变化，直接写出变化后的结果(不必写计算过程). 22．综合应用 【问题情境】 在正方形纸片ABCD中 ，AB=6，点P是边AD 上的一个动点，过点P作PQ∥AB 交 BC于点Q，将正方形纸片ABCD折叠，使点C的对应点C落在线段PQ上，点B的对应点为B'，折痕所在的直线交边AB于点E、交边 CD于点F，EF与PQ交于点N. 【猜想证明】 （1）如图，连接CN，则四边形CNC'F 是_▲_形，请说明理由. （2）如图，当E与B重合时， ①若AP=3，求 CF的长. ② 记AP 的长度为y，线段CF长度为x，求y与x之间的关系式，并直接写出当F是CD的三等分点时， AP 的长度. 23．巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． （1）黄金矩形的长　 　； （2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论； （3）在图②中，连接，求点到线段的距离． 参考答案 1．C 2．C 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．C 11．​​​​​​​ 12．90° 13． 14．55； 15．20° 16．21° 17． 18．或或 19．（1）解：四边形是矩形， ． 是的中点， ． 由折叠的性质，得， ， 在和中， ， ， ． 在中， 由勾股定理，得， ， 解得； （2）解：由旋转的性质，得A，E，H三点共线，． 由折叠的性质，得， ， ． ， ， ． 在中，由勾股定理，得， ， 解得； （3）解：如图． 由（2）可知，， ， 又， ， ， ． 又， 四边形是平行四边形， ， 在中，由勾股定理，得， ． ， ， ， ， ． 20．（1）①．② （2）①．② （3）解：①连接，延长交于点P，交于点O在等边中，于点D， 为的中点 又为的中点，N为的中点， 分别是、的中位线 ∵都是等边三角形， ∴ ， 在和中 ， 为等腰三角形． ② ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 又，即 ． 21．（1）HD：GC：EB=1： ： 1 （2）解：连接AC，AG， ∵正方形AEGH，正方形ABCD， ∴∠DAC=∠HAG=45°，DA=AB，AH=AE，∠DAB=∠HAE=90°， ∴∠DAH=∠BAE=∠CAG 在△DAH和△BAE中 ∴△DAH≌△BAE（SAS） ∴HD=BE； ∵正方形AEGH，正方形ABCD， ∴ ∴△DAH∽△CAG， ∴， ∴ ∴HD：GC：EB=1： ：1 （3）有变化， 22．（1）解：四边形CNC'F 是菱形，理由如下. 连接CC' 由折叠性质可知，CO=C'O，C'F=CF 又∵PQ∥AB ∴C'N∥CF ∴∠NC'O=∠FCO ∵∠C'ON=∠COF ∴△C'ON≌△COF ∴C'N=CF ∴四边形CNC'F是平行四边形 又∵C'F=CF ∴四边形CNC'F 是菱形 （2）解：①过点C'作MN∥AD 由题意可知MC'=C'N=3，BC'=6 ∴BM=3 易证△BC'M∽△C'FN 则，即 ∴C'F= ∴CF= ②由①可知=，即 = ， ∴BM= ，FN= ∵BM=CF+FN ∴ =x+ ∴y= 当F是CD的三等分点且靠近C点时，CF=x=2，y= 当F是CD的三等分点且靠近D点时，CF=x=4，y= 23．（1） （2）解：矩形为黄金矩形，理由是： 由（1）知， ∴， ∴， 故矩形为黄金矩形； （3）解：连接，，过D作于点G ∵，， ∴， 在中， ， 即， 则， 解得， ∴点D到线段的距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $