专题突破练四 数列与新定义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题突破练四　数列与新定义 1.B　[解析] [1;1,1,1,1]=1+=1+=1+=1+=.故选B. 2.C　[解析] 由题意可知,数列{Fn}满足F1=F2=1,Fn+2=Fn+1+Fn,所以该数列的前12项分别为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,其中是偶数的有2,8,34,144,故从该数列的前12项中随机抽取1项,抽到偶数的概率为=.故选C. 3.C　[解析] 因为x1=1,x2=a(a∈R,a≠0),xn+2=|xn+1-xn|,所以x3=|a-1|.因为数列{xn}是周期数列,且周期T∈N*,所以当T=1时,可得x2=x1=1,则x3=|x2-x1|=0,即x3≠x2,不满足题意,当T=2时,可得x3=x1,即|a-1|=1,解得a=2或a=0(舍去),则x2=a=2,x4=|x3-x2|=|1-2|=1≠x2,不满足题意,当T=3时,可得x4=x1,即|x3-x2|=||a-1|-a|=1,则|a-1|-a=1或|a-1|-a=-1,当|a-1|-a=1时,|a-1|=a+1,即(a-1)2=(a+1)2,解得a=0(舍去),当|a-1|-a=-1时,|a-1|=a-1,此时a-1≥0,即a≥1,又x5=x2,即|x4-x3|=|1-|a-1||=|2-a|=a(a≥1),故a=1,此时,x1=1,x2=1,x3=|x2-x1|=0,x4=|x3-x2|=1,x5=|x4-x3|=1,x6=|x5-x4|=0,…,满足题意,所以数列{xn}的周期的最小值为3,此时x1+x2+x3=1+1+0=2,x4+x5+x6=1+1+0=2,…,故该数列前2025项的和是675×2=1350.故选C. 4.ACD　[解析] 由题知,an+1=对于A,当a1=10时,an的值依次为10→5→6→3→4→2→1,故A正确;对于B,当a1=13时,a2=14,a3=7,a4=8,a5=4,a6=2,a7=1,所以该运算为6步运算,故B错误;对于C,当运算为7步运算时,a8=1,逆推可得如下结果, a8=1→a7=2→a6=4→ 据此可得a1的值可能有13个,故C正确;对于D,当运算为7步运算时,由选项C知,a1的最大值为128,最小值为9,所以a1的最大值与最小值之和为137,故D正确.故选ACD. 5.①10　②　[解析] 对于有序数组{2,4,1,3,5},2的“顺序数”为3,“逆序数”为1,4的“顺序数”为1,“逆序数”为2,1的“顺序数”为2,“逆序数”为0,3的“顺序数”为1,“逆序数”为0,故T5=10.对于有序数组{a1,a2,a3,…,ai,…,an}(n≥2),易知ai后有n-i个数,所以ai的“顺序数”+“逆序数”=n-i,所以Tn=n-1+n-2+…+1=(n≥2),所以==2(n≥2),所以+++…+=2=. 6.①②④　[解析] 对于①,设数列{an}为等差数列,且其公差为d,则an+1-an=d,即an+1=an+d,满足“线性数列”的定义,①正确;对于②,设数列{an}为等比数列,且其公比为q,则=q,即an+1=qan,满足“线性数列”的定义,②正确;对于③,若{bn}是等差数列,不妨设b1=1,b2=2,b3=3,b4=4,则c1=1,c2=2,c3=4,c4=7,若{cn}是“线性数列”,则存在实数p,q,使得cn+1=pcn+q对任意n∈N*都成立,则即解得则应有c4=2c3=8≠7,故{cn}不是“线性数列”,③错误;对于④,若{bn}是等比数列,设公比为t,当t=1时,bn=b1,则c1=1,cn+1=cn+b1(n∈N*),满足“线性数列”的定义,当t≠1时,由c1=1,cn+1=cn+bn(n∈N*),得cn+1-cn=bn,则c2-c1=b1,c3-c2=b2,…,cn-cn-1=bn-1(n≥2),累加得cn-c1=b1+b2+…+bn-1=(n≥2),则cn=1+=(n≥2),经验证当n=1时,c1=1+=1满足上式,所以cn=,若{cn}是“线性数列”,则存在实数p,q,使得cn+1=pcn+q对任意n∈N*都成立,则=p+q,即b1-b1tn+1-t=p(b1-b1tn-1+1-t)+q(1-t),即b1-b1tn+1-t=pb1-pb1tn-1+p-pt+q-qt,所以解得所以{cn}是“线性数列”,④正确.故填①②④. 7.解:(1)由题意可得2=1+1,3=1×2+1,7=1×2×3+1,43=1×2×3×7+1, 所以1,2,3,7,43是“H(1)数列”. (2)数列{cn}不是“H(t)数列”,理由如下: 由cn=1+=,得cn+1=, 又c1c2c3…cn=×××…×=n+1, 所以cn+1-c1c2c3…cn=-(n+1)=-n, 因为-n不是常数,所以数列{cn}不是“H(t)数列”. (3)因为数列{an}为“H(t)数列”, 所以由 两式作差得=(an+1-1)a1a2a3…an+log2, 设数列{bn}的公比为q, 则=(an+1-1)(an+1-t)+log2q, 即(t+1)an+1-(t+log2q)=0对任意n∈N*恒成立, 则解得 又a1=2,=a1+log2b1,可得b1=4, 所以bn=4×2n-1=2n+1,t=-1. 8.解:(1)依题意,△Q0P1Q1为正三角形,且|Q0Q1|=a1>0,所以P1, 又点P1在曲线y2=x上, 所以=a1,可得a1=. 因为△Q1P2Q2为正三角形,且|Q1Q2|=a2>0, 所以P2, 又点P2在曲线y2=x上, 所以=a1+a2,整理得3-2a2-=0,可得a2=. 所以a1=,a2=. (2)因为△QnPn+1Qn+1是正三角形,所以点Qn(Sn,0),|QnQn+1|=an+1>0, 于是得点Pn+1, 又点Pn+1在曲线y2=x上, 所以=Sn+an+1,即Sn=-an+1, 当n≥2时,Sn-1=-an, 两式相减得an=-an+1-(n≥2), 整理得(an+1+an)(an+1-an)=(an+1+an)(n≥2), 所以an+1-an=(n≥2), 又a2-a1=满足上式,所以an+1-an=(n∈N*), 则数列{an}是首项a1=,公差d=的等差数列, 所以an=a1+(n-1)d=n,所以Sn=-an+1,数列{an}的通项公式是an=n. (3)证明:由(1)知bn==2n, 则cn==, 因为Tn+1-Tn=cn+1=>0,所以{Tn}是递增数列. cn==<==-, 所以Tn=c1+c2+…+cn<++…+=1-, 因为>0,所以Tn=1-<1, 则任取M≥1,均有|Tn|≤M,故数列{Tn}收敛. 9.解:(1)若数列{an}为“紧密数列”, 则x≠0,且解得≤x≤, 即x的取值范围为. (2)数列{an}为“紧密数列”.理由如下: 数列{an}的前n项和Sn=(n2+3n)(n∈N*). 当n=1时,a1=S1=×(1+3)=1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+3n)-[(n-1)2+3(n-1)]=n+. 又+=1=a1,即a1=1满足an=n+, 所以an=n+(n∈N*), 所以对任意n∈N*,===1+,所以<=1+<2, 因此数列{an}为“紧密数列”. (3)当q=1时,an=a1,Sn=na1, 所以<=1<2,<==1+≤2,满足{an}与{Sn}都是“紧密数列”. 当q≠1时,an=a1qn-1,Sn=, 因为{an}为“紧密数列”,所以≤=q≤2, 即≤q<1或1<q≤2. 当≤q<1时,=>=1, =<==1+qn<2, 所以<=<2,满足{Sn}为“紧密数列”; 当1<q≤2时,==1+q>2,不满足{Sn}为“紧密数列”. 综上,q的取值范围是. 10.解:(1)由题意得A4={3,4,5,6,7},所以|A4|=5. 一方面,由0<a1<a2<…<an可得a1+a2≤ai+aj≤an-1+an, 即3=1+2≤i+j≤n-1+n=2n-1,i+j∈N*,所以|An|≤2n-3; 另一方面,由0<a1<a2<…<an可得a1+a2<a1+a3<…<a1+an<a2+an<…<an-1+an, 所以|An|≥2n-3. 综上,|An|=2n-3. (2)先证明:若从数列中取出的两项不同,则得到的两项之和不同. 若存在i,j,i',j'满足i<j,i'<j', 使得2i+2j=2i'+2j',即2i(1+2j-i)=2i'(1+2j'-i'), 不妨设i≤i',则1+2j-i=2i'-i(1+2j'-i')(*), 若i<i',则(*)式左边是奇数,右边是偶数,不可能成立, 若i=i',则j=j',此时取出的两项为相同的两项, 所以若从数列中取出的两项不同,则得到的两项之和不同. 不论i为何值,ai均与其他n-1项各相加一次, 所以An中所有元素之和为(n-1)(21+22+…+2n), 又(n-1)(21+22+…+2n)=(n-1)(2n+1-2), 所以An中所有元素之和为(n-1)(2n+1-2). (3){an}是等差数列.证明如下: 由0<a1<a2<…<an可得a1+a2<a1+a3<…<a1+an-1<a1+an<a2+an<…<an-1+an, 所以|An|≥2n-3, 又因为|An|=2n-3,所以ai+aj的值已经确定,就不能再取其他的值. 一方面,a1+a3<a2+a3<a2+a4<…<a2+an-1<a2+an①,另一方面,a1+a3<a1+a4<a1+a5<…<a1+an<a2+an②, 由①知,在a1+a3和a2+an之间,有n-1-2=n-3(个)从小到大不等的项, 由②知,在a1+a3和a2+an之间,有n-4+1=n-3(个)从小到大不等的项,且①中的项均应在②中,故只能一一对应,所以a2+ai=a1+ai+1(i=3,4,…,n-1), 即a2-a1=ai+1-ai(i=3,4,…,n-1), 由2a2=a1+a3得a2-a1=a3-a2,所以a2-a1=ai+1-ai(1≤i≤n-1),所以{an}是等差数列. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题突破练四　数列与新定义 1.[2025·江苏泰州高二期末] 若a0∈N,ai∈N*(i∈N*),则称表达式a0+为n阶有限连分数,通常记为[a0;a1,a2,…,an].则[1;1,1,1,1]= (　 ) A. B. C. D. 2.斐波那契数列{Fn}因数学家莱昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例而引入,故又称为“兔子数列”.在数学上,斐波那契数列由以下递推方法定义:数列{Fn}满足F1=F2=1,Fn+2=Fn+1+Fn.若从数列{Fn}的前12项中随机抽取1项,则抽到偶数的概率为 (　 ) A. B. C. D. 3.在数列{an}中,如果存在正整数T,使得am+T=am对于任意的正整数m均成立,那么称数列{an}为周期数列,其中T叫作数列{an}的周期.已知数列{xn}满足xn+2=|xn+1-xn|,如果x1=1,x2=a(a∈R,a≠0),那么数列{xn}的周期最小时,该数列前2025项的和是 (　 ) A.674 B.1348 C.1350 D.2024 4.(多选题)[2025·广东清远高二期末] 任取一个正整数,若是奇数,就将该数加上1,若是偶数,就将该数除以2,反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必得到数字1.记第一个数字为a1,经过运算后得到的数字依次为a2,a3,…,若取a1=5,则an的值依次为5→6→3→4→2→1,共需5个步骤变成1,则称该运算为5步运算.下列说法正确的是(　 ) A.当a1=10时,an的值依次为10→5→6→3→4→2→1 B.当a1=13时,该运算为7步运算 C.当运算为7步运算时,a1的值可能有13个 D.当运算为7步运算时,a1的最大值与最小值之和为137 5.在一组互不相同的有序数组{a1,a2,a3,…,an}(n≥2,n∈N*)中定义:在ai(i=1,2,3,…,n)的右边比其大的数的个数称为ai的“顺序数”,在ai的右边比其小的数的个数称为ai的“逆序数”.我们把有序数组{a1,a2,a3,…,an}的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和记为Tn. ①有序数组{2,4,1,3,5}的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和T5=　　　　;  ②+++…+=　　　　.  6.对于给定的数列{an},如果存在实数p,q,使得an+1=pan+q对任意n∈N*都成立,那么我们称数列{an}是“线性数列”.已知数列{cn}满足c1=1,cn+1=cn+bn(n∈N*),给出下列四个结论: ①等差数列是“线性数列”; ②等比数列是“线性数列”; ③若{bn}是等差数列,则{cn}是“线性数列”; ④若{bn}是等比数列,则{cn}是“线性数列”. 其中正确结论的序号是　　　　.  7.在数列{an}中,若存在常数t,使得an+1=a1a2a3…an+t(n∈N*)恒成立,则称数列{an}为“H(t)数列”. (1)判断数列1,2,3,7,43是否为“H(1)数列”; (2)若cn=1+,试判断数列{cn}是否为“H(t)数列”,请说明理由; (3)若数列{an}为“H(t)数列”,且a1=2,数列{bn}为等比数列,满足=an+1+log2bn-t,求数列{bn}的通项公式和t的值. 8.[2025·四川宜宾高二期末] 如图,曲线y2=x(y≥0)下方有一系列正三角形,设第n个正三角形△Qn-1PnQn(Q0为坐标原点)的边长为an. (1)求a1,a2的值. (2)记Sn为数列{an}的前n项和,探究an+1与Sn的关系,并求数列{an}的通项公式. (3)定义:若数列{xn}满足①{xn}是递增数列,②存在M>0,使得|xn|≤M,则称数列{xn}收敛.令bn=,cn=,记{cn}的前n项和为Tn,证明:数列{Tn}收敛. 9.[2025·安徽宣城高二期末] 设数列{an}的前n项和为Sn,若数列{an}满足≤≤2(n∈N*),则称{an}是“紧密数列”. (1)已知数列{an}是“紧密数列”,其前4项依次为1,,x,,求x的取值范围; (2)若数列{an}的前n项和Sn=(n2+3n),判断{an}是否为“紧密数列”,并说明理由; (3)设数列{an}是公比为q的等比数列,若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”,求q的取值范围. 10.[2025·江苏扬州高二期末] 已知有穷数列{an}满足0<a1<a2<…<an且n≥3,集合An={ai+aj|1≤i<j≤n,i,j∈N*},记An中元素的个数为|An|. (1)若数列{an}满足an=n,求|A4|和|An|的值. (2)若数列{an}满足an=2n,求An中所有元素之和. (3)若数列{an}满足2a2=a1+a3,|An|=2n-3,则数列{an}是等差数列吗?如果是,请说明理由;如果不是,请举反例. 学科网（北京）股份有限公司 $