专题突破练一 数列求通项问题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题突破练一　数列求通项问题 类型一 1.an=　[解析] 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+n+1)-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n;当n=1时,a1=S1=3,不满足上式,所以数列{an}的通项公式是an= 2.an=2×3n-1　[解析] 当n=1时,a2=2S1+2=2a1+2=6.an+1=2Sn+2,当n≥2时,an=2Sn-1+2,两式相减,得an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an(n≥2),即=3(n≥2),又==3满足上式,所以数列{an}是以a1=2为首项,以3为公比的等比数列,所以an=2×3n-1. 3.　[解析] 因为a1+++…+=3n-2①,所以当n=1时,a1=31-2=1,当n≥2时,a1+++…+=3n-1-2②,则①-②得=3n-3n-1=2·3n-1(n≥2),所以an=2n·3n-1(n≥2),当n=1时,a1=1不满足上式,所以an= 4.　[解析] 由题意可得Sn-(2n-1)Sn-1=n2(Sn-Sn-1)(n≥2,n∈N*),所以(n2-1)Sn=(n-1)2Sn-1(n≥2,n∈N*),所以==(n≥2,n∈N*),所以当n≥2时,=××…×=××…×=,又因为S1=a1=1,所以Sn=(n≥2),又当n=1时,S1=1满足上式,所以Sn=.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=-,又当n=1时,a1=1,不满足上式,所以an= 类型二 1.B　[解析] 因为an+1=2an+2,所以an+1+2=2(an+2),又因为a1+2=3≠0,所以=2,故{an+2}是首项为3,公比为2的等比数列,所以an+2=3·2n-1,故an=3·2n-1-2.故选B. 2.　[解析] 数列{an}中,a1=1,an+1=,显然an≠0,取倒数得==4+,即-=4,则数列是首项为1,公差为4的等差数列,因此=1+4(n-1)=4n-3,所以an=. 3.4052　[解析] 因为Sn=-①,a1=2,所以当n=1时,=-,即=-,解得a2=4;当n≥2时,Sn-1=-②,则①-②得=-(n≥2),整理可得an+1-an=2(n≥2).又a2-a1=2符合上式,所以数列{an}是首项为2,公差为2的等差数列,所以a2026=2+2×2025=4052. 4.解:(1)证明:由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=(an+bn). 又因为a1+b1=1,所以{an+bn}是首项为1,公比为的等比数列. 由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2. 又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由(1)知,an+bn=,an-bn=2n-1, 所以an=[(an+bn)+(an-bn)]=+n-, bn=[(an+bn)-(an-bn)]=-n+. 类型三 1.an=　[解析] 由题意得a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-=n(n≥2),以上各式累加,得an-a1=2+3+…+n(n≥2),∵a1=1,∴an=1+2+3+…+n=(n≥2),又a1=1也满足上式,∴an=. 2.　[解析] 由=2n·an,得=(n≥2),所以an=a1···…·=1×2×22×…×=20+1+2+…+(n-1)=(n≥2),又a1=1也满足上式,所以an=. 3.2n-1　[解析] 由已知得a1=1,an+1=2n+an,当n≥2时,an-an-1=2n-1,an-1-an-2=2n-2,…,a2-a1=2,累加可得an-a1=2n-1+2n-2+…+2==2n-2(n≥2),则an=a1+2n-2=2n-1(n≥2),又a1=1符合上式,所以an=2n-1. 4.2n-1　[解析] 当n≥2时,由an+1=3an-2an-1,得an+1-an=2(an-an-1),则数列{an+1-an}为等比数列,其首项为a2-a1=3-1=2,公比为2,所以an+1-an=2n.当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+21+22+…+2n-1==2n-1,又a1=1满足上式,所以an=2n-1. 5.解:(1)由题知,a2=S2=(a1+a2),解得a2=4, 同理,a3=S3=(a1+a2+a3),解得a3=6. (2)由(1)可猜想an=2n(n∈N*),证明如下: 因为an=Sn,所以当n≥2时,Sn-Sn-1=Sn,化简得(n-1)Sn=(n+1)Sn-1(n≥2),即=(n≥2), 则有=···…···=···…·××=(n≥2), 又a1=S1=2,则Sn=n(n+1)(n≥2),故an=Sn=2n(n≥2), 当n=1时,上式仍成立,故an=2n(n∈N*). 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题突破练一　数列求通项问题 ▶ 类型一　已知数列的前n项和Sn求通项公式 【方法综述】 利用an 与的关系式an= 求解,一般来说有以下两种思路:①消去Sn,转化为an的递推公式;②消去an,转化为Sn的递推公式.注意需分段讨论,验证结果. 1.数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1,则数列{an}的通项公式是　　　　　　.  2.[2025·山东枣庄高二期中] 已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=2Sn+2(n∈N*),则数列{an}的通项公式为　　　　　　.  3.数列{an}满足a1+++…+=3n-2(n∈N*),则an=　　　　　　.  4.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn-(2n-1)Sn-1=n2an(n≥2,n∈N*),则an=　　　　　　.  ▶ 类型二　构造法 【方法综述】 (1)对于形如an+1=pan+q(p≠0,1且q≠0)的递推公式求通项公式问题,我们需要设法构造出等比数列求通项公式,可设an+1+λ=p(an+λ),构造出等比数列. (2)对于形如an+1=(A,B,C≠0)的递推公式求通项公式问题,可以通过两边同时取倒数变形为=·+,转化为等差数列或构造出等比数列求通项公式. 1.[2024·湖南岳阳高二期中] 在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2,则{an}的通项公式为an= (　 ) A.3·2n-1　　　　　　　B.3·2n-1-2 C.4·2n-1-3 D.2n-1 2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),则an=　　　　.  3.[2025·湖南常德高二期末] 记数列的前n项和为Sn,若Sn=-,a1=2,则a2026=　　　　.  4.已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. (1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列; (2)求{an}和{bn}的通项公式. ▶ 类型三　累加法与累乘法 【方法综述】 (1)对于形如an+1=an+f(n)的递推公式求通项公式问题,只要f(n)可求和,便可利用累加法. (2)对于形如=g(n)的递推公式求通项公式问题,只要g(n)可求积,便可利用累乘法. 1.设数列{an}满足a1=1,且=an+n+1(n∈N*),则数列{an}的通项公式为　　　　　　.   2.设数列{an}满足a1=1,=2n·an,则数列{an}的通项公式为an=　　　　　　.   3.在数列{an}中,a1=1,an+1=2n+an,则an=　　　　.  4.已知数列{an}满足a1=1,a2=3,对任意n≥2,都有an+1=3an-2an-1,则数列{an}的通项公式为an=　　　　.  5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=2,an=Sn. (1)求a2,a3的值; (2)试猜想{an}的通项公式,并证明. 学科网（北京）股份有限公司 $