1.2二次函数的图象 讲义 2025-2026学年浙教版九年级数学上册

1.2二次函数的图象 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】二次函数y=ax²的图象的相关特征 8 【题型2】二次函数y=a(x-m)²的图象的相关特征 12 【题型3】二次函数y=a(x-m)²与y=ax²图象之间的平移 15 【题型4】二次函数y=a(x-m)²＋k的图象的相关特征 18 【题型5】二次函数y=a(x-m)²＋k与y=ax²，y=a(x-m)²的图象之间的平移 21 【题型6】二次函数y=ax²＋bx＋c的图象的相关特征 23 【题型7】二次函数y=ax²＋bx＋c与y=ax²，y=a(x-m)²，y=a(x-m)²＋k的图象之间的平移 26 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】二次函数的图象 （1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1.（2024•八步区三模）一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于每个选项，先根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 【解答】解：A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，b＜0，则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限，且它们的交点为（1，0），所以A选项正确； B、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，b＞0，则一次函数y=ax+b经过第一、二、三象限，所以B选项错误； C、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，b＞0，则一次函数y=ax+b经过第一、二、四象限，所以C选项错误； D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，b＜0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误． 故选：A． 2.（2024秋•龙岩期末）二次函数y=x2的图象与反比例函数的图象的交点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数． 【解答】解：根据二次函数和反比例函数的图象位置如图： ∵二次函数y=x2的图象在一、二象限，开口向上，顶点在原点，y轴是对称轴， 反比例函数的图象在一、三象限，故两个函数的交点只有一个，在第一象限． 故选：A． 【知识点2】二次函数图象与系数的关系 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 1.（2025•沿河县校级模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论： ①4a+b=0； ②9a+c＞3b； ③8a+7b+2c＞0； ④若点A（-3，y1），点，点在该函数图象上，则y1＜y3＜y2； ⑤若方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜-1＜5＜x2．其中正确结论的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 【答案】A 【分析】根据抛物线对称轴为直线x=2可得a与b的关系，从而判断①；由x=-3时y＜0可判断②；由抛物线经过点（-1，0）及抛物线对称轴可求出b与a,c与a的关系从而判断③；由A，B，C三点到对称轴的距离大小判断④；将方程的解转化为抛物线与直线y=-3的交点问题，从而判断⑤． 【解答】解：∵抛物线对称轴为直线， ∴b=-4a,即4a+b=0，①正确； 由图象可得x=-3时，y＜0，即9a-3b+c＜0， ∴9a+c＜3b,②错误； ∵抛物线经过（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∵b=-4a, ∴c=-5a, ∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a, ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴-30a＞0，③正确； ∵点C，点B，点A到抛物线对称轴距离依次增大， ∴y3＞y2＞y1，④错误； ∵抛物线经过点（-1，0），对称轴为直线x=2， ∴抛物线经过点（5，0）， ∴抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5）， ∴方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为抛物线与直线y=-3的交点的横坐标， 由图象可得x1＜-1＜5＜x2，⑤正确； 故选：A． 2.（2025•荆州模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（-2，0），B（6，0），与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b2-4ac＞0；②2a+b=0；③当y＜0时，-2＜x＜6；④5a+c＜0．其中正确的是（　　） A．②③④ B．①③④ C．①③ D．①② 【答案】B 【分析】根据二次函数与x轴交点个数可判断①； 根据二次函数的对称轴可判断②； 直接观察图象可判断③； 根据x=5时，y的值的正负可判断④． 【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0， ∴①是正确； ∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（-2，0），B（6，0）， ∴抛物线的对称轴为， ∴ ∴-b=4a, ∴4a+b=0， ∴②是错误； 观察图象可知当y＜0时，-2＜x＜6， ∴③是正确； 由y=ax2+bx+c得，x=5时，y=25a+5b+c, 由图知，x=5＜6时，y＜0， ∴25a+5b+c＜0， ∵-b=4a ∴25a-20a+c＜0， ∴5a+c＜0， ∴④是正确； 故选：B． 【知识点3】二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-，）． ①抛物线是关于对称轴x=-成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=． 1.（2025•江西模拟）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=-x2+c（c＞0）上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m,n（m＞n＞0），则下列结论中正确的是（　　） A．m-n=1 B．m+n=1 C．m=1 D． 【答案】A 【分析】分别过A，C两点作y轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：分别过点A，C作y轴的垂线，垂足分别为点M，N， ∵A（m,-m2+c），C（n,-n2+c）， ∴AM=m,MO=-m2+c,CN=n,NO=-n2+c, ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠ADC=90°， ∴∠CDN+∠ADM=∠ADM+∠DAM=90°， ∴∠CDN=∠DAM， ∴△CDN≌△DAM（AAS）， ∴DM=CN=n,DN=AM=m, ∴MN=DM+DN=m+n, 又∵MN=NO-MO=m2-n2， ∴m2-n2=m+n, ∴（m+n）（m-n）=m+n, ∵m＞n＞0， ∴m-n=1． 故选：A． 2.（2025•登封市一模）已知二次函数y=x2-4x图象上有两点A（-4，y1），B（1，y2），则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：二次函数y=x2-4x图象开口向上，对称轴为直线x=2， A（-4，y1）距离对称轴6个单位长度， B（1，y2）距离对称轴1个单位长度， 根据开口向上，距离对称轴越远函数值越大可得： y1＞y2． 故选：A． 【知识点4】二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 1.（2025•兴庆区校级一模）抛物线的函数表达式为y=3（x-2）2+1，将函数图象向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（　　） A．y=3（x-5）2+3 B．y=3（x+1）2+3 C．y=3（x-5）2-1 D．y=3（x+1）2-1 【答案】B 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减进行计算即可． 【解答】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将抛物线y=3（x-2）2+1，向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，所得到的新抛物线表达式为：y=3（x-2+3）2+1+2=3（x+1）2+3； 故选：B． 【题型1】二次函数y=ax²的图象的相关特征 【典型例题】抛物线的开口方向、对称轴分别是（    ） A.向上，轴 B.向上，轴 C.向下，轴 D.向下，轴 【答案】B 【解析】， 抛物线开口向上， ， 对称轴为轴． 故选：B． 【举一反三1】如果抛物线的最低点是原点，那么实数m的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵抛物线y=（m＋1）x²有最低点是原点， ∴m＋1＞0， 解得：m＞－1． 故答案为：D． 【举一反三2】二次函数的图象是（　　） A.   B.   C.   D.   【答案】D 【解析】， 抛物线的对称轴是轴，顶点为， 由可知，抛物线开口向下， 故选：D． 【举一反三3】①；②；③；④四条抛物线开口由大到小用序号依次排列为       ． 【答案】④②③① 【解析】根据题意，∵， ∴抛物线开口从大到小的排列顺序是④②③①， 故答案为：④②③①． 【举一反三4】抛物线的顶点是它的图象的最      点（填“高”或“低”）． 【答案】低 【解析】∵中，二次项系数为正， ∴抛物线开口向上， ∴该抛物线有最低点， 故答案为：低． 【举一反三5】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】解：（1）∵抛物线解析式为, ∴a＝3＞0， ∴抛物线y＝3x²的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）； （2）∵抛物线解析式为：， ∴a＝-3＜0， ∴抛物线y＝-3x²的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）； （3）∵抛物线解析式为：， ∴a＝, ∴抛物线y＝x²的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）； （4）∵抛物线解析式为：， ∴a＝， ∴抛物线y＝x²的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）． 【举一反三6】填写下列表格： 【答案】解：①的图象如下：    由图可知：抛物线开口向下， 对称轴为：轴， 顶点坐标为：， ②抛物线图象如下：    由图可知：抛物线开口向上， 对称轴为：轴， 顶点坐标为：. 【题型2】二次函数y=a(x-m)²的图象的相关特征 【典型例题】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据二次函数的顶点坐标为，它的顶点坐标在x轴上， 故选：C． 【举一反三1】下列抛物线中，顶点坐标为的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A、顶点坐标是，故符合题意， B、顶点坐标是，故不符合题意， C、顶点坐标是，故不符合题意， D、顶点坐标是，故不符合题意， 故选：A． 【举一反三2】二次函数的图象如图所示，若，是该图象上的两点，则      ．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】由图象知，抛物线的对称轴为直线， 又点，关于直线对称， ∴， 故答案为：． 【举一反三3】在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x²，y=(x+2)²，y=(x-2)²的图象，并写出对称轴及顶点坐标. 【答案】解：函数图象如图所示： 抛物线y=x²的对称轴是直线x=0,顶点坐标为(0,0). 抛物线y=(x+2)²的对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,0). 抛物线y=(x-2)²的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,0). 【举一反三4】已知抛物线 （1）该抛物线开口向         ，对称轴是         ，顶点坐标是         ， （2）在直角坐标系中画出的图象． 解：①列表：     ②描点、连线：    【答案】解：（1）因为抛物线为，所以该抛物线开口向向下，对称轴是x=2，顶点坐标是(2,3)；   （2）①列表： ②  描点、连线：    【题型3】二次函数y=a(x-m)²与y=ax²图象之间的平移 【典型例题】在直角坐标平面内，把二次函数的图象向左平移2个单位，那么图象平移后的函数解析式是（   ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】二次函数y=（x+1）2的图象向左平移2个单位，得：y=（x+1+2）2即y=（x+3）2． 故选：D． 【举一反三1】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移个单位，所得图象的解析式为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】将二次函数的图象向左平移 5 个单位，所得图象的解析式为， 故选：D． 【举一反三2】二次函数向右平移1个单位得到的函数解析式为      ． 【答案】 【解析】∵抛物线顶点坐标为， ∴向右平移1个单位后，顶点坐标为， ∴平移后抛物线解析式为：． 故答案为． 【举一反三3】抛物线与抛物线的关系： 若h＞0，抛物线向    平移h个单位就得到抛物线； 若h＜0，抛物线向    平移|h|个单位就得到抛物线 【答案】右；左 【举一反三4】已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象. 【答案】解：（1）如图所示： （2）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为； （3）由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位. 【举一反三5】请在同一坐标系中画出二次函数①；②的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点．    【答案】解：列表： 描点： 连线，如图． 由图象可知，①向左平移两个单位得到②， ∴②的开口方向向上，对称轴是，顶点坐标为（2，0）． 【题型4】二次函数y=a(x-m)²＋k的图象的相关特征 【典型例题】下列抛物线中开口向上，顶点坐标为的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵抛物线顶点坐标为， ∴可设抛物线解析式为， ∵抛物线开口向上， ∴， ∴符合题意，故B正确． 故选：B． 【举一反三1】抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标是． 故选：A． 【举一反三2】已知二次函数，当，函数值为；当，函数值为，若，则下列表达式正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】①时，二次函数图象开口向上， ， ， 无法确定的正负情况， ， ②时，二次函数图象开口向下， ， ， 无法确定的正负情况， ， 综上所述，表达式正确的是， 故选：D. 【举一反三3】若二次函数有最高点，则“”中可填的数字是          . 【答案】（答案不唯一） 【解析】设处为a，由题意得二次函数为， ∵二次函数有最高点， ∴二次函数的图象开口向下即， ∵， ∴a可以是， ∴中可填的数是． 故答案为：． 【举一反三4】已知点A在抛物线上，点与点A关于此抛物线的对称轴对称，如果点A的横坐标是，那么点的坐标是        ． 【答案】 【解析】∵点A在抛物线上，点A的横坐标是， 抛物线的对称轴为，当时，，则A的坐标为， ∵点与点A关于此抛物线的对称轴对称， ∴， 故答案为：． 【举一反三5】．已知抛物线. （1）该抛物线开口向      ，对称轴是      ，顶点坐标是      ， （2）在直角坐标系中画出的图象． 解：①列表：             ②描点、连线：    【答案】解：（1）因为抛物线为，所以该抛物线开口向向下，对称轴是x=2，顶点坐标是(2,3)；   （2）①列表： ②  描点、连线：    【题型5】二次函数y=a(x-m)²＋k与y=ax²，y=a(x-m)²的图象之间的平移 【典型例题】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】二次函数的图象平移后的函数为：． 故选：A. 【举一反三1】将二次函数的图象向下平移1个单位长度，得到的二次函数表达式为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】将二次函数的图象向下平移1个单位长度，得：， 故选：． 【举一反三2】二次函数的图象如何平移就能得到的图象（    ） A.向左平移2个单位，再向上平移5个单位 B.向左平移2个单位，再向下平移5个单位 C.向右平移2个单位，再向上平移5个单位 D.向右平移2个单位，再向下平移5个单位 【答案】D 【解析】∵二次函数的图象向右移动2个单位，再向下移动5个单位得到， 故选：D. 【举一反三3】将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是                 ． 【答案】 【解析】将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是， 故答案为：． 【举一反三4】将二次函数的图象向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，平移后的二次函数解析式为             ． 【答案】 【解析】由题意得：平移后的二次函数解析式为：， 即：， 故答案为：. 【举一反三5】已知函数． (1)函数图象的开口方向是____________，对称轴是____________，顶点坐标为____________． (2)怎样移动抛物线就可以得到抛物线? 【答案】解：（1）函数的开口方向是向下，对称轴是直线，顶点坐标为． （2）把抛物线向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度可得函数. 【举一反三6】将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到二次函数的图象，求，，的值． 【答案】解：根据题意，将向右平移个单位再向下平移个单位得, 即, ∴,，． 【题型6】二次函数y=ax²＋bx＋c的图象的相关特征 【典型例题】若二次函数的图象如图所示，则的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据二次函数图象与轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在轴左边可得同号，故， 所以的图象大致是：抛物线开口向上，图象与轴的负半轴相交，对称轴在轴右边，故选项B符合题意． 故选：B． 【举一反三1】若二次函数的图象恰好只经过三个象限，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】， ∵二次函数的图象只经过三个象限，且开口方向向上，其对称轴为直线， 则, 解得． 【举一反三2】已知二次函数，若，，，那么它的图象大致是（    ） A.   B. C.   D.   【答案】A 【解析】∵， ∴图象开口向下； 又∵， ∴对称轴为直线，在轴左侧； ∵， ∴抛物线与轴交于正半轴． 所以A图符合题意． 故选：A． 【举一反三3】已知抛物线（，）的对称轴为直线．若当时，，则a的取值范围是（    ） A. B. C. D.或 【答案】A 【解析】∵（，）的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【举一反三4】二次函数的图象的对称轴为直线           ． 【答案】 【解析】二次函数， 该函数的对称轴是直线， 故答案为：． 【举一反三5】抛物线经过点，则的值为      ． 【答案】 【解析】把点代入, 得：， 化简得：， , 故答案为：． 【举一反三6】在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过四个象限，则的取值范围为      ． 【答案】 【解析】， 二次函数的对称轴为：， ①当时，二次函数的图象经过四个象限， 当时，， ； ②当时，二次函数的图象经过四个象限， 当时，， （不符合题意）； 综上，， 故答案为：． 【题型7】二次函数y=ax²＋bx＋c与y=ax²，y=a(x-m)²，y=a(x-m)²＋k的图象之间的平移 【典型例题】把二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到下列哪个函数的图象(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意得：平移后的解析式为：y=(x+1)²-2， 即：, 故选：C. 【举一反三1】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，下列点在平移后的图象上的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵原抛物线的顶点为（0，0），向左平移2个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（-2，-2）， ∴可设新抛物线的解析式为：， ∴代入得：， ∴所得图象的解析式为：， 则点在平移后的图象上的是， 故选：B． 【举一反三2】把二次函数y＝x²+bx+c的图象向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），则b﹣c的值为       ． 【答案】﹣2 【解析】∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，1）， ∴﹣﹣1＝﹣2，c﹣﹣2＝1， 解得：b＝2，c＝4， ∴b﹣c＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【举一反三3】将二次函数的图象向下平移个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点，则的值为       ． 【答案】 【解析】∵将二次函数的图象向下平移个单位长度， ∴平移后的解析式为， ∵得到的二次函数图象经过点， ∴， 解得：． 故答案为：. 【举一反三4】已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图象所对应的函数表达式             ． 【答案】解：（1）由表格可知，二次函数经过点， 所以该抛物线的对称轴为， 所以该抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数表达式为, 将代入得：； 即, 将代入得：. （2）将该二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位， 依据二次函数图象平移时“左加右减，上加下减”的规则，得， 即． 【举一反三5】已知二次函数，且该函数图象的对称轴为直线． (1)求的值； (2)将该二次函数图象向左平移2个单位，求平移后的函数表达式． 【答案】解：（1）由题意得，， 解得． （2）由（1）知，该二次函数表达式为， ∴将该二次函数图象向左平移2个单位后的函数表达式为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2二次函数的图象 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】二次函数y=ax²的图象的相关特征 4 【题型2】二次函数y=a(x-m)²的图象的相关特征 5 【题型3】二次函数y=a(x-m)²与y=ax²图象之间的平移 7 【题型4】二次函数y=a(x-m)²＋k的图象的相关特征 8 【题型5】二次函数y=a(x-m)²＋k与y=ax²，y=a(x-m)²的图象之间的平移 9 【题型6】二次函数y=ax²＋bx＋c的图象的相关特征 10 【题型7】二次函数y=ax²＋bx＋c与y=ax²，y=a(x-m)²，y=a(x-m)²＋k的图象之间的平移 11 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】二次函数的图象 （1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1.（2024•八步区三模）一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 2.（2024秋•龙岩期末）二次函数y=x2的图象与反比例函数的图象的交点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【知识点2】二次函数图象与系数的关系 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 1.（2025•沿河县校级模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论： ①4a+b=0； ②9a+c＞3b； ③8a+7b+2c＞0； ④若点A（-3，y1），点，点在该函数图象上，则y1＜y3＜y2； ⑤若方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜-1＜5＜x2．其中正确结论的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 2.（2025•荆州模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（-2，0），B（6，0），与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b2-4ac＞0；②2a+b=0；③当y＜0时，-2＜x＜6；④5a+c＜0．其中正确的是（　　） A．②③④ B．①③④ C．①③ D．①② 【知识点3】二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-，）． ①抛物线是关于对称轴x=-成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=． 1.（2025•江西模拟）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=-x2+c（c＞0）上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m,n（m＞n＞0），则下列结论中正确的是（　　） A．m-n=1 B．m+n=1 C．m=1 D． 2.（2025•登封市一模）已知二次函数y=x2-4x图象上有两点A（-4，y1），B（1，y2），则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．无法确定 【知识点4】二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 1.（2025•兴庆区校级一模）抛物线的函数表达式为y=3（x-2）2+1，将函数图象向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（　　） A．y=3（x-5）2+3 B．y=3（x+1）2+3 C．y=3（x-5）2-1 D．y=3（x+1）2-1 【题型1】二次函数y=ax²的图象的相关特征 【典型例题】抛物线的开口方向、对称轴分别是（    ） A.向上，轴 B.向上，轴 C.向下，轴 D.向下，轴 【举一反三1】如果抛物线的最低点是原点，那么实数m的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】二次函数的图象是（　　） A.   B.   C.   D.   【举一反三3】①；②；③；④四条抛物线开口由大到小用序号依次排列为       ． 【举一反三4】抛物线的顶点是它的图象的最      点（填“高”或“低”）． 【举一反三5】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （1）； （2）； （3）； （4）． 【举一反三6】填写下列表格： 【题型2】二次函数y=a(x-m)²的图象的相关特征 【典型例题】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】下列抛物线中，顶点坐标为的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】二次函数的图象如图所示，若，是该图象上的两点，则      ．（填“”“”或“”） 【举一反三3】在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x²，y=(x+2)²，y=(x-2)²的图象，并写出对称轴及顶点坐标. 【举一反三4】已知抛物线 （1）该抛物线开口向         ，对称轴是         ，顶点坐标是         ， （2）在直角坐标系中画出的图象． 解：①列表：     ②描点、连线：    【题型3】二次函数y=a(x-m)²与y=ax²图象之间的平移 【典型例题】在直角坐标平面内，把二次函数的图象向左平移2个单位，那么图象平移后的函数解析式是（   ）． A. B. C. D. 【举一反三1】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移个单位，所得图象的解析式为（     ） A. B. C. D. 【举一反三2】二次函数向右平移1个单位得到的函数解析式为      ． 【举一反三3】抛物线与抛物线的关系： 若h＞0，抛物线向    平移h个单位就得到抛物线； 若h＜0，抛物线向    平移|h|个单位就得到抛物线 【举一反三4】已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象. 【举一反三5】请在同一坐标系中画出二次函数①；②的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点．    【题型4】二次函数y=a(x-m)²＋k的图象的相关特征 【典型例题】下列抛物线中开口向上，顶点坐标为的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】已知二次函数，当，函数值为；当，函数值为，若，则下列表达式正确的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】若二次函数有最高点，则“”中可填的数字是          . 【举一反三4】已知点A在抛物线上，点与点A关于此抛物线的对称轴对称，如果点A的横坐标是，那么点的坐标是        ． 【举一反三5】．已知抛物线. （1）该抛物线开口向      ，对称轴是      ，顶点坐标是      ， （2）在直角坐标系中画出的图象． 解：①列表：             ②描点、连线：    【题型5】二次函数y=a(x-m)²＋k与y=ax²，y=a(x-m)²的图象之间的平移 【典型例题】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】将二次函数的图象向下平移1个单位长度，得到的二次函数表达式为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】二次函数的图象如何平移就能得到的图象（    ） A.向左平移2个单位，再向上平移5个单位 B.向左平移2个单位，再向下平移5个单位 C.向右平移2个单位，再向上平移5个单位 D.向右平移2个单位，再向下平移5个单位 【举一反三3】将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是                 ． 【举一反三4】将二次函数的图象向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，平移后的二次函数解析式为             ． 【举一反三5】已知函数． (1)函数图象的开口方向是____________，对称轴是____________，顶点坐标为____________． (2)怎样移动抛物线就可以得到抛物线? 【举一反三6】将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到二次函数的图象，求，，的值． 【题型6】二次函数y=ax²＋bx＋c的图象的相关特征 【典型例题】若二次函数的图象如图所示，则的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】若二次函数的图象恰好只经过三个象限，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】已知二次函数，若，，，那么它的图象大致是（    ） A.   B. C.   D.   【举一反三3】已知抛物线（，）的对称轴为直线．若当时，，则a的取值范围是（    ） A. B. C. D.或 【举一反三4】二次函数的图象的对称轴为直线           ． 【举一反三5】抛物线经过点，则的值为      ． 【举一反三6】在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过四个象限，则的取值范围为      ． 【题型7】二次函数y=ax²＋bx＋c与y=ax²，y=a(x-m)²，y=a(x-m)²＋k的图象之间的平移 【典型例题】把二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到下列哪个函数的图象(    ) A. B. C. D. 【举一反三1】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，下列点在平移后的图象上的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】把二次函数y＝x²+bx+c的图象向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），则b﹣c的值为       ． 【举一反三3】将二次函数的图象向下平移个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点，则的值为       ． 【举一反三4】已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图象所对应的函数表达式             ． 【举一反三5】已知二次函数，且该函数图象的对称轴为直线． (1)求的值； (2)将该二次函数图象向左平移2个单位，求平移后的函数表达式． 学科网（北京）股份有限公司 $