3.5 二元一次方程组的应用第2课时 教学设计 2025-2026学年沪科版（2024）数学七年级上册

该初中数学教学设计聚焦二元一次方程组解决百分率、分配与配套问题，通过回顾玻璃厂原料配比旧题，先设二元再引导用一元，搭建从一元一次方程到二元一次方程组的过渡支架，梳理实际问题中等量关系分析方法。 以真实情境问题驱动，如春播秋播面积、农民承包田地等实例，引导学生用数学眼光观察数量关系，小组讨论归纳解题步骤培养推理意识，结合《九章算术》古算题渗透文化，提升兴趣。为教师提供结构化流程与多样例题，助力学生建立方程模型观念，落实核心素养。

第三章 一次方程与方程组 3.5 二元一次方程组的应用 第2课时   一、教学目标 1. 掌握用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤； 2. 能适当归纳生活中的百分率问题和分配与配套问题，寻找解决相关问题的一般方法； 3. 通过用二元一次方程组解决实际问题，体会方程组这一数学模型的作用．   二、教学重难点 重点：理解和掌握解决百分率问题和分配与配套问题的方法 难点：能利理解方程思想与模型.   三、教学过程 （一）创设情境 回顾：玻璃厂熔炼玻璃液，原料是由石英砂和长石粉混合而成的，要求原料中含二氧化硅70%.已知石英砂中含二氧化硅99%，长石粉中含二氧化硅67%.在3.2 t原料中，石英砂和长石粉各有多少？ 思考：问题中涉及哪些已知量和未知量？它们之间有何关系？ 分析：设原料中石英砂有x t，长石粉有y t，补全下表. 预设答案：解：设原料中石英砂有x t，长石粉有y t，根据题意，得 解方程组，得 答：在3.2 t原料中，石英砂有0.3 t，长石粉有2.9 t. 师生活动：教师提出问题，引导学生自主思考并小组交流，教师补充并追问：本题如果只引入一个未知数能解决吗？试试看. 预设答案：解：设原料中石英砂有x t，则长石粉有t， 根据题意，得， 解方程组，得 . 答：在3.2 t原料中，石英砂有0.3 t，长石粉有2.9 t. 设计意图：以交流的方式讨论本节要学习的知识，让学生浸入学习的状态. （二）探究新知 任务1：探究列方程组解决百分率问题 探究：某乡今年春播作物的面积比秋播作物的面积多630hm².计划明年春播作物的面积增加20%，秋播作物的面积减少10%，这样明年春播、秋播作物的总面积将比今年增加12%.这个乡今年春播与秋播作物的面积各是多少？ 分析：审题：信息一：春播作物面积秋播作物面积 信息二：春播作物面积增加20% 秋播作物面 积减少10%总面积增加12% 设元：用字母表示未知量 设这个乡今年春播作物的面积为x hm²，秋播作物的面积为y hm². 列方程：根据等量关系，列出方程 解方程：求出未知数的值 写答：检查是否符合实际情况，并写答 预设答案：设这个乡今年春播作物的面积为x hm²，秋播作物的面积为y hm². 根据题意，得 解方程组，得 答：这个乡今年春播作物的面积是990hm² ，秋播作物的面积是360hm². 师生活动：教师提出问题，引导学生小组讨论，总结用二元一次方程组解决百分率问题的方法，教师补充总结. 总结： 任务2：探究列方程组解决分配、配套问题 探究：某村18位农民筹集50万元资金，承包了一些低产农田.根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，该种蔬菜和荞麦.种植这两种作物每公顷所需的人数和投入的资金如下表. 在现在的条件下，这18位农民应承包多少公顷田地，怎样安排种植才能使所有人都有工作，且资金正好够用? 分析： 预设答案：解:设蔬菜的种植面积为 hm²，荞麦的种植面积为 hm². 根据题意，得 解方程组，得 则 此时 答：这18位农民应承包4hm²的田地，种植蔬菜和荞麦各2hm²，并安排10人种蔬菜，8人种荞麦，这样能使所有人都有工作，且资金正好够用. 师生活动：教师提出问题，引导学生小组讨论，分析行程问题中的相遇和追击两种情况，各自的等量关系式是什么，教师补充总结. 探究：用白铁皮制罐头盒，每张白铁皮可制盒身个或制盒底个，一个盒身与两个盒底配成一个罐头盒．现在有张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？ 分析：由“一个罐头盒=一个盒身+两个盒底”可得“盒身的数量×2=盒底的数量”. 预设答案：解: 设用张制盒身，用张制盒底可以使盒身与盒底正好配套. 根据题意，得 解方程组，得 答：用16张制盒身，用20张制盒底可以使盒身与盒底正好配套. 总结： 设计意图：通过解决问题的方式总结分配问题和配套问题的解决策略，提高学生学习的积极性. （三）应用举例 例1：石岭村原有林地、旱地共162 hm².村里把一部分旱地改造为林地，使旱地面积为林地面积的20%.求改造后的旱地面积和林地面积. 分析：等量关系①：改造前林地面积+旱地面积=改造后林地面积+旱地面积=162; 等量关系②：改造后旱地面积=林地面积×（1+20%）. 设改造后的旱地面积为hm²，林地面积为hm²， 由题意，得 解：设改造后的旱地面积为hm²，林地面积为hm²， 根据题意，得 解方程组，得 答：改造后的旱地面积为hm²，林地面积为hm². 例2：某医院利用甲、乙两种原料为患者配制营养品.已知每克甲原料含0.6单位蛋白质和0.08单位铁质，每克乙原料含0.5单位蛋白质和0.04单位铁质，如果患者每餐需要34单位蛋白质和4单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足患者的需要？ 分析： 解：设每餐甲原料克，乙原料克， 根据题意，得 解方程组，得 答：每餐甲原料40克，乙原料20克恰好满足患者的需要. 例3：向某地运送物资.第一批480t，用8节火车车厢和20辆卡车正好装完.第二批540吨，用10节火车车厢和5辆卡车正好装完.求每节火车车厢和每辆卡车分别能装多少吨. 分析：等量关系①：8节火车车厢装的+20辆卡车装的=480; 等量关系②：10节火车车厢装的+5辆卡车装的=540. 设每节火车车厢能装t，每辆卡车能 t， 根据题意，得 解：设每节火车车厢能装t，每辆卡车能 t， 根据题意，得 解方程组，得 答：每节火车车厢能装t，每辆卡车能 t. 设计意图：巩固知识，强化理解. （四）课堂练习 1.有含氮的碳酸氢铵和含氮的尿素两种化肥，要求混合为千克含氮的肥料使用，两种肥料分别取多少千克？设取碳酸氢铵千克，尿素千克，则可列方程组为          ． 解：  2.月份，甲、乙两个工厂用水量共为吨．进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施．月份，甲工厂用水量比月份减少了，乙工厂用水量比月份减少了，两个工厂月份用水量共为吨，求两个工厂月份的用水量各是多少．设甲工厂月份的用水量为吨，乙工厂月份的用水量为吨．根据题意，列出关于，的方程组为          ． 解：  3. 九章算术中有一道题的条件是“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛”大致意思是有大小两种盛米的桶，大桶加小桶共盛斛米，大桶加小桶共盛斛米，依据该条件，大桶加小桶共盛          斛米注：斛是古代一种容量单位 解：设大桶盛米斛，小桶盛米斛，利用个大桶加上个小桶共盛米斛，个大桶加上个小桶共盛米斛，可列出方程组 故， 则． 4.程大位是珠算发明家，他的名著直指算法统宗详述了传统的珠算规则，确立了算盘用书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁。意思是：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？ 解：设大和尚有人，小和尚有人， 依题意，得： 解得： 答：大和尚有人，小和尚有人  5. 一张学生课桌由一个桌面和四条桌腿组成，若立方米的木料可制作桌面个或桌腿条，现在有立方米的木料，请你设计方案使制作的桌面与桌腿恰好配套． 解：设用立方米的木料制作桌面，立方米的木料制作桌腿，可以使制作的桌面与桌腿恰好配套．  根据题意，得  解得 答：用立方米的木料制作桌面，立方米的木料制作桌腿，可以使制作的桌面与桌腿恰好配套． 设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用. （五）归纳总结 回顾本节课的内容，你都学到了什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 学科网（北京）股份有限公司 $