利用双曲线的定义求点到焦点的距离及最值问题专题练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

利用双曲线的定义求点到焦点的距离及最值问题 一、选择题 1．双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于1,那么点P到另一个焦点的距离等于( ) A.17 B.15 C.9 D.7 2．已知,分别是双曲线的左右焦点,点P在该双曲线上,若,则( ) A.4 B.4或6 C.3 D.3或7 3．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为( ) A. B. C. D. 4．设P是双曲线左支上的动点,,分别为左右焦点,则( ) A.-4 B. C.4 D. 5．已知拋物线，，分别是双曲线，的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为( ) A. B. C. D. 6．双曲线上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( ) A.22或2 B.7 C.22 D.2 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线右支上一点，且的中点M在以O为圆心，为半径的圆上，则( ) A.6 B.4 C.2 D.1 8．已知双曲线的左、右焦点分别是，，P是双曲线C的右支上的一点（不是顶点），过作的平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则( ) A.随P点变化而变化 B.2 C.4 D.5 二、多项选择题 9．已知双曲线上一点到左焦点的距离为10，则当的中点到坐标原点的距离为（ ） A.3 B.6 C.7 D.14 10．设P为双曲线上一点，，分别为双曲线的左，右焦点，若，则等于( ) A.2 B.4 C.18 D.16 11．已知点P在双曲线上，点，分别是双曲线的左、右焦点.若的面积为20，则下列判断正确的有( ) A.点P到x轴的距离为 B. C.为钝角三角形 D. 三、填空题 12．双曲线上点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为_______. 13．设，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过点的直线交双曲线C的左支于A，B两点，且，，，则双曲线C的离心率为__________. 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条与以原点为圆心以a为半径的圆相切的直线，交C于第一象限内的一点P，若，则虚轴与实轴的比值为___________. 四、解答题 15．双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，求的值. 16．双曲线(，)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上.当时，. (1)求C的离心率； (2)若B在第一象限，证明：. 17．如图所示，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，的内切圆的圆心为I. （1）求点I的横坐标； （2）若，，的面积满足，求实数的值. 18．是否存在同时满足下列条件的双曲线？若存在，求出其方程；若不存在，请说明理由. （1）渐近线方程为； （2）点到双曲线上的动点P的距离的最小值为. 19．已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 参考答案 1．答案：A 解析:, 所以双曲线上一点P到两个焦点距离之差的绝对值为 因为P到它的一个焦点的距离等于1,所以点P到另一个焦点的距离等于17, 故选:A 2．答案：D 解析：双曲线中,,,, 由双曲线定义知：,而,又且, 或7, 故选：D. 3．答案：D 解析：，，，所以，由于双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程是. 4．答案：A 解析：由,得解得． 因为P是双曲线左支上的动点, 所以. 由双曲线的定义可知． 故选：A. 5．答案：C 解析：抛物线的准线过双曲线的左焦点双曲线的半焦距， 如图，是等腰直角三角形， 所以，故， 点A在渐近线上，所以， 联立①②解得：，故双曲线的方程为. 6．答案：A 解析：因为，所以.设P为双曲线上一点，双曲线的左、右焦点分别为，，由双曲线的定义可得，则.根据题意，不妨设，故或2. 7．答案：B 解析：依题意得，，，所以，从而.且，由M是的中点，O是的中点得，.因为P在双曲线的右支上，所以，因此.故选B. 8．答案：C 解析：延长交于Q，据题意得PM是线段的中垂线，即，由双曲线的定义得.因为线段MO是的中位线，所以. 9．答案：AC 解析：连接是的中位线，∴， ∵，∴或6，∴或3，故答案选AC． 10．答案：AC 解析：因为双曲线的方程为，所以，即， 由双曲线的定义可得， 又，所以，即， 当时，， 当时，， 所以的值为2或18. 故选：AC. 11．答案：BC 解析：由双曲线的方程，得，，则.由的面积为20，得，得，即点P到x轴的距离为4，故A错误.将代入双曲线的方程，得.根据双曲线的对称性可设，则.由双曲线的定义知，则，所以，故B正确.在中，，则，则为钝角，则为钝角三角形，故C正确.由题意，得，故D错误. 选BC. 12．答案：2或22 解析：设双曲线的左右焦点分别为,, 则,,, 不妨令, 点P可能在左支,也可能在右支, 由得： , 或2． 点P到另一个焦点的距离是22或2． 故答案为：2或22． 13．答案： 解析：结合双曲线的定义，得.因为，，，，所以，，则.因为，所以A为直角，所以，则，所以双曲线C的离心率. 14．答案： 解析：由题意可知直线的方程为. 令，则， ，. 在中由正弦定理可得， ，， 化简整理可得， 虚轴与实轴的比值为. 15．答案：9 解析：由题意得，焦距，可得， 在双曲线中， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不满足题意，故舍去， 当时，，满足题意， 所以. 16．答案：(1)2 (2)证明见解析 解析：(1)当时，， ，， ， ，， 即，又，. (2)证明：设，，，当时，，，由(1)可知，， . ， . 当时，，. 综上，. 17．答案：（1）1 （2） 解析：（1）如图，设，，分别与圆I相切于点A，B，C， 则，，. 由双曲线的定义，可得. 设点I的横坐标为t，则点， 所以，解得， 所以点I的横坐标为1. （2）设圆I的半径为r， 由， 得， 所以，即，解得. 18．答案：存在同时满足条件的双曲线，且所求双曲线的方程为或 解析：假设存在同时满足题中两个条件的双曲线. 若焦点在x轴上，渐近线的方程为， 可设所求双曲线方程为. 设，则. ①若，即，当时，无解. ②若，即，当时，， 或（舍去）， 所求双曲线的方程为. 若焦点在y轴上，渐近线的方程为， 可设所求双曲线的方程为. ， 当时，，解得. 所求双曲线的方程为. 综上所述，存在同时满足条件的双曲线，且所求双曲线的方程为或. 19．答案：（1）依题又， 所以，，故双曲线的方程为. (2)由已知得，，设， 于是，， 因此, 由于，所以当时，取得最小值，为. 解析： 学科网（北京）股份有限公司 $