第3章自我测评卷-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（鲁教版五四学制2024）

第三章自我测评卷 对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分 割方法所得的图形证明了勾股定理，如 (七年级上册数学鲁教版) 图所示的长方形由两个这样的图形拼成，若a=3, (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共： 断对角线互相垂直的是() b=4,则该长方形的面积为() 30分，每小题只有一个选项符合题目要求) A.∠1=∠4 B.∠1=∠3 A.20 B.24 、53 14.在△ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,则 4 D.2 1.在下列几组数中，是勾殷数的是() C.∠2=∠3 D.OB+OC=BC △ABC的周长为 10.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC= A专号 6.如图所示，直线1上有三个正方形a,b,c,若a, :15.如图所示的网格是正方形网格，则∠ACB一 B.5,12,13 7,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,连接CE,则 c的面积分别为5和11，则b的边长为() ∠DCE= (点A,B,C,D,E是网格线 C.-3,-4,-5D.6,8,9 CE的长为() 交点). 2.(烟台莱州期中)如图所示，所有四边形都是正方 形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A,B, D的面积依次为4,8,18，则正方形C的面积 为() A.4 B.6 C.16 D.55 7.在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现 A.15 B.16C.17D.18 第15题图 第16题图 了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 的表格中： 1山.如图所示，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点16，如图所示，等腰△ABC的底边BC=20,面积为 120,点F在边BC上，且BF=3FC,EG是腰 8 10 12 14 D处后进球.已知小明与篮板底的距离BC=2米，眼 AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则 A.10 B.12C.6 D.8 15 24 35 48 睛与地面的距离AB=1.7米，眼睛与篮板的点D的 △CDF周长的最小值为 3.已知在△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的 10 26 37 距离AD=2.5米，则点D到地面的距离CD是 三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写 对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的 米 则当a=20时，b十c的值为() 出文字说明、证明过程或演算步骤)】 是() A.162 1B.200 C.242 D.288 17.(本小题满分8分)有一根70cm长的木棒，要放 A.∠A=∠C-∠BB.a:b:c=4:5:6 8.如图所示是一个底面为等边三角形的三棱镜， 在如图所示长、宽、高分别是50cm,40cm, C.a'=b'-e2 D.a-3.6-5 3 c=1 在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A镶有一 30cm的木箱中，能放进去吗？为什么？ 4.厂新情境有一辆装货的汽车，为了方便装运货物。 图金属丝，已知此三梭镜的高为5cm,底面边 使用了如图所示的钢架，其中∠ACB=90°，AC 长为4cm,则这圈金属丝的长度至少为() 1.2m,BC=0.9m,则AB的长为() A.8 cm B.13 cm C.12 cm D.15 cm 12.小聪拿两根长分别是6cm,8cm的木棒，现在他准备 A.1.2m B.1.5m 再截一根木棒制作一个钝角三角形，所截的木棒作为 C.1.8m D.15m 三角形的最长边，那么小聪应截的第三根木棒a的长 度的范围是 13.我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创 新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦 第4题图 第5题图 第8题图 第9题图 图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成 5.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=9.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称 的一个大正方形.若大正方形的面积是25，小正方形的 90°，对角线BD,AC相交于点O.下列条件不能判 直角三角形为勾殷形)分割成一个正方形和两 面积是1，则AE= 18.(本小题满分10分)某中学七(1)班同学小明在综 定范围内上下转动，张角为∠CAE(90° 22.(本小题满分12分)（威海期中）综合与实践 23.(本小题满分12分)若正整数a,b,c满足式子 合实践课上剪了一个四边形ABCD,如图所示， ∠CAE≤150)，转动点A距离地面的高度 【问题情境】 a+b2=c,则称这一组正整数(a,b,c)为“商高 连接AC,经测量AB=12,BC=9,CD=8,AD= AE=3米.已知AE⊥BD,CF⊥BD,点B,E, 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个 数” 17,∠B=90°.试说明：△ACD是直角三角形. F,D在同一水平线上，当起重臂AC的长为 级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20,3,2，A和B 下面列举五组“商高数”：(3,4,5)，(5,12,13)， 24米，张角∠CAE=120°时，求云梯消防车最 是一个台阶两个相对的端点， (6,8,10),(7,24,25),(12,16,20), 高点C距离地面的高度CF, 【探究实践】老师让同学们探究：如图①所示，若A点 注意这五组“商高数”的结构有如下规律： 处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿 4=2×2×1,12=2×3×2,6=2×3×1, 着台阶爬到B点的最短路程是多少？ 3=2-1,5=3-2,8=3-1, (1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图②所示， 5=2+12,13=32+22,10=3+1, 将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15 24■2×4×3,16=2×4×2， 的长方形，连接AB,经过计算得到AB的长度 7=42-32, 12=42-22, 就是最短路程」 25=4+32,20=42+22. 【变式探究】 根据以上规律，回答以下问题： (2)如图③所示是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面 (1)商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？ 周长是30cm,高是8cm,若蚂蚁从点A出发沿着玻 (2)写出各数都大于30的两组“商高数” 21.(本小题满分10分)小明放风筝时，风筝线断 璃杯的侧面到点B,则蚂蚁爬行的最短距 (3)用两个正整数m,n(m>n)表示一组“商高 了，风筝挂在了树上，他想知道风筝距地面的 离为 数”，并说明理由. 高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发 20 现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后 拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如 图所示为示意图).请你帮小明求出风筝距离 地面的高度AB. 19.(本小题满分10分)如图所示，方格纸中每个小方 格的边长为1，在方格纸内画一个面积为6.5的等 腰直角三角形， 3 要求：所画三角形的顶点在小方格的顶点上： 【拓展应用】(3)如图④所示，圆柱形玻璃杯的高为 1---t--7- 9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点 A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯 上沿1cm,且与彝蛋相对的点B处，则蚂蚁从外壁B 处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度 不计) 20.(本小题满分10分)一辆登高云梯消防车的工作 示意图如图所示.起重臂AC(20米≤AC≤ 30米)是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一 6因为AM平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD=20°. BE=EP. 因为PA=PB=PC. 所以∠B=∠EPB=42°. 所以∠ABP=∠BAP=∠CAP=∠ACP=20°， 所以∠BEP=180°-∠B-∠EPB=180°-42° 所以∠BPC=∠BPD+∠CPD=(180° 42°=96°. ∠AMB)+(180°-∠APC)=∠ABP+∠BAP+ (2)因为PF⊥AC,所以∠AFP=90°. ∠PAC+∠ACP=∠ABP+∠BAC+∠ACP= 20°+40°+20°=80°. 所以∠AFE=∠PFE=名∠AFP=45 20.解：(1)因为∠A+∠ABC+∠C=180°， 因为∠B=42°，∠C=68°，所以∠BAC=180° ∠A+2∠C=180°， ∠B-∠C=70°. 所以∠ABC=∠C.所以AB=AC. 在△AEF中，∠AEF=180°-∠BAC- (2)因为BC-号CD,所以可设BC=3,则 ∠AFE=65°. 23.解：(1)①BD=CE②60 CD=2x. (2)(1)中的结论还成立. 因为BD是腰AC上的中线，所以AB=AC= 因为△ABC是等边三角形，所以AB=AC, 2CD=4x. ∠BAC=60°. 因为△ABC的周长为33， 因为△ADE是等边三角形，所以AD=AE, 所以AB+AC+BC=4x十4x+3x=33. ∠DAE=60°. 所以x=3.所以AB=4x=12. 所以∠BAC=∠DAE.所以∠BAD=∠CAE. 21.解：如图所示，连接CF, AB-AC, 在△BAD和△CAE中， ∠BAD=∠CAE, AD-AE, 所以△BAD≌△CAE(SAS). 所以BD=CE,∠ABD=∠ACE. 因为∠ABD+∠DBC+∠ACB=120°， 所以∠ACE+∠DBC+∠ACB=120° 所以∠BMC=60°. (3)因为△ABC是等边三角形，所以AB=AC, 因为△ABC、△BEF都是等边三角形，D为BC的 ∠BAC=60°. 中点， 因为△ADE是等边三角形，所以AD=AE, 所以AB=BC=AC,BE=EF=BF,∠BAC= ∠DAE=60°」 ∠ABC=∠ACB=∠EBF=∠BEF=∠BFE= 所以∠BAC=∠DAE.所以∠BAD=∠CAE 60°，∠BAD=∠CAD=30°， (AB=AC, 所以∠ABC-∠EBD=∠EBF-∠EBD, 在△BAD和△CAE中，{∠BAD=∠CAE, 所以∠ABE=∠CBF. AD=AE, 在△BAE和△BCF中， 所以△BAD≌△CAE(SAS). (AB=BC, ∠ABE=∠CBF, 所以BD-CE=,∠ABD=∠ACE. BE=BF, 因为△ABC是等边三角形，F是AC的中点， 所以△BAE≌△BCF(SAS), 所以∠BCF=∠BAD=30°. 所以∠ABF=号∠ABC=30,BFLAC. 如图所示，作点D关于CF的对称点G,连接CG, 所以∠CFM=90°，∠ACM=∠ABF=30. DG,则FD=FG. 所以CM=2FM=4. 因为当B,F,G在同一直线上时，DF+BF的最小 11 值等于线段BG长，且BG⊥CG时，△BDF的周长 所以EM=CE+CM-+4-号， 最小， 由轴对称的性质，可得∠DCG=2∠BCF=60°， 第三章自我测评卷 CD=CG, 1.B2.C3.B4.B5.B6.A7.B8.B 所以△DCG是等边三角形， 9.B10.C11.3.212.10cm<a<14cm13.3 所以DG=DC=DB,所以∠CDG=60°，所以 14.42或3215.45 ∠BDG=120°， 16.18解析：因为BC=20,BF=3FC,所以BF= 所以∠DBF=∠DGB=30°. 3 22.解：(1)因为△AEF沿EF折叠得到△PEF,所以 ×20=15，PC=}×20=5.周为△CDF的周 AE=PE. 长=CD+DF+FC=CD+DF+5,所以当CD+ 因为点E为线段AB的中点，所以AE=BE.所以 DF最小时，△CDF的周长有最小值.如图所示， 42 连接AD.因为EG是AC的垂直平分线，所以 解得x=12. AD=CD,所以CD+DF=AD+DF.根据“两点 答：风筝距离地面的高度AB为12米。 之间，线段最短”可知当点A,D,F在同一条直线 22.(1)25(2)17 上时，AD十DF的最小值为AF.过，点A作AH⊥ (3)如图所示，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的 BC于点H,因为BC=20,△ABC的面积为120， 对称点B',作B'D⊥AE,交AE延长线于点D,连 所以AH=2×120 接AB'. 20 =12.因为AB=AC,所以 D BH=CH=2BC=10,所以HF=15-10=5.在 Rt△AHF中，根据勾股定理，得AF=13,即CD十 DF的最小值为13，所以△CDF周长的最小值为 13+5=18. 由题意，得DE=2BB=1cm,AE=9-4 5(cm), 所以AD=AE十DE=6cm. 因为底面周长为16cm, B E 所以BD-2×16=8(em, 17.解：能放进去.理由如下： 所以AB'=√JAD2+B'D产=10cm, 连接AC,AC'.在Rt△ABC中， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内 AC2=AB2+BC2=502+402=4100. 壁A处所走的最短路程为AB'=10cm. 在Rt△ACC'中，AC2=AC2+CC2=4100+ 23.解：(1)有一个偶数，两个奇数；或三个偶数， 302=5000. (2)答案不唯一，如(42,40,58)，(56,33,65) 因为5000>702，所以AC>70, (3)a=2mn,b=m2-n2,c=m2+n2. 所以70cm长的木棒能放进这个木箱中. 理由：a2十b2=(2mn)2+(m2-n2)2 18.解：因为∠B=90°，AB=12,BC=9, =4m2n2+m4-2m2n2+n 所以AC2=AB2+BC2=144+81=225. =m4+2m2n2+n4 因为AC2+CD2=225+82=289,AD2=172=289, =(m2+n2)2. 所以AC2+CD2=AD2. 所以a2+b2=c2. 所以△ACD是直角三角形 19.解：如图所示，画一个直角边长的平方为13的等腰 期中自我测评卷 直角三角形， 1.A2.B3.B4.D5.D6.C7.B8.B 0.C11.6512.1313.45°14.271 16.60° 17.解：如图所示，分别作点P关于AB,点Q关于AC 的对称点P',Q',连接P'Q',交AB于点E,交AC 于点F,则点E,F即为所求 B 20.解：过点A作AM⊥CF于点M.因为AE⊥BD, CF⊥BD,所以AE∥CF,AM∥EF,所以AM⊥ AE,所以∠EAM=90°，AE=MF. 因为∠EAC=120°，∠EAM=90°， 所以∠CAM=30°. 因为AC=24米，所以CM=号AC=12米， 所以FC=MF+CM=AE+CM=3+12=18.解：因为△ABC和△DCE都是等腰直角三角形， 15(米). 所以∠ECD=∠ACB=90°.所以∠ACE=∠BCD, 答：云梯消防车最高点C距离地面的高度CF 在△ACE和△BCD中， 为15米. (AC=BC, 21.解：设AB=x米，则AC=(x+1)米， ∠ACE=∠BCD, 由题意可得∠ABC=90°，BC=5米， CE=CD, 所以AB2+BC2=AC2,即x2+52=(x+1)2. 所以△ACE2△BCD(SAS). 43