第3章1 探索勾股定理-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（鲁教版五四学制2024）

所以∠BAE=∠CAE. 所以OC=5cm, 14.解：(1)如图所示，△A'B'C'即为所求， 所以OA=OC=OB=5cm. (2)如图所示，点P即为所求 P 【通中考】 17.C18.B 19.解：如图所示，过点G作GM⊥AC于点M,GN⊥ BC于点N. 连接A'C交MN于点P, 由轴对称的性质可知AC'经过点P,∠A'PN= ∠APN, 因为∠CPM=∠A'PN, 所以∠APN=∠CPM. 由作图可知CG平分∠ACB,所以GM=GN (3)如图所示，点Q即为所求。 1 因为S△B0G= BC·GN=8,BC=6,所以 GN=8 所以GM=GN=子所以Sac=2AC,GM= 8 1 ×9x-12. M 第三章勾股定理 15.解：(1)因为AB=AC,∠BAC=120°， 1探索勾股定理 所以∠B=2(180-∠BAC)=2(180- 1 第1课时认识勾股定理 1.B2.B3.A4.150 120)=30°. 5.B6.C7.768.18πcm2 因为AB的垂直平分线交BC于点D, 9.28或100 所以AD=BD, 10.B11.C12.B13.C14.6015.50 所以∠BAD=∠B=30°， 16.解：如图所示.由题意易得∠ACB=∠BDE= ∠ABE=90°，所以∠ABC+∠BAC=∠ABC+ 所以∠ADC=180°-∠ADB=∠B+∠BAD= ∠DBE=90°，所以∠BAC=∠DBE.因为AB= 30°+30°=60°. BE,所以△ACB≌△BDE(AAS), (2)因为∠ADC=60°，∠C=30°， 所以BC=DE,AC=BD. 所以∠DAC=90°， 所以根据勾股定理的几何意义，可知S1十S2= 所以AD-名CD, 1.0. 同理，S2+S3=1.21,S3十S4=1.44, 由(1)知BD=AD, 所以S1+S2+S3+S4=2.44. 所以DC=2DB. 16.解：(1)如图所示， 44 因为DF,EG分别是线段AB,AC的垂直平分线， 所以AD=BD,AE=CE, 2B 所以AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC. 17.解：同意小花的说法 因为△ADE的周长为6cm,即AD+DE+AE= 连接BD, 6 cm, 因为AB=AD=5m,∠A=60°， 所以BC=6cm. 所以△ABD是等边三角形， (2)因为AB边的垂直平分线l1交BC于点D,AC 所以BD=5m,∠ABD=60°. 因为∠ABC=150°，所以∠DBC=90° 边的垂直平分线L2交BC于点E, 因为DC=13m,BD=5m,所以CB2=132-52= 所以OA=OC=OB. 122,所以CB=12m. 因为△OBC的周长为16cm,即OC+OB+BC= 16cm, 第2课时验证并应用勾股定理 所以OC+OB=16-6=10(cm), 1.B 17 2.解：(1)ab+b2 302=900, (②)由题意，得a6+6-ab十20-a+ 2c2, 所以BC2+BD2=CD2.所以∠CBD=90°. 所以∠ADB=∠CBD.所以AD∥BC. 所以2ab+2b2=2ab+b2-a2+c2. 所以该材料符合设计要求. 所以a2+b2=c2 (3)因为a2+b2=c2,且c=10,a=6, 6.B7.C8.(1)17(2)259.D10.B11.24 所以62+b2=102,b=8. 12.解：(1)因为AC=300km,BC=400km,AB= 所以S=ab+b2=6×8+64=112. 500km, 答：S的值为112. 所以AC2+BC2=AB2, 3.C4.C5.50 所以△ABC是直角三角形， 6解：如图所示，过点C作CE⊥AB于E.依题意，得 所以∠ACB=90°. AB=2.5 m,CD=1.5 m,CE=BD=2.4 m. (2)海港C不会受到这次台风的影响，理由如下： 如图所示，过点C作CD⊥AB于点D. 西 东 所以AE=2.5-1.5=1(m). A D 在Rt△ACE中，由勾股定理，得 AC2=AE2+CE2=12+2.42=6.76. 所以AC=2.6m, 图为SAc=2AC·BC=ABCD, 即搭在两堵围墙上的石棉瓦至少长2.6m. 即300×400=500CD. 7.A8.76 解得CD=240. 9.解：设AE=xkm,则BE=(80一x)km. 因为240km>200km, 因为AD⊥AB,BC⊥AB, 所以海港C不会受到这次台风的影响， 所以△ADE和△BCE都是直角三角形， 13.解：(1)△BCD是直角三角形.理由：因为BC= 所以DE2=AD2+AE2, CE2=BE2+BC2. 10cm,CD=6cm,BD=8cm,又102=82+62， 又因为AD=50km,BC=30km,DE=CE,所以 所以BC2=BD2+CD2. AD2+AE*=BEBC2 所以△BCD为直角三角形， 所以502+x2=(80-x)2+302, (2)设AB=xcm. 解得x=30. 因为△ABC为等腰三角形， 所以5G信号塔E应该建在离A乡镇30km的 所以AB=AC=xcm,AD=(x-6)cm. 地方. 由(1)得∠BDC=90°，所以∠ADB=90°，所以 10.解：如图所示，连接BD,过点B作 DE边上的高BF,交DE的延长 AB2=AD2+BD2, 线于点F,则BF=b一a. 即x2=(x-6)2+82, 因为S五边形ACBED=S△ACB十S△ABE十 25 所以x= S入AE=2ab十2b+1 1 3, 2b, S五边形ACBED=S△ACB十SAABD十 所以△ABC的周长=2AB+BC=8 3 cm. 2a(6- 14.解：(1)n2-12nn2+1 (2)以a,b,c为边长的三角形是直角三角形，理由 a) 所以6+6+6=专a+ 1 如下： 2c2+ 1 因为a2+b2=(n2-1)2+4n2=n4-2n2+1十 2a(6-a),所以a2+b2=c. 4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2=c2, 所以以a,b,c为边长的三角形是直角三角形. 2一定是直角三角形吗 3勾股定理的应用举例 1.B2.D3.C4.北偏东50° 第1课时勾股定理的实际应用（一）】 5.解：该材料符合设计要求.理由如下： 1.D2.503.B 在△ABD中，AD2+BD2=7+242=625,AB2=4.855.B 252=625, 6.解：将圆筒展开后成为一个长方形，如图所示，整个 所以AD2+BD2=AB2.所以∠ADB=90°. 油纸也随之分成相等4段，所以只需求出AC长 在△BCD中，BC2+BD2=182+242=900,CD2= 即可. 18第三章勾股定理 11/11// 。大单元建构。 /1/1/1 拼图法 探索勾股定理 面积割补法 代数恒等变形 应用 判断三角形的形状 勾股定理 一定是直角三角形吗 勾股数 求直角三角形的边长或面积 最短路线 勾股定理的应用举例 构造直角三角形解决实际问题 折叠问题 111111171 本章核心素养· /11/I11I 学科核心素养 具体内容 价值 感悟数学抽象对于数学产生与发展的 经历勾股定理及直角三角形判别条件（勾股定理逆定理） 作用，感悟用数学的眼光观察现实世 抽象能力 的探索过程，了解勾股定理的各种探究方法及其内在 界的意义，形成数学想象力，提高学习 联系 数学的兴趣 空间观念能更好地理解图形的特征、 能够利用勾股定理及其逆定理进行推理证明，进一步发 推理能力 性质和关系，良好的空间观念可以更 展推理能力 好地构建图形模型，找到解题思路 在解决实际问题时，能够通过构建直角三角形模型的方 推理能力有助于逐步养成重论据、合 模型观念 法简化问题，并利用勾股定理解决问题，体会数学语言的 乎逻辑的思维习惯，形成实事求是的 简洁性与严谨性 科学态度与理性精神 掌握勾股定理及其逆定理，并能应用它们解决简单的实 应用意识有助于用学过的知识和方法 应用意识 际问题.通过实例了解勾股定理的历史与应用，体会勾股 解决简单的实际问题，养成理论联系 定理的应用价值 实际的习惯，发展实践能力 七年级·上册·数学.鲁教版 55 1探索勾股定理 第1课时 认识勾股定理（答案P17) ←通基础 6.教材P76习题3.1.1T3变式如图所示是一棵 美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方 知识点1勾股定理 形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形 1.长方形的一条对角线的长为10cm,一边长为 A,B,C,D的面积分别是3,5,2,3，则最大的 6cm,它的面积是( 正方形E的面积是( A.24 cm2 B.48 cm2 A.47 B.94 C.60 cm2 D.64 cm2 C.13 D.26 2.把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来 7.如图所示，点E在正方形ABCD内，满足 的3倍，则其斜边扩大到原来的( ∠AEB=90°.AE=6,BE=8,则阴影部分的 A.1倍 B.3倍 面积是 C.6倍 D.9倍 3.(泰安肥城期末)如图所示，在四边形ABCD 中，对角线分别为AC,BD,且AC⊥BD交于 20 cm 点O,若AD=2,BC=4,则AB2+CD2的值 16cm 为() 第7题图 第8题图 A.20 B.18 C.16 D.1 8.如图所示，如果半圆的直径恰为直角三角形的 +60- 一条直角边，那么半圆形的面积是 ☆易错点忽略分类讨论导致漏解 50 60 9.已知直角三角形的三边长为6,8，x,则以x为 180 边的正方形的面积为 第3题图 第4题图 4.如图所示是一个外轮廓为长方形的机器零件的 ←通能力业 平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm),计算 10.几何直观如图所示，在Rt△ABC中，分别以 两圆孔中心A和B的距离为 mm. 这个三角形的三边为边向外侧作正方形，面 知识点2利用勾股定理求面积 积分别记为S1,S2,S3.若S3十S2-S1=18, 5.几何直观如图所示，由两个直角三角形和三 则图中阴影部分的面积为( ) 个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积 是() A.16 B.25 C.144 D.169 B. 9 A.6 2 E 7 第5题图 第6题图 C.5 D.2 56 d 11.如图所示，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8, 为1.0,1.21,1.44，摆正放置的四个正方形的 D是线段BC上的动点（不含端点B,C).若 面积分别为S1,S2,S3,S4,则S1十S2+S3十 线段AD的长为正整数，则点D的个数共 S4的值是多少？ 有() A.5个B.4个 C.3个 D.2个 1.44 .21 B 第11题图 第12题图 12.如图所示，各小方格的边长均为1，△ABC的 各顶点都在格点上，则BC边上的高等 于() A.2.5B.2.6 C.1.7 D.1.6 通素养业 13.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，点D在边 17.应用意识小明和小花要测量校园里的一块 BC上，AD=BD,DE平分∠ADB交AB于 四边形场地ABCD(如图所示)的周长，其中 点E.若AC=12,BC=16,则AE的长 边CB上有水池及建筑遮挡，没有办法直接 为() B.8 测量其长度.小明经测量得知AB=AD= A.6 C.10 D.12 5m,∠A=60°，DC=13m,∠ABC=150°. 小花说根据小明所量得的数据可以求出CB 的长度.你同意小花的说法吗？若同意，请求 出CB的长度；若不同意，请说明理由. 第13题图 第14题图 14.(陕西中考)如图所示，在△ABC中，AB= AC,E是边AB上一点，连接CE,在BC的 右侧作BF∥AC,且BF=AE,连接CF.若 AC=13,BC=10,则四边形EBFC的面积 为 15.如图所示，已知所有的四边形都是正方形，所 有的三角形都是直角三角形，其中最大正方 形的边长为5，则A,B,C,D四个小正方形的 面积之和为 16.如图所示，在直线1上依次摆放着七个正方 形，已知倾斜放置的三个正方形的面积分别 △七年级·上册·数学.鲁教版 57 第2课时验证并应用勾股定理（答案P17) (3)请直接运用(2)中的结论，当c=10,a=6 ·通基础 VEMAAKKEKKKKK114111111111114144 时，求S的值. 知识点1勾股定理的验证 1.几何直观某著名学者用一张纸片剪拼出不一 样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图 所示的左图和右图，证明了勾股定理.若设左 边图中空白部分的面积为S1,右边图中空白部 分的面积为S2,则下列对S1,S2所列等式正 确的是( 剪开 右边部分 上下翻转 知识点2勾股定理的应用 A.S=a2+62+2ab B.S=a2+62+ab 3.如图所示是由四个全等的直角三 C.S2=c2 nS,=e+26 角形拼接而成的图形，其中AE 5,BE=12,则EF2的值是( 2.教材P80习题3.1.2T2变式如图所示，在长方 A.49 B.64 形ACDF中，点B在CD上，点E在DF上. C.98 D.63 BC=DE=a,AC=BD=6,AB=BE=c, 4.模型观念如图①所示，某超市为了吸引顾客， AB⊥BE. 在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由 (1)在探究长方形ACDF的面积S时，我们可 传感器控制的门铃A,人只要移至该门口4m 以用两种不同的方法：一种是找到长和宽，然 及4m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎 后利用长方形的面积公式，就可得到S;另一 光临”.如图②所示，一个身高1.5m的学生刚 种是将长方形ACDF看成是由△ABC, 走到D处，门铃恰好自动响起，则该学生头顶 △BDE,△AEF,△ABE组成的，分别求出它 C到门铃A的距离为( 们的面积，再相加也可以得到S. 请根据以上材料，填空： 方法一：S= 方法二：S=S△ABC十SABDE十S AAEF十S△ABE= b+2b-2a+2c 1 12 A.7m B.6m C.5m D.4 m (2)由于(1)中的两种方法表示的都是长方形 5.(东营中考)一艘船由A港沿北偏东60°方向航 ACDF的面积，因此它们应该相等，请利用以 行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航 上的结论求a,b,c之间的等量关系（需要化 行40km至C港，则A,C两港之间的距离为 简) km 58 6.如图所示，有两堵相距2.4m高度分别为 通素养 1IIIIIIIllIIIlIllIIUIIltIIIIu 2.5m和1.5m的围墙，如果在它们的顶部搭 上石棉瓦，就可以搭建出一个可以遮雨的简易 10.推理能力勾股定理神秘而美妙，它的验证方 棚，那么搭在两堵围墙上的石棉瓦至少要 法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给 多长？ 了小聪灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直 角三角形如图①或图②所示摆放时，都可以 用“面积法”来验证，下面是小聪利用图①验 2.5n 证勾股定理的过程： 2.4m ←通能力u 7.下面四幅图中不能证明勾股定理的是() E ① 将两个全等的直角三角形按如图①所示摆 放，其中∠DAB=90°，试说明：a2十b2=c2 8.如图①所示是我国古代著名的“赵爽弦图”的 解：连接DB,过点D作BC边上的高DF,交 示意图，它是由四个全等的直角三角形围成 BC的延长线于点F,则DF=EC=b一a. 的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边 长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图 因为SR=Sm十SAMc=号6十 ②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周 1 可ab,S边形AcB=SAADB十SAcB=,c2 长是 2a(b-a), 所以6+6=+0 +2a(6-a), 所以a2十b2=c2. 请参照上述验证方法，利用图②说明a2+ 9.如图所示，某电信公司计划在A,B两乡镇间 b2=c2. 的E处修建一座5G信号塔，且使C,D两个村 庄到E的距离相等.已知AD⊥AB于点A, BC LAB于点B,AB=80km,AD=50km, BC=30km,求5G信号塔E应该建在离A乡 镇多少千米的地方 △七年级·上册·数学.鲁教版 59