第2章2 简单的轴对称图形-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（鲁教版五四学制2024）

同理可证：△ABE≌△CDF(SAS), 所以∠AEB=∠CFD, 2×180 所以AECF」 =90 提示：不能选择③AF=CF,此时不能判定 即∠CBE=90° △ABF≌△CDE. 2简单的轴对称图形 第二章轴对称 第1课时线段垂直平分线的性质 1 轴对称及其性质 1.A2.B3.134.C5.B 1.C2.D3.② 6.解：如图所示，连接AB,AC,分别作线段AB,AC的 4.解：如图所示. 垂直平分线，两条垂直平分线相交于点P,则点P 就是售票中心的位置（方法不唯一） 「摩天轮 5.B6.①②④7.A8.C 海盗船 9.解：(1)BAC (2)因为∠DAE=108°，∠EAF=39°， 碰碰车 所以根据对称性：∠CAF=∠EAF=39°， 7.C8.A9.A10.1011.56° 所以∠CAE=78°， 12.解：(1)如图①所示，直线m即为所求. 所以∠DAC=∠DAE-∠CAE=108°-78°=30° (2)如图②所示，直线n即为所求， 10.解：如图所示. -J--J----- 11.D12.B13.C14.C15.A ① ② 16.解：(1)如图所示. 13.解：(1)因为BD是线段AE的垂直平分线， 所以AB=BE,AD=DE. 因为△ABC的周长为19，△DEC的周长为7， 所以AB+BE+CE+CD+AD=19,CD+EC+ B DE=CD+CE+AD=7, 所以AB+BE=19-7=12. 所以AB=BE=6. A (2)因为∠ABC=30°，∠C=45°， 1 1 1 所以∠BAC=180°-30°-45°=105°. (2)SAB=4X6-2X2X4- ×2×4 ×2× 2 在△BAD和△BED中， 6=10. BA=BE, 17.解：(1)因为∠1=30°， BD=BD, 所以∠1=∠ABC=30°， DA-DE, 所以∠A'BD=180°-30°-30°=120°. 所以△BAD≌△BED(SSS), (2)因为∠A'BD=120°，∠2=∠DBE, 所以∠BED=∠BAC=105°， 所以∠2=号∠ABD=60, 所以∠CDE=∠BED-∠C=105°-45°=60°. 所以∠CBE=∠1+∠2=30°+60°=90°. 第2课时角平分线的性质 (3)∠CBE的大小不变.理由如下： 1.C2.B3.B4.2.4 因为∠1=2∠ABA',∠2=2∠A'BD, 5.解：(1)因为∠B=50°，∠C=70°， 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=60°. 所以∠1+∠2 因为AD是△ABC的角平分线，所以∠BAD= -2(∠ABA'+∠A'BD) 2∠BAC=30. 10 因为DE⊥AB,所以∠DEA=90° M 所以∠EDA=90°-∠BAD=60°. (2)如图所示，过点D作DF⊥AC于点F. H 因为BE平分∠ABC,所以EM=EH. 因为∠ACE=∠ECH=40°，所以CE平 分∠ACD. 因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB, 所以EN=EH.所以EM=EN=EH. 所以DF=DE=3. 因为AC+CD=14,S△Acn=21, 又因为AB=10,AC=8, 所以SAC=2AB·DE+2AC·DF 2X10X 所以S△ACD=SAACE+SAcD=2AC·EN十 1 2CD·EH=2(AC+CD)·EM=21, 3+2×8×3=27. 6.B 即2×14·EM=21,解得EM=3. 7.解：如图所示，作∠BAD的平分线与BC交于点P, 因为AB=8.5,所以SaAE=号AB·EM=2× 成5Xg-裂 第3课时等腰三角形的性质 1.D2.C3.D4.B 则∠BAP=∠DAP. 又因为AB=AD,AP=AP, 5.解：因为AB=AC,AD是BC边上的中线， 所以△ABP≌△ADP(SAS). 所以AD⊥BC,∠BAD=∠CAD. 故点P即为所求 所以∠CAD+∠C=90°. 8.A9.C 因为BE⊥AC,所以∠CBE+∠C=90°. 10.解：如图所示，连接AC,作AC的垂直平分线MN, 所以∠CBE=∠CAD. 所以∠CBE=∠BAD. 作∠ABC的平分线BE,直线MN交BE于点P, 6.解：因为AB=AE,CD=CE, 点P即为所求。 所以∠AEB=∠B,∠CED=∠D. 因为ABCD,所以∠A+∠C=180°. 因为（∠A+∠B十∠AEB)+(∠C十∠D+ ∠CED)=180°+180°=360°， 所以2∠AEB+2∠CED+(∠A+∠C)=360°，所以 2(∠AEB+∠CED)=180°， 11.解：(1)因为AB/CD,所以∠BAD+∠ADC=180°. 所以∠AEB+∠CED=90°， 因为AM平分∠BAD,DM平分∠ADC, 所以∠BED=180°-（∠AEB+∠CED)=90°. 所以2∠MAD+2∠ADM=180°， 7.C 所以∠MAD+∠ADM=90°， 8.解：(1)90° 所以∠AMD=90°，即AM⊥DM. (2)结论：AF∥EC (2)过点M作MN⊥AD于点N. 理由：因为△ABC是等边三角形，BF=CF,所以 因为∠B=90°，ABCD, 所以BM⊥AB,CM⊥CD, ∠FAC=3∠BAC= 2X60-30%. 因为AM平分∠BAD,DM平分∠ADC, 因为EA=EC,∠AEC=120°，所以∠EAC= 所以BM=MN,MN=CM, 1 所以BM=CM,即M为BC的中点， ∠ECA=2(180°-∠AEC)=30°. 12.解：(1)因为∠ACB=100°，所以∠ACD=180° 所以∠FAC=∠ECA.所以AF∥EC. 100°=80°. 9.C10.C11.D12.C 因为EH⊥BD,所以∠CHE=90°. 13.解：因为AC=CD,所以∠ADC=∠A=50°. 因为∠CEH=50°，所以∠ECH=90°-50°=40°. 又因为CD=BD,所以∠B=∠BCD. 所以∠ACE=80°-40°=40°. 因为∠ADC=180°-∠BDC=∠B+∠BCD,所 (2)如图所示，过点E分别作EM⊥BF于点M, 以∠B=25. EN⊥AC于点N. 因为BD=BE,所以∠BDE=∠BED= 11 180°-∠B =77.5. 所以MB=MN, 2 第4课时等腰三角形的判定 因为∠ADC+∠CDE+∠BDE=180°，所以 ∠CDE=52.5°. 和特殊直角三角形的性质 14.解：EF⊥BC.理由如下： 因为AB=AC,AD是边BC上的高， 1.C2.40° 所以∠BAD=∠CAD. 3.解：因为BD是△ABC的角平分线， 因为AE=AF,所以∠E=∠EFA. 因为∠BAC=180°-∠EAF=180°-(180° 所以∠EBD=∠DBC. ∠E-∠EFA)=∠E+∠EFA= 因为DE∥BC,所以∠EDB=∠DBC, 2∠EFA=2∠BAD, 所以∠EFA=∠BAD,所以EF∥AD, 所以∠EBD=∠EDB,所以ED=EB, 因为AD⊥BC,所以EF⊥BC,即EF与BC的位 所以△BED是等腰三角形， 置关系是EF⊥BC. 15.解：(1)在等边△ACD中， 4.D5.B6.C7.A8.B9.100 ∠CAD=∠ADC=60°，AD=AC. 10.解：因为DE是AB的垂直平分线，BE=6cm, 因为E为AC的中点， 所以∠ADE=号∠ADC=30 所以AE=BE=6cm, 所以∠EAB=∠B=15°， 因为AB=AC,所以AD=AB. 因为∠BAD=∠BAC+∠CAD=160°， 所以∠AEB=180°-∠B-∠EAB=150°， 所以∠ADB=∠ABD=10°， 所以∠BDF=∠ADE-∠ADB=20°. 所以∠AEC=30°. (2)①补全图形，如图所示. 又因为∠C=90°， 所以AC三)AE=3cm 11.B ②如图所示，连接AN. 因为CM平分∠ACB, 12.解：(1)因为AB=BC,∠BAC=60°， 所以设∠ACM=∠BCM=a. 所以△ABC是等边三角形， 因为AB=AC, 所以∠ABC=∠ACB=2a. 所以AC=BC=AB=4. 在等边三角形ACD中， 因为D是AC的中点， 因为E为AC的中点， 所以DN LAC, 所以NA=NC, 所以CD=AD=号AC-日×4=2. 所以∠NAC=∠NCA=a, (2)因为AB=BC,D是AC的中点， 所以∠DAN=60°+a. AB=AD, 所以BD平分∠ABC, 在△ABN和△ADN中，BN=DN, AN-AN. 所以∠ABD=∠DBC. 所以△ABN≌△ADN(SSS), 因为AF∥BC, 所以∠ABN=∠ADN=30°，∠BAN=∠DAN= 60°+a, 所以∠DBC=∠F, 所以∠BAC=60°+2a. 所以∠F=∠ABD, 在△ABC中， 因为∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°， 所以AB=AF, 所以60°+2a+2a+2a=180°， 所以△ABF是等腰三角形， 所以a=20°， 所以∠NBC=∠ABC-∠ABN=10°， 13.解：(1)因为∠BAC=90°，所以∠AGB+ 所以∠MNB=180°-∠BNC=180°-(180° ∠ABG=90°. ∠NBC-∠NCB)=30°， 所以∠MNB=∠MBN, 因为AD⊥BC, 12 所以∠BED十∠DBE=90°. 又因为∠BAD=∠ACE=90°， 又因为BG平分∠ABC, 所以△ABD≌△CAE(ASA). 所以AD=CE. 所以∠ABG=∠DBE, 4.解：(1)因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠AGB=∠BED. 所以∠BAD=∠CAD. 因为∠BED=∠AEG, 由作图知AE=AF. (AE=AF, 所以∠AGB=∠AEG,所以AE=AG. 在△ADE和△ADF中，∠BAD=∠CAD, (2)因为∠BAC=90°，∠C=30°， AD-AD, 所以∠ABC=60°. 所以△ADE≌△ADF(SAS). 因为AD⊥BC,所以∠BAD=30°. (2)因为∠BAC=80°，AD为△ABC的角平分线， 因为BG平分∠ABC, 所以∠EAD=2∠BAC=A 所以∠ABG=∠CBG=30°， 由作图知AE=AD,所以∠AED=∠ADE. 所以∠CBG=∠C,∠BAD=∠ABG,∠AGB= 所以∠ADE=号×180°-40)=70 90°-30°=60°， 因为AB=AC,AD为△ABC的角平分线， 所以BG=CG,AE=BE. 所以AD⊥BC. 所以∠BDE=90°-∠ADE=20° 由(1)，得AE=AG, 5.解：(1)BE=CE.理由： 所以△AEG是等边三角形， 因为AB=AC,点D是BC的中点， 所以AG=GE=AE=BE. 所以∠BAE=∠CAE. 又因为EF∥BC, 在△ABE和△ACE中， AB=AC, 所以∠GEF=∠CBG=30°，∠GFE=∠C=30°， 3∠BAE=∠CAE, 所以∠GEF=∠GFE,所以GE=GF, AE=AE, 所以GE=BE=FC=GF, 所以△ABE≌△ACE(SAS), 所以BE=CE. 所以AG=GF=FC. 1 专题二等腰三角形与 (2)BD=2AE.理由： 因为∠BAC=45°，BF⊥AF, 全等三角形的综合应用 所以△ABF为等腰直角三角形， 1.76 所以AF=BF. 2.解：因为线段CD垂直平分AB,所以AC=BC, 由(1)，知AD⊥BC, 所以∠EAF+∠C=∠CBF+∠C=90°. AD=BD. 所以∠EAF=∠CBF. 所以∠CAB=∠CBA,∠BAD=∠ABD. ∠EAF=∠CBF, 所以∠CAB+∠BAD=∠CBA+∠ABD,即 在△AEF和△BCF中，AF=BF, ∠AFE=∠BFC=90°， ∠CBE=∠CAF 所以△AEF≌△BCF(ASA), 又因为BC=AC,∠BCE=∠ACF, 所以AE=BC. 所以△BCE≌△ACF(ASA). 因为BD-BC,所以BD 所以BE=AF.所以DE=DF. 6.解：(1)因为△ABC是等边三角形， 3.解：因为AE∥BD,所以∠EAC=∠ACB. 所以∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°. 因为AB=AC,所以∠B=∠ACB. 所以∠EBD=∠DCF=120°. 所以∠EAC=∠B. 因为DF=AD,所以∠CAD=∠F. 13 又因为∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，∠CDF+ ∠EDF=∠GDC=60°.所以∠EDG=∠FDC. ∠F=180°-∠DCF=∠ACB=60°，所以 ED=DF, ∠BAD=∠CDF 在△EGD和△FCD中，∠EDG=∠FDC, 因为DE=AD,所以∠BAD=∠E. DG=CD, 所以∠E=∠CDF. 所以△EGD≌△FCD(SAS), (2)△CFD周长的变化规律是先变小后变大. 所以EG=CF. (∠EBD=∠DCF, 所以CF=EG=CG+CE=CD+CE,即CF= 理由：在△BDE和△CFD中，∠E=∠CDF, CD+CE. DE-FD, 所以△BDE≌△CFD(AAS),所以CF=BD, 阶段检测二（1~2) 所以△CFD的周长为CD十CF+DF=CD+BD+ 1.D2.B3.B4.C5.B6.D AD=BC+AD. 7.488.409.120°10.3211.4 因为在点D从B运动到C的过程中，BC长不变， 12.解：(1)如图所示，△A'BC'为所作. AD长先变小后变大，其中当点D运动到BC的中 点位置时，AD长最小， 所以在点D从B运动到C的过程中，△CFD周长 的变化规律是先变小后变大。 7.解：【问题解决】如图①所示，在CD上截取CH= CE. 因为△ABC是等边三角形，所以 ∠ECH=60°. (2)如图所示，点P为所作. 所以△CEH是等边三角形.所以 13.解：(1)因为BD平分∠ABC,所以∠DBC= EH=EC=CH,∠CEH=60°. 2∠ABc-2x60=30 因为△DEF是等边三角形，所以 DE=FE,∠DEF=60°」 ① 因为CD平分∠ACB,所以∠DCB= 2∠ACB= 所以∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=6O°.所 以∠DEH=∠FEC. 3×40=20 (DE=FE, 所以∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°- 在△DEH和△FEC中，∠DEH=∠FEC,所以 30°-20°=130°. EH=EC, (2)过点D作DF⊥AC于点F,DH⊥BC于点H, △DEH≌△FEC(SAS). 如图所示。 所以DH=CF.所以CD=CH+DH=CE+CF, 即CE十CF=CD. 【类比探究】线段CE,CF与CD之间的数量关系是 CF=CD+CE. 理由：如图②所示，过点D 因为BD平分∠ABC,DE⊥AB,DH⊥BC, 作DG∥AB,交AC的延长 所以DH=DE=2. 线于点G. 因为CD平分∠ACB,DF⊥AC,DH⊥BC, 因为△ABC是等边三角形， 所以DF=DH=2. 所以∠A=∠B=60°. 1 ② 所以△ADC的面积=2DF·AC=2×2X6=6, 因为GD∥AB,所以 14.解：(1)65 ∠GDC=∠B=60°，∠DGC=∠A=60°. (2)AP=QM,理由如下： 所以∠GDC=∠DGC=60°.所以△GCD为等边三 如图所示，连接AQ. 角形， 因为∠ACB=90°，所以AC⊥PQ. 所以DG=CD=CG. 所以∠ACP=∠ACQ: 因为△EDF为等边三角形，所以ED=DF, 在△ACP和△ACQ中， 142简单的轴对称图形 第1课时 线段垂直平分线的性质（答案P10) ←通基础 知识点1线段垂直平分线的性质 1.如图所示，已知直线1垂直平分线段AB,P是 直线L上一点，若PA=1,则PB() A.等于1 B.小于1 C.大于1 D.不能确定 5.如图所示，在△ABC中，分别以点B和点C为 圆心，大于2BC的长为半径画弧，两弧相交于 点M,N.作直线MN,交AC于点D,交BC 于点E,连接BD.若AC=16,BD=5,则AD 第1题图 第2题图 的长为( 2.如图所示，在△ABC中，AB边的垂直平分线 A.10 B.11 C.12 D.13 分别交边AC于点E,交边AB于点D.若AC 的长为9cm,BE的长为6cm,则EC的长 为() A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 3.(青岛菜西期中)如图所示，在△ABC中， 6.应用意识如图所示，某游乐园有海盗船、摩天 AB=8,AC=5,BC=6,BC的垂直平分线交 轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在游乐园内建 AB于点E,交BC于点D,则△ACE的周 一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到 长为 售票中心的距离都相等，请在图中确定售票中 心的位置。 摩天轮 R B海盗船 知识点2线段垂直平分线的尺规作图 C碰碰车 4.已知△ABC(AC<BC),如图所示，用尺规在 BC上确定一点P,使PA=PB,则下列四种作 图方法正确的是() △七年级·上册·数学.鲁教版 35 通能力 LLAEEEKKKK341111131111111414111 接AC.若∠CDA=34°，则∠CAB的度 数为 7.如图所示，DE,DF分别是线段AB,BC的垂 12.请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画 直平分线，连接DA,DC,则() 法，保留画图痕迹。 A.∠A=∠C B.∠B=∠ADC (1)如图①所示，在四边形ABCD中，AB= C.DA=DC D.DE=DF AD,∠B=∠D,画出四边形ABCD的对称 轴m. (2)如图②所示，在四边形ABCD中，AD∥ BC,∠A=∠D,画出BC边的垂直平分线n. 第7题图 第8题图 8.如图所示，在△ABC中，点O是△ABC内一 点，连接OB,OC.已知OD垂直平分AB,若 OB=OC=4,则点A,O之间的距离为( A.4 B.8 C.2 D.6 ② 9.如图所示，在△ABC中，分别以点A和点B为 圆心，以大于2AB的长为半径作弧，两弧相交 于点M和点N,作直线MN交AB于点D,交 AC于点E,连接CD.已知△CDE的面积比 △CDB的面积小5，则△ADE的面积 通素养》 为() A.5 B.4 C.3 D.2 13.(淄博桓台期中)如图所示，在△ABC中，点 米MC E是BC边上的一点，连接AE,BD垂直平分 AE,垂足为F,交AC于点D,连接DE, (1)若△ABC的周长为19，△DEC的周长为 米W 7,求AB的长。 第9题图 第10题图 (2)若∠ABC=30°，∠C=45°，求∠CDE的 10.如图所示，在△ABC中，边AB,AC的垂直平 度数 分线分别交BC于点D,E.若△ADE的周长 是10，则BC的长为 11.(广元中考)如图所示， a仍，直线l与直线a,b 分别交于B,A两点，分 别以点A,B为圆心，大 于AB的长为半径画弧，两孤相交于点E, F,作直线EF,分别交直线a,b于点C,D,连 36 第2课时 角平分线的性质（答案P10) 通基础 BAAEKEK444114114114127441117747 (1)求∠EDA的度数. (2)若AB=10,AC=8,DE=3,求S△ABC· 知识点1角平分线的性质 1.如图所示，点P在∠AOB的平分线上，过点P 作PC⊥OA,交OA于点C,且PC=8,则点P 到OB的距离为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 o --k-1-1---} 知识点2角平分线的尺规作图 第1题图 第2题图 6.如图所示，在△ABC中，AB=5,AC=4,以点 A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB,AC 2.如图所示，下列各点中，到∠AOB两边距离相 于点D和E,再分别以点D,E为圆心，大于 等的是( ) A.点P B.点Q DE的长为半径作弧，两弧交于点F,连接 C.点M D.点N AF并延长交BC于点G,GH⊥AC于点H, 3.如图所示，在四边形ABCD中，∠A=90°， GH=2,则△ABG的面积为( AD=3,BC=5,对角线BD平分∠ABC,则 △BCD的面积为( ) A.8 B.7.5 C.15 D.无法确定 A.4 B.5 C.9 D.10 7.已知：如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD. 求作一点P,使点P在BC上，且△ABP≌ △ADP. 2 第3题图 第4题图 4.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分 ∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E.若 BC=4,DE=1.6,则BD的长为 5.如图所示，在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E. △七年级·上册.数学.鲁教版 37 11.如图所示，在四边形ABCD中，∠B=90°， 通能力 III1/1111I/I11/11II1I//I/11I1/ AB∥CD,M为BC边上的一点，且AM平分 8.如图所示，△ABC的三边AB,AC,BC的长分 ∠BAD,DM平分∠ADC.试说明： 别为6,4,8，其三条内角平分线将△ABC分成 (1)AM⊥DM. 3个三角形，则S△OAB:SAOAC:S△OBC等 (2)M为BC的中点. 于() B A.3:2:4 B.1:1:1 C.2:3:4 D.4:3:2 9.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点 D,AE平分∠BAC交BC于点E,F为BC延 长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于点 G,AC的延长线交FG于点H,连接BG.下列 结论：①∠DAE=∠F;②∠DAE= 通素养mw恤 2(☑ABD-/ACE);③SAB·SAMc= 12.推理能力如图所示，在△ABC中，点D在边 AB:AC.其中正确的结论有( ) BC的延长线上，∠ACB=100°，∠ABC的平 分线交AD于点E,过点E作EH⊥BD,垂 足为点H,且∠CEH=50°. (1)求∠ACE的度数 H (2)若AC+CD=14,AB=8.5,且S△AcD= A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 21,求△ABE的面积. 10.如图所示，要在公园（四边形ABCD)中建造 一座音乐喷泉（记为点P),使喷泉P到公园 A 两个出入口A,C的距离相等，且到公园的围 墙AB,BC的距离相等.请用尺规作图确定 喷泉P的位置.（不写作法，保留作图痕迹） 38 第3课时 等腰三角形的性质（答案P11) 通基础》 6.如图所示，AB∥CD,点E是线段AC上一点，且 AB=AE,CD=CE,求∠BED的度数. 知识点1等腰三角形的轴对称性 1.下列有关等腰三角形的说法，正确的是( A.等腰三角形有三条对称轴 B.等腰三角形顶角平分线是它的对称轴 C.等腰三角形底边上的中线是它的对称轴 D.等腰三角形底边上的高所在的直线是它的 对称轴 知识点3等边三角形的性质 知识点2等腰三角形的性质 7.如图所示，AB∥CD,△ACE为等边三角形， 2.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等 ∠DCE=40°，则∠EAB等于() 腰三角形的顶角为( D A.50° B.80° C.50°或80° D.40°或65° 3.如图所示，在△ABC中，AB=AC,CE是 ∠ACB的平分线.若∠A=50°，则∠AEC的 B.30° 度数是() A.40 C.20 D.15 A.50° B.65° C.82.5°D.97.5° 8.如图所示，△ABC是等边三角形，△ACE是等 腰三角形，∠AEC=120°，AE=CE,F为BC 的中点，连接AF, (1)直接写出∠BAE的度数为 (2)判断AF与CE的位置关系，并说明理由， 第3题图 第4题图 4.△ABC与△ACD的边长如图所示，其中AC 为两个三角形的公共边.当△ABC为等腰三 角形时，边AC的长为() A.2 B.3 C.4 D.5 5.如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD是BC ☆易错点 等腰三角形中角的度数或边的长度 边上的中线，BE⊥AC于点E. 分类讨论时易出错 试说明：∠CBE=∠BAD. 9.如图所示，点P是射线 ON上一动点，∠AON= 30°，当△AOP为等腰三 角形时，∠A的度数一定不可能是() A.120°B.75 C.60° D.30° △七年级·上册·数学.鲁教版 39 14.如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD是边 通能力 III1/1111I/I/1/11lHI111///11 BC上的高，点E在CA的延长线上，AE= 10.（佛山南海区模拟)如图所示，直线m∥n, AF,试判断EF与BC的位置关系，并说明 △ABC是等边三角形，顶点B在直线n上， 理由. 直线m交AB于点E,交AC于点F,若 ∠1=135°，则∠2的度数是() A.75° B.95° C.105° D.135° 11.如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC 于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F. 下列结论：①∠BAD=∠CAD;②AD上任 通素养 意一点到AB,AC的距离相等；③BD=CD; 15.推理能力在△ABC中，AB=AC,在△ABC ④若点P在直线AD上，则PB=PC.其中正 的外部作等边三角形ACD,E为AC的中 确的是( ) 点，连接DE并延长交BC于点F,连接BD. A.① B.①② (1)如图①所示，若∠BAC=100°，求∠BDF C.①②③ D.①②③④ 的度数. (2)如图②所示，∠ACB的平分线交AB于点 M,交EF于点N,连接BN. ①补全图②.（保留作图痕迹） ②若BN=DN,试说明：MB=MN. 第11题图 第12题图 12.如图所示，等腰△ABC的底边BC长为6，面 积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交 AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中 点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周 长的最小值为() A.6 B.8 C.9 D.10 13.如图所示，在△ABC中，D为AB上一点，E 为BC上一点，且AC=CD=BD=BE, ∠A=50°，求∠CDE的度数. 40 d 第4课时等腰三角形的判定和特殊直角三角形的性质（答案P12) 通基础 的固定点)；如图②所示，若衣架收拢时， ∠AOB=60°，则此时A,B两点之间的距离 知识点1等腰三角形的判定 是( ) 1.在△ABC中，其中两个内角度数如下，则能判 定△ABC为等腰三角形的是() A.∠A=40°，∠B=50 B.∠A=40°，∠B=60° ② C.∠A=40°，∠B=70° A.8 cm B.16 cm D.∠A=40°，∠B=809 C.12 cm D.6 cm 2.在△ABC中，若∠A=100°，则∠B= 知识点3含30°角的直角三角形的性质 时，△ABC是等腰三角形 6.如果直角三角形的一个锐角为30°，而斜边与较 3.推理能力如图所示，BD是△ABC的角平分 短的直角边之和为18cm,那么斜边长为() 线，DE∥BC,交AB于点E.试说明：△BED A.6 cm B.9 cm C.12 cm D.14 cm 是等腰三角形 7.如图所示，△ABC是边长为a的等边三角形， D是BC边的中点，DE⊥AC于点E,则CE 的长为( 1 A.4 3a 24 D.a D 第7题图 第8题图 知识点2等边三角形的判定 8.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是 4.以下关于判定等边三角形的说法： 边AB上的高，∠A=30°，BD=4,则AB的长 ①三条边相等的三角形是等边三角形； 为( ②有一个角是60的等腰三角形是等边三角形； A.14 B.16 C.8 D.12 ③有两个角为60°的三角形是等边三角形： 9.应用意识如图所示，河流两岸a,b互相平行， ④三个角相等的三角形是等边三角形， 点A,B是河岸a上的两座建筑物，点C,D是 其中正确的是( ) 河岸b上的两点，A,B的距离约为200米.某 A.只有①②③ B.只有①②④ 人在河岸b上的点P处测得∠APC=75°， C.只有①③④ D.①②③④ ∠BPD=30°，则河流的宽度约为 米 5.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不 太方便操作，小颖同学设计一种衣架，在使用 时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如 75 30 图①所示，衣架杆OA=OB=16cm(O为衣架 △七年级·上册·数学.鲁教版 41 10.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°， 通素养 IIIIIIIIIlIL ∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE= 6cm,求AC的长. 13.如图①所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°， AD⊥BC于点D,BG平分∠ABC,交AD于 点E,交AC于点G (1)试说明：AE=AG, (2)如图②所示，过点E作EFBC,交AC于点 F,若∠C=30°，试说明：AG=GF=FC 之通能力mww 11.如图所示，已知∠AOB=60°，点P在边OA 上，OP=10,点M,N在边OB上，PM=PN. 若MN=2,则OM的长为() 人60° M N A.3 B.4 C.5 D.6 12.在△ABC中，AB=BC,D是AC的中点，连 接BD (1)如图①所示，若∠BAC=60°，AB=4,求 CD的长 (2)如图②所示，过点A作AF∥BC交BD的 延长线于点F,试说明：△ABF是等腰三 角形 42 △ 专题二等腰三角形与全等三角形的综合应用（答案P13) 类型1)等腰三角形与全等三角形的综合应用 4.(苏州中考)如图所示，在△ABC中，AB= 1.(烟台莱州期中)如图所示，已知AB,CD相交 AC,AD为△ABC的角平分线.以点A圆心， 于点E,若△ABC≌△ADE,∠BAC=28°，则 AD长为半径画弧，与AB,AC分别交于点E, ∠ACD的度数是 F,连接DE,DF (1)试说明：△ADE≌△ADF, (2)若∠BAC=80°，求∠BDE的度数. B 2.如图所示，线段CD垂直平分线段AB,CA的 延长线交BD的延长线于点E,CB的延长线 交AD的延长线于点F.试说明：DE=DF 5.(泰安岱岳区期末)在△ABC中，AB=AC,点D 是BC的中点，点E是AD上任意一点， (1)如图①所示，连接BE,CE,则BE和CE相 等吗？说明理由. (2)当∠BAC=45°，BE的延长线与AC垂直 3.如图所示，在△ABC中，AB=AC,作AD⊥ 相交于点F时，如图②所示，BD和，AE相等 AB交BC的延长线于点D,作AE∥BD、 吗？请说明理由. CE⊥AC,且AE,CE相交于点E.试说明： AD=CE. △七年级·上册·数学.鲁教版H L43 类型2》等边三角形与全等三角形的综合应用 7.探究拓展如图所示，在等边△ABC中，点E 6.如图所示，△ABC是等边三角形，D是线段 是边AC上一定点，点D是直线BC上一动 BC上一点（不与点B,C重合），连接AD,点 点，以DE为一边作等边△DEF,连接CF. E,F分别在线段AB,AC的延长线上，且 【问题解决】 DE=DF=AD. 如图①所示，若点D在边BC上，试说明： (1)试说明：∠E=∠CDF, CE+CF=CD. (2)判断点D从B运动到C的过程中，△CFD 【类比探究】 周长的变化规律，并说明理由. 如图②所示，若点D在边BC的延长线上，请 探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量 关系？并说明理由 44