第1章4 利用三角形全等测距离-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（鲁教版五四学制2024）

(BD=CD, 由(1)知∠B=30°， ∠BDG=∠CDE, 所以∠BAC=90°-30°=60°， DG=DE, 所以∠CAE=∠DAE=30° 所以△BDG≌△CDE 在△ACE与△ADE中， (SAS), 「∠CAE=∠DAE, 所以BG=CE,∠G=∠CED= ∠C=∠ADE, 90°=∠CEF. AE=AE, 在 △ABG 和△FCE 因为△ACE≌△ADE(AAS). ∠BAD=∠F, 15.解：CE=BD且CE⊥BD,理由： 中，∠G=∠CEF, 因为∠BAC=∠DAE=90°，∠BAD=∠BAC+ BG=CE, ∠CAD,∠CAE=∠CAD+∠DAE, 所以△ABG≌△FCE(AAS), 所以∠BAD=∠CAE. 所以AG=EF, BA=CA, 所以AG-AE=EF-AE,即EG=AF. 在△BAD和△CAE中， ∠BAD=∠CAE, 因为EG=2DE, AD=AE, 所以AF=2DE. 所以△BAD≌△CAE(SAS), 阶段检测一（1~3) 所以BD=CE,∠ABD=∠ACE 因为∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC=∠ABD+ 1.A2.B3.C4.D5.B6.B7.C ∠DBC, 8.45°9.稳定10.211.70° 所以∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°， 12.AD=BD(答案不唯一) 所以∠BDC=90°，所以CE⊥BD. 13.解：(1)因为∠BAC=90°，AD是边BC上的高， 所以)AB·AC=专BC·AD, 4利用三角形全等测距离 1.B2.D3.A 所以AD=AB:AC_6X8-4.8(cm. 4.解：由题意，得AC=BC,∠ACB=90°， BC 10 AD⊥DE,BE⊥DE, (2)方法一：因为△ABC是直角三角形，∠BAC= 所以∠ACD+∠BCE=90°， 90°，AB=6cm,AC=8cm, ∠ADC=∠CEB=90°， 所以S6e-号AB·AC-号×6X8=24(em）. 所以∠ACD+∠DAC=90°， 所以∠BCE=∠DAC. 又因为AE是BC边上的中线，所以BE=EC. 在△ADC和△CEB中， 所以2BE·AD-乞EBC·AD,即S△AaE=SAAC, I∠ADC=∠CEB, ∠DAC=∠ECB, 1 所以S△ABE=2S△ABc=12(cm2). AC=CB, 所以△ADC≌△CEB(AAS), 方法二：因为BE=2BC=5cm,由(1)知AD= 所以AD=EC,DC=BE 4.8cm, 由题意，得AD=EC=3X2=6(cm),DC=BE= 所以SoA-BE·AD-号×5X48-12em). 7×2=14(cm), 所以DE=DC+CE=14+6=20(cm), (3)因为AE为BC边上的中线， 即两堵木墙之间的距离为20cm. 所以BE=CE, 5.解：可行 所以△ACE的周长-△ABE的周长=AC+ 如图所示，连接AB,AD AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6= 因为AC∥BD,所以∠CAD=∠BDA. 2(cm),即△ACE和△ABE的周长的差是2cm. 又因为AC=DB,AD=DA, 14.解：(1)因为在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC 所以△ACD≌△DBA(SAS).所以AB=CD. 2∠B, 所以2∠B+∠B=90°， 所以∠B=30°. (2)△ACE≌△ADE.(答案不唯一) 理由如下： 6.D7.1.1km 在Rt△ACE中，∠C=90°，∠AEC=60°， 8.解：同意 所以∠CAE=30°. 理由：因为∠DCB=100°，∠ADC=65°， 所以∠A=180°-∠DCA-∠ADC=15°. 3.解：(1)AB=DF,AB⊥DF.解析： 因为∠E=15°，所以∠A=∠E. 延长AB交DF于点M,如图①所示： ∠A=∠E, 在△DCA和△BCE中，3∠ACD=∠ECB, CD=CB, 所以△DCA≌△BCE(AAS).所以AC=EC. 因为BC=CD,所以AB=DE. 所以测得DE的长就是A,B两点间的距离. ① 9.解：(1)可行.理由如下： 因为四边形ACDE和四边形BCFG均为正方形， 在△ABC和△DEC中， ∠ACB=90°， 所以AC=DC,∠ACB=∠DCF=90°，BC=FC, (AC=DC, 所以△ACB≌△DCF(SAS), ∠ACB=∠DCE, 所以AB=DF,∠BAC=∠FDC. CB=CE, 因为∠FDC+∠DFC=90°， 所以△ABC≌△DEC(SAS),所以AB=DE. 所以∠BAC+∠DFC=90°， 所以∠AMF=90°， (2)AB∥DE 所以AB⊥DF. 因为AB∥DE,所以∠B=∠BDE. (2)①AB=DF,AB⊥DF,理由如下： 在△ABC和△EDC中， 延长AB交DF于点M,交CD于点N,如图② ∠B=∠CDE, 所示： D CB=CD, ∠BCA=∠DCE, 所以△ABC≌△EDC(ASA), 所以AB=DE. ② ★问题解决策略：特殊化 因为四边形ACDE和四边形BCFG均为正方形， 所以∠ACD=∠BCF=90°，AC=DC,BC=FC, 1片 所以∠ACD-∠BCD=∠BCF-∠BCD, 即∠ACB=∠DCF, 2.解：(1)因为∠A=42°，∠B=66°， 所以△ACB≌△DCF(SAS), 所以∠ACB=180°-∠A-∠B=72° 所以AB=DF,∠BAC=∠FDC. 因为CE是∠ACB的平分线， 因为∠ANC=∠DNM, 所以∠ACN=∠DMN=90°， 所以∠BCB=∠ACB=36 所以AB⊥DF. ②改变点B的位置，AB与DF之间的关系依然成 因为CD是AB边上的高，所以∠BDC=90°， 立，即AB=DF,AB⊥DF,理由如下： 所以∠BCD=90°-∠B=90°-66°=24°， 设AB交CD于点N,交DF于点M,如图③所示. 所以∠DCE=∠ECB-∠BCD=36°-24°=12°. E D (2)因为∠A=a,∠B=B, 所以∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-a-B. 因为CE是∠ACB的平分线， 所以∠ECB=号∠ACB=(180-a-AD. 因为CD是AB边上的高，所以∠BDC=90°， 因为四边形ACDE和四边形BCFG均为正方形， 所以∠ACD=∠BCF=90°，AC=DC,BC=FC, 所以∠BCD=90°-∠B=90°-B, 所以∠ACD+∠BCD=∠BCF+∠BCD, 所以∠DCE=∠ECB-∠BCD=2(180-&- 即∠ACB=∠DCF, 所以△ACB≌△DCF(SAS), Bgy-(90-8-5A-70. 1 所以AB=DF,∠BAC=∠FDC. 因为∠ANC=∠DNM, 所以∠ACN=∠DMN=90°， 所以∠AEB=∠FEB=90°. 所以AB⊥DF 又因为BE=BE, 专题一 添加辅助线构造 所以△ABE≌△FBE(SAS), 全等三角形的技巧 所以∠ABE=∠FBE, 所以BD平分∠ABC. 1.解：延长AD到点E,使DE=AD, 4.解：AE=BE 则AE=2AD,连接BE 理由：如图所示，在CE上截取CF=DE,连接BF 因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD. 在△ADE和△BCF中， 在△ADC和△EDB中， AD=BC, (AD=ED, ∠3=∠4， ∠ADC=∠BDE, DE=CF, CD=BD, 所以△ADE≌△BCF(SAS) 所以△ADC≌△EDB(SAS), 所以AE=BF,∠AED=∠CFB 所以BE=AC=6. 因为∠AED+∠BEF=180°，∠CFB+∠EFB= 因为AB=8,所以8-6<2AD<8+6, 180°，所以∠BEF=∠EFB. 所以1<AD<7. 过点B作BM⊥DE于点M,如图所示，所以 2.解：(1)AM平分∠BAD.理由：如图所示，过点M ∠BMF=∠BME 作ME⊥AD,垂足为点E. ∠BFE=∠BEF, 因为M是BC的中点，所以MC=MB. 在△BMF和△BME中，{∠BMF=∠BME, 因为DM平分∠ADC,所以∠1=∠2. BM=BM, 因为MC⊥CD,ME⊥AD,所以 0 所以△BMF≌△BME(AAS), ∠C=∠DEM=90°.又因为 所以BF=BE,所以AE=BE, DM-DM, 所以△DEM≌△DCM(AAS), 本章综合提升 所以MC=ME=MB,DC=DE. 【本章知识归纳】 因为AD=AB+CD=AE+DE, 首尾顺次相接180°互余大于小于等腰 所以AB=AE. 线段相等相等三边两角及其夹边两角 在△AEM和△ABM中，因为ME=MB, 一组等角的对边 两边及其夹角 ∠AEM=∠B,AE=AB, 【思想方法归纳】 所以△AEM≌△ABM(SAS), 【例1】A 所以∠3=∠4，所以AM平分∠BAD. 【变式训练1】解：(1)因为∠A:∠ABC:∠ACB= (2)AM⊥DM.理由： 3:4:5, 因为∠B=∠C=90°， 所以设∠A=3a,则∠ABC=4a,∠ACB=5a. 所以DC⊥CB,AB⊥CB,所以CD∥AB, 因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°， 所以∠CDA+∠DAB=180°. 所以3a+4a+5a=180°， 又因为∠1=2∠CDA,∠3= ∠DAB, 解得a=15. 所以∠ACB=5a=75°.所以△ABC的最大内角的度 所以2∠1+2∠3=180°， 数为75°. 所以∠1+∠3=90°， (2)因为BD是高，所以∠BDC=90° 所以∠AMD=90°，即AM⊥DM. 因为∠CBD=40°，所以∠BCD=90°-∠CBD=50° 3.解：(1)因为AE⊥BD, 因为CE是角平分线，所以∠ACE=2∠BCD=25 1 所以∠AEB=90°=∠C, 所以∠EAC+∠ADE=90°， 因为∠A=69°，所以∠AEC=180°-∠A-∠ACE ∠DBC+∠BDC=90° 180°-69°-25°=86°. 又因为∠ADE=∠BDC, 【例2】解：因为AE⊥CD, 所以∠EAC=∠DBC. 所以∠AEC=90°， (2)延长AE,BC交于点F. 所以∠ACE+∠CAE=90°. 在△ACF和△BCD中， 因为∠ACE+∠BCF=90°， I∠FAC=∠DBC, 所以∠CAE=∠BCF. AC=BC, 因为AE⊥CD,BF⊥CD, ∠ACF=∠BCD, 所以∠AEC=∠BFC=90°. 所以△ACF≌△BCD(ASA), 在△ACE与△CBF中， 所以AF=BD. I∠AEC=∠BFC, 因为BD-2AE,AE十EF=BD, ∠CAE=∠BCF, 所以AE=FE. AC=BC, 因为BE⊥AF, 所以△ACE≌△CBF(AAS), 84 利用三角形全等测距离（答案P6) 墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角 之通基础 板(AC=BC,∠ACB=90),点C在DE上，点 知识点全等三角形的应用 A和点B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙 1.(南宁期末)如图所示，用螺丝钉将两根小棒 之间的距离 AD,BC的中点固定，利用全等三角形知识，测 得CD的长就是锥形瓶内径AB的长.其中，判 定△AOB和△DOC全等的方法是( ) A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 5.如图所示，A,B两点之间被一个池塘隔开，无 法直接测量.小明设计了如下方案：在池塘同 侧取C,D两点，使得AC∥BD,且AC=BD, 连接CD,量出CD的长即得AB的长，你认为 小明的设计方案可行吗？若可行，请说明 第1题图 第2题图 AB=CD;若不可行，请说明理由. 2.(西安碑林区月考)如图所示，小明站在河边的 点A处，在河对面（小明正北方向）的点B处 有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于 是他向正西方向走了10米到达一棵树C处， 接着再向前走了10米到达D处，然后他左转 90°直行，当他看到电线塔、树与自己现处的位 置E在一条直线时，DE的长度就是AB的长 V11KKH1111 度，他的依据是() 通能力 A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA 6.如图所示，将一根笔直的竹竿斜 A 3.如图所示，在平分角的仪器中， 放在竖直墙角AOB中，初始位 C AB=AD,BC=DC,将点A放在 置为CD,当一端C下滑至C' 一个角的顶点，AB和AD分别与 时，另一端D向右滑到D',则下 这个角的两边重合，能说明AC就 列说法正确的是() 是这个角的平分线的数学依据是( A.下滑过程中，始终有CC'=DD A.SSS B.ASA B.下滑过程中，始终有CC'≠DD C.SAS D.AAS C.若OC<OD,则下滑过程中，一定存在某个 4.如图所示，王强同学用10块高度都是2cm的 位置使得CC'=DD 相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木 D.若OC>OD,则下滑过程中，一定存在某个 位置使得CC'=DD 24 7.如图所示，A,B,C,D是四个村庄，B,D,C在 通素养 ATEEKK1H1211121111111111414 一条东西走向公路的沿线上，BD=1km, DC=1km,村庄A,C间，A,D间也有公路相 9.抽象能力【问题情境】 连，且公路AD是南北走向，AC=3km,只有 如图所示，池塘的两端有A,B两点，现需要测 A,B之间由于间隔了一个小湖，所以无直接 量该池塘的两端A,B之间的距离，需要如何 相连的公路.现决定在湖面上造一座斜拉桥， 进行呢？ 测得AE=1.2km,BF=0.7km.则建造的斜 拉桥的长度至少有 ① ② 【方案解决】 同学们想出了如下的两种方案： 方案①：如图①所示，先在平地上取一个可直 8.(运城盐湖区期末)学习《利用三角形全等测距 接到达A,B的点C,再连接AC,BC,并分别 离》后，“开拓”小组同学就“测量河两岸A,B 延长AC至点D,BC至点E,使DC=AC, 两点间距离”这一问题，设计了如下方案：如图 EC=BC,最后量出DE的长就是AB的距离； 所示，在点B所在河岸同侧平地上取点C和点 方案②：如图②所示，过点B作AB的垂线 D,使点A,B,C在一条直线上，且CD=BC, BF,在BF上取C,D两点，使BC=CD.接着 测得∠DCB=100°，∠ADC=65°，在CD的延 过点D作BD的垂线DE,在垂线上选一点E, 长线上取一点E,使∠E=15°，这时测得DE 使A,C,E三点在一条直线上，则测出DE的 的长就是A,B两点间的距离.你同意他们的 长即是AB的距离， 说法吗？请说明理由。 问：(1)方案①是否可行？请说明理由 (2)李明同学提出，在方案②中，并不一定需要 BF⊥AB,DE⊥BF,只需要 就可以 了，请把李明所说的条件补上，并说明理由. -E △七年级·上册·数学.鲁教版 25 女问题解决策略：特殊化（答案P7) 1.如图①所示，正方形ABCD和正方形EFGO3.分别以△ABC的两边AC和BC为边作正方 的边长都是1，正方形EFGO绕点O旋转时， 形ACDE和BCFG.连接DF,探究AB与DF 两个正方形重叠部分的面积是 之间的关系 (1)如图①所示，若∠ACB=90°，直接写出AB 与DF之间的关系 (2)①在图②中，AB与DF之间有怎样的关 系？说明理由 ① ②改变点B的位置，画出异于前面两种情况的 拓展延伸：如图②所示，将n个边长都为1cm 图形，判断AB与DF之间的关系是否依然 的正方形按如图所示摆放，点A1,A2,…,Am 成立？ 分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重 叠部分的面积和为 cm2 ② 2.如图所示，在△ABC中，CD是AB边上的高， CE是∠ACB的平分线. (1)若∠A=42°，∠B=66°，求∠DCE的度数. (2)若∠A=a,∠B=B,求∠DCE的度数（用 含a,B的式子表示) 26 专题一添加辅助线构造全等三角形的技巧（答案P8) 类型1)“倍长中线”构造全等三角形 类型3)延长线段构造全等三角形 1.如图所示，在△ABC中，若AB=8,AC=6,求3.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= BC边上的中线AD的取值范围. BC,点D是AC上一点，过点A作BD的垂线 交BD的延长线于点E,且BD=2AE.试 说明： (1)∠EAC=∠DBC. (2)BD平分∠ABC. 类型2》过某点作垂线构造全等三角形 2.探究拓展如图所示，∠B=∠C=90°，M是BC 的中点，DM平分∠ADC,AD=AB十CD. (1)连接AM,AM是否平分∠BAD？请说明 理由. 类型4》截取线段构造全等三角形 (2)线段AM与DM有怎样的位置关系？请说 4.如图所示，已知CD的延长线与AB交于点E, 明理由. AD=BC,∠3=∠4.探究AE与BE的数量关 系，并说明理由. △七年级·上册·数学.鲁教版H L27