第6章6.3 角-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（人教版2024）

6.3角 6.3.1 角的概念（答案P30) ←通基础 C.∠AOC也可用∠O来表示 D.图中共有三个角：∠AOB,∠AOC,∠BOC 知识点1角的定义及表示方法 7.下列换算正确的是() 1.下列说法正确的是() A.40.5°=40°50 B.47.28°=47°1248" A.两条射线所组成的图形叫作角 C.16°30=16.5° D.0.25°=15" B.有公共端点的两条射线叫作角 8.教材P172练习T1变式钟表上的时间是2时 C.一条射线绕着它的端点旋转叫作角 35分，此时时针与分针所成的夹角是 D.一条射线绕着它的端，点旋转所成的图形叫作角 度 2.如图所示，∠1，∠2表示的角可 9.如图所示，A地和B地都是海上观测站，从A 分别用大写字母表示 地发现它的北偏东60°方向上有一艘船P,同 为 ;∠A也 时，从B地发现这艘船在它北偏东30°方向上. M 可表示为 ,还可以表示为 (1)在图中确定船P的位置. 知识点2度、分、秒 (2)请通过测量确定∠APB的度数， 3.教材P172练习T3()变式把8.32°用度、分、 北 十东 秒表示正确的是( ) A.8°3'2 B.8°30'2 C.819'20” D.81912 A B 知识点3方向角 4.如图所示，点O为一海岛，一商船在点A的位 置，∠1=40°，下列说法正确的是( 通素养》L A.商船在海岛的北偏西50° 北 10.推理能力观察如图所示的图形，并回答下列 方向 问题： B.海岛在商船的北偏西40 方向 C.海岛在商船的东偏南50°方向 D.商船在海岛的东偏南40°方向 ② ③ ☆易错点比较角度大小时，未先统一单位而出错 (1)图①中有几条射线？几个角？ 5.(北京海淀区期末)比较大小：36°25 (2)依次写出图②，③，④中的射线条数和角 36.25°.（填“>”“<”或“=”） 的个数. (3)仔细分析，你能总结出什么规律？ 。通能力u (4)如果角内部有19条射线，那么图中有多 6.如图所示，下列表示角的方法错 少个角？ 误的是() A.∠1与∠AOB表示同一个角 B.∠B表示的是∠BOC △七年级·上册·数学.RJ 135 6.3.2角的比较与运算 第1课时 角的比较与运算（答案P30) 通基础一 知识点1角的比较 1.(通化一模)如图所示，用同样大小的三角板比 A.10° B.30° 较∠A和∠B的大小，下列判断正确的 C.20°或50° D.30°或50° 是() 7.(天津西青区期末)在同一平面内有∠AOB 70°52'，∠BOC=35°20'，则∠AOC的度数 是() A.106°12' B.35°32 A.∠A>∠B B.∠A<∠B C.10612或35°32' D.105°72或35°32 C.∠A=∠B D.没有量角器，无法确定 8.如图所示，OA的方向是北 2.如图所示，利用量角器测量角的度数，根据结 偏东10°，OB的方向是西 果，以下结论错误的是( 北方向，若∠AOC ∠AOB,则OC的方向 是( ) A.北偏东55 B.北偏东65 C.东偏北15° D.东偏北25 A.∠AOB+∠BOC=90° 9.已知∠a=39°18'，∠3=39.18°，∠Y=39.3°， B.∠BOC+∠COD=90° 下面结论正确的是( C.∠AOD-∠COD=90° A.∠a=∠Y>∠3 B.∠Y>∠a=∠B D.∠AOD-∠BOC=90° C.∠a<∠3<∠Y D.∠y<∠a<∠3 知识点2角的运算 10.在如图所示的小正方形 组成的网格中，点A,B, 3.(威海乳山期中)利用一副三角板不能画出的 C,D,O均在格点（网格 B 角的度数是() 0 线交点)上，那么∠AOC ∠BOD. A.105° B.100° C.75° D.15° (填“>”“<”或“=”) 4.比较大小：60.5° 60°30'（填“>”“<” 11.如图所示，已知∠AOB=150°，∠AOC= 或“=”) ∠BOD=90°，求∠COD的度数 5.教材P174练习T3变式计算：48°59'+67°31' 2112'= 通能力 I/I/1I/1111II11II111II/1l1I/0 6.如图所示，在同一平面内，∠AOB=40°，从顶 点O画一条射线OP,若∠POB=10°，则 ∠AOP的度数为( 136 优计学案·课时通 第2课时 角的平分线（答案30）》 ←通基础m恤 线，∠BOD=2 ∠C0D,∠BOD=20°，则 知识点角的平分线 ∠AOB的度数为( 1.如图所示，AM为∠BAC的平分线，下列等式 A.100° B.80° 错误的是( ) C.60° D.40° D A.TBAC=∠BAM B.∠BAM=∠CAM C.∠BAM=2∠CAM 第5题图 第6题图 D.2∠CAM=∠BAC 6.如图所示，OB,OC是∠AOD的三等分线，则 2.几何直观如图所示，直线AB,CD交于点O, 下列等式不正确的是() 射线OM平分∠AOC.若∠AOM=36°，则 A.∠AOD=3∠BOC ∠BOC等于() B.∠AOD=2∠AOC A.36°B.72 C.108° D.54° C.∠AOB=∠BOC 1 D.∠C0D=2∠A0C 7.(1)把一个平角7等分，每一份的度数是 M (精确到分) D 第2题图 第3题图 (2)把一个蛋糕等分成6份，每份中的角 3.把一副三角尺按如图所示方式拼在一起，其中 是 B,C,D三点在同一直线上，CM平分∠ACB, 8.阅读理解如图所示，已知∠AOB,在∠AOB CN平分∠DCE,则∠MCN= 内部画射线OC,得到三个角，分别为∠AOC, 4.教材P176练习T2变式如图所示，∠AOB= ∠BOC,∠AOB.若这三个角中有一个角是另 90°，OD平分∠AOC,∠3=3∠1，求∠2的 外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的 度数. “幸运线”.（本题中所研究的角都是大于0°而 小于180°的角) (1)角的平分线 这个角的“幸运线”. 3 (填“是”或“不是”) (2)射线OC是∠AOB的“幸运线”，若∠AOB= 60°，求出∠AOC的度数. 之通能力 5.(临沂月考)如图所示，OC是∠AOB的平分 △七年级·上册·数学.RJ 137 6.3.3余角和补角（答案P30) 通基础 如图所示， D 因为∠1+∠2=180°， 知识点1余角与补角的定义 ∠2+∠3=180°， 1.若∠a与∠3互为余角，则( 所以∠1=∠3.() A.∠a+∠B=180° B.∠a-∠3=180° 8.如图所示，点O在直线AD上，∠EOC=90°， C.∠a-∠3=90° D.∠a+∠3=90° ∠DOB=90°. 2.如图所示，点O在直线AB上，若∠1=40°，则 (1)图中除∠EOC,∠DOB外，还有哪个角是 ∠2的度数是( ) 直角？ 八2 (2)图中哪两个锐角相等？并说明理由. 0 E A.50° B.60° C.140° D.150° 3.教材P177练习T2变式已知∠a=34°30'，则 ∠a的余角为( ) A.6630 B.65°30 C.5630 D.55°30 4.运算能力已知∠3=38°25'，则∠3的补角的度 数是 5.教材P177练习T3变式若一个角的补角是这 个角的余角的4倍，则这个角为多少度？ ☆易错点混淆“同角”和“等角”的不同而出错 9.若∠1+∠2=90°，∠1十∠3=90°，则∠2=∠3 的理由是 若∠1+∠2= 180°，∠3+∠4=180°，且∠1=∠3，则∠2= ∠4的理由是 ←通能力业 知识点2余角与补角的性质 10.如图所示，∠AOB=∠COD=90°，则∠1与 6.几何直观如图所示，∠AOB=∠COD=90°， ∠2的关系是( 则∠1与∠2的大小关系是() A.互余 A.∠1>∠2 B.互补 B.∠1=∠2 C.相等 C.∠1<∠2 D.无法确定 D.以上都不对 11.已知互为补角的两个角的差为35°，则较大的 7.课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如下推 角是() 理，其推理的依据为 A.107.5°B.108.5°C.97.5°D.72.5° 138 优+学案·课时通△ 12.若∠a与∠3互余，且∠α：∠3=3：2，则∠a 岛C 的度数是() (1)仿照表示灯塔方位的方法，分别画出表示 A.54°B.36° C.72 D.60 客轮B和海岛C方向的射线OB,OC(不写作 13.如图所示，O为直线AB上一 C 法). 点，∠AOC=a,∠BOC=B, (2)若图中有一艘渔船D,且∠AOD的补角 则3的余角可表示为( ) 比它的余角的2倍多45°，求出∠AOD的 1 度数. A.2(a+B) (3)画出表示渔船D方向的射线OD,则渔船 C.z(-p D.28 D在货轮O的 .(写出方位角) F北 14.如果∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，那么 ∠C-∠A= 西 G 60° 15.新情境（金华东阳期末）如图所示，一副三 A 角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α= ∠β的图形有 (填序号) ←通素养L 18.几何直观如图所示，O为直线AB上一点， OD平分∠AOC,∠DOE=90°. 16.如图所示，点A,O,B在一条直线上，∠AOD= (1)请你数一数，图中有 个小于平角 ∠BOD=∠EOC=90°，∠BOC:∠AOE= 的角. 3:1. (2)若∠AOC=50°，则∠COE的度数为 (1)求∠COD的度数 ,∠BOE的度数为 (2)图中有哪几对角互为余角？ (3)猜想OE是否平分∠BOC？请通过计算 (3)图中有哪几对角互为补角？ 说明你猜想的结论. 17.应用意识（保定唐县期末）如图所示，货轮O 在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的 方向上，同时，在它北偏东30°、西北（即北偏 西45°)方向上又分别发现了客轮B和海 △七年级·上册·数学.RJi 139 专题六角的综合计算（答案31） 类型1)利用整体思想求角的度数 类型2)利用方程思想求角的度数 1.如图所示，∠COD的顶点 3.(武汉江岸区期末)如图所示，射 O在直线AB上，OE平分 线OB,OC为锐角∠AOD的三 ∠COD,OF平分∠AOD,A 等分线，若图中所有锐角度数之 已知∠COD=90°， 和为200°，则∠AOD的度数为 ∠BOC=a,则∠EOF的度数为( 4.如图所示，已知O为直线AB上一点，过点O B90+8 向直线AB上方引三条射线OC,OD,OE,且 A.90°+a OC平分∠AOD,∠2=3∠1，∠COE=70°，求 C.45°+a D9o08 ∠2的度数 2.几何直观已知点O为直线AB上一点. (1)如图①所示，过点O作射线OC,使∠AO℃： ∠BOC=3:2,求∠AOC与∠BOC的度数. (2)如图②所示，过点O作射线OC,射线OD, OE分别是∠AOC,∠BOC的平分线，求 ∠DOE的度数. (3)写出图②中所有互余的角和互补的角， B 5.运算能力如图所示，已知∠AOB,∠BOC和 ∠COD的度数之比是2：1：3，且∠AOC+ ∠DOB=140°，求∠AOD的度数. 140 优+学案·课时通△ 类型3)利用分类讨论思想求角的度数 8.如图所示，O是直线PQ上一点，OM是直线 6.(石家庄晋州期末)已知∠AOB=70°，∠BOC= PQ上方过点O的一条射线，∠POM=60°.若 30°，OM平分∠AOB,ON平分∠BOC,则 射线OA在∠MOQ内，∠AOM的大小为 ∠MON的度数等于( t(t<60).射线OB在直线PQ上方，且 A.50° B.20° ∠POB=3∠AOM. C.20°或50° D.40°或50° (1)用t的式子表示∠POA= 7.推理能方已知点O在直线AB上，∠COD= (2)当∠AOB=40°时，求t的值. ∠EOF=90° (3)若射线OD在∠AOP内，且∠POD= (1)如图①所示，若射线OA是∠COE的平分 2∠AOM,当OA,OB,OD三条射线中的一条 线，∠DOF=124°，求∠AOC的度数. 射线是另两条射线组成的夹角的平分线时，请 (2)如图②所示，延长线段FO得到射线OG, 求出t的值. M M 求∠DOF比∠COG大多少度. (3)在(2)的条件下，如图③所示，若∠BOF+ 60° 60 60 D 0 Q 0 Q 0 3∠GOC=100°，∠GOD:∠DOB=3:2,过 备用图① 备用图② 点O作射线OM,使∠AOC=2∠EOM,求 ∠COM的度数 △七年级·上册.数学.RJi 141 数学活动（答案P32) 活动1》制作纸魔方 活动2》绘制五角星 1.(衡水饶阳期末)小虎准备制作一个封闭的正 3.创新意识用等分圆周的方法画如图所示的 方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成 图形 如图所示的拼接图形（阴影部分），经折叠后发 现还少一个面，在图中的拼接图形上再接一个 正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为 一个封闭的正方体盒子，试做出两种添加 2 方法. 4.探究拓展(1)如图①所示，把等边三角形的各 2.如图①所示是数学活动课上制作的纸魔方变 边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作 化出的一种形状.图②是构成纸魔方的一个三 等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个 棱柱的展开图，尺寸数据如下（单位：cm.阴影 六角星，则这个六角星的边数是 部分为内部粘贴角料，计算面积时忽略不计)： (2)如图②所示，在5×5的网格中有一个正方 形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条 线段为一边向外作正方形，去掉居中的那条线 段，请把得到的图画在图③中，并写出这个图 形的边数. ① (3)现有一个正五边形，把正五边形的各边三 (1)做一个三棱柱需要纸片 cm2,做一 等分，分别以居中的那条线段为边向外作正五 个图①纸魔方一共需要纸片 cm2.(直 边形，并去掉居中的那条线段，得到的图的边 接用含a,b的式子表示) 数是多少？ (2)当a=6,b=8.5时，图①纸魔方一共用纸 片多少平方厘米？ I1 ③ 142 优+学案·课时通△(3)当点N在线段AB上时，如图①所示. 因为AB=14,CD=7,BC=4, M 所以BD=CD-BC=7-4=3, ① 所以AD=AB+BD=14+3=17; 因为AN-BN=MN,AN-AM=MN, ②当点C在点B的右侧时，如图②所示. 所以BN=AM-名AB,所以MN=名AB,即分 B C AB 2' ② 当点N在线段AB的延长线上时，如图②所示 因为AB=14,CD=7,BC=4, B 所以AD=AB+BC+CD=14十4+7=25. ② 综上所述，线段AD的长为17或25， 因为AN-BN=MN,AN-BN=AB, (2)设BC=a,如图③所示. 所以NMN-AB,即答1签上所述，答的值友1 B M N C D ③ 专题五线段的综合计算 所以AD=AB+BC+CD=14+a+7=21+a. 1.解：(1)设AB=x, 因为点M,N分别是线段AD,BC的中点， 因为3AC=2AB, 所以AC=号AB=号 所以AM=AD=(21+a,BN=C-4, 所以BM=AM-AB=号(2I+a）-14=专a-D, 1 21 BC-AB-AC-3 因为E是CB的中点， 所以MN=BN-BM=7a-(a-)=子 所以cE-BC=行 1 阶段检测四(6.1~6.2) 因为D是AC的中点， 1.C2.D3.C4.D5.C6.C7.C8.A9.C 所以DC=2AC=专， 1 10.C11.A12.②13.914.6 15.1或5 DE=DC+CE, 16.解：(1)如图所示即为所作. 音+后=6， 解得x=12. 故AB的长为12. A B (2②)由1)得AD=号AC=4, (2)由展开图可知这个几何体是圆柱，圆柱的底面半径为 20÷2=10(cm),所以体积为π×102×40=4000π(cm3). CB-3AB-4. 17.解：如图所示. 故AD:CB=1·1. a1b1b⊥ A 2.解：(1)因为AB=10cm,CD=4cm, ①在直线上作线段AC=a; 所以AC+BD=AB-CD=10-4=6(cm). ②在线段AC的延长线上作线段CD=b; 因为M,N分别为AC,BD的中点， ③在线段AD的延长线上作线段DB=b. 所以AM+BN=专AC+合BD=立AC+BD)=3em 线段AB就是所求的线段. 所以MN=AB-(AM+BN)=10-3=7(cm). 18.解：(1)因为点C在线段AB上，AB=19,BC=13, 所以AC=AB-BC=19-13=6. (2)根据(1D得AM+BN-2AC+2BD-名(AC+BD) 因为点M是AC的中点， (AB-CD)-(a-). 所以AM=号AC=号X6=3. 所以MN=AB-（AM+BN)=a-合a-b)=名a+b. 1 (2)因为M是AC的中点， 3.解：因为1m-14|+(7-n)2=0, 所以MC=分AC=3. 所以m-14=0,7-n=0, 因为点N在线段BC上，BC=13, 解得m=14,n=7, 所以CN+NB=BC=13. 所以AB=m=14,CD=n=7. 又因为CN:NB=6:7, (1)若BC=4,则有以下两种情况， 所以cNg平7BC-8×18=6, ①当点C在点B的左侧时，如图①所示. 所以MN=MC+CN=3+6=9. C B D ① 29 6.3角 6.3.1角的概念 1.D2.∠ABC∠BCN∠BAC∠MAN 3.D4.B5.>6.C7.C B O ② 8.132.5 Ⅲ.当∠AOC=2∠BOC时，如图③所示， 9.解：(1)如图所示，作∠1=60°，∠2=30°，两射线相交于P点， 因为∠BOC+∠AOC=∠AOB=60°， 则点P即为所求， 所以∠BOC+2∠BOC=60°，所以∠BOC=20°， 所以∠AOC=40°. 东 综上所述，∠AOC的度数为20°或30°或40°. 6.3.3余角和补角 A B 1.D2.C3.D4.141°35 (2)使用量角器，将量角器的中心与P点重合，0刻度线与 5.解：设这个角为x, PA重合，读出PB所对应的刻度，测量可得∠APB=30°， 由题意，得180°一x=4(90°-x), 10.解：(1)题图①中有2条射线，1个角. 解得x=60°. (2)题图②中有3条射线，3个角； 答：这个角是60° 题图③中有4条射线，6个角： 6.B 题图④中有5条射线，10个角！ 7.同角的补角相等 (3)规律：共有n条射线，则共有1+2+3+…十(n-1)=8.解：(1)∠AOB为直角 n(n-1D(个)角。 (2)∠EOD=∠BOC. 2 理由：因为∠EOD+∠COD=90°，∠BOC+∠COD=90°， (④)根据发现的规律得19+2》(19+2-D=210(个)角。 所以∠EOD=∠BOC. 2 9.同角的余角相等等角的补角相等 6.3.2角的比较与运算 10.B11.A12.A13.C14.90°15.②③④ 16.解：(1)根据题意，得∠BOC+∠AOE=90° 第1课时角的比较与运算 1.B2.B3.B4.=5.95186.D7.C8.B9.A 因为∠BOC:∠AOE=3:1, 10.< 11.解：因为∠AOB=150°，∠AOC=∠BOD=90°，∠BOC= 所以∠0c=号x90-61.5 ∠AOB-∠AOC=150°-90°=60°， 所以∠C0D=90°-67.5°=22.5 所以∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-60°=30° (2)∠COB与∠COD,∠COB与∠AOE,∠DOE与∠COD, 第2课时角的平分线 ∠DOE与∠AOE互余. 1.C2.C3.127.5 (3)∠COB与∠COA,∠AOE与∠EOB,∠AOD与 4.解：因为OD平分∠AOC,所以∠1=∠2. ∠BOD,∠EOC与∠AOD,∠EOC与∠BOD,∠COD与 因为∠3=3∠1，所以∠3=3∠2. ∠BOE,∠DOE与∠AOC互补. 又因为∠1+∠2+∠3+∠AOB=360°，∠AOB=90°， 17.解：(1)如图①所示. 所以∠2+∠2+3∠2+90°=360°. /B 所以∠2=54° 309 459 5.D6.B 75D1 7.(1)25°43(2)60° G 0 E 50 G 60° 8.解：(1)是 15可D2 (2)I.当∠BOC=2∠AOC时，如图① 南 南 所示. ① ② 因为∠BOC+∠AOC=∠AOB=60°，所 (2)由∠AOD的补角比它的余角的2倍多45°，得(180° 以2∠AOC+∠AOC=60°，所以 ∠AOD)-2(90°-∠AOD)=45. ∠AOC=20°. B 解得∠AOD=45. Ⅱ，当∠AOB=2∠AOC时，如图② ① (3)画射线OD如图②所示. 所示. 南偏东15°或北偏东75°. 18.解：(1)9(2)65°65 因为∠A0B=60°，所以∠A0C=2∠A0B=30° (3)OE平分∠BOC. 30 理由：设∠AOC=2a.因为OD平分∠AOC, 解得x=20. 所以∠A0D=∠cOD=号∠A0C=a 所以∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=2x°+x°+3x°= 6.x°=6X20°=120°， 因为∠DOE=90°， 6.C解析：如图①所示，因为∠AOB=70°，∠BOC=30°，OM 所以∠COE=∠DOE-∠COD=90°-a. 平分∠AOB,ON平分∠BOC, 又因为∠BOE=180°-∠DOE-∠AOD=180°-90° a=90°-a, 所以∠MON=∠BOM+∠BON=号∠A0B+2∠BOC= 所以∠COE=∠BOE, 2×(70°+30)=50， 1 即OE平分∠BOC. 如图②所示，因为∠AOB=70°，∠BOC=30°，OM平分 专题六角的综合计算 ∠AOB,ON平分∠BOC, 1.B解析：因为OE平分∠COD,OF平分∠AOD, 所以∠MON=∠BOM-∠BON=号∠A0B-号∠B0C= 所以∠FOD-∠AOD,∠B0D=2∠C0D, 7×(70°-30)=20 所以∠EOF=是∠A0D+号∠COD=号（∠A0D十 ∠COD). 因为∠COD=90°，∠BOC=a,∠AOB=180°， 所以∠AOD+∠COD=180°+a, 所以∠B0F=号180+e)=90+2a. 1 ① ② 2.解：(1)设∠AOC=3x,∠BOC=2x. 7.解：(1)因为∠COD=∠EOF=90°，∠DOF=124°， 因为∠AOC+∠BOC=180°， 所以∠C0E=360°-90°-90°-124°=56°. 所以3x+2x=180°，所以x=36°， 因为射线OA是∠COE的平分线， 所以∠AOC=3×36°=108°，∠B0C=2×36°=72. 所以∠A0C=合∠C0E=28 (2)因为OD,OE分别是∠AOC,∠BOC的平分线， (2)因为∠C0D=90°，所以∠C0G=90°-∠DOG. 所以∠D0C=∠A0D=号∠A0C, 因为∠DOF=180°-∠D0G, ∠c0E=∠B0E=Z∠B0C, 所以∠DOF-∠C0G=(180°-∠D0G)-(90°-∠D0G)=90°. 即∠DOF比∠COG大90°. 因为∠AOC+∠BOC=180°，∠DOE=∠DOC+∠COE, (3)根据(2)可知，∠DOF-∠COG=90°， 所以∠DOE=号∠A0C+乞 ∠BOC= 所以∠DOF=∠COG+90°. 因为∠BOF+3∠COG=100°， 2ZA0c+∠B0c)=号x10=9r 所以∠BOF=100°-3∠COG, 所以∠BOD=∠DOF-∠BOF (3)互余的角有：∠DOC与∠COE,∠AOD与∠COE, =∠C0G+90°-(100°-3∠COG) ∠BOE与∠COD,∠BOE与∠AOD. 互补的角有：∠AOD与∠BOD,∠COD与∠BOD,∠AOC =∠C0G+90°-100°+3∠C0G 与∠BOC,∠AOE与∠BOE,∠COE与∠AOE. =4∠C0G-10°. 3.60° 因为∠GOD:∠DOB=3:2, 4.解：设∠1=x°，则∠2=3∠1=3x°. 所以∠60D=∠D0B=2×4∠00G-10)=6∠c0G-15 2 因为∠C0E=∠1+∠3=70°， 因为∠G0D=90°-∠COG, 所以∠3=70°一x°. 所以6∠C0G-15°=90°-∠C0G, 因为OC平分∠AOD, 解得∠C0G=15°， 所以∠4=∠3=70°-x°. 所以∠B0D=4∠C0G-10°=4×15°-10°=50°， 因为∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∠BOF=100°-3∠COG=55°， 所以x+3x+(70-x)+(70-x)=180, 所以∠A0C=180°-90°-50°=40°， 解得x=20.所以∠2=3x°=60°. ∠A0E=180°-90°-55°=35°. 5.解：因为∠AOB:∠BOC:∠COD=2:1:3, 所以设∠BOC=x°，则∠AOB=2x°，∠COD=3x°. 因为∠AOC=2∠EOM,所以∠EOM= 2∠A0C=20. 又因为∠AOC+∠D0B=140°， 当OM在OE的下方时，如图①所示. 即∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC=140°. 所以2x+x+3x+x=140, 31 (任选两种即可) ∠COM=∠AOC+∠AOE+∠EOM 2.解：(1)(3a2+ab)(48a2+16ab) =40°+35°+209 (2)当a=6,b=8.5时， =95°； 48a2+16ab 当OM在OE的上方时，如图②所示， =48×62+16×6×8.5 ∠COM=∠AOC+∠AOE-∠EOM =2544(cm2). =40°+35°-20 3.解：在图①中用半径去截圆周使得AB=BC=CD=DE= =55°. EF=FA=OA,连接AC,CE,EA,BF,FD,DB即可. 综上所述，∠COM=95°或55° 在图②中作∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA= 8.解：(1)60°+t 72°，连接AC,CE,EB,BD,DA即可. (2)由题意可知∠POB=3t. 如图①所示，当射线OB在射线OA左侧时，∠AOB= ∠POA-∠POB, 即60°+t-3t=40°，解得t=10° 如图②所示，当射线OB在射线OA右侧时，∠AOB= ∠POB-∠POA, 即3t-(60°+t)=40°，解得t=50°. ① M A 4.解：(1)12 B (2)如图所示，这个图形的边数是20： 60R 60 P Q ① ② (3)由题意可知∠POD=2t, (3)如图所示，得到的图形的边数是30. 因为∠POB=3t>∠POD, 所以射线OD在射线OB左边 如图③所示，当射线OB是射线OA与射线OD组成的夹角 ∠AOD的平分线时，此时，∠AOB=∠BOD(此时OM与OB重 合)，因为∠AOB=t,∠BOD=60°-2t, 本章综合提升 所以t=60°一2t,解得t=20°. 【本章知识归纳】 M(B)A D 棱棱左面展开大写延伸两点小写一个 D 两个两个叠合相等线段长度射线旋转大写 60 60° 60度量顶点90180相等相等 P 0 Q 0 ③ 【思想方法归纳】 【例1】解：设这个角为x°. 如图④所示，当射线OA是射线OB与射线OD组成的夹角 180-x=3(90-x)-30, ∠BOD的平分线时，此时，∠AOB=∠AOD, 解得x=30, 因为∠A0B=3t-(60°+t)=2t-60°，∠AOD=60°+t-2t= 90°-x=60°， 60°一t,所以2t-60°=60°-t,解得t=40°， 180°-x=150°， 综上所述，t=20°或40°. 答：这个角的余角度数为60°，补角度数为150° 【变式训练1】解：(1)因为AC=2x厘米，AC:BC=2：3, 数学活动 所以BC=3x厘米，AB=5x厘米. 1.解：如图所示。 因为BD=2AC, 所以BD=4x厘米， 所以AD=AC+BC十BD=9x厘米. 因为点E为AD的中点， 所以AE=DE=子AD=号r厘米. 32