第3章3.1 列代数式表示数量关系-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（人教版2024）

第三章 代数式 大单元建构 /I///1/ 代数式本身表示的数量关系 代数式的 意义 根据文字题中的数量关系列代数式 列代 代数式表示的实际问题的意义 数式 根据实际问题中的数量关系列代数式 代数式 表示运算法则或运算律 已知代数式中有关字母的值求代数式的值 表示图形周长、面积或体积 用代数式表 代数式 根据公式求实际问题中代数式的值 示数或式 的值 表示图形周长公式、面积公式或体积公式 根据实际问题列代数式并求该代数式的值 表示数、式或图形的变化规律 /11/1/ 本章核心素养· 1//I1/1 学科核心素养 具体内容 价值 感悟数学抽象对于数学产生与发展的作 能通过分析现实世界中的数量和数量关系列代数式， 用，感悟用数学的眼光观察现实世界的 抽象能力 感悟符号的数学功能，体会符号的使用是数学表达和 意义，形成数学想象力，提高学习数学的 数学思考的重要形式，提升抽象能力和推理能力 兴趣 通过列代数式求图形周长、面积等，进一步体会数形结 几何直观有助于把握问题的本质，明晰 几何直观 合思想的运用 思维的路径 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示； 运算能力有助于形成规范化思考问题的 运算能力 能够将规定的字母值代入求代数式的值，进一步发展 品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学 运算能力 态度 通过用字母表述代数式，以及代数式的运算，体会字 推理能力有助于逐步养成重论据、合乎 推理能力 母的运算和推理，理解通过字母运算和推理得到的结 逻辑的思维习惯，形成实事求是的科学 论更具有一般性，提高数学的逻辑推理能力 态度与理性精神 能运用代数式表示具体问题中简单的数量关系，能借 应用意识有助于用学过的知识和方法解 应用意识 助现实情境了解代数式的意义，进一步提高分析问题、 决简单的实际问题，养成理论联系实际 解决问题的能力 的习惯，发展实践能力 通过探究数式或图形的变化规律，并用代数式表示一 创新意识有助于形成独立思考、敢于质 创新意识 般性结论，发展合情推理和发散思维能力 疑的科学态度与理性精神 △七年级·上册.数学.RJ 55 3.1列代数式表示数量关系 第1课时 代数式的意义（答案P12) ←通基础mwww A.公+4表示a的3倍与4的和的一半 知识点1代数式及其书写规范 B.2(a十5)表示a与5的和的2倍 1.下列式子，符合代数式书写格式的是( C.2a+5表示a的2倍与5的和 A号 826 D.(a十b)2表示a与b的和的平方 7.(郑州期末)某网店进行促销，将原价a元的商 C.mX7 D.x+y人 品以(0.8a一20)元出售，该网店对该商品促销 2.(怀化麻阳期末)下列各式中是代数式的 的方法是 是() 8.(萍乡芦溪期中)下列式子书写规范吗？若不 A.S=πr2 B.2a>b 规范，请将它们的规范写法填在横线处。 C.3x+y D.π≈3.14 (1)a×20: 知识点2用字母表示文字中的数量关系 (2)1 3x 3.(保定曲阳期末)对代数式a一b2的意义表述 (3)-1mn: 正确的是() (4)s÷t: A.a减去b的平方的差 B.a与b差的平方 ←通素养yM C.a,b平方的差 9.结论开放请你结合生活经验，设计具体情境 D.a的平方与b的平方的差 说明下列代数式的实际意义： 知识点3代数式的意义 (1)a3; 4.(济宁曲阜期末)下列赋予代数式5a实际意义 (2)(1+10%)x; 的例子，正确的是( ) (3)3n+2m A.长为5cm、宽为acm的长方形的周长 5 B.原价为a元的商品打五折后的售价 C.购买5本单价为a元的笔记本所需的费用 D.货车以akm/h的平均速度行驶6h的路程 ☆易错点代数式的书写不规范而出错 2 5.下列各式：①23x;②2·3，③20%x;④a 6÷c;⑤m2+n2 6 ;⑥x一5千克.其中，不符合代 数式书写要求的有 个 ←通能力ywwu 6.(石家庄裕华区期末)下列关于代数式的意义 不正确的是() 56 优+学案·课时通△ 第2课时 列代数式表示数量关系（答案P12) 通基础 差”用代数式表示为( 知识点1列代数式表示数学问题中的数量 A. 关系 c(}-(-) D.- 1.(河北模拟)“4与x的平方的积”可表示 7.A,B两地之间有一条东西向的道路.在A地的 为() 正东方向10米处设置第一个广告牌，之后每 A.4x B.4x2 C.16x D.16x2 往东16米就设置一个广告牌.某人从A地的 2.抽象能力若某两位数的个位上的数字为a,十 正西方向4米处出发，沿此路自西向东走，当 位上的数字为b,则此两位数可表示为() 经过第n个广告牌时，此人所走的路程 A.a+b B.ba 为() C.106+a D.10a+b A.(16n-14)米 B.(16n-10)米 3.教材P73练习T1变式用代数式表示： C.(16n-6)米 D.(16n-2)米 （1D2号与a的积减去6的行： 8.某书店出售图书的同时，推出一项租书业务， 每租看1本书，租期不超过4天，每天租金 (2)x的平方与4的商； m元；租期超过4天，从第5天开始每天租金 (3)x,y两数的差的平方； 收n元.如果租看一本书9天归还，那么租 (4)a,b两数的平方差. 金为 元. 通素养 1IIHI/IIIII/IIIIlI1IIIIIIIIIE 9.(烟台芝罘区期末)小明房间窗户的装饰物如 图①所示，它由两个四分之一圆组成： 知识点2列代数式表示实际问题中的数量 (1)用代数式表示图①窗户能射进阳光的部分 关系 的面积（窗框面积忽略不计）. 4.学校购买了一批图书，共a箱，每箱有b册.将 (2)为了更加美观，小明重新设计了房间窗户 这批图书的一半捐给社区，则捐给社区的图书 的装饰物，如图②所示（由两个四分之一圆和 为 册.（用含a,b的代数式表示） 一个半圆组成)，请用代数式表示图②窗户能 ☆易错点列式表示带单位的数量关系时漏写 射进阳光的部分的面积（窗框面积忽略不计）. 括号 5.某景区2024年底普通成人票价为150元/位， 大学生票价为50元/位，则m位普通成人和 n位大学生的总票价为 元 之通能力 6.（唐山丰润区期末)“s的倒数的平方与一t的 △七年级·上册·数学.RJiH 57 第3课时 用代数式表示正比例关系与反比例关系（答案P12) 通基础 ☆易错点混淆正比例关系和反比例关系而出错 7.如图所示，哪组中y与x成正比例关系？哪组 知识点1用代数式表示正比例关系 成反比例关系？ 1.轴象能力下面各题中的两个量成正比例关系 的是() 8 A.正方形的边长和面积 (速度一定，汽车行驶时间为（路程一定，汽车的平均速度为 x小时，行驶路程为y千米)x千米时，所需时间为y小时) B.三角形的面积一定，它的底和高 ① ② C.长方形的长一定，它的宽和周长 D.速度一定，路程和时间 (物体的质量和到支点的距离保 (杯底直径不变，注入水的高度 2.如表中x和y两个量成正比例关系，则表格中 持不变，钩码质量是x千克 为x厘米，水的质量为y千克) 的“？”处应填( 钩码到支点的距离为y厘米) 3 ④ 3 21 7 (注入水的体积一定，玻璃杯 (注入水的体积一定，玻璃 底面积为x平方厘米，注人水 杯底面直径为x厘米，注入 A.2 B 的高度为y厘米) 水的高度为y厘米) 5 6 9 C.2 D.以上都不对 3.张师傅生产零件的数量和时间成正比例关系。 已知他1小时可以生产零件25个，则4小时可 以生产零件 个 知识点2用代数式表示反比例关系 4.教材P75练习T2变式下面每个选项中的两种 通能力mM 量成反比例关系的是() 8.(广州白云区开学)下面各题中的两种量，成正 A.路程一定，速度和时间 比例关系的有() B.圆柱的高一定，体积和底面积 ①圆柱的底面积一定，圆柱的高和体积. C.被减数一定，减数和差 ②张老师的身高和体重。 D.圆的半径和它的面积 5.如表中x和y两个量成反比例关系，则“△”处 ③5-3 y x 应填( ) ④每张票的价格一定，看电影所付票费与看电 7 △ 影的人数 5 14 ⑤等边三角形的周长与边长. A.19.6 B.2.5 ⑥a和b互为倒数， C.3.5 D.以上都不对 ⑦除数一定，被除数和商. 6.工作总量一定，工作效率与工作时间成反比例 ⑧运送一批货物，运走的吨数和剩下的吨数， 关系. (判断对错) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 58 优十学案·课时通 9.下面每题中两种量成反比例关系的是 通素养 111I111/1/I/1/1II1/1/1I/1/1/0 (填序号) ①圆锥的体积一定，它的底面积和高； 12.跨学科·物理当发动机的输出功率一定时， ②加工零件的总时间一定，加工一个零件的时 输出的扭矩M(使物体发生转动的力矩，单 间和加工零件的总个数； 位：N·m)与发动机转速n(发动机曲轴的转 ③圆的周长一定，圆周率和这个圆的直径； 动速度，单位：kr/min)之间成反比例函数关 ④咬合的齿轮，每个齿轮的齿数和转动的 系，某兴趣小组通过对固定输出功率的发动 圈数. 机进行实验，得到对应的扭矩M和转速n的 10.“圆的面积与半径成正比例关系吗？”请你用 数据如表所示， 列表法说明自己的结论和理由. n/(kr/min) 1.5 2.5 4 半径 1 M/(N·m) 400 300 240 200 150 圆的面积 3.14 (1)用式子表示M与n的关系.（不必写出n 我的结论是： 的取值范围) 我的理由是： (2)某个使用场景需要此款发动机输出的扭 11.数学文化（石家庄行唐月考）(1)成语“立竿 矩不低于240N·m,但不超过500N·m,求 见影”在《辞源》里的解释为“竿立而影现，喻 此场景中该发动机转速n的取值范围. 收效迅速”，用数学的眼光来看，这是应用了 比例知识中的 关系.（填“正比例”或 “反比例”) (2)某小学开展了测量旗杆有多高的实践活 动.同学们进行了如下操作：某天下午5时， 先测出旗杆的影子长度，接着在同一时间、同 一地点，测得两棵树的高度和它们影子的长 度如图所示，旗杆的高度是多少米？ 6m影子 20m影子 3m> 4m影子 △七年级·上册·数学.RJ 5923.解：原式=（一1）×（一4）+4÷2 5.(150m+50n) =4+2 6.C7.D =6. 8.(4m+5n) 综合与实践进位制的认识与探究 9.解：(1)ab- x×(）×2=a6-gb 1.A解析：由题意可得 楔形文字记数7《777，表示十进制的数为1×602+ (2a6-xx(）=ab-6 1 10×60+3=1×3600+600+3=3600+600+3=4203. 第3课时用代数式表示正比例关系与反比例关系 2.D 1.D 3.21解析：由题意，得10101=1×24+0×23+1×22+0× 2 21+1=21. 321 2.B 解析：因为7 4.(1)1310118)(2)1解析：(1)因为158)=1×8+ y 2 5=13, 所以y=9· 所以15(8=13a0 因为98÷92=1…17,17÷91=1…8， 所以表格中的“？”处应填 9 所以9810)=1189， 3.100解析：设4小时可以生产零件x个， (2)当x=7时，2x(9)=2X9十x=25, 由题意，得工-25 25÷8=3…1, 4-11 所以y=1. 解得x=100, 5.解：(1)(1010) 即4小时可以生产零件100个. (2)设这个二进制数为x, 4.A 因为十进制数3对应的二进制数为11， 5.B解析：设“△”处应该填的数是a, 所以11+x=111, 由题意，得14a=7×5, 所以x=100. 所以a=2.5. 第三章代数式 所以“△”处应填2.5. 3.1列代数式表示数量关系 6./ 第1课时 代数式的意义 7.解：①义=0(u表示速度)，是正比例关系； . 1.A2.C3.A4.C ②xy=s(s表示路程)，是反比例关系； 5.4 ③xy=ml(m为物体的质量，l为物体到支点的距离)，是反 6.A 比例关系； 7.打八折后再让利20元 8.120a(2)亭x(8)-mm(④2 ④义=k(k为底面直径一定时单位高度水的质量)，是正比 例关系； 9.解：答案不唯一，例：(1)一个棱长为a米的正方体钢块的体 ⑤xy=V(V表示水的体积)，是反比例关系； 积是a3立方米； (2)某款价格为x元的钢笔在加价10%后的售价是(1十 @因为侵）》，=Vv表示水的体积， 10%)x元； 4V (3)巧克力糖每千克m元，奶油糖每千克n元，用3千克巧克 所以x2y=元’ 力糖和2千克奶油糖混合成5千克混合糖，则这样得到的混 所以y与x既不是正比例关系，也不是反比例关系， 合糖每千克的平均价格为3m十2m元。 8.C 5 1 第2课时列代数式表示数量关系 9.①②④解析：①圆锥的体积=3×圆锥的底面积×高，圆 1.B2.C 锥的体积一定，圆锥的底面积和高成反比例关系； 3解：12号与0的积减去6的日：号0号6 ②加工零件的总时间一定，加工一个零件的时间和加工零件 2 的总个数成反比例关系； (②正的平办与4的商：苦 ③圆的周长一定，圆周率和这个圆的直径是一个定值，不是反 (3)x,y两数的差的平方：(x一y)2. 比例关系； (4)a,b两数的平方差：a2-b2. ④总齿数一定，咬合的齿轮，每个齿轮的齿数和转动的圈数成 1 反比例关系。 4.2ab 所以两种量成反比例关系的是①②④. 12 10.解：如表所示. 则(4x0.5+号×3×0.5）×40+(15×0.5+3x0.5)×24 半径 1 2 3 4 =(1+0.375)×40+(7.5+1.5)×24 圆的面积 3.14 12.56 28.26 50.24 =1.375×40+9×24 圆的面积与半径不成正比例关系面积和半径的商（比值） =55+216 不一定 =271(元)， 11.解：(1)正比例 即制作一扇窗户需要的费用约是271元. (2)设旗杆的高度是x米，则x:20=3:4, 5.C6.(1)2a+πb(2)400m 4x=60,解得x=15. 7解：当=13时，4=1-吕=.7小时》。 答：旗杆的高度是15米. 答：一个13岁的未成年人每天所需的睡眠时间大约是 12.解：(1)因为当发动机的输出功率一定时，输出的扭矩M(使 9.7小时 物体发生转动的力矩，单位：N·m)与发动机转速n(发动机 8解：剩余铁皮的面积S=S三0-S=2h-名r, 1 曲轴的转动速度，单位：kr/min)之间成反比例函数关系， 所以可设nM=k, 将=2，M=300代入，得k=2×300=600, 当a=8A=6r=3时，5=名×8X6-号×xX=24 所以M与n的关系为nM=600. 948-9π 600 2 21 (2)当M=240N·m时，n=240 2.5(kr/min), 9.解：(1)钢管的体积=V大图生一V本柱 当M=500N·m时，n=001.2(kr/min, =号》×a-(借》xa 所以此场景中该发动机转速n的取值范围为1.2≤n≤2.5. =D2-d2 4 πh 3.2代数式的值 答：钢管的体积为 D2-d2 4πh 第1课时代数式的值 (2)当d=0.80米，D=1.20米，h=2米时， 1.C2.A 原式=1.44-0.64×rX2≈1,256（立方米）. 3.解：因为1z+31+(-)‘=0,x+3引≥0，(-2)≥0， 答：该圆柱形钢管的体积约为1.256立方米. 所以x+3到=0(-)》广=0， 10.解：(1)由已知得h=1.7m, 代入s2=1.7h中，得s2=1.72, 1 所以x=一3，y=2' 所以s=1.7km. 答：当眼睛离海平面的高度是1.7m时，能看到1.7km远. 1 所以x+2y=-3+2×2=-3+1=-2. (2)由已知此时看到的最远距离是5×1.7=8.5(km), 代人s2=1.7h中，得8.52=1.7h, 4.132解析：当输入n的值为一3时， 解得h=42.5, (一3)2一（一3）=9十3=12<29，返回继续运算； 122-12=144-12=132>29,输出结果. 观望台离海平面的高度：42.5-1.6=40.9(m). 答：观望台离海平面的高度为40.9m. 5.D6.C7.-5 8.解：(1)由题意，得Q=4m+10n. 数学活动 (2)将m=5×104,n=3×103代人(1)式，得 1.C2.(2n-1) Q=4×5×104+10×3×103=2.3×105. 3.解：(1)41(4n+1) 5-8×-2x10 (2)当4n+1=2025时， 解得n=506, 9.解：(1)2x-y 所以第506个图形中有2025根火柴棒。 (2)当x=-1,y=2025时， 4.C解析：由“明文”与“密文”的转换规则可得： 2x-y=2×(-1)-2025=-2027. 明文 密文 第2课时用代数式表示公式 明文 对应数a 转换方法 密文 对应数 1.A2.十201.23.120 的 4.解：1D窗户的总面积是(4a2+2a2）m3. A 10 17 K 1 7 14 G (2②15a+号×2a=(15a+a)m, (a+7)÷26的余数 Y 5 12 D 即窗户内外框总长为(15a十πa)m. U 6 13 (3)当a=0.5时，已知购买玻璃的费用是40元/m2,购买窗 框的费用是24元/m, N 24 5 4 13