第2章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（人教版2024）

本章综合提升（答案P10) ///II// ·本章知识归纳· /I/// 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值 绝对值不等的异号两数相加，取绝对值 的加数的符号， 有理数加法法则 并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数 相加得 一个数与0相加，仍得这个数 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的 有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得，并把绝对值相乘；任何 数与0相乘，都得」 运算法则 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 有理数除法法则 两数相除，同号得一，异号得负，并把绝对值相乘；0除以 任何一个不等于 的数，都得0 负数的奇次幂是 数，负数的偶次 幂是正数；正数的任何次幂都是 有理数的乘方0的任何正整数次幂都是 科学记数法与近似数 先乘方，再 ，最后加减 有理数的运算 运算顺序 同级运算，从 到 进行 若有括号，先做 内的运算 加法交换律：a+b= 交换律 乘法交换律：ab= 加法结合律：(a+b)+c= 运算律 结合律 乘法结合律：(ab)c=■ 分配律 a(b+c)= 思想方法归纳 1111111KK41111111 【例1】（南通启东月考)(1)对于任意非零 有理数a,b,定义运算如下：ab=(a一b)÷ 1.转化思想 (a十b).求(-3)5的值， 将所要研究和解决的问题转化为另一个较 (2)规定符号“*”的意义是a*b=ab 容易解决的问题或已经解决的问题，或把“新知 a+6,如 识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把 1+2求2*(-3)*4的值. 1×2 1×2= “复杂”转化为“简单”等，这种思想称为转化思 想，也叫化归思想. Q链接本章) 在本章中，把减法转化为加法，把除法 转化为乘法，把乘方转化为乘法，把新定义 运算转化为已知运算等，都是转化思想的 体现. 50 优+学案·课时通△ 【变式训练1】（石家庄长安区模拟）琪琪准备2.（天津模拟)代数式53×53×53×53×53×53 完成题目：计算：(-9》×（合-■）-3.发现题中 可表示为() A.6X53B.53+6 C.(53)6D.(5X6)3 有一个数字“■”被墨水污染了. 3.(北京门头沟区期末)有理数a,b对应的点在 (琪琪骑测被污染的数字“■是号，消计 数轴上的位置如图所示，则() 0 b 算(-9)×》- A.a>0 B.a+6>0 (2)琪琪的妈妈看到该题标准答案的结果等 C.a-b<0 D.ab0 于一9，请通过计算求出被污染的数字“■”， 4.(汕头澄海区期末)若|m=2,n=3,且m十 n=m十n,则”=( ) m 3 >.2 B.一2 3 c或 D号或-号 2 5.（金华金东区期末)若2025个有理数相乘，结 2.分类讨论思想 果为0，则这2025个数( Q链接本章 A.都为0 本章在研究有理数加法法则、乘法法 B.只有一个0 则、确定幂的正负时，都是把有理数分成正 C.有两个数互为相反数 数、负数、0三类分别研究的。 D.至少有一个0 6.(石家庄平山期末)规定“◆”是一种特殊的运 【例2】（石家庄桥西区一模）若ab≠0，则 算符号，且（一1）◆=-1，（一2）◆=（一2）× la+6的取值不可能是( b (-1),(-3)◆=（一3）×（一2）×(-1)，…， A.-2 B.0 C.1 D.2 则11)0 (一8)0的值为( ) 【变式训练2】（洛阳洛宁期中）已知|m|=4, A.90 B.-11 C.900 D.-990 n=6,且|m+n|=m十n,求m-n的值. 7(广州花者区期来)计算：÷3× (） 8.(北京西城区开学)下列说法正确的是 (填序号). 通模拟 ①乘积为1的两个数互为倒数； ②两个有理数相减，若差为正数，则被减数大 1.(东营河口区模拟)x的相反数是 3,则x的 于减数； 倒数为( ③符号相反的两个数是相反数； 1 ④任意两个有理数的和一定大于其中的某一 A.-3 B.3 C.- 3 0.3 个加数. △七年级·上册·数学.R 51 9.(菏泽东明模拟)现定义一种新运算：a☒b= 13.(北京昌平区期中)观察下列两个等式：5+ ab十a-b,如1☒3=1×3十1-3=1.则[2⑧ 5]☒(-4)= 是-5×号+4,6+号-6×号+4，给出定义如 10.(北京东城区模拟)甲、乙两人分别在A,B两 下：若对于数对(a,b),使等式a+b=ab十4 条生产线上加工零件，在A生产线，甲、乙均 成立，则称数对(a,b)是“4相关数对”，如： 是每天最少可以加工2个A零件.当连续生 2十（一2）=2×（一2）+4，所以数对(2，一2) 产时，甲第一天能加工10个A零件，每连续 是“4相关数对” 加工一天，加工的零件数比前一天少2个；乙 (1)数对(4,0)，(1,1)中是“4相关数对”的 第一天能加工8个A零件，每连续加工一天， 是 加工的零件数比前一天少1个.在B生产线， (2)在数对(m,n)和（一m,一n)都是“4相关 甲每天加工7个B零件，乙每天加工8个B 数对”的条件下，得到下面两条结论： 零件.在同一天内，甲和乙不能在同一条生产 结论一：m和n互为相反数； 线上工作，且在一条生产线连续工作不少于 结论二：m和n互为倒数. 3天时可改变生产线，改变生产线后加工时间 请你判断两条结论是否正确，并说明理由. 重新计算.根据题意，得： (1)甲在A生产线连续工作3天最多能加工 A零件 个 (2)若一个A零件、一个B零件组成一套产 品，则14天最多能加工 套产品 11.(聊城东阿期末)计算： 14.（三门峡峡州区期中)阅读下面的解题过程， 并解决问题， 1D-1.53×0.75-0.53×(←-】 (-3)2 计算：53.27-(-18)+(-21)+46.73 (+15)+21. 解：原式=53.27+18-21十46.73-15+ 21① (2(-103+(-3)×号-4÷(-2》. =(53.27+46.73)+(21-21)+(18-15)② =100+0+3③ =103 (1)第①步经历了哪些转变： 体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第 12.(沧州任丘模拟)小明在解一道有理数混合运 ②步应用的运算律是： 算时，一个有理数m被污染了. 计算：3÷mX(-10. (②)根据以上解题技巧进行计算：一21号+ 34-()-(+)片 (1)若m=2,计算：8÷+2X(-1D. (2)若3÷+mX(-1)=3,求m的值 52 优+学案·课时通△ 15.（烟台牟平区期末)一出租车司机元旦这天上 18.(营口中考)有下列四个算式：①(-5)+ 午营运时是从南山公园门口出发，沿东西走 (+3)=-8,②-(-2)3=6：®(+8)十 向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西 为负，他这天上午所接送8位乘客的行车里 (←)=号：④-3÷（←-）=9.其中，正确的 程（单位：km)如下：-3，+7，一2，+1，一6， 有( +4,+9,-6. C.2个D.3个 (1)将最后一位乘客送到目的地时，该司机在 A.0个B.1个 19.(内蒙古中考)定义新运算“☒”，规定：a☒b= 什么位置？ a2一|b1.则(-2)⑧（一1）的运算结果 (2)将第几位乘客送到目的地时，该司机离南 为() 山公园门口最远？ A.-5B.-3 C.5 D.3 (3)若出租车消耗天然气量为0.3m3/km,这 20.(河北中考)光年是天文学上的一种距离单 天上午该司机接送乘客，出租车共消耗天然 位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等 气多少立方米？ 于9.46×1012km.下列选项正确的是( ) (4)若出租车起步价为9元，起步里程为3km A.9.46×1012-10=9.46×101 (包括3km),超过部分按每千米1.8元计费， B.9.46×1012-0.46=9×1012 问该司机这天上午共得车费多少元？ C.9.46×1012是一个12位数 D.9.46×1012是一个13位数 21.几何直观（杭州中考）已知数轴上的点A,B 分别表示数a,b,其中一1<a<0,0<b<1. 若a×b=c,数c在数轴上用点C表示，则点 A,B,C在数轴上的位置可能是() A B .AB C CA B -101 -10 1 C D 22.(随州中考)计算：（一2）2+（一2）× 2= 23.（广西中考)计算：(-1)×(-4)+22÷(7-5). ←通中考 16.（广东中考)2024年6月6日，嫦娥六号在距 离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完 成月球轨道的交会对接.数据384000用科学 记数法表示为() A.3.84×104 B.3.84×105 C.3.84×106 D.38.4×105 17.(西宁中考)算式一3☐1的值最小时，☐中填 入的运算符号是( ) A.+ B.- C.× D.÷ △七年级·上册·数学.RJ 53 综合与实践 进位制的认识与探究（答案P12) 1.(温州鹿城区期中)远古人创造了一套以60进 2×101+3,记作12310；七进制123=1×72十 制为主的楔形文记数系统，对于大于59的数， 2×7+3,记作123).各进制之间可进行转 则采用六十进制的位值记法，位置的区分是靠 化，如：将七进制转化为十进制：123)=1× 在不同楔形记号组之间留空，如图所示.例如： 72+2×71+3=66,即123(7)=6610)，将十进制 77Y777,左边的77表示2×60，中间的 转化为七进制：（因为7<66<73，所以做除法 777表示3×60，右边的7表示1个单位，用十 从72开始)66：72=1…17,17÷7=2…3， 进制写出来是7381.若楔形文字记数 即6610)=123(. 7《777,表示十进制的数为( ) (1)根据以上信息，若将八进制转化为十进制： 77mH丹开m 158)=1×81+5=13,即15(8)= 12 3 6 8 若将十进制转化为九进制：98÷92=1…17， 册《T《《父⑧ 17÷91=1…8,即981o)= 910111220304050 (2)若将一个十进制两位数转换成九进制和八 A.4203B.3603 C.3723 D.4403 进制数后，得到一个九进制两位数和一个八进 2.(济宁邹城期末)二进制只用0和1两个数字， 制两位数，首位分别为2,3，个位分别为x,y 例如(101)2就是二进制数101的简单写法，将 若x=7,则y= 其转化为十进制数为：(101)2=1×22十0× 5.(重庆渝中区期末)计算机在进行数学运算时 2+1×2°=1×4+0×2+1×1=4+0+1=5 采用的是二进制，二进制的所有数都用字符0 (规定2°=1)，则下列选项的二进制数中转化 和1的组合表示，二进制数与十进制数的对应 为十进制后等于11的是() 关系如下表， A.(1111)2 B.(1110)2 +进制数0123456789 C.(1101)2 D.(1011)2 二进制数01101110010111011110001001 3.(日照东港区期末)我们通常用到的数我们称 二进制数的加法逢二进一，如：1十0=1,1十 之为十进制数，在表示十进制数时，我们需要 1=10,10+0=10,10+1=11,11+0=11, 用到10个数的数码：0,1，…，9.例如：9810，如 11+1=100,…. 果用我们刚学习过的乘方运算来表示，那么 (1)观察上表，十进制的10怎样用二进制表 9810=9000+800+10+0=9×103+8× 示，即(10)+进制= 二进制· 102+1×101+0.在表示三进制数时，我们需要 (2)若十进制数3与二进制数x的和为二进制 用到三个数码：0,1,2，例如：三进制数201= 数111，即3+x=111,求二进制数x. 2×32+0×31+1,等于十进制的数19，那么二 进制中的10101等于十进制的数 4.阅读理解（枣庄市中区期中）进制也就是进位 制，是人们利用符号进行计数的科学方法.对 于任何一种X进制，就表示某一位置上的数运 算时逢X进一位，如十进制数123=1×102+ 54 优计学案·课时通则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 2.3.3近似数 此时，一2一3-7=一2-4一6=一3一4一5=一12， 1.D2.D3.C4.C5.3.8×1046.C7.D8.B 所以S的最大值为一12 9.B 特色素养专题（一）传统文化专题 10.3.14211.千 1.A2.A3.A 12.解：(1)0.70.(2)0.48.(3)0.003.(4)4.90×105. 4.65 192 13.解：(1)车间工人把2.60m看成了2.6m,近似数2.6m的 要求是精确到0.1m;而近似数2.60m的要求是精确到 5.2 0.01m,所以原轴的范围是2.595m≤x<2.605m. 本章综合提升 (2)由(1)知原轴的范围是2.595m≤x<2.605m,故是小王 【本章知识归纳】 加工的轴不合格， 相加较大0相反数负0倒数正0负正数0 数学活动 乘除左右括号b十abaa+(b十c)a(bc) 1.C ab+ac 2.解：(1)1月份支出最大. 【思想方法归纳】 (2)总收入为：0.51+0.30+0.38+0.45+0.33+0.25= 【例1】解：(1)由题意，得（一3）￥5=(-3-5)÷（一3+5）= 2.22(万元)， -8÷2=-4. 总支出为：-0.55+(-0.35)+(-0.26)+(-0.22)+ (-0.24)+(-0.18)=-1.8(万元). (@原式-癸二到4=6*48￥号 6+451 (3)平均支出：一1.8÷6=-0.3（万元） 3.A解析：如图所示，则填入中间一格的数是1. 【变式训练11解：1)原式=-9×(-日）-27=子-27 51 -1 9 -5 21 5 (②)2-[(-9+3)÷(-91 =号-[-9+0÷(-91 4.解：(1)15 =7-[18÷(-90] (2)(-6-3+0+3+6+9+12+15+18)÷3=18, 即幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等 =-(- 于18， 根据幻方的特点可知：在从小到大排列的9个数中，居于中间 位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的 【例2】C解析：因为ab≠0， 数与最小的数必在一起， 所以有四种情况：①a>0,b>0,②a<0,b<0,③a>0,b<0, ④a<0,b>0. 即构成幻方如图①所示： ①当a>0,b>0时， 9 -3 1aL+Ib=1+1=2; b 18 ②当a<0,b<0时， lal+Ib1=-1-1=-2; a b ③当a>0,b<0时， (答案不唯一) 1al+lb=1-1=0: (3)-12. 具体如下：将一2、一3、一4填人三角形的三个顶点处， ④当a<0,b>0时， 一2与一3之间填一7，一2与一4之间填一6， lal+lb=-1+1=0. a b -3与-4之间填-5. 如图②所示， 综上所选，a+lb的值为士2或0. a 【变式训练2】解：因为|m|=4,n|=6, 所以m=士4，n=士6. 6 因为m十n|=m+n, 所以m十n≥0，所以m=士4，n=6. ② 当m=4,n=6时，m-n=-2; 10 当m=-4,n=6时，m-n=-10. =0. 综上所述，m一n=-2或-10. 【通模拟】 (2m=(3-3÷8）÷(-1D 1.B2.C3.C4.C5.D6.D =(3-2)÷(-1) 1-最&@ =1÷(-1) =-1. 9.一17解析：由题意可知， 13.解：(1)(4,0) 285 (2)结论一正确.理由如下：由题意可知，m十n=m×n十 =2×5+2-5 4,-m+(-n)=(-m)×(-n)+4, =10+2-5 则m十n=-m+(-n), =7, 解得m十n=0, 则[2⑧5]⑧(-4) 故m和n互为相反数， =7☒(-4) 故结论一正确. =7×(-4)+7-(-4) 14.解：(1)去括号，省略加号加法交换律、结合律 =-28+7+4 =-17. ②)-21号+3-(-号)-(+4) 10.(1)24(2)106解析：(1)由题意，得甲在A生产线连续工 作3天最多能加工A零件为10+10-2+10-2×2= -21号+3+号- 24(个). =(21号+)+（是-） (2)因为一个A零件、一个B零件组成一套产品， =-21+3 所以14天A,B两种零件同时生产数量最多， =-18 因为甲在A生产线连续工作3天最多能加工A零件24个， 甲在B生产线连续工作3天最多能加工B零件21个， 15.解：(1)-3+7-2+1-6+4+9-6=4(km), 答：将最后一位乘客送到目的地时，该司机在南山公园门口 乙在A生产线连续工作3天最多能加工A零件8十7十6 东边4km处. 21(个)，乙在B生产线连续工作3天最多能加工B零件8X (2)|-3|=3(km), 3=24(个)， |-3+7=4(km), 所以每3天甲、乙轮流生产可使A,B零件的数量相同，最后 两天甲生产A零件18件，乙生产B零件16件， |-3+7-2|=2(km), 所以14天最多能加工24+21+24+21十16=106（套） 1-3+7-2+1=3(km), |-3+7-2+1-6|=3(km), 产品 |-3+7-2+1-6+4|=1(km), 1.解：)[-1.53×0.75-0.53×（←-）】÷(-3 |-3+7-2+1-6+4+9|=10(km), =(-1.53×+0.53×）÷9 |-3+7-2+1-6+4+9-6|=4(km), 10>4=4>3=3=3>2>1. 3 =（-1.53+0.53)×4÷9 答：将第7位乘客送到目的地时，该司机离南山公园门口 最远。 31 (3)(一3|+|+7|+-2|+|+1|+|-6|+|+4+ |+9|+|-61)×0.3=11.4(m3). 1 一12 答：这天上午该司机接送乘客，出租车共消耗天然气 (2(-1D+(-3×-号-÷(-2》 2 11.4m3. (4)[(7+6+4+9+6)-3×5]×1.8+8×9=102.6(元). 2 =-1+(-3)×9-64÷(-2) 答：若出租车起步价为9元，起步里程为3km(包括3km), 超过部分按每千米1.8元计费，该司机这天上午共得车费 =-1-号+82 102.6元. 【通中考】 1 =303 16.B17.B18.C19.D20.D 21.B解析：因为-1<a<0,0<b<1, 12.解：(1)把m=2代入，得 所以-1<a×b<0, 原式=3÷号+2×(-1) 即-1<c<0, =3x号-2 那么点C应在一1和0之间， 则选项A,C,D不符合题意，选项B符合题意， =2-2 22.0 11 23.解：原式=（一1）×（一4）+4÷2 5.(150m+50n) =4+2 6.C7.D =6. 8.(4m+5n) 综合与实践进位制的认识与探究 9.解：(1)ab- x×(）×2=a6-gb 1.A解析：由题意可得 楔形文字记数7《777，表示十进制的数为1×602+ (2a6-xx(）=ab-6 1 10×60+3=1×3600+600+3=3600+600+3=4203. 第3课时用代数式表示正比例关系与反比例关系 2.D 1.D 3.21解析：由题意，得10101=1×24+0×23+1×22+0× 2 21+1=21. 321 2.B 解析：因为7 4.(1)1310118)(2)1解析：(1)因为158)=1×8+ y 2 5=13, 所以y=9· 所以15(8=13a0 因为98÷92=1…17,17÷91=1…8， 所以表格中的“？”处应填 9 所以9810)=1189， 3.100解析：设4小时可以生产零件x个， (2)当x=7时，2x(9)=2X9十x=25, 由题意，得工-25 25÷8=3…1, 4-11 所以y=1. 解得x=100, 5.解：(1)(1010) 即4小时可以生产零件100个. (2)设这个二进制数为x, 4.A 因为十进制数3对应的二进制数为11， 5.B解析：设“△”处应该填的数是a, 所以11+x=111, 由题意，得14a=7×5, 所以x=100. 所以a=2.5. 第三章代数式 所以“△”处应填2.5. 3.1列代数式表示数量关系 6./ 第1课时 代数式的意义 7.解：①义=0(u表示速度)，是正比例关系； . 1.A2.C3.A4.C ②xy=s(s表示路程)，是反比例关系； 5.4 ③xy=ml(m为物体的质量，l为物体到支点的距离)，是反 6.A 比例关系； 7.打八折后再让利20元 8.120a(2)亭x(8)-mm(④2 ④义=k(k为底面直径一定时单位高度水的质量)，是正比 例关系； 9.解：答案不唯一，例：(1)一个棱长为a米的正方体钢块的体 ⑤xy=V(V表示水的体积)，是反比例关系； 积是a3立方米； (2)某款价格为x元的钢笔在加价10%后的售价是(1十 @因为侵）》，=Vv表示水的体积， 10%)x元； 4V (3)巧克力糖每千克m元，奶油糖每千克n元，用3千克巧克 所以x2y=元’ 力糖和2千克奶油糖混合成5千克混合糖，则这样得到的混 所以y与x既不是正比例关系，也不是反比例关系， 合糖每千克的平均价格为3m十2m元。 8.C 5 1 第2课时列代数式表示数量关系 9.①②④解析：①圆锥的体积=3×圆锥的底面积×高，圆 1.B2.C 锥的体积一定，圆锥的底面积和高成反比例关系； 3解：12号与0的积减去6的日：号0号6 ②加工零件的总时间一定，加工一个零件的时间和加工零件 2 的总个数成反比例关系； (②正的平办与4的商：苦 ③圆的周长一定，圆周率和这个圆的直径是一个定值，不是反 (3)x,y两数的差的平方：(x一y)2. 比例关系； (4)a,b两数的平方差：a2-b2. ④总齿数一定，咬合的齿轮，每个齿轮的齿数和转动的圈数成 1 反比例关系。 4.2ab 所以两种量成反比例关系的是①②④. 12