第08讲 绝对值常考六类压轴题型（暑假预习举一反三讲义）新七年级数学上册新教材人教版

第08讲 绝对值常考六类压轴题型（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【6个类型+课后作业】 【类型1 由绝对值的性质判断参数】 【例1】若|x﹣1|+x＝1，则x一定（　　） A．大于1 B．小于1 C．不大于1 D．不小于1 【分析】先把已知的等式变形为|x﹣1|＝1﹣x，然后根据负数或0的绝对值等于它的相反数，即可求出x的取值范围． 【解答】解：∵|x﹣1|+x＝1， ∴|x﹣1|＝1﹣x， ∴x﹣1≤0， ∴x≤1， 即x不大于1， 故选：C． 【变式1-1】已知|2x﹣5|＝5﹣2x，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据绝对值的性质进行解题即可． 【解答】解：∵|2x﹣5|＝5﹣2x， ∴2x﹣5≤0， ∴x． 故选：D． 【变式1-2】使等式|6+x|＝|6|+|x|成立的有理数x是（　　） A．任意一个整数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个有理数 【分析】根据绝对值的性质判断出6与x同号或x为0，然后解答即可． 【解答】解：∵|6+x|＝|6|+|x|， ∴6与x同号或x为0， ∴x是任意一个非负数． 故选：B． 【变式1-3】若|x﹣5|＝|x|+5，则x的取值范围是 　 　． 【分析】运用绝对值的知识进行讨论、求解． 【解答】解：∵当x＞0时，|x﹣5|＝x﹣5； 当x≤0时，|x﹣5|＝﹣x+5， ∴若|x﹣5|＝|x|+5， 则|x|＝﹣x， ∴x≤0． 【类型2 由绝对值的性质去绝对值符号】 【例2】若|a+2|＝﹣a﹣2，则|a﹣1|﹣|2﹣a|＝（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 【分析】根据|a+2|＝﹣a﹣2确定a的取值范围，进而确定a﹣1，2﹣a的符号，再根据绝对值的定义进行计算即可． 【解答】解：∵|a+2|＝﹣a﹣2， ∴a+2≤0， 即a≤﹣2， ∴a﹣1＜0，2﹣a＞0， ∴|a﹣1|﹣|2﹣a| ＝﹣a+1﹣2+a ＝﹣1， 故选：D． 【变式2-1】若b＜0，ab＜0，则|b﹣a|﹣|a﹣b+1|的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】根据b＜0，ab＜0，可得：a＞0，据此判断出b﹣a、a﹣b+1的正负，再根据绝对值的含义和求法，求出|b﹣a|﹣|a﹣b+1|的值即可． 【解答】解：∵b＜0，ab＜0， ∴a＞0， ∴b﹣a＜0，a﹣b+1＞0， ∴|b﹣a|﹣|a﹣b+1| ＝﹣（b﹣a）﹣（a﹣b+1） ＝﹣b+a﹣a+b﹣1 ＝﹣1． 故选：B． 【变式2-2】a＜0，则化简的结果为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 【分析】首先根据a＜0得|a|＝﹣a，进而可得出答案． 【解答】解：∵a＜0， ∴|a|＝﹣a， ∴1． 故选：B． 【变式2-3】设a，b，c为非零实数，且|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0．化简|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|的结果是（　　） A．b﹣2c B．b C．b﹣2a D．﹣2a 【分析】根据题意，可得：a＜0，b＜0，c＞0，据此化简|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|即可． 【解答】解：∵|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0， ∴a＜0，b＜0，c＞0， ∴|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c| ＝﹣b﹣（﹣a﹣b）﹣（c﹣b）+c﹣a ＝b， 故选：B． 【类型3 绝对值的非负性】 【例3】已知实数a、b、c满足2|a+3|+4﹣b＝0，（c﹣2）2+4b﹣16＝0，则a+b+c的值为（　　） A．0 B．3 C．6 D．9 【分析】先对已知的式子进行变形，可得2|a+3|＝b﹣4，（c﹣2）2＝16﹣4b，接下来根据非负数性质求出b的值，再求出a，c的值，然后将其代入式子求得答案． 【解答】解：∵2|a+3|+4﹣b＝0，（c﹣2）2+4b﹣16＝0， ∴2|a+3|＝b﹣4，（c﹣2）2＝16﹣4b， 根据绝对值以及偶次方的非负性， 得b﹣4≥0，16﹣4b≥0， ∴b≥4且b≤4， ∴b＝4， ∴2|a+3|＝0，（c﹣2）2＝0， ∴a＝﹣3，c＝2， ∴a+b+c＝﹣3+4+2＝3， 故选：B． 【变式3-1】如果|y+3|＝﹣|2x﹣4|，那么x﹣y＝（　　） A．﹣1 B．5 C．﹣5 D．1 【分析】根据任何数的绝对值都是非负数，可以得y+3＝0，2x﹣4＝0，即可求解． 【解答】解：∵|y+3|＝﹣|2x﹣4|， ∴|y+3|+|2x﹣4|＝0， ∴y+3＝0，2x﹣4＝0， 解得x＝2，y＝﹣3， ∴x﹣y＝2+3＝5． 故选：B． 【变式3-2】已知y＝﹣2﹣|x﹣1|，则y有最____值____（　　） A．大，﹣3 B．小，﹣3 C．大，﹣2 D．小，﹣2 【分析】根据绝对值的非负性即可解答． 【解答】解：∵|x﹣1|≥0， ∴y＝﹣2﹣|x﹣1|≤﹣2， ∴y＝﹣2﹣|x﹣1|有最大值﹣2． 故选：C． 【变式3-3】若（a+b）2+|b﹣1|＝b﹣1，且|a+3b﹣3|＝5，则a﹣b的值是（　　） A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8 【分析】先化简得到，解得，即可求解． 【解答】解：∵（a+b）2+|b﹣1|＝b﹣1， ∴（a+b）2+|b﹣1|﹣（b﹣1）＝0， ∵|b﹣1|≥（b﹣1）， ∴|b﹣1|﹣（b﹣1）≥0，（a+b）2≥0， ∴a+b＝0且|b﹣1|＝b﹣1， ∴， 解得， ∵|a+3b﹣3|＝5， ∴a+3b﹣3＝5或a+3b﹣3＝﹣5， ∴a+3b＝8或a+3b＝﹣2， 把a＝﹣b代入上式得：b＝4或﹣1 （舍去）， ∴a﹣b＝﹣4﹣4＝﹣8． 故选：A． 【类型4 多绝对值分类讨论（型）】 【例4】已知abc＜0，a+b+c＝0，若，则x的最大值与最小值的乘积为（　　） A．﹣24 B．﹣12 C．6 D．24 【分析】根据abc＜0，a+b+c＝0判断出a、b、c只能是一负两正，然后分情况讨论：当a、b为正，c为负时；当a、c为正，b为负时；当b、c为正，a为负时；分别计算x的值，即可得出答案． 【解答】解：∵abc＜0， ∴a、b、c中一负两正或三负， ∵a+b+c＝0， ∴a、b、c不可能三负，只能是一负两正， ∵a+b+c＝0， ∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c， 当a、b为正，c为负时， ＝1+2+3 ＝6； 当a、c为正，b为负时， ＝1﹣2﹣3 ＝﹣4； 当b、c为正，a为负时， ＝﹣1+2﹣3 ＝﹣2； 则x的最大值与最小值的乘积为6×（﹣4）＝﹣24， 故选：A． 【变式4-1】若三个非零有理数a，b，c满足，则的值为（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．3或﹣3 D．1或﹣3 【分析】由于a，b，c的符号不能确定，所以应分三个数两个大于0、三个都小于0进行解答． 【解答】解：∵， ∴abc＜0， 当a，b，c中有两个大于0时，原式＝1+1﹣1＝1； 当a，b，c均小于0时，原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3． 故选：D． 【变式4-2】已知|x﹣2|+3的最小值是a，，那么的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定 【分析】根据题意，因为|x﹣2|+3的最小值是a，求出a＝3，得出，因为，所以，得出，所以b＜0，c＜0，所以ab＜0，bc＞0，ac＜0，abc＞0，求出∴1+1﹣1+1＝0，据此解答． 【解答】解：∵|x﹣2|≥0， ∴|x﹣2|的最小值是0， ∵|x﹣2|+3的最小值是a， ∴a＝3． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴b＜0，c＜0， ∴ ＝﹣1+1+（﹣1）+1 ＝0． 故选：C． 【变式4-3】已知abc＜0，a+b+c＞0，且x，则x的值为（　　） A．0 B．0或1 C．0或﹣2或1 D．0或1或﹣6 【分析】由题意可得a＜0，b＞0，c＞0或a＞0，b＜0，c＞0或a＞0，b＞0，c＜0，再运用绝对值知识对各种情况进行求解． 【解答】解：∵abc＜0，a+b+c＞0， ∴a＜0，b＞0，c＞0或a＞0，b＜0，c＞0或a＞0，b＞0，c＜0， 当a＜0，b＞0，c＞0时， x ＝﹣1+1+1﹣1﹣1+1 ＝0， 同理可得，当a＞0，b＜0，c＞0或a＞0，b＞0，c＜0， x＝0， ∴当abc＜0，a+b+c＞0时，x＝0， 故选：A． 【类型5 绝对值分类讨论（整数类问题）】 【例5】适合|3a+7|+|3a﹣5|＝12的整数a的值有（　　） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 【分析】由题意可理解为3a到﹣7和5的距离的和，由此可得出3a的值，继而可得出答案． 【解答】解：|3a+7|表示3a到﹣7的距离， |3a﹣5|表示3a到5的距离， 则|3a+7|+|3a﹣5|＝12表示由﹣7到5点的距离为12， 故﹣7到5中间所有点都满足， 则﹣7≤3a≤5，由此可得a为整数的值有：﹣2、﹣1、0、1，共4个值， 故选：A． 【变式5-1】适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有（　　） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 【分析】此方程可理解为a到﹣5和3的距离的和，由此可得出a的值，继而可得出答案． 【解答】解：|a+5|表示a到﹣5点的距离， |a﹣3|表示a到3点的距离， 因为﹣5到3点的距离为8， 故﹣5到3之间的所有点均满足条件， 又由a为整数， 故满足条件的a有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3共9个， 故选：D． 【变式5-2】已知a，b，c均为整数，且|a﹣b|+|b﹣c|＝2，那么|a﹣b|+|a﹣c|的值是 　 　． 【分析】首先根据a，b，c均为整数得|a﹣b|，|b﹣c|均为非负整数，再根据|a﹣b|+|b﹣c|＝2即可得出①|a﹣b|＝0，|b﹣c|＝2，②|a﹣b|＝2，|b﹣c|＝0，③|a﹣b|＝1，|b﹣c|＝1，据此根据每一种情况求出|a﹣b|+|a﹣c|的值即可． 【解答】解：∵a，b，c均为整数， ∴|a﹣b|，|b﹣c|均为非负整数， 又∵|a﹣b|+|b﹣c|＝2， ∴|a﹣b|＝0，|b﹣c|＝2，或|a﹣b|＝2，|b﹣c|＝0，或|a﹣b|＝1，|b﹣c|＝1， ①当|a﹣b|＝0，|b﹣c|＝2时，a＝b，|a﹣c|＝|b﹣c|＝2， ∴|a﹣b|+|a﹣c|＝0+2＝2； ②当|a﹣b|＝2，|b﹣c|＝0时，b＝c，|a﹣c|＝|a﹣b|＝2， ∴|a﹣b|+|a﹣c|＝2+2＝4； ③当|a﹣b|＝1，|b﹣c|＝1时，此时|a﹣c|＝0或2， ∴|a﹣b|+|a﹣c|＝1+0＝1或|a﹣b|+|a﹣c|＝1+2＝3． 综上所述，|a﹣b|+|a﹣c|的值是1或2或3或4． 故此题答案为：1或2或3或4． 【变式5-3】已知a、b、c都为整数，且满足|a﹣b|2025+|b﹣c|2026＝1，则|a﹣b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|的结果为（　　） A．0 B．0或1 C．1 D．1或2 【分析】先判断出a﹣b，b﹣c都为整数，再根据|a﹣b|2025+|b﹣c|2026＝1，得出或，然后分情况化简绝对值即可． 【解答】解：∵a、b、c都为整数， ∴a﹣b，b﹣c都为整数， ∵|a﹣b|2025+|b﹣c|2026＝1， ∴或， ∴a﹣b＝0，|b﹣c|＝1或|a﹣b|＝1，b﹣c＝0， 即a＝b，|b﹣c|＝1或|a﹣b|＝1，b＝c， 当a＝b，|b﹣c|＝1时， |a﹣b|+|b﹣c|﹣|a﹣c| ＝0+1﹣|b﹣c| ＝0+1﹣1 ＝0； 当|a﹣b|＝1，b＝c时， |a﹣b|+|b﹣c|﹣|a﹣c| ＝1+0﹣|a﹣b| ＝1+0﹣1 ＝0； 综上，|a﹣b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|的值为0， 故选：A． 【类型6 绝对值求最值类问题】 【例6】已知有理数a＞0，b＞0，则|x﹣a|+|x+b|的最小值为（　　） A．a﹣b B．a+b C．﹣b﹣a D．b﹣a 【分析】根据绝对值的几何意义得出|x﹣a|+|x+b|的最小值为a和﹣b之间的距离，然后列式化简即可． 【解答】解：由绝对值的几何意义可知，|x﹣a|+|x+b|表示x到a和﹣b的距离之和， ∴|x﹣a|+|x+b|的最小值为a和﹣b之间的距离，即|a﹣（﹣b）|＝|a+b|， ∵a＞0，b＞0， ∴|a﹣（﹣b）|＝|a+b|＝a+b， 故选：B． 【变式6-1】代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（　　） A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3 C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在 【分析】分三种情况：当x≥1时；当﹣2＜x＜1时；当x≤﹣2时；进行讨论可求代数式|x﹣1|﹣|x+2|的值，即可求出a与b的值． 【解答】解：当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3； 当﹣2＜x＜1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1； 当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3． ∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b， ∴a＝3，b＝﹣3． 故选：C． 【变式6-2】求的最小值（　　） A．12 B．6 C． D．3 【分析】利用分类讨论的思想方法和绝对值的意义化简运算后，通过比较计算结果即可得出结论． 【解答】解：当x＜2时，原式＝1x+2x+3＝6x， ∵x＜2，∴6x； 当2≤x≤6时，原式x﹣1+2x+3x＝4x， ∵2≤x≤6，∴4x； 当6＜x≤12时，原式x﹣1x﹣2+3xx， ∵6＜x≤12，∴x≤7； 当x＞12时，原式x﹣1x﹣2x﹣3x﹣6， ∵x＞12，∴x﹣6＞7． 综上，当x＝6时，原式有最小值为． 故选：C． 【变式6-3】已知式子|x+1|+|y+3|＝10﹣|x﹣2|﹣|y﹣4|，则2x+y的最大值是 　 　． 【分析】利用绝对值的意义求得x，y的取值范围，从而求得x，y的最大值，代入运算即可得出结论． 【解答】解：∵|x+1|+|y+3|＝10﹣|x﹣2|﹣|y﹣4|， ∴|x+1|+|y+3|+|x﹣2|+|y﹣4|＝10， |x+1|+|x﹣2|表示的是数轴上到﹣1和2两点的距离的和， ∵当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|取得最小值为3，即|x+1|+|x﹣2|≥3， 同理：|y+3|+|y﹣4|表示的是数轴上到﹣3和4两点的距离的和， ∵当﹣3≤y≤4时，|y+3|+|y﹣4|取得最小值为7，即|y+3|+|y﹣4|≥7， ∵|x+1|+|y+3|+|x﹣2|+|y﹣4|＝10， ∴﹣1≤x≤2且﹣3≤y≤4． ∴x的最大值为2，y的最大值为4， ∴2x+y的最大值是2×2+4＝8． 故答案为：8． 模块二 课后作业 1．若|m﹣1|+m＝1，则m一定（　　） A．大于1 B．小于1 C．不小于1 D．不大于1 【分析】把|m﹣1|+m＝1，转化为|m﹣1|＝1﹣m，再根据绝对值的性质判断即可． 【解答】解：∵|m﹣1|+m＝1， ∴|m﹣1|＝1﹣m， ∴m﹣1≤0， ∴m≤1， 故选：D． 2．已知实数a，b满足|a﹣b|＝﹣a﹣b，且a≠b，则下列说法中正确的是（　　） A．若a＝0，则a＜b B．若b＝0，则a＞b C．若a＞b，则a＝0 D．若a＜b，则a＝0 【分析】根据绝对值的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：A．若a＝0，则|a﹣b|＝|﹣b|＝﹣b，即﹣b＞0，也就是b＜0，所以a＞b，因此选项A不符合题意； B．若b＝0，则|a﹣b|＝|a|＝﹣a，即a＜0，所以a＜b，因此选项B不符合题意； C．若a＞b，则|a﹣b|＝a﹣b＝﹣a﹣b，即a＝﹣a，所以a＝0，因此选项C符合题意； D．若a＜b，则|a﹣b|＝﹣a+b＝﹣a﹣b，即b＝﹣b，所以b＝0，a＜0，因此选项D不符合题意． 故选：C． 3．已知|x﹣a|＝1，|y﹣a|＝2，则|x﹣y|的值为（　　） A．2 B．3 C．1或3 D．2或3 【分析】根据|x﹣a|＝1，|y﹣a|＝2，得出x＝a±1，y＝a±2，然后分情况进行讨论即可得出答案． 【解答】解：∵|x﹣a|＝1，|y﹣a|＝2， ∴x﹣a＝±1，y﹣a＝±2， ∴x＝a±1，y＝a±2， 当x＝a+1，y＝a+2时，|x﹣y|＝|a+1﹣a﹣2|＝1； 当x＝a+1，y＝a﹣2时，|x﹣y|＝|a+1﹣a+2|＝3； 当x＝a﹣1，y＝a+2时，|x﹣y|＝|a﹣1﹣a﹣2|＝3； 当x＝a﹣1，y＝a﹣2时，|x﹣y|＝|a﹣1﹣a+2|＝1； 综上分析可知，|x﹣y|的值为1或3． 故选：C． 4．已知a+b+c＜0，abc＜0，则的值为（　　） A．﹣2或﹣1或1 B．﹣1或﹣2或2 C．2或﹣2 D．﹣2或1 【分析】根据题干信息，对a、b、c三个数的符号进行分类讨论即可求解． 【解答】解：∵a+b+c＜0，abc＜0， ∴a、b、c三个数中可能是一个负数两正数或三个都是负数， 当a＜0、b＞0、c＞0时， ∴1+1﹣1﹣1＝﹣2； 当a＞0、b＜0、c＞0时， ∴1﹣1﹣1﹣1＝﹣2； 当a＞0、b＞0、c＜0时， ∴； 当a＜0、b＜0、c＜0时， ∴； 综上，或﹣2． 故选：C． 5．下列结论：①若|2﹣x|＝x﹣2，则x＞2；②若a＞b，则|a|＞|b|；③三个实数a，b，c满足a+b+c＝0，|a|＞|b|＞|c|，则一定有a＞0，b＜0，c＜0；④若ab＞0，则的值为3．其中错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用绝对值的定义解答． 【解答】解：①若|2﹣x|＝x﹣2，则x＞2，错误，x＝2时也成立； ②若a＞b，则|a|＞|b|，错误，例如a＝0，b＝﹣1； ③三个实数a，b，c满足a+b+c＝0，|a|＞|b|＞|c|，则一定有a＞0，b＜0，c＜0，错误，也可能是a＜0，b＞0，c＞0； ④若ab＞0，则的值为3．错误，的值为3或﹣1． 其中错误的是①、②、③、④，共计4个． 故选：D． 6．若有理数x满足|x|+2025＝|x﹣2025|，则x的取值范围是　x≤0　 ． 【分析】首先判断x﹣2025的正负，再根据绝对值的非负性，变形|x﹣2025|为﹣x+2025，利用等式的性质及绝对值的意义得结论． 【解答】解：当x﹣2025≥0，即x≥2025时，|x|+2025＝x+2025≠x﹣2025； ∵|x|+2025＝|x﹣2025|成立， ∴x﹣2025≤0． ∴|x﹣2025| ＝﹣（x﹣2025） ＝﹣x+2025 ＝|x|+2025． ∴|x|＝﹣x， ∴x≤0． 故答案为：x≤0． 7．如果|x+4|+|x﹣3|+|x﹣a|的最小值是10，那么a＝ 　﹣7或6　 ． 【分析】根据绝对值的几何意义，分类讨论求值即可． 【解答】解：|x+4|+|x﹣3|+|x﹣a|的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示数﹣4，3，a的点的距离之和， ①当a＜﹣4时， 当x＝﹣4时，|x+4|+|x﹣3|+|x﹣a|有最小值，即：7+|a+4|＝10，解得：a＝﹣7或a＝﹣1（舍去）； ②当﹣4≤a≤3时， 当x＝a时，|x+4|+|x﹣3|+|x﹣a|有最小值，即：|x+4|+|x﹣3|+|x﹣a|＝7，不符合题意； ③当a＞3时， 当x＝3时，|x+4|+|x﹣3|+|x﹣a|有最小值，即：7+|a﹣3|＝10，解得：a＝6或a＝0（舍去）； 综上，当a＝﹣7或a＝6时，|x+4|+|x﹣3|+|x﹣a|的最小值是10． 故答案为：﹣7或6． 8．若a，b，c是整数，且|a+b|+|b+c|＝2，则|a﹣c|的值为 　2　 ． 【分析】根据绝对值的非负性以及题意，可知当|a+b|＝0时，则|b+c|＝2，当|a+b|＝2时，则|b+c|＝0，分类讨论计算即可． 【解答】解：∵a、b、c是整数， ∴a+b，b+c是整数， ∵|a+b|+|b+c|＝2， 又∵|a+b|≥0，|b+c|≥0， ∴|a+b|＝0时，则|b+c|＝2或|a+b|＝2时，则|b+c|＝0， ∴当a+b＝0，b+c＝2时， 则a＝﹣b，c＝2﹣b， ∴|a﹣c|＝|﹣b﹣2+b|＝2； ∴当a+b＝0，b+c＝﹣2时， 则a＝﹣b，c＝﹣2﹣b， ∴|a﹣c|＝|﹣b+2+b|＝2； ∴当a+b＝2，b+c＝0时， 则a＝2﹣b，c＝﹣b， ∴|a﹣c|＝|2﹣b+b|＝2， ∴当a+b＝﹣2，b+c＝0时， 则a＝﹣2﹣b，c＝﹣b， ∴|a﹣c|＝|﹣2﹣b+b|＝2， 综上可得：|a﹣c|＝2， 故答案为：2． 9．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|b﹣c|﹣|a|﹣|b+c﹣2a|＝　 　． 【分析】根据数轴得到a＜0，c＞b＞0，进一步判断出b﹣c＜0，b+c﹣2a＞0，再根据绝对值的性质化简即可． 【解答】解：由数轴得，a＜0，c＞b＞0， ∴b﹣c＜0，b+c﹣2a＞0， ∴|b﹣c|﹣|a|﹣|b+c﹣2a| ＝（c﹣b）﹣（﹣a）﹣（b+c﹣2a） ＝c﹣b+a﹣b﹣c+2a ＝3a﹣2b， 故答案为：3a﹣2b． 10．已知，1，ab≥0，|abc|＝abc，化简|a+b|﹣|a﹣c|+|b﹣c|＝　﹣2b　 ． 【分析】由1，可得a＜0，再由ab≥0，可得b≤0，再由|abc|＝abc，可得abc≥0，因为ab≥0，所以c≥0，即可得出a+b＜0，a﹣c＜0，b﹣c＜0，根据绝对值的性质进行化简即可得出答案． 【解答】解：∵1， ∴a＜0， ∵ab≥0， ∴b≤0， ∵|abc|＝abc， ∴abc≥0， ∴c≥0． ∴a+b＜0，a﹣c＜0，b﹣c＜0， ∴|a+b|﹣|a﹣c|+|b﹣c|＝﹣（a+b）+（a﹣c）﹣（b﹣c）＝﹣a﹣b+a+c+a﹣c＝﹣2b． 故答案为：﹣2b． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 绝对值常考六类压轴题型（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【6个类型+课后作业】 【类型1 由绝对值的性质判断参数】 【例1】若|x﹣1|+x＝1，则x一定（　　） A．大于1 B．小于1 C．不大于1 D．不小于1 【变式1-1】已知|2x﹣5|＝5﹣2x，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】使等式|6+x|＝|6|+|x|成立的有理数x是（　　） A．任意一个整数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个有理数 【变式1-3】若|x﹣5|＝|x|+5，则x的取值范围是 　 　． 【类型2 由绝对值的性质去绝对值符号】 【例2】若|a+2|＝﹣a﹣2，则|a﹣1|﹣|2﹣a|＝（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 【变式2-1】若b＜0，ab＜0，则|b﹣a|﹣|a﹣b+1|的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【变式2-2】a＜0，则化简的结果为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 【变式2-3】设a，b，c为非零实数，且|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0．化简|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|的结果是（　　） A．b﹣2c B．b C．b﹣2a D．﹣2a 【类型3 绝对值的非负性】 【例3】已知实数a、b、c满足2|a+3|+4﹣b＝0，（c﹣2）2+4b﹣16＝0，则a+b+c的值为（　　） A．0 B．3 C．6 D．9 【变式3-1】如果|y+3|＝﹣|2x﹣4|，那么x﹣y＝（　　） A．﹣1 B．5 C．﹣5 D．1 【变式3-2】已知y＝﹣2﹣|x﹣1|，则y有最____值____（　　） A．大，﹣3 B．小，﹣3 C．大，﹣2 D．小，﹣2 【变式3-3】若（a+b）2+|b﹣1|＝b﹣1，且|a+3b﹣3|＝5，则a﹣b的值是（　　） A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8 【类型4 多绝对值分类讨论（型）】 【例4】已知abc＜0，a+b+c＝0，若，则x的最大值与最小值的乘积为（　　） A．﹣24 B．﹣12 C．6 D．24 【变式4-1】若三个非零有理数a，b，c满足，则的值为（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．3或﹣3 D．1或﹣3 【变式4-2】已知|x﹣2|+3的最小值是a，，那么的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定 【变式4-3】已知abc＜0，a+b+c＞0，且x，则x的值为（　　） A．0 B．0或1 C．0或﹣2或1 D．0或1或﹣6 【类型5 绝对值分类讨论（整数类问题）】 【例5】适合|3a+7|+|3a﹣5|＝12的整数a的值有（　　） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 【变式5-1】适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有（　　） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 【变式5-2】已知a，b，c均为整数，且|a﹣b|+|b﹣c|＝2，那么|a﹣b|+|a﹣c|的值是 　 　． 【变式5-3】已知a、b、c都为整数，且满足|a﹣b|2025+|b﹣c|2026＝1，则|a﹣b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|的结果为（　　） A．0 B．0或1 C．1 D．1或2 【类型6 绝对值求最值类问题】 【例6】已知有理数a＞0，b＞0，则|x﹣a|+|x+b|的最小值为（　　） A．a﹣b B．a+b C．﹣b﹣a D．b﹣a 【变式6-1】代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（　　） A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3 C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在 【变式6-2】求的最小值（　　） A．12 B．6 C． D．3 【变式6-3】已知式子|x+1|+|y+3|＝10﹣|x﹣2|﹣|y﹣4|，则2x+y的最大值是 　 　． 模块二 课后作业 1．若|m﹣1|+m＝1，则m一定（　　） A．大于1 B．小于1 C．不小于1 D．不大于1 2．已知实数a，b满足|a﹣b|＝﹣a﹣b，且a≠b，则下列说法中正确的是（　　） A．若a＝0，则a＜b B．若b＝0，则a＞b C．若a＞b，则a＝0 D．若a＜b，则a＝0 3．已知|x﹣a|＝1，|y﹣a|＝2，则|x﹣y|的值为（　　） A．2 B．3 C．1或3 D．2或3 4．已知a+b+c＜0，abc＜0，则的值为（　　） A．﹣2或﹣1或1 B．﹣1或﹣2或2 C．2或﹣2 D．﹣2或1 5．下列结论：①若|2﹣x|＝x﹣2，则x＞2；②若a＞b，则|a|＞|b|；③三个实数a，b，c满足a+b+c＝0，|a|＞|b|＞|c|，则一定有a＞0，b＜0，c＜0；④若ab＞0，则的值为3．其中错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．若有理数x满足|x|+2025＝|x﹣2025|，则x的取值范围是　 　 ． 7．如果|x+4|+|x﹣3|+|x﹣a|的最小值是10，那么a＝ 　 　 ． 8．若a，b，c是整数，且|a+b|+|b+c|＝2，则|a﹣c|的值为 　 　 ． 9．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|b﹣c|﹣|a|﹣|b+c﹣2a|＝　 　． 10．已知，1，ab≥0，|abc|＝abc，化简|a+b|﹣|a﹣c|+|b﹣c|＝　 　 ． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $