广东省惠州市惠州中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

惠州中学2025-2026学年高二年级第一学期期中考试 数学 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 过点和点的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 直线，直线，若，则两直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 点在曲线上运动，，且的最大值为，若，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 教材44页第17题（2）：在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，求证：．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线l是平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四棱锥中，底面，，，，是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 已知向量，则向量在上的投影向量为 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 若是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量，则直线 10. 已知圆，则（ ） A. 圆与直线必有两个交点 B. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C. 若圆与圆恰有三条公切线，则 D. 已知动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为8 11. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一动点，，点在平面内运动，下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 在动点由运动至的过程中，二面角先增大后减小 C. 平面截正方体所得截面图形可能是等腰梯形 D. 若为棱的中点，与平面所成角为，则点的轨迹长度为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为______． 13. 已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，若点M是线段的中点，则的周长为______. 14. 已知点，圆上两点，且M，P，N三点共线，则的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求下列直线方程： （1）已知，， ①求边所在的直线方程； ②求边上的垂直平分线所在直线的方程； （2）已知点，求过点P且与原点距离为3的直线l的方程． 16. 如图，已知平行六面体. （1）若，求的长度； （2）若，求与所成角的余弦值. 17. （1）如图，已知圆，点，P是圆E上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于Q，求动点Q的轨迹Γ的方程； （2）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上运动．若，求点N的轨迹方程． 18. 立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）. （1）若是四边形对角线的交点，求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正切值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 19. 已知圆，圆与圆关于直线对称，圆. （1）求圆与圆的公共弦所在的直线方程和圆的方程； （2）为平面内一动点，分别为圆与圆的切线（为切点）且，求点的轨迹方程； （3）斜率为的直线过点与圆交于两点（在轴上方）.将平面沿轴折叠，使平面平面，设折叠后的长度为．求函数的解析式，并求函数的值域. 惠州中学2025-2026学年高二年级第一学期期中考试 数学 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】8 【14题答案】 【答案】48 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1）① ；② （2）或 【16题答案】 【答案】（1） （2）. 【17题答案】 【答案】（1） ；（2）. 【18题答案】 【答案】（1）证明：取中点，连接， 由题意可知且， 又因为是矩形对角线的交点， 所以且， 所以且， 则四边形为平行四边形， 所以且， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）； （3）存在，当与点重合时，平面与平面所成的二面角的正切值为. 【19题答案】 【答案】（1）， （2） （3）； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $