第2章2.5 角和角的度量-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（冀教版2024）

2.5角和角的度量（答案P10) 通基>9999999999999 知识点2角的度量与换算 5.如图所示，用量角器测得∠AOB的度数是40° 知识点1角的定义和表示方法 的是( 1.抽象能力》下列说法正确的是( 90 A.两条射线组成的图形叫作角 B.有公共端点的两条线段组成的图形叫作角 C.角可以看作一条射线绕着端点旋转到另一 A B 单90 90 个位置所形成的图形 D.角可以看作一条线段绕着端点旋转到另一 个位置所形成的图形 0 2.下列说法正确的是( 6.用度、分、秒表示91.34°为() A.角的边越长，角度就越大 A.91°2024" B.91°34 B.周角就是一条射线 C.91204 D.91°34" C.一条直线可以看成平角 7.如图所示，钟表上10点整时，时针与分针所成 D.平角的两边可以构成一条直线 的角是( 3.在下列图形中，能用∠a,∠AOB,∠O三种方 10 法表示同一个角的是() A.30° B.60° C.90° D.120° 8.运算能力》计算： (1)把3.38°化为度、分、秒的形式. 4.如图所示，点B,D,C,F在同一条直线上. (1)图中哪个角可以用一个大写字母来表示？ (2)把28°18'18"化成度的形式 (2)以A为顶点的角有几个？请表示出来 (3)∠ADC与∠ACD是同一个角吗？请说明 理由. 通能力>99>9>》 9.如图所示，各选项中说法正确的是( ) A.∠ADE就是∠D B.∠ABC可以用∠B表示 C.∠ABC和∠ACB是同一 个角 D.∠BAC和∠DAE不是同一个角 一七年级·上册·数学山 52 10.已知∠AOB=30°，如果用10倍的放大镜看 后，就能解决很多关于闹钟的有趣问题： ∠AOB,那么∠AOB的度数() (1)3时整时，时针与分针所成的角 A笔小到原来的品 是 度 (2)7时25分时，时针与分针所成的角 B.不变 是 度 C.扩大到原来的10倍 (3)一昼夜(0时到24时)时针与分针互相垂 D.扩大到原来的100倍 直的次数有多少次？ 11.下列计算错误的是() A.0.25°=900" c100=() D.125.45°=125°45 12.运算能力计算： (1)57.18°= 度 分 秒 通素第》99999999999>9999 (2)360"= 或 15.阅读理解如图所示，看图回答下列问题： (3)12'= 或 (1)在图①中有几个角？ 13.老师提出了以下问题：如图所示，请用恰当的 (2)在图②中有几个角？ 方法表示图中给出的所有角（小于平角的 (3)在图③中有几个角？ 角)，某组同学在本组展示区的答案是：∠1， (4)以此类推，如图④所示，若一个角内有 ∠a,∠BAD,∠C,∠D n条射线，此时共有多少个角？ 2 思考分析后，分别解答下列问题： (1)有位同学认为答案中有错误，你是否认同 他的观点？ (填“认同”或“不认同”) 4 (2)如果你认为有错误，错误的答 案为 (3)另一位同学认为答案不完整，还有符合要 求的角没表示出来，请你将答案修改补充完 整，图中还有 14.推理能力闹钟的时针和分针如同兄弟俩在 赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？ 分针每分钟走多少度？当你弄清楚这个问题 53 优计学案·课时通3.解：(1)因为AB=8,BD=2, A的左侧，或在直线AB上且在点B的右侧，或在 所以AD=AB-BD=8-2=6. 直线1外. 因为点C是线段AD的中点， 所以CD=AC=?AD=3. ID A B I A B D (3)不同意.理由：根据两点之间，线段最短，可知E 所以BC=BD+CD=2+3=5. (2)因为BD=2,CE=BD, 到A,B两点之间的距离之和最小等于10cm. 所以CE=2. (4)平面上任意一点到A,B两点之间的距离之和 当E在C的左边时，AE=AC-CE=3-2=1; 都大于或等于线段AB的长度. 当E在C的右边时，AE=AC+CE=3+2=5. 15.解：(1)因为AP=8,M是AP的中点，AB=14, 所以AE的长为1或5. 所以MP-)AP=4,BP=AB-AP=6, 1 4.解：(1)因为AB=2×100=50(cm), 又因为N是PB的中点， AP:BP=2:3, 所以AP=20cm. 所以PN=PB=3, (2)因为AP：BP=2:3,所以设AP=2xcm, 所以MN=MP+PN=7. BP=3x cm. (2)①当点P在AB之间时，MP= 2AP,PN= 若一根细线绳沿B点对折成线段AB,则剪断后的 三段细线绳的长分别为2xcm,2xcm,6xcm.由题 意，得6x=60,解得x=10. ZPB.MN MP PN -(AP PB)- 所以细线绳的原长为2x十2x+6.x=10x=100cm 若一根细线绳沿A点对折成线段AB,则剪断后的 2AB=7. 三段细线绳的长分别为4xcm,3xcm,3.xcm.由题 意，得4x=60,解得x=15. ②当点P在点A左边时，MP=号AP,PN= 所以细线绳的原长为4x十3x+3x=10x=150cm. 1 综上所述，原来细线绳的长为100cm或150cm. 2PB.MN PN -PM -7 (PB -AP) 阶段检测四（2.1~2.4) 2AB=7. 1.C2.B3.D4.D5.B6.C 7.点动成线线动成面 8.10 ③当点P在点B右边时，MPAP, 9.4642 2 (AP-PB)= 10.2 PN-7 PB.MN-PM-PN- 11.解：如图所示，点P即为所求 D 2AB=7. 规律：线段MN的长度与点P在直线AB上的位 置无关，始终为定值.（合理即可） 2.5角和角的度量 12.解：步骤如下： 1.C2.D3.C (1)画射线AE. 4.解：(1)题图中可以用一个大写字母表示的角 (2)在射线AE上顺次截取AC,CD,使AC=a, 是∠B. CD=b. (2)以A为顶点的角有3个，分别是∠BAC, (3)在线段AD上截取线段DB,使DB=c.则线段 ∠BAD,∠DAC. AB即为所求线段 (3)∠ADC与∠ACD不是同一个角.理由：这两个 如图所示. 角的顶点不同. 5.A6.A7.B A C B D E 8.解：(1)3.38°=3°2248 13.解：小峰和小红的解法都不正确.理由：本题应该有 (2)281818=28.305°. 两种情况，当点C在线段AB上时，如小峰所解答 9.B10.B11.D 的；当点C在线段AB的延长线上时，如小红所解 12.(1)571048(2)0.16 答的.故线段AM的长度为3cm或7cm,小峰和 (3)0.2720 小红都只考虑了其中的一种情况. 13.(1)认同 14.解：(1)点C到A,B两点之间的距离之和恰好等于 (2)∠D 10cm,则点C在线段AB上任意位置都可以. (3)∠ABC,∠ADB,∠BDC (2)当点D到A,B两点之间的距离之和大于 14.解：(1)90(2)72.5 10cm时，点D的位置在线段AB外.有三种情况 1,1 均符合要求，如图所示，点D在直线AB上且在点 (3)时针每分钟走360×12×60=0.5°，分针每分 10 钟走360× 0=6°，从时针、分针重合到第一次垂直 (2)原式=179°59'60”-56°23'48"=123°3612” 4.解：因为∠AOC=∠AOB+∠BOC=40°+90°= 130°，∠BOD=∠BOC+∠COD=90°+30°=120°， 所需要的时间为90÷(6-0.5)二180（分）， 所以∠AOC+∠BOD=130°+120°=250°. 则一次垂直到下一次垂直经过的时间：(2×90)÷ 5.B6.D7.20° (6-0.5)=360 (分). 8.解：因为∠AOB=130°，OE是∠AOB的平分线， 24×60-）÷T 180)-360 所以∠BOE=∠AOE=号∠AOB=S5 =43.5(次)，取整为43次，故 因为∠COB=90°， 总次数为43+1=44（次）. 所以∠EOC=90°-65°=25°， 答：一昼夜时针与分针互相垂直的次数有44次. 所以∠AOC=∠AOE-∠COE=65°-25°=40°. 15.解：(1)题图①中有2条射线，则角的个数为9.B 2×(2-1)=1(个). 10.解：(1)因为∠B0C=40°， 2 所以∠AOC=180°-40°=140°. (2)题图②中有3条射线，则角的个数为 因为OE是∠AOC的平分线， 3×(3-1D=3(个). 2 所以∠A0E=号∠A0C=70. (3)题图③中有4条射线，则角的个数为 (2)∠COD,∠BOD 4×(4-1)=6(个). (3)∠BOE 2 11.B12.C13.15°14.67.5°15.10°或70° (4)由前三问类推，角内有n条射线时，图中共有 16.解：(1)根据题意，得∠APB=90°， (n十2条射线，则角的个数为a+1),n+2》(个)。 则∠BPD=180°-∠APC-∠APB=50°. 2 2.6角大小的比较 (2②)根据角平分线的定文，得∠APM=2∠APC, 1.B2.D3.D ∠BPN=2∠BPD. 4.C5.D 6解：如图所示，以点B为圆心，任意长为半径画弧， 因为∠APC+∠BPD=180°-∠APB=90°， 分别交AB,BC于点E,F,然后以点E为圆心，以 所以∠APM+∠BPN=45°， EF为半径作弧，与已画的弧交于点D,作射线BD, 则∠MPN=∠APM+∠BPN+∠APB=45°+ 90°=135°. ∠ABD即为所求. 17,解：1ABC80号 40 ABD 10 (2)因为∠ABC=50°，∠ABE=15°， 所以∠EBC=∠ABC+∠ABE=65°. 因为BE平分∠CBD, 所以∠CBD=2∠EBC=130°， 7.A8.A9.D10.B 所以∠ABD=∠CBD-∠ABC=80° 11.∠BOC<∠COD<∠AOC=∠BOD<∠AOD 专题七角度的计算 12.解：(1)另一边是0C. (2)这些角不相等 1.解：设∠COD=x.因为∠AOC=60°，∠BOD=90°， 所以∠AOD=60°-x.所以∠AOB=90°+60°- ∠AOB>∠BOC>∠COD>∠DOE 13.解：方法①：因为∠ABC=46°，∠DEF=67°，所以 x=150°-x.因为∠AOB是∠DOC的3倍，所以 ∠DEF>∠ABC. 150°-x=3x.解得x=37.5°.所以∠AOB=3× 方法②：如图所示 37.5°=112.5°. 2.解：(1)因为OE平分∠AOC,OF平分∠DOB,所以 ∠B0F=∠B0C+∠D0C+∠POD=号∠AC+ ∠0OD+号∠BOD=?(∠A0C+∠BOD)+ E(B) FC 把∠ABC放在∠DEF上，使B和E重合，边EF ∠COD=2∠A0B-∠C0D)+∠COD=2∠A0B+ 和BC重合，DE和BA在EF的同侧，从图形中可 以看出∠DEF>∠ABC. 2∠a0D. 2.7角的和与差 因为∠AOB=160°，∠C0D=40°， 1.D 所以∠EOF=80°+20°=100°. 2.152° 3.解：(1)原式=895960”-2812'36"=61°47'24". (②)由(I)得∠B0F-号∠A0B+∠C0D. 11