第4章4.5 角的比较与补(余)角-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（沪科版2024）

4.5角的比较与补（余）角 第1课时角的比较和角的平分线（答案P27) 通基>922>92>2>>2>2 知识点1角的大小比较 1.如图所示，将∠ABC与∠DEF的顶点B,E重 合，边BA,ED重合，则() 第3题图 第4题图 4.如图所示，看图填空： (1)∠AOD=∠AOC+ B(E) A(D) (2)∠AOD-∠BOD= A.∠ABC>∠DEFB.∠ABC=∠DEF (3)∠BOC= -∠COD. C.∠ABC<∠DEFD.无法确定 5.如图所示，AO⊥OC,解答下列问题： 2.比较两个角的大小，有以下两种方法： (1)比较∠AOB,∠AOC,∠AOD,∠AOE的 ①用量角器度量两个角的大小，用度数表示， 大小，并指明其中的锐角、直角、钝角及平角。 则角度大的角大 (2)写出∠AOB,∠AOC,∠BOC,∠AOE中 ②构造图形，如果一个角包含（或覆盖）另一个 某些角之间的两个等量关系 角，则这个角大 对于如图所示给定的∠ABC与∠DEF,用以 上两种方法分别比较它们的大小.注：构造图 形时，作示意图（草图）即可. 知识点3角的平分线 6.若OC是∠AOB的平分线，则下列结论不正确 的是( ) A.∠AOC=∠BOC B.∠BOC= 2∠AOB C∠A0B=2∠A0CD.∠A0C=2∠B0C 7.几何直观》如图所示，O是直线AB上的点， 知识点2角的和差 OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分 3.如图所示，射线OC,OD在∠AOB的内部，下 线，∠COD=28°，求∠EOB的度数 列结论不正确的是() A.∠AOB=∠AOC+∠BOC B.∠COD=∠BOC-∠BOD C.∠COD=∠AOB-∠AOD D.∠BOC=∠AOB-∠AOC 一七年级·上册数学1 116 通能力922 13.阅读理解，如图①所示，射线OC在∠AOB 内部，图中共有三个角∠AOC,∠AOB, 8.推理能力》如图所示，∠AOC=∠BOD=90°， ∠BOC,若其中有两个角的度数之比为1：2， 4位同学观察图形后分别说出了自己的观点： 则称射线OC为∠AOB的“幸运线”.如图② 甲：∠AOB=∠COD;乙：图中小于平角的角有 所示，若∠MON=120°，射线OP为∠MON 6个；丙：∠AOB+∠COD=90°；丁：∠BOC+ 的“幸运线”，则∠MOP的度数是 ∠AOD=180°.其中正确的结论有( -D ② A.4个 B.3个 通素第》> C.2个 D.1个 14.推理能力》如图所示，已知∠AOB是直角， 9.运算能力如图所示，∠AOB=129°，∠1= OE平分∠AOC,OF平分∠BOC. (5x+18)°，∠2=(57-2x)°，那么∠2= (1)若∠BOC=60°，求∠EOF的度数. 度 (2)若∠AOC=x°(x>90),此时能否求出 ∠EOF的大小？若能，请求出它的数值；若 2 不能，请用含x的代数式表示出来， 0 B 10.如图所示，已知∠BOC=2∠AOB,OD平分 ∠AOC,∠BOD=14°，则∠AOC的度数 是 11.如图所示，OC在∠AOB的内部，∠AOC: ∠BOC=2:5,若∠AOB=70°，OM平分 ∠AOB,则∠COM的度数是 12.已知∠AOB=3∠BOC,若∠BOC=30°，则 ∠AOC是 度 117 优计学案·课时通一 第2课时补角和余角、尺规作角（答案P27) 通基础 >>>>》>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 知识点3作一个角等于已知角 9.如图所示，已知∠α，∠3，请你利用尺规作图作 知识点1补角、余角的概念 ∠AOB,使∠AOB=∠α+∠B.(不写作法，保 1.(2024·甘肃中考)若∠A=55°，则∠A的补角 留作图痕迹) 为() A.35° B.45° C.115° D.125° 2.一个角的补角为130°，那么这个角的余角的度 数是() 通能力》》2>2 A.40 B.50° C.60° D.20 10.(2024·芜湖期末)在同一平面内，已知 3.若∠a与∠B互为余角，∠3是∠a的2倍，则 ∠AOB=32°，∠BOC与∠AOB互余，且OE ∠a= 平分∠AOC,那么∠AOE= 4.如果一个角的余角是15°，那么这个角的补角 11.如图所示，已知∠AOB,用尺规作图得到的 是 ∠A'O'B'= ∠AOB. 5.已知∠1与∠2互余，∠1=7x°-2°，∠2= 3x°+2°，则x的值是 知识点2补角、余角的性质 6.如图所示，∠a+∠3=90°，∠3+∠Y=90°，则 下列等式正确的是( ) 12.教材P160练习T3变式》(1)如果一个角的补 A.∠a=∠3 角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数. B.∠B=∠Y (2)一个角的补角比这个角的余角的2倍还 C.∠=∠3=∠y 多40°，求这个角的度数， D.∠a=∠y 7.已知∠a与∠β的度数分别是(2m一19)°和 (77-m)°，且∠a与∠3都是∠y的补角，那么 ∠α与∠B的关系是() 13.如图所示，已知∠AOB和∠BOC互为补角， A.不互余且不相等 B.不互余但相等 OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内， C.互为余角但不相等D.互为余角且相等 8.如果∠α和∠3互余，那么下列表示∠3的补角 ∠B0E=∠E0C,∠DOE=72,求∠E0C 的式子：①180°-∠3，②90°+∠a,③2∠a+∠3， 的度数. ④2∠3+∠a.其中正确的有() A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 一七年级上册数学 118 数学活动 画图（答案P28) 1.补全下面的步骤并依照下面的步骤制作八3.探究拓展》(1)如图①所示，把等边三角形的各 角星. 边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外 步骤1：任意画一个圆； 作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一 步骤2：以圆心为顶点，连续画 度的 个六角星，则这个六角星的边数是 角，与圆相交于 个点； (2)如图②所示，在5×5的网格中有一个正方 步骤3：用线段连接相间的点，即得八角星 形，把正方形的各边三等分，分别以居中的那 请你仿照上面的方法，利用圆规、量角器、直尺 条线段为一边向外作正方形，去掉居中的那条 画出图形.（保留画图痕迹，不写画图过程） 线段，请把得到的图画在图③中，并写出这个 图形的边数、 (3)现有一个正五边形，把正五边形的各边三 等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正 五边形，并去掉居中的那条线段，得到的图形 的边数是多少？ 2.创新意识用等分圆周的方法画如图所示的 图形. ① ② 119 优计学案·课时通 专题七与角平分线有关的计算（答案28） 类型1利用角平分线直接求角的度数 甜类型3利用方程思想求角的度数 1.如图所示，O为直线AB上一点，若∠AOC= 3.运算能力》一个角的余角的5倍与它的补角的 50°，OD平分∠AOC,∠DOE=90°. 2倍相等，那么这个角的度数是 度 (1)求∠BOD的度数， 4.互为余角的两角之差是35°，则较大角的补角 (2)试判断∠BOE和∠COE有怎样的数量关 的度数为 系，说说你的理由. 翻类型4利用分类讨论思想求角的度数 5.在平面内有∠AOB=60°，∠AOC=40°，OD是 ∠AOB的平分线，OE是∠AOC的平分线，求 ∠DOE的度数.（请作图解答） 类型2利用整体思想求角的度数 2.如图所示，OM平分∠AOB,ON平分∠BOC. (1)若∠AOB=90°，∠BOC=20°，求∠MON 的度数， (2)若∠AOC=m°，求∠MON的度数.（用含 m的式子表示) 描类型5照与角平分线有关的计算 6.如图所示，点O是直线AB上一点，OD平分 ∠BOC,∠COE=90°.若∠AOC=a,则 ∠DOE的度数是 (用含a的代数式 表示). 7.如图所示，已知OM是∠AOC的平分线，ON 是∠BOD的平分线， (1)如图①所示，若∠AOB=90°，∠COD= 30°，求∠MON的度数. (2)如图②所示，若∠AOB=120°，∠COD= 20°，直接写出∠MON的度数， 一七年级上册数学1 120 (3)如图③所示，若∠AOB=a,∠COD=3,直 时针旋转，并与PQ同时停止，请直接写出当 接写出∠MON的度数. 射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值. 备用图 甜类型7与角的运动有关的角的探究问题 猫类型6与角有关的新定义题 9.如图①所示，直线AB经过点O,∠COD= 8.创新意识探索新知： 90°，OE是钝角∠BOC的平分线， 如图①所示，射线OC在∠AOB的内部，图中 (1)若∠AOC=50°，求∠DOE的度数. 共有3个角：∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其 (2)若∠AOC=a,求∠DOE的度数（用含a的 中有一个角的度数是另一个角度数的2倍，则 式子表示). 称射线OC是∠AOB的“巧分线”. (3)将∠COD绕点O按逆时针方向转动（如图 (1)一个角的平分线 这个角的“巧分 ②所示)，若∠AOC=a,求∠DOE的度数（补 线”.（填“是”或“不是”） 全图形，并说明理由)！ (2)如图②所示，若∠MPN=a,且射线PQ是 ∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ （用含α的代数式表示出所有 可能的结果) 深入研究： 如图②所示，若∠MPN=60°，且射线PQ绕 点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时 针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋 转的时间为t秒. (3)当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧 分线” (4)若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆 121 优计学案·课时通18.解：因为MB:BC:CN=2:3:4, 所以设MB=2xcm,BC=3xcm,CN=4xcm, D 所以MN=MB+BC+CN=2x+3x+4x= 9x (cm). B E(B) 因为点P是MN的中点， C 把∠ABC放在∠DEF上，使顶点B和E重合，边 所以PN=名MN-号rem, BC和EF重合，BA和ED在EF的同侧， 所以PC=PN一CN, 从图形可以看出∠DEF包含∠ABC, 即2-4红=2， 即∠DEF>∠ABC. 3.C 解得x=4, 4.(1)∠COD(2)∠AOB(3)∠BOD 所以MN=9×4=36(cm). 5.解：(1)∠AOB<∠AOC<∠AOD<∠AOE. 4.4角 因为AE⊥OC, 1.C2.B3.C 所以∠AOC=90°， 4.C解析：①大于0°小于90°的角是锐角，故原说法 所以∠AOB是锐角，∠AOC是直角，∠AOD是钝 错误； 角，∠AOE是平角. ②等于90°的角是直角，故原说法正确； (2)∠AOB+∠BOC=∠AOC,∠AOB+∠BOC+ ③大于90°小于180°的角是钝角，故原说法错误； ∠AOC=∠AOE.(答案不唯一) ④平角等于180°，故原说法正确； 6.D ⑤周角等于360°，故原说法正确. 7.解：因为∠COD=28°，OD是∠AOC的平分线，所 5.B 以∠AOC=2∠COD=56°，所以∠BOC=180°- 6.(1)754500 ∠AOC=180°-56°=124°.又因为OE是∠COB的 (2)87.315 平分线，所以∠B0B=号∠B0C=62. 7.解：(1)原式=533051”.(2)原式=10°41'54” 8.C9.A10.D11.A 8.B 12.1038解析：如图所示，由题意，得∠1=32°31'， 9.21解析：由题意，得5x十18十57-2x=129,解得 ∠2=4421'， x=18, 则∠AOB=180°-∠1-∠2=103°8'. ∠2=(57-2x)°=(57-36)°=21°. 北B 10.84°11.15°12.60或120 13.60°或40°或80° 2 东 14.解：(1)因为OE平分∠AOC,OF平分∠BOC, ∠AOB是直角，∠BOC=60°，所以∠AOC=90°十 60°=150° 13.145 所以∠C0E=号∠A0C=75,∠C0F= 14.解：3个.它们分别为∠ABD,∠ABC,∠DBC. ∠B0C=30, 1 15.解：(1)原式=77331”.(2)原式=136°25'16. 16.解：(1)36n(n-1) 所以∠EOF=∠COE-∠COF=45°. 2 (2)当n=16时，0,1D=1615=120.所以全 (2)能.由D,得∠P0F=号∠A0C-2∠0C= 2 2 部赛完共需120场比赛. 2∠A0C-∠B0C)-B∠A0B=45 4.5角的比较与补（余）角 第2课时补角和余角、尺规作角 第1课时角的比较和角的平分线 1.D2.A3.304.105°5.96.D7.D8.B 1.A 9.解：如图所示，∠AOB即为所求。 2.解：①用量角器度量∠ABC=50°，∠DEF=70°，即 A ∠DEF>∠ABC. ②如图所示. 10.13°或45°11.2 12.解：(1)设这个角为x°，则补角的度数为(180 27 x)°，余角的度数为(90-x)°，得180°一x=4(90° x),解得x=60°，故这个角的度数是60° 2.解：I)因为OM平分∠A0B,所以∠BOM=号∠AOB (2)设这个角的度数为x°，则补角的度数为(180一 x)°，余角的度数为(90-x)°，得180°-x=2(90° =4因为ON平分∠00B,所以∠B0N=合∠C0B= x)十40°，解得x=40°.故这个角的度数为40°. 10°，所以∠MON=∠BOM+∠BON=55. 13.解：设∠EOB=x, (2)因为OM平分∠AOB,所以∠BOM= 则∠EOC=2x, 则∠B0D-号180-z. 2∠AOB.因为ON平分∠COB,所以∠BON= 2COB,所以∠MON=∠BOM+∠BO 因为∠BOE+∠BOD=∠DOE. 所以x+2180-3x)=72 3∠A0B+3∠0B=7∠A0B+∠c0B)= 解得x=36°.故∠EOC=2x=72°. 2∠A0c=m 数学活动画图 3.30解析：设这个角为a,则它的余角为90°-a,补 1.解：458画图如图所示. 角为180°-a.根据题意，得5(90°-a)=2(180° a),解得a=30°. 4.117.5 5.解：分两种情况：(1)如图①所示，因为OD平分 2.解：如图所示，在图①中用半径去截圆周使得AB= ∠A0B,所以∠A0D=方∠A0B=30.因为OE平 BC=CD=DE=EF=FA=OA,连接AC,CE, 分∠A0C,所以∠A0E=3∠A0C=20,所以 EA,BF,FD,DB即可. 在图②中作∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE= ∠DOE=∠AOD+∠AOE=30°+20°=50°.(2)如 图②所示，因为OD平分∠AOB,所以∠AOD= ∠EOA=72°，连接AC,CE,EB,BD,DA即可. 2∠AOB=30°，因为OE平分∠A0C,所以 ∠A0E=号∠A0C=20,所以∠DOE=∠A0D ∠AOE=30°-20°=10°. 综上所述，∠D0E的度数为10°或50° 3.解：(1)12 (2)如图所示，这个图形的边数是20. 1 6.2 解析：因为O是直线AB上一点，所以∠AOC十 (3)如图所示，得到的图形的边数是30. ∠BOC=180°.因为∠AOC=a,所以∠BOC= 180°-a. 5 因为0D平分∠B0C,所以∠C0D=2∠B00= 专题七与角平分线有关的计算 1.解：(1)因为OD平分∠AOC, 号130'-a)=80-7a.因为∠0E=∠00E 所以∠A0D=∠C0D=号∠A0C=25, ∠COD,∠COE=90°， 所以∠BOD=180°-∠AOD=155°. 所以∠D0E=80-(o-2)克， (2)∠COE=∠BOE.理由：因为∠DOE=90°，所以 7.解：(1)因为OM是∠AOC的平分线， ∠COE=∠DOE-∠COD=65°，∠BOE=∠BOD ∠DOE=65°，所以∠COE=∠BOE. 所以∠COM=2∠A0C. 28 因为ON是∠BOD的平分线， 分线， 所以∠DON=2∠BOD.所以∠MON=∠COM+ 所以∠COE= ∠B0C=90°- 2 ∠COD+∠D0N=2∠A0C+∠COD+2∠B0D- 因为∠COD=90°， 所以∠DOE=∠COD+∠COE=180°- 2(∠A0C+∠BOD)+∠COD=(∠AOB 2 本章综合提升 ∠c0D)+∠0D-2∠A0B+∠c0D)=2(9o+ 【本章知识归纳】 相等线段长度直角平分线平角相等 30)=60°. 直角相等 (2)因为∠AOB=120°，∠COD=20°，所以∠MON= 【思想方法归纳】 2(∠A0B+∠C0D)=7120+20)=70 【例1】思路分析：(1)点E是线段AD的中点.由于 AC=BD可以得到AB=CD.又点E是线段BC的 (3)因为∠AOB=a,∠COD=B. 中点，利用中点的性质即可证明结论. 所以∠MON=号（∠A0B+∠COD)=a+B. (2)由于AD=10,AB=3,由此求出BC的长度，然 8.解：(1)是 后利用中点的性质即可求出BE的长度。 (22或政号 1 2 解：(1)点E是线段AD的中点.理由： 因为AC=BD,所以AB十BC=BC+CD,所以 (3)依题意，有 AB=CD. D10u-=60+号×60， 因为E是线段BC的中点，所以BE=EC, 所以AB+BE=CD+EC,即AE=ED, 解得t=9; 所以点E是线段AD的中点. ②10t=2×60, (2)因为AD=10,AB=3,所以BC=AD-2AB= 解得t=12; 10-2×3=4, ③10t=60+2×60, 所以BE=号BC=号×4=2.即线段BE的长度 解得t=18. 故当t为9或12或18时，射线PM是∠QPN的 为2. “巧分线”. 【变式训练1】 (4)t的值为2.4或4或6. 解：因为∠1=24°，所以∠B0C=180°-∠1=156°. 9.解：(1)因为∠A0C=50°， 因为OD平分∠BOC, 所以∠BOC=180°-∠AOC=130°. 所以∠D0C=∠B0C=78, 因为OE是钝角∠BOC的平分线， 所以∠AOD=∠1+∠DOC=24°+78°=102°. 所以∠COE-号∠B0C=65 【例2】思路分析：本题主要考查了两点间的距离以及 因为∠COD=90°， 线段中点的性质，熟练掌握各线段之间的和、差及倍 所以∠DOE=∠COD-∠COE=25°. 数关系是解决问题的关键. (2)因为∠AOC=a, (1)根据线段的和差，可以求出线段AC的长度. 所以∠BOC=180°-∠AOC=180°-a. (2)根据DB=DC一BC,列出方程求解. 解：1)因为AB=a,BC=号AB,所以BC=20 1 因为OE是钝角∠BOC的平分线， 所以∠C0E-3∠B0c=90-号 13 因为AC=AB+BC,所以AC=a+2a= 2a. 因为∠COD=90°， 所以∠DOE=∠COD-∠COE= 2· (2)因为AD=DC=2AC,AC=3a， 2a, (3)补全图形如图所示. D 所以DC=3 . 因为∠AOC=a, 所以∠BOC=180°-∠AOC= 因为DB-2,BC= 2a, 180°-a. DB=DC-BC, 因为OE是钝角∠BOC的平 、E 所以2=。一7，所以a=8 29