第4章3多边形和圆的初步认识-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（北师大版2024）

3多边形和圆的初步认识（答案P17) 通能力 >》>》>>》>>>>2>》>2>>> 知识点1多边形及其相关概念 8.运算能力》已知n边形的周长为56，从一个顶 1.在如图所示的图形中，属于多边形的有( 点出发共有4条对角线，且各边长是连续的自 然数，则这个多边形的最长边长为() △○○1 A.9 B.10 C.11 D.12 A.3个 B.4个 9.如图所示，在扇形AOB中，AO⊥OB,∠AOC= C.5个 D.6个 ∠BOC,若扇形AOB的半径为2，则扇形AOC 2.从十边形一个顶点画对角线能画 条， 的面积为( ) 这个十边形被分成了 个三角形， 知识点2正多边形 3.下列图形是正多边形的是() A.直角三角形 B.等腰三角形 A.2π C.π C.长方形 D.正方形 4.当正六边形的边长为3cm时，它的周长 10.把一个圆分成如图所示的A,B,C三个扇形， 为 扇形A的圆心角是 知识点3圆的认识 25% 5.在平面直角坐标系中到原点的距离等于2的 所有的点构成的图形是() 30% A.直线 B.正方形 11.已知过m边形的一个顶点有7条对角线，过 C.圆 D.扇形 n边形的一个顶点没有对角线，过p边形的 6.在如图所示的圆中，半径有 条，分别 一个顶点有1条对角线.求n(m一p)的值. 是 ;请写出任意三条弧 ∠1和∠2都是 角. 知识点4圆的有关计算 7.若一个扇形的面积是相应圆面积的，则它的 圆心角为()》 A.150° B.120° C.90° D.60° 一七年级·上册·数学，BS 82 专题五 巧用线段中点的计算（答案P17) 潮类型1直接计算法 4.如图所示，点C是线段AB上的一点，点M是 1.如图所示，AC=7,BC=3,点M是线段AB的 线段AC的中点，点N是线段BC的中点. 中点，求AM,CM的长度， (1)如果AB=10cm,AM=3cm,求CN的长， M C B (2)如果MN=6cm,求AB的长， BN C M A 2.如图所示，B,C两点把线段AD分成2：3：4 三部分，M是AD的中点，CD=8,求MC 的长 A B MC 甜类型3分类讨论法 5.若点C是线段AB的中点，AC=4,点D在直 线AB上，且AD=3BD,求线段CD的长. 类型2整体代换法 3.如图所示，点B,C在线段AD上，点E是线段 AB的中点，点F是线段CD的中点，若EF= 10,BC=3,求AD的长. 6.已知线段AB=4.8cm,点C是线段AB的中 点，点D是线段CB的中点，点E在线段AB A E BCFD 上，且CE=}AC,画图并计算DE的长. 83 优计学案·课时通一 翻类型4翻动态问题 8.探究拓展》如图①所示，直线AB上有一点P, 7.如图所示，已知数轴上点A表示的数为6，B 点M,N分别为线段PA,PB的中点，AB=14. 是数轴上一点，且AB=10,动点P从点A出 (1)若点P在线段AB上，且AP=8,求线段 发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀 MN的长度. 速运动，设运动时间为t(t>0)秒. (2)若点P在直线AB上运动，请分别计算下 (1)写出数轴上点B所表示的数： 面情况时MN的长度： (2)若点M是线段AP的中点，点N是线段 ①当P在AB之间； PB的中点，则点P在运动的过程中，线段 ②当P在点A左边： MN的长度是否发生变化？若变化，说明理 ③当P在点B右边. 由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的 你发现了什么规律？ 长度 (3)如图②所示，若点C为线段AB的中点，点 P在线段AB的延长线上，下列结论： ①PA-PB PC的值不变；②PA+PB PC 的值不变 请选择一个正确的结论并求其值， A M P N B A C B P ① ② 一七年级·上册·数学，BS 84 专题六巧用角平分线的计算（答案P8) 类型1直接求角的度数 甜类型2利用分类讨论法求角的度数 1.如图所示，已知∠ABC=30°，∠CBD=70°，4.已知∠AOB=60°，从点O引射线OC,使 BE是∠ABD的平分线，求∠CBE的度数， ∠AOC=40°，作∠AOC的平分线OD. D (1)依题意画出图形. (2)求∠BOD的度数. 2.如图所示，OB是∠AOC的平分线，OD是 ∠COE的平分线 (1)如果∠AOB=40°，∠DOE=25°，那么 ∠BOD是多少度？ (2)如果∠AOE=150°，∠COD=20°，那么 ∠AOB是多少度？ 5.若∠AOC=100°，∠BOC=30°，OM,ON分别 是∠AOC和∠BOC的平分线，求∠MON的 度数.（画出图形并写出解题过程） 3.如图所示，O为直线AB上一点，OM平分 ∠AOC,ON平分∠BOD,当∠AOC=40°， ∠BOD=60°时，你知道∠MON等于多少 度吗？ 85 优计学案·课时通一 6.自点O顺时针作四条射线OA,OB,OC,OD,8.如图所示，将长方形纸片沿AC对折，使点B 已知∠AOB=90°，∠AOD和∠BOC的平分 落在B'处，CF平分∠B'CE,求∠ACF的 线分别是OM和ON,且∠MON=150°，求 度数. ∠COD的度数. 9.如图所示，∠AOB为直角，∠AOC为锐角，且 OM平分∠BOC,ON平分∠AOC. (1)如果∠AOC=50°，求∠MON的度数 (2)如果∠AOC为任意一个锐角，你能求出 ∠MON的度数吗？若能，请求出来；若不能， 描类型3利用整体思想求角的度数 说明理由， 7.如图所示，OD是∠AOB的平分线，OE是 ∠BOC的平分线，且∠AOC=130°，求∠DOE 的度数 一七年级·上册·数学，BS 863多边形和圆的初步认识 A C D B 1.A2.783.D4.18cm5.C ② 6.4OA,OB,OC,ODAB,BC,CD(答案不唯一) 如图②所示，因为点C是线段AB的中点，AC=4, 圆心 所以AC=BC=AB=4,所以AB=8,因为AD 7.C8.C9.B10.162° 11.解：由题意，可得m一3=7，n-3=0,p-3=1.解 3BD,所以AB=4BD=8,所以BD=2,综上所述， CD=CB-BD=2;综上所述，CD=2或8. 得m=10,n=3,p=4.则n(m-p)=3×(10- 6.解：因为AB=4.8cm,点C是线段AB的中点，所 4)=3×6=18. 专题五巧用线段中点的计算 以AC=BC=2AB=2.4cm 1.解：因为AC=7,BC=3,所以AB=10. 因为点D是线段CB的中点， 因为点M是线段AB的中点， 1 所以AM=MB=5, 所以CD=2BC=1.2cm 所以CM=BM-BC=5-3=2. 2.解：设AB=2x,BC=3x,CD=4x, 又因为CE=号AC,所以CE=0.8cm 所以AD=9z,MD=号 分情况讨论：第一种情况：如图①所示，当点E在线 段AC上时，DE=CD+CE=1.2+0.8=2(cm); 则CD=4x=8,x=2, 第二种情况：如图②所示，当点E在线段BC上时， MC-MD-CD- x-4x= 2t= DE=CD-CE=1.2-0.8=0.4(cm). 综上所述，DE的长为2cm或0.4cm. 3.解：因为EF=10,BC=3, A EC D B A C ED B 所以EB十CF=EF-BC=7. ① ② 因为点E是线段AB的中点，点F是线段CD的 7.解：(1)-4 中点， (2)线段MN的长度不发生变化. 所以AB+CD=2(EB+CF)=14, 分两种情况： 所以AD=AB+CD+BC=14+3=17. 第一种情况：当点P运动到A,B两点之间时，如 4.解：(1)因为点M是线段AC的中点，AM=3cm,所 图①所示 以AC=2AM=6cm. B N O P M A 因为AB=10cm, 0 6 ① 所以BC=AB-AC=10-6=4(cm). 1 因为点N是线段BC的中点， MIN-MP+NP-2PA+ZBP-2AB-5. 所以cN=25c-专×4=2em. 第二种情况：当点P运动到点B的左边时，如图② 所示， (2)因为点M是线段AC的中点，点N是线段BC P N B M O A. 06 的中点，MN=6cm,所以NC=2BC,CM= ② 1 1 号AC,所以MN=NC+CM=号(BC+AC)= MN-MP-NP-2AP-2 PB-2AB-5. 综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5. 号AB=6c,所以AB=12em 8.解：(1)因为AP=8,点M是线段AP的中点，AB= 5.解：如图①所示，因为点C是线段AB的中点，AC 14, 4,所以AC=BC-2AB=4,所以AB=8,因为 所以MP-AP=4,BP=AB-AP=6 AD=3BD, 又因为点N是PB的中点， 所以AB=2BD=8,所以BD=4,所以CD=CB+ 所以PN=号PB=3, BD=8; 所以MN=MP+PN=7. A C B D ① (2)①点P在AB之间，MN=号(AP+PB)= 17 名AB=7. ②点P在点A的左边时，MN=2(PB-PA) 2AB=7 ① ② ③点P在点B的右边时，MN=专（PA-PB) (2)如图①所示，因为射线OD平分∠AOC, 2AB=7 所以∠A0D-2∠A0C-20', 规律：无论点P的位置如何，MN=AB都成立。 所以∠BOD=∠AOB+∠AOD=80°. 如图②所示，因为射线OD平分∠AOC, (3)②正确. 设AC=BC=x,PB=y, 所以∠A0D=2∠A0C=20, DPA-PB_AB 14 所以∠BOD=∠AOB-∠AOD=40°， PCx十yx+y 在变化)； 综上所述，∠BOD的度数为80°或40° ②PA+PB_-2红十2y=2(定值). 5.解：分两种情况讨论： PC x+y 第一种情况：当射线OB位于∠AOC外部时，如 专题六巧用角平分线的计算 图①所示.因为OM,ON分别是∠AOC和∠BOC 1.解：因为∠ABC=30°，∠CBD=70°， 的平分线，∠AOC=100°，∠BOC=30°， 所以∠ABD=∠CBD-∠ABC=70°-30°=40°. 因为BE是∠ABD的平分线， 所以∠COM=2 1 ∠AOC=50°，∠C0N= 所以∠ABE=2∠ABD=号X40=20, 2∠B0C=15°， 所以∠CBE=∠ABC+∠ABE=30°+20°=50°. 所以∠MON=∠COM+∠CON=50°+15°=65° 2.解：(1)因为OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE 第二种情况：当射线OB位于∠AOC内部时，如 的平分线，∠AOB=40°，∠DOE=25°， 图②所示. 所以∠BOC=∠AOB=40°，∠COD= ∠MON=∠C0M-∠C0N=50°-15°=35°. ∠D0E=25°， 所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+25°=65°. 综上所述，∠MON的度数是65°或35°. (2)因为OD是∠COE的平分线，∠COD=20°， 所以∠COE=2∠COD=2X20°=40°. 因为∠AOE=150°， 所以∠AOC=∠AOE-∠C0E=150°-40°=110°. 因为OB是∠AOC的平分线， ① ② 所以∠A0B=号∠A0C=X10=5 6.解：分两种情况讨论： 3.解：因为OM平分∠AOC,ON平分∠BOD, 第一种情况：如图①所示，因为∠AOM+∠BON+ ∠AOC=40°，∠BOD=60°， 90°=∠MON=150°，OM平分∠AOD,ON平 所以∠A0M-名∠A0C-名×40-20， 分∠BOC, 所以∠AOM+∠BON=60°=∠MOD+∠NOC, ∠B0N=7∠B0D=7×60°=30， 所以∠COD=360°-∠MON-∠MOD- ∠NOC=150°. 所以∠MON=180°-∠AOM-∠BON=180° 20°-30°=130°. 4.解：(1)分两种情况讨论： 当∠AOC在∠AOB的外部时，如图①所示； D ① 当∠AOC在∠AOB的内部时，如图②所示. 第二种情况：如图②所示，因为∠AOM+∠BON= 18 360°-∠M0N-∠AOB=360°-150°-90°=120°， (2)利用线段的中，点定义可得AM=BM=15cm, OM平分∠AOD,ON平分∠BOC, 然后利用(1)的结论进行计算，即可解答. 所以∠MOD+∠CON=∠AOM+∠BON=120°， (3)分两种情况：当点P在线段AB上时；当点P 所以∠COD=∠MON-(∠MOD+∠CON)=30°. 在线段BA的延长线上时；然后分别进行计算即可 综上所述，∠C0D的度数是150°或30°. 解答 解：(1)因为AB=30cm,AC=12cm,所以BC= AB-AC=30-12=18(cm).因为点N是BC的 中点，所以CN=BN=号BC=9cm,所以CN的 ② 长为9cm. 7.解：因为OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的 (2)因为点M是AB的中点，所以AM=BM= 平分线，且∠AOC=130°， 号AB=15cm因为BN=9cm,所以MN=BM 所以∠AOD=∠BOD=2∠AOB, BN=15-9=6(cm), 所以MN的长度为6cm. ∠B0E=∠C0E-2∠B0c, (3)QN的长度为5cm或7cm,理由：分两种情况： 所以∠DOE=∠BOD+∠BOE=?∠A0C=65 当点P在线段AB上时，如图①所示： AP C MQ N B 8.解：因为∠BCA=∠BrCA=∠BCB,∠B'CF ① 因为PA=2cm,AB=30cm,所以BP=AB- ∠ECF=名∠ECB',所以∠ACF=∠B'CF+ AP=30-2=28(cm),因为点Q为BP的中点，所 ∠B'CA=2∠ECB'+号∠BCB'-3∠BCE=9O. 以QB=2BP=14cm, 9.解：(1)因为OM平分∠BOC,ON平分∠AOC, 因为BN=9cm,所以QN=QB-BN=5cm; 当点P在线段BA的延长线上时，如图②所示： 所以∠M0C-∠BOC,∠N0C-号∠A0C, PA COM N B 所以∠MON-∠M0C-∠NOC-Z(∠BOC ② 因为PA=2cm,AB=30cm,所以BP=AB十 ∠A0C)=号∠A0B=45 AP=30+2=32(cm),因为点Q为BP的中点，所 (2)能求出∠MON的度数. 以QB=2BP=16cm, 由(1)得∠MON=∠MOC-∠NOC= 因为BN=9cm,所以QN=QB-BN=7cm. 2∠B0C-∠A0C)=3∠B0A=45 1 综上所述，QN的长度为5cm或7cm. 【变式训练1】解：(1)因为∠AOE=135°，OB平分 本章综合提升 ∠AOC,OD平分∠COE,所以∠BOC= 【本章知识归纳】 2线段度量叠合相等10端点旋转 8∠A0C,∠C0D=号∠C0E,所以∠BOc+ 直线180重合3606060度量叠合 ∠COD=2(∠A0C+∠COE)=3∠A0E= 相等顺次不相邻边角一周两点弧半 径圆心 合×135°=67.5 【思想方法归纳】 所以∠BOD=∠BOC+∠COD=67.5°. 【例1】思路分析：(1)利用线段的和差关系可得BC= (2)因为∠AOE=135°，所以∠AOC+∠COE= 18cm,然后利用线段的中点定义进行计算，即可 解答. ∠A0E=13:因为∠C0E=号∠A0C,所以 19