第2章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（北师大版2024）

本章综合提升（答案P9》 本章知识归纳 正数 按符号分 0(既不是 数也不是数) 负数 分类 有理数 整数 整数 0 按定义分 整数 分数 分数 分数 定义：两个数 不同， 相等，称其中一个数为另一个数的相反数 相反数 0的相反数是 定义：一个数的 大小叫作这个数的绝对值 认识有理数 正数的绝对值是它 求绝对值 负数的绝对值是它的 绝对值 0的绝对值是 一正数0 比较大小 负数 0 正数负数 两个负数，绝对值大的反而 定义：规定了 的直线称为 数轴 任何一个有理数都可以用数轴上的 来表示 个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的 同号两数相加，取相同的 并把绝对值相加 异号两数相加，绝对值相等时和为」 法则 绝对值不等时，取绝 对值较大的数的符号，并用较大的绝对值 较小的绝对值 有 加法运算 个数同 相加，仍得这个数 理数 加法 律 有理数的 运算律 其运算 加减运算 加法 律 法则：减一个数，等于加上这个数的 减法运算 加减混合运算 法则：两数相乘，同号得 异号得 ,并把绝对值 任何数与0相乘，积仍为 倒数： 如果两个有理数的乘积为 那么称其中的一个数是另一个 乘法运算 数的倒数，也称这两个有理数互为倒数 一乘法 必 运算律十乘法 律 乘法 有理数的 名 法则：两数相除，同号得 异号得 乘除运算 并把绝对值 除法运算 0除以任何非0的数都得 除以一个数等于乘这个数的 概念：求n个相同因数a的 有理数 的运算，叫作乘方乘方的结果叫作一， 的乘方 a叫作 n叫作 a读作 科学记数法：把一个大于10的数记成 的形式，其中a是整数数位 只有位的数，n是 这种记法叫作科学记数法 有理数的 运算顺序：先算 再算 ,最后算 如果有括号，先算 里面的 混合运算 用计算器进行运算 -七年级·上册·数学，B的 46 思想方法月纳>> 2.分类讨论思想 分类讨论思想在研究与解决数学问题时，如 1.转化思想 果问题不能以同一种方法处理或同一种形式表 通过对条件的转化，结论的转化，使问题化 述、概括，可根据数学对象的本质属性的相同和 难为易，化生为熟，化未知为已知，最终解决问 不同点，按照一定的原则或某一确定的标准，在 题，这个过程体现了转化的思想方法. 比较的基础上，将数学对象划分为若干既有联系 :“曾链接本章 又有区别的部分，然后进行讨论，再把这几类结 在运用运算法则进行减法和除法的运 论汇总，从而得出问题的答案 算时，往往利用转化思想把减法转化为加 :~台链接本章 法，除法转化为乘法进行计算， 当已知一个数的绝对值求原数时和利 、-） 用数轴求不确定点的位置时，往往需要进行 【例1】 阅读下列材料：计算： 分类讨论， 品哈+司 【例2】已知m|=4,ln|=6,且|m+n= 解：原式的倒数为（传+之）÷ m十n,求m一n的值. ()×12=×12×12+×12= 2,故原式-2 请仿照上述方法计算：(-)÷(1浮名+ 【变式训练2】(2023·杭州西湖区期末)如图 7 所示，在一条不完整的数轴上从左到右依次有 12 A,B,C三个点，其中A到B的距离为3，B到C 的距离为8，设A,B,C所对应的数的和为m. (1)若以B为原点，求数轴上A,C所表示的 数，并求出此时m的值 (2)若原点到B的距离为3，求m的值， 8 【变式训练1】某同学在计算3了N时， 误将-N看成了+N,从而算得结果是5子，求 正确的计算结果 3.数形结合思想 台链接亦章 在本章利用数轴解决问题时，体现了数 形结合思想 -y 47 优计学案·课时通 【例3】(2023·周口商水期末)如图所 通模拟》9沙29 示，在一条不完整的数轴上从左到右依次有三个 点A,B,C;其中AB=2BC,设点A,B,C所对 1.(2024·榆林榆阳区一模)一 的相反数 应数的和为m. 是( (1)若点C为原点，BC=1,则点A对应的 1 数为 ,点B对应的数为 ,m的 A.一4 B.4 C.-4 值为 2.(2024·济宁高新区一模)长城的总长用科学记 (2)若点B为原点，AC=9,求m的值. 数法表示约为6.7×10米，则它的原数为( (3)若原点O到点C的距离为6，且OC= A.670000米 B.6700000米 AB,求m的值 C.67000000米 D.670000000米 B C 3.(2023·渭南临渭区一模)如图所示，数轴上的 A,B两点所表示的数分别为a,b,则a十 0.(填“>”“=”或“<”) 4.(2023·肇庆封开三模)若(a+3)2+|b-2= 0,则(a十b)2o25= 5.(2023·西安灞桥区模拟)用“△”定义新运算： 【变式训练3】如图所示，在数轴上有A,B两 对于任意有理数a,b,当a≤b时，都有a△b= 点，所表示的数分别为一10，一4，点A以每秒 。6;当a>b时，都有a△b-ab,那么号△ 5个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒 (一3)= 3个单位长度的速度也向右运动.设运动时间为 6.(2023·江门鹤山三模)计算：一14十4×（一2） t秒，解答下列问题： A B -10-404一 （←0÷1-3. (1)运动前线段AB的长为 ;运动 1秒后线段AB的长为 (2)运动t秒后，点A,点B运动的距离分别 为 和 7.(2023·东莞期末)有理数a,b,c在数轴上的 (3)求t为何值时，点A与点B恰好重合. 位置如图所示 (1)用“>”或“<”填空：c-b 0,a+ b 0,a-c0. (2)化简：c-b|+|a+b|-a-c. c a 0b 一七年级·上册·数学，B5 48 8.(2023·长春榆树期末)某公司7天内货品进 通印考》3>>999%229 出仓库的吨数如下：(“十”表示进库，“一”表示 出库)+30，-30，-16，-36，+14，-20， 10.(2023·云南中考)中国是最早使用正负数表 +24. 示具有相反意义的量的国家.若向东走60米 (1)经过这？天，仓库管理员结算发现仓库还 记作+60米，则向西走80米可记作() 有货品500吨，那么7天前仓库里有货品多 A.-80米 B.0米 少吨？ C.80米 D.140米 (2)如果进出的装卸费都是每吨8元，那么这7 11.(2024·武威中考)定义一种新运算*，规定 天要付多少元装卸费？ 运算法则为：m￥n=m”一mn(m,n均为整 数，且m≠0).例：2￥3=23一2×3=2，则 (-2)￥2= 12.(2023·广元中考)广元市聚焦“1345”发展战 略和“十四五”规划，牢牢牵住重点项目建设 “牛鼻子”，《2023年广元市重点项目名单》共 编列项目300个，其中生态环保项目10个， 9.(2024·聊城冠县期中)阅读材料：求1+2十2+ 计划总投资约45亿元，将45亿这个数据用 23+24+…十22013的值 科学记数法表示为 解：设S=1十2+22+23+24十…十22012+ 13.(2023·广西中考)计算：（一1）×（一4）+ 22o13,将等式两边同时乘2得 22÷(7-5). 2S=2十22+23+24+25十…十22013+22014， 将下式减去上式得2S-S=2214-1,即S= 22014-1, 即1+2+22+23+24+.+22013=22014-1. 请你仿照此法计算： (1)1+2+22+23+24+…+22024 14.(广西中考)计算：(-1十2)×3+22÷(-4). (2)1+3十32十33+34+…十3”（其中n为正整 数). 15.(柳州中考)计算：3×(-1)+22+|-4. 49 优计学案·课时通=-50+号 5 3 =-499 4 故原式=一 3 51 12.解：原式=(2-4-6+8)+(10-12-14+16)+…+ 7 (2018-2020-2022+2024)=0. 【变式训练1】解：因为-3日+N=5子 4’ 1 1 1 1 1 13.解：原式=1x2十2x3+3X4+4 5十5X6 十 所以N=95 8 1+-+…+8 6+8+6g=1-日+号 1 1 所以-3名N=-13号 7 【例2】思路分析：根据绝对值等于一个正数的数有两个 日1日-0 1 可得m,n的值，根据|m十n=m十n可得m十n≥ 14解：原式=×（位-号+日-日+…+20四 1 0,进而可确定m,n的值，然后计算m一n即可. 解：因为m|=4,ln|=6,所以m=土4，n=土6，因 20)=×日-30)=，0 1 为|m十n|=m+n,所以m十n≥0， 所以m=士4，n=6,所以当m=4,n=6时，m一 15.解：原式的倒数为（后是十） ÷50= n=-2; 当m=-4,n=6时，m一n=-10. (-+)×0=×品-×0+品× 综上，m一n=-2或-10. 【变式训练2】解：(1)因为A到B的距离为3，B到C 11 50300,故原式-300. 的距离为8，B为原点，所以点B对应的数为0，点 A对应的数为0一3=一3，点C对应的数为0十8= 16解：原式的倒数为（号品+名-）÷(-动) 8,因此，m的值为-3+0+8=5. (2)①当点B在原点的左侧时，因为原点到B的距 (+-)×(-30=-10+9-25+4= 离为3，所以点B对应的数为一3. -22, 又因为A到B的距离为3，B到C的距离为8，所 以点A对应的数为一3一3=一6，点C对应的数为 所以原式= 1 22 -3+8=5,因此，m的值为-6+(-3)+5=一4； 本章综合提升 ②当点B在原点的右侧时，因为原点到B的距离 【本章知识归纳】 为3，所以点B对应的数为3，又因为A到B的距 正负正负正负符号数量0数量 离为3，B到C的距离为8，所以点A对应的数为 3-3=0,点C对应的数为3十8=11，因此，m的值 本身相反数0大于小于大于小原点 单位长度正方向数轴一个点距离符号0 为0+3+11=14.综上所述，m的值为-4或14. 【例3】思路分析：(1)根据数轴上的点对应的数即可 减0交换结合相反数正负相乘01 求解. 交换结合分配正负相除0倒数积 (2)根据数轴上原点的位置确定其他，点对应的数即 幂底数指数a的n次幂a×10”一正整数 可求解 乘方乘除加减括号 (3)根据原点在点C的右边先确定点C对应的数， 【思想方法归纳】 进而确定点B、点A所表示的数即可求解. 【例1】思路分析：根据有理数乘法的分配律求出原式的 解：(1)-3-1-4 倒数，即可解答， (2)因为点B为原点，AC=9,AB=2BC,所以点A 解：原式的倒数为1？-日+2)÷（←】 所对应的数为-6，点C所对应的数为3，所以m= 一6+3+0=-3. =:8-)×(-别 (3)因为原点O到点C的距离为6，所以点C所对 =-7×8+7×878 应的数为士6，因为OC=AB,所以AB=6.当点C -4×7+8×7-12×7 对应的数为6时，因为AB=6,AB=2BC,所以 =-2+1-号 BC=3,所以点B所对应的数为3，点A所对应的 数为-3，所以m=3-3+6=6; 当点C所对应的数为-6时，因为AB=6,AB=6.解：(1)根据题意得，2ab-5. 2BC,所以BC=3,所以点B所对应的数为一9，点 (2)根据题意，得x2十y2一2xy. A所对应的数为一15， (3)每件商品的零售价应为(a十20%a)元. 所以m=一15-9-6=-30.综上所述，m=6或一30. 7.C 【变式训练3】解：(1)64(2)5t3t 8.(2.5x+2.5) (3)由题意，得(5-3)t=6,所以t=3. 【通模拟】 9.解：第二车间人数为（告2一0）人， 1.D2.B3.>4.-15.6 6.解：原式=-1-8+4×3=-1-8+12=3. 两个车间总人数为x+(告x-30)=(号x-30)人. 7.解：观察数轴可知：c<a<0<b<-a<-c. 答：这两个车间共有（层x一30）人 (1)<<> (2)因为c-b<0,a+b<0,a-c>0, 10.(1)47101316 所以|c-b|+|a+b|-|a-c|=b-c+(-a-b) (2)301(3)(3n+1) -(a-c)=b-c-a-b-a+c=-2a. 第2课时代数式的求值 8.解：(1)由题意得30-30-16-36+14-20+24=1.B2.C -34(吨)， 3.(3m+2n)124.1205.(5s+20)50 500-(-34)=500+34=534(吨) 6.解：(1)由题意，得小金乘车应付的费用：8+2(x一 答：7天前仓库里有货品534吨. 3)=2x+2(x>3). (2)(|+301+|-301+1-161+|-36|+|+14|+ (2)当x=5时，2x+2=2×5+2=12,所以应付的 1-20++24)×8 费用为12元. =(30+30+16+36+14+20+24)×8 7.D8.D9.D10.B11.-5 =1360(元). 12.解：(1)[am+bm+30(b-5)]元. 答：这7天要付1360元装卸费。 (2)该商店赚的钱数为[am+bm+30(b-5)一 9.解：(1)设S=1+2十22十23十24十…+2224 1500]元.把a=20,b=18,m=60代入上式，得 将等式两边同时乘2得2S=2十22十23十24+…十 20×60+18×60+30×(18-5)-1500= 22024+22025 1170(元). 将下式减去上式得2S一S=2225-1,即S= 13.解：(1)5913 22025-1, (2)因为图①中有1+4=5（个）点，图②中有1+ 则1+2+22+23+24+…十22024=22025-1. 4×2=9(个)点，图③中有1+4×3=13（个）点，所以 (2)设S=1+3+32+33+34+…十3"①， 图@中点的个数为(1十4n)个.当n=10时，1十4n= 两边同时乘3得3S=3+32十33十34+…+3”+ 1+4×10=41(个)，即第10个图形中共有41 3+1②， 个点 ②-①得3S-S=3+1-1,即2S=3m+1-1,则S= 14.解：(1)(200x+1200)(180x+1440) (-D). (2)当x=5时，方案一：200×5+1200= 2200(元)； 则1+3+3+3+3++3=2(3*+1-1). 方案二：180×5+1440=2340（元）. 因为2200<2340， 【通中考】 所以按方案一购买较合算 10.A11.812.4.5×109 第3课时整式 13.解：原式=(-1)×(-4)十4÷2=4+2=6. 1.D2.B3.2 14.解：原式=1×3+4÷(-4)=3-1=2. 15.解：原式=-3+4+4=5. 4.解：因为关于x,y的单项式2xym与-ax2y2系数、 第三章整式及其加减 次数相同，所以一a=2,1十m=4, 解得a=-2,m=3. 1代数式 5.B6.D7.x2y,-xy 第1课时代数式的意义 8.答案不唯一，如：2x3. 1.D2.23.B4.C5.(2m-3) 9.C10.4 10