精品解析：四川省达州市开江县严家初级中学2025—2026学年八年级上学期期中考试数学试题

四川省达州市开江县严家初级中学2025—2026学年八年级上学期期中考试数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. B. 8，15，17 C. 9，16，25 D. ，4， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的识别，若三个正整数满足较小的两个数的平方和等于最大的数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、这组数都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； B、∵， ∴8，15，17这组数是勾股数，符合题意； C、∵， ∴9，16，25这组数不是勾股数，不符合题意； D、，4，这组数不都是正整数，故不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加减运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误； B、，原式计算错误； C、，原式计算错误； D、，正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，已知点位于第二象限，距离轴6个单位长度，距离轴5个单位长度，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据到轴的距离即为纵坐标的绝对值，到轴的距离即为横坐标的绝对值，再由第二象限点的坐标符号特点可得答案． 【详解】解：∵点位于第二象限，距离轴6个单位长度，距离轴5个单位长度， ∴点P的横坐标是，纵坐标是6，即点P的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了点的坐标，属于基础题型，熟练掌握坐标系中点的坐标符号特点是解题的关键． 4. 下列函数中，是的一次函数的是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的定义，一般地，形如（k，b为常数，且）的函数称为一次函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，符合题意； B、不是一次函数，不符合题意； C、不是一次函数，不符合题意； D、不是一次函数，不符合题意． 故选：A． 5. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．点P关于x轴的对称点的坐标为，则a与b的数量关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，第二象限的角平分线上的点的坐标特点，由作图方法可知，点P在第二象限的角平分线上，再由第二象限的角平分线上的点的横纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：由对称可得 由作图方法可知，点P在第二象限的角平分线上， ∴，即， 故选：C． 6. 有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（　　） A. B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题中所给的程序可知：把64取算术平方根，结果为8， ∵8是有理数， ∴结果为无理数， ∴y==． 故选A． 7. 如图，东西方向上有两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从地出发向正南方向前进，甲、乙两人相距6千米时，最短用时是（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意表示出，的长，进而利用勾股定理求出答案 【详解】解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6千米，根据题意可得： 千米，千米， ∵， 则， 解得：． 即最短用时0.4小时，甲、乙两人相距6千米． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 8. 如图①，在长方形中，动点P从点A出发，匀速沿的路径运动，到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图②所示，那么长方形的面积是（ ） A. 12 B. 14 C. 24 D. 28 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，当点P从A运动到B时，y随x的增大而增大，从B运动到C时，y保持不变，观察图象的横坐标得出长方形的长和宽，即可求出面积． 【详解】解：由图可知，，， 长方形的面积是， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 已知直角三角形两条直角边的长分别为，，斜边长为，若 则 的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，代入已知数值计算即可． 【详解】解：由勾股定理， 得 ， 所以 ， 故答案为 ：5． 10. 今年芳芳的奶奶给芳芳元压岁钱，芳芳想：“的算术平方根是多少呢”请你帮芳芳写出的算术平方根为__________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的理解与计算； 算术平方根是指一个非负数，使得，由于，因此的算术平方根为． 【详解】解：∵， ∴，即的算术平方根为， 故答案为：30． 11. 在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，和，则第四个顶点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质即可求得第四个点的坐标． 【详解】解：点和的横坐标相等， 点和的纵坐标相等， 要使这四个点构成矩形，则第四个点的横坐标与相等，纵坐标与相等， ∴第四个顶点的坐标为； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了矩形在坐标系中的坐标，准确判断是解题的关键． 12. 某市出租车计价方式如下：行驶距离在以内（含）付起步价元，超过后，每多行驶加元，乘车费用（元）与乘车距离之间的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数关系式，根据“乘车费用起步价超过的付费”可得与的关系式．找到所求量的等量关系是解题的关键． 【详解】解：依题意得： ， ∴乘车费用（元）与乘车距离之间的函数表达式为． 故答案为：． 13. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为_______________． 【答案】x2＋62＝(10－x)2 【解析】 【分析】根据题意画出图形，由题意则有AC=x，AB=10﹣x，BC=6，根据勾股定理即可列出关于x的方程. 【详解】根据题意画出图形，折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=(10﹣x)2， 故答案为x2+62=(10﹣x)2． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键. 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 14. 计算： （1）． （2） （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算． （1）先根据二次根式的除法法则计算，再算加减； （2）先根据二次根式的乘法法则计算，再算加减； （3）先根据立方根、绝对值、算术平方根的意义化简，再算加减； （4）先根据立方根、绝对值、算术平方根的意义化简，再算加减． 【小问1详解】 【小问2详解】 【小问3详解】 【小问4详解】 15. 某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶； 方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的付款． 某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． （1）分别写出，关于的函数表达式． （2）当时，请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． 【答案】（1）， （2） 当时，， ． ， ∴该厨具店选择方案二更省钱． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，关键是写出一次函数解析式． （1）根据优惠方案直接写出函数解析式； （2）把代入（1）中解析式求出的值，并比较即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：，， ∴关于的函数表达式为， 关于的函数表达式为． 【小问2详解】 略 16. 如图， 中，E为边上的一点，连接并延长，过点A作垂足为D，若，，，． （1）试说明为直角； （2）记 的面积为，的面积为，则的值为 ． 【答案】（1） 解： ， ， ，， ∴， ，，， ， 是直角三角形，且为直角； （2） 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的面积． （1）根据勾股定理求出，进而推出，据此即可得解； （2）根据题意推出，根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ，， ， ，， ， 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点，平行于轴． （1）求出点的坐标； （2）作出关于轴对称的； （3）在轴上找一点，使得，请直接写出点的坐标_____． 【答案】（1） （2） 如图，即为所求； （3）或 【解析】 【分析】此题考查坐标系中点坐标特点，画轴对称图形，利用三角形面积求点坐标， （1）根据平行于轴，得到，求出，即可得到点的坐标； （2）根据轴对称的性质得到点，顺次连线即可得到； （3）根据得到，求出点的坐标为或． 【小问1详解】 解：∵，，平行于轴， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，点的坐标为，平行于轴，， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或． 18. 阅读与思考 大家知道圆周率是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为的整数部分是3，于是小宇用表示出的小数部分．又例如：因为，即可得，所以的整数部分为2，小数部分为（说明：对于实数，其整数部分的定义是不大于的最大整数；小数部分大于0且小于1），请解答下列问题． （1）的整数部分是________，小数部分是________． （2）设的小数部分为的整数部分为，求的值． （3）已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分． ①的取值范围是_________． ②当是6的倍数时，且，求出的值． 【答案】（1）3， （2）4 （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，平方根的估算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）估算的范围后求解即可； （2）估算和，求出和的值后代入运算即可； （3）①根据题意可得的整数部分是5，即可得到；②根据是6的倍数，结合①可得，代入，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是； 【小问2详解】 解：， 的整数部分是， ∴， ， 的整数部分是，即， ； 【小问3详解】 解：①∵是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分， ∴的整数部分是5， ∴； ②是6的倍数，且， ， ， ， ． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知、满足，则的平方根为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0列式求出的值，再求出的值，然后求出，再利用平方根的定义解答． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， 所以，， 此时， 所以，， ， 的平方根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数．同时考查了平方根的定义． 20. 小东早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行驶的路程（千米）与所用的时间（分）之间的函数关系如图所示，若小东返回时上、下坡的速度仍保持不变，则他从学校骑车回家用的时间是___________分． 【答案】42 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息．观察图象求出上下坡的速度以及上下坡的路程，即可求解． 【详解】解：观察图象得：上坡的速度为千米/分，下坡的速度为千米/分，上坡的路程为千米，下坡的路程为千米， ∴分， 即他从学校骑车回家用的时间是42分． 故答案为：42 21. 如图，长方形一边在数轴上，点A为圆心，为半径画弧，交数轴于点E．则点E所表示的数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理得到，再根据线段之间的和差计算即可． 【详解】解：∵长方形长，长为1， ∴， ∵点A为圆心，为半径画弧，交数轴于点E， ∴， 设点E所表示的数为x，则 ， 解得， 故答案为：． 22. 如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，……，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】设动点运动了次，则点的横坐标为，点的纵坐标按，，，，，，，，重复出现，每个数为一个循环． 【详解】解：设动点运动了次． 观察图形中点的坐标可知： 点的横坐标为， 点的纵坐标按，，，，，，，，重复出现，每个数为一个循环． ∵， ∴当点经过次运动后，横坐标为，纵坐标为． 即点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标的规律，根据已知点的坐标归纳概括出点的坐标的规律是解题的关键． 23. 如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为_______． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，蚂蚁沿着的路线爬行时路程最短． 则， 根据题意：，， ∴， ∴， ∴最短路线长为， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． （1）请直接写出A点的坐标； （2）当时，求t的值； （3）若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）2 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，坐标与图形，四边形的面积，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想解决问题． （1）直接根据点B和D的坐标可得结论； （2）先得，，证明四边形是平行四边形，则，列方程可解答； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据梯形的面积公式列方程可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：分两种情况： ①当时，点N在边上，四边形是梯形， ∵， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴； ②当时，点N在的延长线上， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴， 综上，点M的坐标为或． 25. 阅读材料：黑白双雄，纵横江湖，双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如： ；，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如；，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化，解决问题： （1）的有理化因式是_______，分母有理化得________； （2）比较大小：__________（用“”“”或“”填空）； （3）计算：． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）根据题中的步骤进行有理化因式，分母有理化即可求解； （）将和进行分母有理化，然后作差值即可比较大小； （）将原式分母有理化，化简即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意得，的有理化因式是：； ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 26. （1）问题①：如图1，长方形中，，，，则与的数量关系是________． ②如图2，P是长方形内任意一点，通过构造直角三角形，利用勾股定理，你能发现与的数量关系为________． （2）探究：如图3，P是长方形外任意一点，上面②的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）应用结论：如图4，在中，，，B是内一点，且，，则的最小值________． 【答案】（1）①；②； （2）成立，理由如下： 如图，过作于，交于， 则四边形、四边形是长方形， ，，， 由勾股定理得：，，，， ，， ； （3） 【解析】 【分析】本题是勾股定理证明平方关系． （1）①由勾股定理可得，，再结合，即可得出结论； ②过作于，交于，则四边形、四边形是长方形，得，，，再由勾股定理即可得出结论； （2）过作于，交于，则四边形、四边形是长方形，得，，，再由勾股定理即可得出结论； （3）以、为边作长方形，连接、，则，由探究得：，求出，当、、三点共线时，最小，即可得出结论． 【详解】解：（1）①∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②如图，过作于，交于， 则四边形、四边形是长方形， ，，， 由勾股定理得：，，，， ，， ， 故答案为：； （2）略 （3）如图，以、为边作长方形，连接、， 由（1）中规律可得， 由（2）得：， ∵，，， ∴， 解得：， 当、、三点共线时，最小， ∴的最小值的最小值， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市开江县严家初级中学2025—2026学年八年级上学期期中考试数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. B. 8，15，17 C. 9，16，25 D. ，4， 2. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，已知点位于第二象限，距离轴6个单位长度，距离轴5个单位长度，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，是的一次函数的是(　　) A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．点P关于x轴的对称点的坐标为，则a与b的数量关系为（　　） A. B. C. D. 6. 有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（　　） A. B. C. D. 8 7. 如图，东西方向上有两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从地出发向正南方向前进，甲、乙两人相距6千米时，最短用时是（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 8. 如图①，在长方形中，动点P从点A出发，匀速沿的路径运动，到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图②所示，那么长方形的面积是（ ） A. 12 B. 14 C. 24 D. 28 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 已知直角三角形两条直角边的长分别为，，斜边长为，若 则 的值为________． 10. 今年芳芳的奶奶给芳芳元压岁钱，芳芳想：“的算术平方根是多少呢”请你帮芳芳写出的算术平方根为__________． 11. 在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，和，则第四个顶点的坐标为__________． 12. 某市出租车计价方式如下：行驶距离在以内（含）付起步价元，超过后，每多行驶加元，乘车费用（元）与乘车距离之间的函数表达式为______． 13. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为_______________． 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 14. 计算： （1）． （2） （3）； （4）． 15. 某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶； 方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的付款． 某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． （1）分别写出，关于的函数表达式． （2）当时，请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． 16. 如图， 中，E为边上的一点，连接并延长，过点A作垂足为D，若，，，． （1）试说明为直角； （2）记 的面积为，的面积为，则的值为 ． 17. 如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点，平行于轴． （1）求出点的坐标； （2）作出关于轴对称的； （3）在轴上找一点，使得，请直接写出点的坐标_____． 18. 阅读与思考 大家知道圆周率是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为的整数部分是3，于是小宇用表示出的小数部分．又例如：因为，即可得，所以的整数部分为2，小数部分为（说明：对于实数，其整数部分的定义是不大于的最大整数；小数部分大于0且小于1），请解答下列问题． （1）的整数部分是________，小数部分是________． （2）设的小数部分为的整数部分为，求的值． （3）已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分． ①的取值范围是_________． ②当是6的倍数时，且，求出的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知、满足，则的平方根为__________． 20. 小东早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行驶的路程（千米）与所用的时间（分）之间的函数关系如图所示，若小东返回时上、下坡的速度仍保持不变，则他从学校骑车回家用的时间是___________分． 21. 如图，长方形一边在数轴上，点A为圆心，为半径画弧，交数轴于点E．则点E所表示的数是________． 22. 如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，……，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是______． 23. 如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为_______． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． （1）请直接写出A点的坐标； （2）当时，求t的值； （3）若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 25. 阅读材料：黑白双雄，纵横江湖，双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如： ；，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如；，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化，解决问题： （1）的有理化因式是_______，分母有理化得________； （2）比较大小：__________（用“”“”或“”填空）； （3）计算：． 26. （1）问题①：如图1，长方形中，，，，则与的数量关系是________． ②如图2，P是长方形内任意一点，通过构造直角三角形，利用勾股定理，你能发现与的数量关系为________． （2）探究：如图3，P是长方形外任意一点，上面②的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）应用结论：如图4，在中，，，B是内一点，且，，则的最小值________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $