第6章6.3 角-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（人教版2024）河北专用

6.3角 6.3.1角的概念（答案P30) 北A 通基佣》>9>> 30 知识点1角的定义及表示方法 东 B甲 1.下列说法正确的是() A.两条射线所组成的图形叫作角 A.北偏西30°方向 B.南偏东30°方向 B.有公共端点的两条射线叫作角 C.西偏北60°方向 D.东偏南60°方向 C.一条射线绕着它的端点旋转叫作角 通能力> >>>》>>>>>>>>>>>>>》>>>》> D.一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫 5.教材P172练习T1变式》上午9点30分时，钟 作角 面上时针与分针所成的角的度数是() 2.在下列四个图中，能用∠1，∠AOB,∠O三种 A.115° B.105° C.100 D.90° 方法表示同一个角的是() 0通素养》》>22> 6.推理能力》观察如图所示的图形，并回答下列 问题： (1)图①中有几条射线？几个角？ (2)依次写出图②，③，④中的射线条数和角的 个数 (3)仔细分析，你能总结出什么规律？ (4)如果角内部有19条射线，那么图中有多少 知识点2角的度量与单位换算 个角？ 3.(2024·承德平泉期末)用量角器测量∠AOB 的度数，操作正确的是() D 易籍区不理解方向角的概念 4.几何直观甲、乙两人的位置如图所示，已知 ∠ABC=30°，则甲看乙的方向是() 一七年级·上册·数学：则河北专用 128 6.3.2角的比较与运算 第1课时 角的比较与运算（答案P30) 通基础>999999999%999999 易错固不能灵活运用重合法比较角的大小 6.（2024·保定徐水区月考)如图所示，若 知识点1”角的比较 ∠AOB>∠COD,则∠AOD与∠BOC的大小 1.比较∠CAB与∠DAB的大小时，把它们的顶 关系是() 点A和边AB重合，把∠CAB和∠DAB放在 A.∠AOD=∠BOC B.∠AOD<∠BOC AB的同一侧，若∠CAB>∠DAB,则() C.∠AOD>∠BOCD.不能确定 A.AD落在∠CAB的内部 B.AD落在∠CAB的外部 通能力> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> C.AC和AD重合 7.运算能力》计算： D.不能确定AD的位置 (1)48°39+67°31′-27°45； 2.如图所示，若∠AOB=∠COD,则( A.∠a>∠3 B.∠a<∠3 C.∠a=∠3 D.∠a+∠B=∠COD (2)2353+5213-17°3 通素养 第2题图 第3题图 8.推理能力》题目：在同一平面上，若∠BOA= 知识点2角的运算 70°，∠BOC是直角，求∠AOC的度数 3.如图所示，下列等式错误的是( ) 解：根据题意可画出图形（如图所示）： A.∠AOC=∠AOB+∠BOC 因为∠AOC=∠BOA+∠BOC,∠BOA= B.∠AOC=∠AOD-∠COD 70°，∠BOC=90°，所以∠AOC=70°+ C.∠AOD=∠AOB+∠BOD-∠BOC 90°=160° D.∠AOC=∠AOD-∠BOD+∠BOC 若你是老师，你怎样评判上面的解题过程？适 4.用一副直角三角尺可以画出的最大锐角的度 当说明理由. 数是() A.85°B.75 C.60° D.459 5.几何直观如图所示，正方形网格中有∠α和 ∠3，已知每个小正方形的边长都相等，估计 ∠a与∠B的大小关系为∠a ∠β（填 “>”“=”或“<”). 第5题图 第6题图 129 优计学案·课时通一 第2课时 角的平分线（答案30） 通基础 果∠AOC=∠BOC,那么射线OC一定平分 >>>>>>>>>>>>>>>》>>>>>>>>>>>> ∠AOB;③如果射线OC平分∠AOB,那么 知识点1角平分线 ∠AOB=2∠AOC;④如果∠AOB=2∠AOC, 1.已知射线OC在∠AOB的内部，下列说法不能 那么射线OC一定平分∠AOB.其中，正确的 确定射线OC是∠AOB的平分线的是() 有() A.∠AOC+∠BOC=∠AOB A.1个B.2个C.3个D.4个 且∠A0C-Z∠A0n 通能力> >>>》>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> C.∠AOB=2∠BOC 7.如图所示，∠AOB=90°，OD平分∠AOC, D.∠AOC=∠BOC ∠3=3∠1，求∠2的度数. 2.如图所示，AM为∠BAC的平分线，下列等式 错误的是() Ai∠BAC=∠BAM B.∠BAM=∠CAM C.∠BAM=2∠CAM D.2∠CAM=∠BAC 3.把一副三角尺按如图所示的方式拼在一起，其 通素第》沙 中B,C,D三点在同一直线上，CM平分∠ACB, 8.创新意识》如图所示，射线OP在∠AOB的内 CN平分∠DCE,则∠MCN的度数为 部（∠AOB的度数大于0°且小于180），图中 共有三个角：∠AOP,∠BOP,∠AOB.若这三 个角中有两个角的度数之比为3：1，则称射线 OP为∠AOB的“虚学线”. (1)∠AOB的角平分线 ∠AOB的 知识京2角的乘除运算 “虚学线”，∠AOB的一条三等分线 4.计算：2418×2+60°24'= ∠AOB的“虚学线”.（填“是”或“不是”） 5.教材P176练习T3变式》计算： (2)射线OP为∠AOB的“虚学线”，若 (1)2353′×2-17°43； ∠AOP=30°，求∠AOB的度数. (2)7524'-13840÷4. 易错国不理解角的平分线的概念 6.关于角的平分线的下列说法中：①如果射线 OC平分∠AOB,那么∠AOC=∠BOC;②如 一七年级·上册·数学，则河北专用 130 6.3.3余角和补角（答案P30) 通基础> 7.(2024·唐山玉田月考)已知∠a与∠3互补， >>>>>>>>>>>>>>》>>>>>>>>>>>> ∠a与∠y互余，且∠3=4∠Y,则∠a的度数 知识点1余角、补角的定义 为 1.如图所示，点O在直线AB上，若∠1=40°，则 8.如图所示，点O在直线AD上，∠EOC=90°， ∠2的度数是( ∠DOB=90°. (1)图中除∠EOC,∠DOB外，还有哪个角是 2 A 0 直角？ A.50° B.60°C.140° D.150° (2)图中哪两个锐角相等？并说明理由， 2.已知∠a=3430',则∠a的余角为() A.66°30'B.65°30'C.5630'D.5530 3.如图所示，将一副直角三角尺的直角顶点重合 摆放在桌面上，若∠BCD=46°，则∠ACF等 于( A.88° B.134°C.135°D.144° 4.已知∠a的补角是130°，则∠a= 5.教材P177例4变式》如图所示，已知O是直线 AB上的一点，∠AOE=∠FOD=90°，OB平 分∠COD. (1)与∠DOE互余的角有哪些？为什么？ 易错固不理解互余（补）的概念 (2)∠DOE的补角有几个？分别是哪些？ 9.(2024·廊坊霸州月考)如图所示，在三角形 ABC中，已知∠A十∠B=90°，则下列说法中 正确的是( A.∠A是余角 B.∠B是余角 C.∠A与∠B都是余角 D.∠A与∠B互为余角 知识点2余角、补角的性质 6.如果∠a+∠3=90°，∠y+∠3=90°，那么∠a 通能力> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 与∠y的关系是() 10.若一个角的补角比这个角的6倍还大5°，则 A.相等 B.互补 这个角的大小为( C.互余 D.无法确定 A.15° B.25° C.35° D.45° 优计学案·课时通 11.若∠a与∠3互余，且∠a:∠3=3：2，则∠a17.如图所示，点A,O,B在一条直线上， 的度数是() ∠BOD=90°，∠BOC与∠AOE互余， A.54°B.36°C.72°D.609 ∠BOC:∠AOE=3:1.求∠COD的度数. 12.如图所示，O为直线AB上一点，∠AOC=a, D ∠BOC=B,则B的余角可表示为() Aa+m 1 B.2 C.p(a- 通素养》%>%%9 AO B 第12题图 第13题图 18.推理能力如图所示，O为直线AB上一点， 13.(2024·唐山期末)如图所示，两个直角三角 OD平分∠AOC,∠DOE=90°. 形的直角顶点重合，如果∠AOD=128°，那么 (1)请你数一数，图中有 个小于平角 ∠BOC= 的角. 14.如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，那么 (2)若∠AOC=50°，则∠COE的度数为 ∠3与∠1的关系是 ,∠BOE的度数为 15.已知∠1与∠2互余，∠1=7x°-2°，∠2= (3)猜想OE是否平分∠BOC?请通过计算 3x°十2°，则x的值是 说明你猜想的结论. 16.如图所示，OC,OE都是∠AOB内部的射线， OD是∠AOB外部的射线，已知∠AOB= 90°，∠COD=90°，OA平分∠DOE,若 ∠BOC=24°，求∠COE的度数. 一七年级上册·数学：则河北专用 132 专题六角的综合计算（答案31） 类型1利用整体思想求角的度数 3.如图所示，已知∠BOC=2∠AOC,OD平分 1.已知点O为直线AB上一点， ∠AOB,且∠COD=18°，求∠AOC的度数. (1)如图①所示，过点O作射线OC,使 ∠AOC:∠BOC=3:2,求∠AOC与∠BOC 的度数 (2)如图②所示，射线OC为直线AB上方任意 一条射线，射线OD,OE分别是∠AOC, ∠BOC的平分线，求∠DOE的度数，并写出简 要的推理过程。 (3)写出图②中所有互余的角和互补的角. ① 4.如图所示，已知∠AOC=∠BOD=100°，且 ∠AOB:∠AOD=2:7,求∠BOC和∠COD 的度数. 类型2利用方程思想求角的度数 2.(2024·保定安国期中)若一个角的余角是这 个角的5倍，求这个角的补角. 133 优计学案·课时通一 5.如图所示，已知O为直线AB上一点，过点O7.如图所示，将直角三角板OMN的直角顶点O 向直线AB上方引三条射线OC,OD,OE,且 放在直线AB上，射线OC平分∠AON. OC平分∠AOD,∠2=3∠1，∠COE=70°， (1)若∠BON=60°，求∠AOM的度数， 求∠2的度数 (2)若∠AOM=2∠COM,求∠AON的度数. D (3)将直角三角板OMN绕顶点O按逆时针方 3 向旋转，在旋转过程中：当∠BON=120°时，求 42 0 ∠COM的度数. 类型3利用分类讨论思想求角的度数 6.如图所示，O是直线PQ上一点，OM是直线 PQ上方过点O的一条射线，∠POM=60°.若 射线OA在∠MOQ内，∠AOM的大小为t (t<60).射线OB在直线PQ上方，且 ∠POB=3∠AOM. (1)用含t的代数式表示∠POA- (2)当∠AOB=40°时，求t的值. 乡 M 60°入 60》 Q 备用图 一七年级上册·数学：则河北专用 134 数学活动（答案P32) 通基础 4.(2024·秦皇岛卢龙期末)某正方体的展开图如 >2>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 图所示，在每个顶点处均标有数字，当把它折成 知识点1制作纸魔方 正方体时，与数字4重合的数字是 1.几何直观如图所示是无盖长方体盒子的表 面展开图（重叠部分不计），则盒子的容积 为 1 通素养》>99%%9>99%>>%% 5.小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了 知识点2绘制五角星 很多几何体都能展开成平面图形.于是他在家 2.几何直观如图所示，现将一张长方形纸片按 用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心 图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚 多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图① 线折叠得到图③，在将图③沿虚线BC剪下 和图②.根据你所学的知识，回答下列问题： △ABC,展开即可得到一个五角星.若是得到 一个五角星，则∠BAC的度数为( 高 ① (1)小明总共剪开了 条棱. (2)现在小明想将剪断的图②重新粘贴到图① D ④ 上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一 A.36% B.54° C.60° D.72 个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘 通能力 >>2>>>>>>>>>>>>>>>》>>>>>>>>>>>>> 贴到图①中的什么位置？请你帮助小明在图 3.教材P168T9变式》如图所示，S是圆锥的顶点， ①上补全 AB是圆锥底面的直径，M是SA的中点.在圆 锥的侧面上过点B,M嵌有一圈路径最短的金 属丝，现将圆锥侧面沿SA剪开，所得圆锥的 侧面展开图可能是() 135 优计学案·课时通所以AP=AD+CD+CP=6+1+4=11(cm). 8.解：此解题过程不完整.理由：还有一种情况，根据题 A DC P B 意可画出另一种情况的图形，如图所示. 综上所述，AP=9cm或11cm. 阶段检测四（6.1~6.2) 1.B2.D3.D4.D5.B6.D7.C8.A9.C 10.D11.② 12.两点之间，线段最短13.614.80或20 15.解：(1)(2)(3)如图所示 A 因为∠AOC=∠BOC-∠BOA, ∠BOC=90°，∠BOA=70°， D 所以∠AOC=20°. 0 综上所述，∠AOC的度数为20°或160°. B tc 第2课时角的平分线 (4)AB+AD与BD的数量关系为AB+AD> 1.A2.C3.127.5°4.109° BD.理由：两点之间，线段最短. 5.解：(1)原式=46106'-17°43 16.解：如图所示. =29°63 a⊥b1b1 =303. C D B (2)原式=75°24'-136160'÷4 ①在直线上作线段AC=a； =75°24′-34°40 ②在线段AC的延长线上作线段CD=b; =74°84′-34°40 ③在线段AD的延长线上作线段DB=b. =40°44. 线段AB就是所求的线段， 6.B 17.解：(1)AB=AD+DB=6.5+1.5=8(cm). 7.解：因为OD平分∠AOC, 因为C是线段AB的中点， 所以∠1=∠2. 所以CB= AB=4em, 因为∠3=3∠1， 所以∠3=3∠2. 所以CD=CB-DB=4-1.5=2.5(cm). 又因为∠1+∠2+∠3+∠AOB=360°， (2)如图所示. ∠AOB=90°， A C B D 所以∠2+∠2+3∠2+90°=360°. 因为AB=AD-DB=6.5-1.5=5(cm), 所以∠2=54°. C是线段AB的中点， 8.解：(1)不是是 所以CB-号AB=2.5Ccm, (2)由一个角的“虚学线”的定义可知，当∠AOP= 所以CD=CB+BD=4(cm). ∠AOB或∠AOP=号∠POB或∠BOP 6.3.角 6.3.1角的概念 含∠A0P或∠B0P=号∠A0B时，射线OP是 1.D2.B3.C4.A5.B ∠AOB的“虚学线” 6.解：(1)题图①中有2条射线，1个角， (2)题图②中有3条射线，3个角； 当∠A0P=S∠A0B时，∠AOB=3∠A0P=3× 题图③中有4条射线，6个角； 题图④中有5条射线，10个角. 30°=90°； (3)规律：若有n条射线，则共有1十2+3+…+ 当∠A0P=号∠POB时，∠AOB=4∠A0P= a-1)-”2》(个)角， 4×30°=120°； (4)根据发现的规律得 3∠AOP (19+2)×(19+2-1) 当∠BOP-号∠AOP时，∠AOB= 2 =210(个)角. 40°；当∠BOP= 3 ∠AOB时，∠AOB= 6.3.2角的比较与运算 第1课时角的比较与运算 3 1.A2.C3.C4.B ∠A0P=45. 5.<6.C 所以∠AOB的度数为45°或90°或40°或120°. 7.解：(1)48°39'+67°31'-27°45′=115°70'-27°45= 6.3.3余角和补角 88°25. 1.C2.D3.B4.50 (2)23°53′+52°13-17°3=75°66-17°3= 5.解：(1)与∠DOE互余的角有∠EOF,∠BOD, 5863=593'. ∠BOC.理由如下： 30 因为∠FOD=90°，所以∠DOE+∠EOF=90°，即 所以x=36°， ∠EOF与∠DOE互为余角； 所以∠AOC=3×36°=108°， 因为∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE=90°， ∠BOC=2×36°=72°. 所以∠BOE=90°， (2)∠DOE=90°. 所以∠DOE+∠BOD=90°，即∠BOD与∠DOE 因为OD,OE分别是∠AOC,∠BOC的平分线， 互为余角； 因为OB平分∠COD,所以∠BOC=∠BOD, 所以∠DOC=∠AOD=号∠A0C, 因为∠BOD+∠DOE=90°， 所以∠BOC+∠DOE=90°，即∠BOC与∠DOE互 ∠COE=∠BOE=)∠BOC. 为余角。 (2)∠DOE的补角有2个，分别是∠BOF,∠COE. 因为∠AOC+∠BOC=180°， 6.A7.60 ∠DOE=∠DOC+∠COE, 8.解：(1)∠AOB为直角. (2)∠EOD=∠BOC. 所以∠DOE=∠A0C+号∠B0C=2(∠A0C+ 理由：因为∠EOD与∠COD互余， 1 ∠BOC与∠COD互余， ∠B0C)=2×180°=90. 所以∠EOD=∠BOC. (3)互余的角有：∠DOC与∠COE,∠AOD与 9.D10.B11.A12.C ∠COE,∠BOE与∠COD,∠BOE与∠AOD. 13.52°解析：因为∠AOB=∠COD=90°，而 互补的角有：∠AOD与∠BOD,∠AOC与∠BOC, ∠AOD=128°，所以∠BOD=∠AOD-90°=38°， ∠AOE与∠BOE. 所以∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-38°=52. 2.解：设这个角为x°，则这个角的余角为90一x° 14.∠3=90°+∠115.9 根据题意，得90°-x°=5x°， 16.解：因为∠AOC+∠BOC=∠AOB=90°， 解得x=15. ∠AOC+∠AOD=∠COD=90°， 所以这个角的补角为180°-15°=165°. 所以∠AOD=∠BOC=24° 3.解：设∠AOC=x°，则∠BOC=2x°，所以∠AOB= 又因为OA平分∠DOE, 3x:因为OD平分∠A0B,所以∠A0D=.根 所以∠AOE=∠AOD=24°. 所以∠COE=90°-∠AOE-∠BOC=90° 据∠A0D-∠A0C=∠C0D,列方程，得-x= 24°-24°=42°. 18,解得x=36,即∠AOC的度数为36°. 17.解：根据题意，得∠BOC+∠AOE=90°. 4.解：设∠AOB和∠AOD的度数分别为2x、7x 因为∠BOC:∠AOE=3:1, 根据题意，得2x+100°=7x, 所以∠B0C-×90=67.5 解得x=20°， 所以∠AOB=40°，∠AOD=140°. 所以∠C0D=90°-67.5°=22.5°. 所以∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°，∠COD= 18.解：(1)9(2)65°65 ∠BOD-∠BOC=40°. (3)OE平分∠BOC. 5.解：设∠1=x°，则∠2=3∠1=3x. 理由：设∠AOC=2a. 因为∠C0E=∠1+∠3=70°， 因为OD平分∠AOC, 所以∠3=70°-x. 因为OC平分∠AOD, 所以∠A0D=∠COD=2∠A0C=a 所以∠4=∠3=70°-x° 因为∠DOE=90°， 因为∠1+∠2+∠3+∠4=180°， 所以∠COD与∠COE互余， 所以x+3.x+(70-x)+(70-x)=180, ∠AOD与∠BOE互余， 解得x=20. 所以∠2=3x°=60°. 因为∠AOD=∠COD, 6.解：(1)60°+t 所以∠COE=∠BOE, (2)由题意可知∠POB=3t: 即OE平分∠BOC. 分情况讨论如下： 专题六角的综合计算 当射线OB在射线OA左边时，如图①所示. 1.解：(1)设∠AOC=3x,∠BOC=2x. ∠AOB=∠POA-∠POB, 因为∠AOC+∠BOC=180°， 即60°+t-3t=40°， 所以3.x+2x=180°， 解得t=10°. 31 当射线OB在射线OA右边时，如图②所示， 本章综合提升 ∠AOB=∠POB-∠POA, 【本章知识归纳】 即3t-(60°+t)=40°，解得t=50° ①柱体②球③平面④平面⑤线⑥面⑦两 M A M ⑧一⑨短⑩重合①相等②长度®60④射 B、 线⑤度数⑥90°(180)⑦相等⑧相等 60P 60°A P 0 【思想方法归纳】 ① ② 【例1】思路分析：设这个角为x,则余角为90°一x,补 综上，t的值为10°或50° 7.解：(1)因为∠BON=60°，∠MON=90°， 角为180-z,旅器“余角比补角的号还少50”可列出 所以∠AOM=180°-60°-90°=30° (2)因为OC平分∠AON,所以∠AOC=∠CON, 方程求解. 又因为∠AOM=2∠COM, 解：设这个角为x,则余角为90°一x,补角为180°-一x, 设∠COM=x,所以∠AOM=2x, 2 所以∠CON=∠AOC=3.x. 根据题意，得90°-x=3(180°-x)-50°， 因为∠COM+∠CON=90°， 解这个方程，得x=60°. 所以x十3x=90°， 所以这个角的度数是60°， 解得x=22.5°， 所以∠AON=6x=135° 【变式训练1】解：设这个角的度数为x°， (3)分两种情况：当ON在直线AB上方时，如图① 根据题意，得(180-x)-3(90一x)=20, 所示. 解这个方程，得x=55. 因为∠BON=120°，所以∠AON=60°， 所以这个角的度数为55°， 因为OC平分∠AON,所以∠CON=30°， 【例2】思路分析：因为射线OA,OC,OD都可以是其中 因为∠MON=90°，所以∠COM=60°； 当ON在直线AB下方时，如图②所示. 两条射线组成的角的角平分线，所以应按三种情况分 因为∠BON=120°， 类讨论. 所以∠AON=60°. 解：分三种情况： 因为OC平分∠AON, 当OD平分∠AOC时，如图①所示. 所以∠CON=30°. 因为∠AOC=40°， 因为∠MON=90°， 所以∠COM=120° 所以∠A0D=7∠A0C=号×40=20 综上所述，∠COM的度数为60°或120° N 所以∠B0D=180°-∠A0D=-180°-20°=160°； 当OC平分∠AOD时，如图②所示. 因为∠AOC=40°， 所以∠AOD=2∠AOC=2X40°=80° 所以∠BOD=180°-∠AOD=180°-80°=100°； 当OA平分∠COD时，如图③所示. ① 因为∠AOC=40°， 数学活动 所以∠AOD=∠AOC=40°. 1.62.A3.B 4.2、8解析：根据展开图的形状，可知与A面相邻的 所以∠BOD=180°-∠AOD=180°-40°=140°. 面是B面和C面，则与数字4重合的数字是2、8 综上所述，∠BOD=160°或100°或140°. 6 B O B 1110 13 12 5.解：(1)8 ① ② (2)如图所示，共有四种情况. 【变式训练2】解：(1)因为射线OD平分∠AOC, 所以∠AOD=∠COD. 因为射线OE平分∠BOC, 所以∠COE=∠BOE. 因为∠AOC+∠BOC=180°， 所以∠D0E=∠COD+∠C0E=号∠A0c+ 2∠B0C=2ZA0C+∠B0C)=90 32