第5章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（人教版2024）河北专用

本章综合提升（答案P26) 本章知识归纳 方程：含有① 的等式叫作方程 方程的解：使方程两边相等的② 的值，叫作方程的解 一元一次方 程的概念 解方程：求方程的③ 的过程叫作解方程 元一次方程：一般地，如果方程中只含有④ 个未知数，且含有 未知数的式子都是⑤ ，未知数的次数都是⑥ 这样的方 程叫作一元一次方程，一般形式为ax=b(a,b都是常数，且a≠0) 等式的性质1：等式两边加（或减）⑦ 数（或式子），结果仍相等，用 符号表示：如果a=b,那么a±c=b±c 等式的性质 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个⑧的数，结果仍相 等，用符号表示：如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,c≠0，那么名=名 元 次方 顺序 变形名称 具体方法 变形依据 1 去分母 方程两边乘⑨ 的最小公倍数 等式的性质2 2 去括号 根据去括号法则去括号 去括号法则 元一次方 程的解法 3 移项 把含有未知数的项数移到方程的 一边，把常数移到方程的⑩ 等式的性质1 4 合并同类项 根据合并同类项法则合并 合并同类项法则 5 系数化为1 得到方程的解 方程两边除以未知数的 等式的性质2 产品配套问题 工程问题 销售中的盈亏问题 元一次方 程的应用 球赛积分表问题 分段计费问题 方案决策问题 思想方法小纳 >>>>>>>>>>>>>>>>>>> 得到方程的解为工= a 1.转化思想 白链接亦章 。一-一 【例1】(2024·保定安国月考)解下列方程： 本章在解一元一次方程时，运用了转化 (1)4x-4=7x-9; 的思想，即利用等式的性质与去括号法则、 合并同类项法则，把一个比较复杂的一元一 次方程，转化为ax=b(a≠0)的形式，进而 优计学案·课时通 (2)4(x-1)+3x-7=5x; 【变式训练2】如图示，小明将一张正方形 纸片剪去一个宽为3cm的长条后，再从剩下的 长方形纸片上剪去一个宽为4cm的长条，如果 3)2 1 x3= 2(x+4); 两次剪下的长条面积正好相等，求原正方形的 面积 cm (4)5-3x-x2-3. 4 6 3.分类讨论思想 台链接亦章 本章在解决分段计费问题时，当分段情 况未知时，常需要根据分段情况进行分类讨 【变式训练1】(2024·沧州运河区月考)解下 论，否则容易出现丢解的错误 列方程： (1)3x+9=5x+19; 【例3】(2024·沧州南皮期末)一种商品按销 售量分三部分制定销售单价，如下表： 销售量 单价 (2)3x,1+5x,1=2. 不超过100件部分 2.6元/件 23 超过100件不超过300件部分 2.2元/件 超过300件部分 2元/件 (1)买100件花 元，买260件花 元，买350件花 元. 2.数形结合思想 (2)某社团为举行活动花了568元买这种商 台链接亦章 《 品作为纪念品，求购买这种商品多少件 本章在利用一元一次方程解决图形问 (3)若张强花了n元(n>260),恰好购买 题时，常运用数形结合思想，即通过观察图 0.45n件这种商品，求n的值. 形，找到图形中蕴含的数量关系，由此即可 列出解题所需要的一元一次方程. 【例2】请根据图中提供的信息，请计算一个 暖瓶与一个水杯分别是多少元？ 880 22元 46元 一七年级·上册·数学，则河北专用 112 【变式训练3】甲、乙两车分别从相距210千 板上画出线段示意图（如图所示），设两队合作 米的A,B两地相向而行. 还需x天完成任务，并列方程为立×2十 (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙 车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发， (侵+)x=1.根据上面信息，下面结论不正 则甲车出发后3小时两车相遇.求甲、乙两车的 确的是( 速度分别是多少. A C:两队合作x天的工作量 (2)如果甲、乙两车保持(1)中的速度，两车 同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距 B:12x2 D 30千米？ 工作总量 A.乙队单独完成需要8天完成 BD处代表的代数式为(g十2)z C.A处代表的实际意义：甲先做2天的工作量 D.甲先做2天，然后甲、乙两队合作5天完成 了整个工程 通模拟》99%99%999》 4.(2024·沧州孟村期末)一列动车匀速行驶，经 过一条长300m的隧道需要20s的时间.隧道 1(2024·邯鄂鸡泽期末)在解方程22 的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车 2x+33 上的时间是10s.设动车的长度为xm.列方程 3 时，去分母正确的是( ) 为 ,火车的长度为 米. A.3(x+1)-4x+3=2 5.（2024·保定阜平期末)一系列方程，第1个方 B.3x+1-4x+3=9 程是x+号-3，解为x=2:第2个方程是十 C.3z+1-4z+3=)】 百-5，解为x=6:第3个方程是首+普7，解 D.3(x+1)-2(2x+3)=9 为x=12;….根据规律第10个方程是 1 2.(2024·廊坊广阳区月考)若单项式3Q6 ,解为 6.(2024·唐山乐亭期末)解下列方程： 与-2a6“的和仍是单项式，则方程3江+5 m (1)3(x-2)=2(x-1); 2x-1的解为( ) A-号 17 B.x=一 5 (2)3x1-1=5z-7 C.x=-5 D.x=6 4 6 3.(2024·唐山一模)一道条件缺失的问题情境： 一项工程，甲队单独做需要12天完成，…，还 需要几天完成任务？根据标准答案，老师在黑 优计学案·课时通 7.(2024·廊坊霸州期末)文具店出售甲、乙两种 几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木， 品牌的书包，相关数据如表所示， 绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长 书包 进价/（元/个）售价/（元/个） 木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺， 甲品牌 60 88 则可列方程为() 乙品牌 80 100 A7(x+4.5)=x二 (1)三月份开学季，文具店购进甲、乙两种品牌 1 的书包，其中甲品牌书包的数量为乙品牌书包 B.2x+4.5)=x+1 数量的}，设乙品牌书包的进货数量为x个 c2e+)=x-4.5 ①文具店购进甲、乙两种品牌书包的总费用为 元；（用含x的式子表示） D.2(x-1)=x+4.5 ②若购进乙品牌书包168个，求该文具店花费 9.数学文化》(2023·丽水中考)古代中国的数 的总费用， 学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十 (2)六月份文具店又购进一定数量的甲、乙两 斤，干之，耗三斤十二两.今有干丝一十二斤， 种品牌的书包，并在原售价的基础上进行如下 问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥 促销活动： 后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）. 甲品牌书包实行“买三赠一”的优惠. 今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生 乙品牌书包实行八五折优惠. 丝为 斤 若购进的甲、乙品牌的书包均全部售完，并共 10.(2023·河北中考)某磁性飞镖游戏的靶盘如 获得2080元的利润，已知购进甲品牌书包 图所示.珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若 80个（均四个一组卖出），求购进乙品牌书包的 投到边界则不计入次数，需重新投.计分规则 数量. 如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分/分 3 1 -2 在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次。 脱靶4次。 (1)求珍珍第一局的得分， (2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其 余全部脱靶.若本局得分比第一局提高了 13分，求k的值 通中考》>99999999999999 A区 8.(2023·成都中考)《孙子算经》是中国古代重 B区 要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载 了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度 之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长 一七年级·上册·数学：则河北专用 114甲公司的运价为6+2.1×(10-3)=20.7（元）； 米) 乙公司的运价为2.2×10-1.4=20.6（元）. (3)设小聪应分配到x张长方形白纸条，则小明应分 因为20.7>20.6， 配到(20一x)张长方形白纸条， 所以当行驶路程为10km时，对于乘客来说，乙公 根据题意，得10[30x-6(x-1)]=30[10(20 司的专车更合算 x)-4(20-x-1)], 数学活动 1.解：(1)0.6 解这个方程，得x- (2)设老李家9月份的用电量为xkW·h. 因为图①纸条不能裁剪，且每人分到的纸条不能少 因为0.6×240=144（元），144<157， 于2张， 所以x>240. 根据题意，得144十0.65(x-240)=157, 所以x的值应为不小于2的正整数，则x= 7不合 解这个方程，得x=260. 题意. 答：老李家9月份的用电量为260kW·h. 所以没有合适的分配方案， (3)设老李家8月份的用电量为ykW·h, 本章综合提升 根据题意，得144+0.65×(400一240)+(0.6+ 【本章知识归纳】 0.3)(y-400)=0.7y, ①未知数②未知数③解④一⑤整式⑥1 解这个方程，得y=560. ⑦同一个⑧不为0⑨各分母⑩另一边①系数 答：老李家8月份的用电量为560kW·h 【思想方法归纳】 2.解：(1)转动 【例1】思路分析：(1)利用移项、合并同类项、系数化为 (2)不平衡左 1,即可求解；(2)先去括号，然后按照(1)的方法求解； (3)将表格内的数据补充完整如下表： (3)与(4)先去分母，然后按照(2)的方法求解. 解：(1)移项，得4x-7x=4-9, 动力 动力臂 阻力 阻力臂 实验次数 F/N 合并同类项，得-3x=一5， L1/m F2/N L2/m 5 1 1 30 10 系数化为1，得x=3 3 4 20 40 (2)去括号，得4x-4+3x-7=5.x, 3 3 40 4 30 移项，得4x十3x-5x=7+4, 合并同类项，得2x=11, (4)F1·L1=F2·L2 3.解：(1)7550% 系数化为1，得云 (2)设购进乙种商品x件，则购进甲种商品(2x一 (3)去分母，得4x-18=3(x+4), 10)件， 去括号，得4x-18=3x十12， 根据题意，得(60一40)(2x一10)+(75一50)x=3050, 移项，得4x-3x=12+18, 解这个方程，得x=50. 合并同类项，得x=30. 所以2x-10=2×50-10=90. (4)去分母，得3(5-3x)-2(x-2)=36, 答：购进甲种商品90件，乙种商品50件. 去括号，得15-9x-2x十4=36， (3)设购买甲种商品y件，则购买乙种商品(40一 移项，得-9x-2x=36-15-4, y)件. 合并同类项，得-11x=17, 当0<y≤15时，60y+75×(40-y)×0.8=2400≠ 2280,不符合题意，舍去； 系数化为1，背=一品 当15<y<25时，60×0.85y+75×0.88×(40一 【变式训练1】解：(1)移项，得3x一5x=19一9， y)=2280, 合并同类项，得一2x=10, 解这个方程，得y=24. 系数化为1，得x=一5. 所以40-y=40-24=16; (2)去分母，得3(3x-1)+2(5x-1)=12, 当y≥25时，60×0.85y+75×(40-y)=2280, 去括号，得9x-3十10x-2=12, 解这个方程，得y=30,所以40-y=10. 移项，得9x+10x=12+3十2， 所以小华爸爸共有2种购买方案：购买甲种商品 合并同类项，得19x=17, 24件，乙种商品16件；购买甲种商品30件，乙种商 17 品10件. 化系数为1，得x=19 4.解：(1)AB=30×5-4×6=126(厘米). 【例2】思路分析：本题中的等量关系为2×暖瓶单价十 (2)根据题意，得A1B1=10n-4(n-1)=6n+4(厘3×(22-暖瓶单价)=46，据此列方程求解. 26 解：设一个水杯为x元，则一个暖瓶为(22一x)元， 根据题意，得3x+2(22-x)=46, 5.0十品=21x=110解析：解第1个方程，得x= 解这个方程，得x=2, 1×2=2;解第2个方程，得x=2×3=6;解第3个 则22-x=20. 方程，得x=3×4=12;…, 答：一个暖瓶20元，一个水杯2元 【变式训练2】解：设原正方形的边长为xcm, 所以第10个方程是8十无=21，解得x=10× 根据题意，得3x=4(x一3)， 11=110. 解这个方程，得x=12, 6.解：(1)去括号，得3x-6=2x-2, 故原正方形的面积为x2=144(cm2), 移项，得3x-2x=一2十6， 答：原正方形的面积为144cm2. 合并同类项，得x=4. 【例3】思路分析：(1)根据不同的档，求出购买不同件 (2)去分母，得3(3x-1)-12=2(5x-7), 数的花费；(2)先判断购买件数的范围，再根据所在档 去括号，得9x-3-12=10x-14, 计算花费；(3)根据：n=购买0.45n件商品的花费，列 移项，得9x-10x=-14+3+12, 出关于n的方程，求解即可，注意分类讨论. 合并同类项，得-x=1, 解：(1)260612800 系数化为1，得x=-1. (2)设购买这种商品x件， 7.解：(1)①100x 因为花费568<700， ②当x=168时，100x=100×168=16800(元). 所以购买的件数少于300件」 故该文具店花费的总费用为16800元. 根据题意，得260+2.2(x-100)=568, (2)由题意可知，甲品牌书包相当于打七五折销售， 解这个方程，得x=240. 设六月份购进乙品牌书包y个， 答：购买这种商品240件. 根据题意，得[80×(88×0.75-60)+(100× (3)分两种情况： 0.85-80)y]=2080, 当260<n≤700时， 化简，得480+5y=2080, 根据题意，得260+2.2(0.45n-100)=n, 解这个方程，得y=320. 解这个方程，得n=4000(不符合题意，舍去)； 答：六月份购进乙品牌书包的数量是320个 当n>700时， 【通中考】 根据题意，得700+2(0.45n-300)=n, 解这个方程，得n=1000. 8A99 综上所述，n的值为1000. 10.解：(1)由题意可得4×3+2×1+4×(-2)= 【变式训练3】解：(1)设乙车的速度是x千米/时，则甲 6(分). 车的速度是2x千米/时， 答：珍珍第一局的得分为6分 根据题意，得3×2x+(3-2)x=210, (2)根据题意，得3k+3×1+(10一一3)× 解这个方程，得x=30. (-2)=6+13, 所以2x=2×30=60. 解这个方程，得=6. 答：甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是30千 所以的值为6. 米/时. 第六章 几何图形初步 (2)设经过y小时两车相距30千米，分两种情况： 6.1几何图形 当两车相遇之前相距30千米时， 6.1.1立体图形与平面图形 根据题意，得60y十30y=210一30， 第1课时 认识立体图形与平面图形 解这个方程，得y=2; 1.A2.A 当两车相遇之后相距30千米时， 3.答案不唯一，如保温杯，字典，标枪头部，足球 根据题意，得60y+30y=210+30, 4.解：如图所示. 解这个方程，得y二8 3 答：经过2小时或氵小时两车相距30千米。 5.D6.C7.1211 3 8.A9.C10.B11.B12.D13.A 【通模拟】 14.(1)⑦(2)①③⑤(3)②④⑥15.44 1.D2.B3.D 16.解：(1)答案不唯一，如：门是长方形，树冠、透气窗 4后=80 300 是圆；门上方的装饰是三角形 (2)答案不唯一，如：房屋旁边小树的树冠是球，小 27