第5章5.2 解一元一次方程-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（人教版2024）河北专用

(3)6等式的性质2，两边乘号 两边加(3-x),得3x-3十3-x=x十7十3-x, 得2x=10, (4)3x等式的性质1，两边减3x 两边除以2，得x=5. 5.D 15.解：设快车开出后x小时与慢车相遇. b 6.】加12除以27a十12除以(a+1) 根据题意，得50(1十x)十75x=275, 变形，得50+125x=275. 8.解：(1)两边减4，得2x+4一4=10-4，即2x=6, 两边减50，得125x=225. 两边除以2，得x=3. 检验：当x=3时，左边=2×3+4=10，右边=10. 两边除以125，得红=号 因为左边=右边， 所以x=3是原方程的解。 答：快车开出后号小时与授车相遇。 (2)两边减7，得4x十7-7=3-7，即4x=-4. 2 -4 两边除以4，得x=一1. 16解：由题意，得 =2×5 3-x5 检验：当x=一1时，左边=4×（一1）+7=3，右 (-4)×(3-x)=25. 边=3. 整理，得22-4x=25. 因为左边=右边， 两边减22，得一4x=3. 所以x=一1是原方程的解. (3)两边减5，得5-x-5=7-5,即-x=2. 两边除以一4，得x=一3 41 两边乘-1，得x=一2. 5.2解一元一次方程 检验：当x=一2时，左边=5一（一2）=7，右边=7. 第1课时利用合并同类项解一元一次方程 因为左边=右边， 所以x=一2是原方程的解. 1.B2.C3.5x=14x=5 14 (4)两边减9，得2x十9-9=8-9，即2x=-1. 4.解：(1)合并同类项，得14x=-28. 两边除以2，得x=一2 系数化为1，得x=一2. (2)合并同类项，得一4y=16. 检验：当z=-号时，左边=2X(一）十9=8，有 系数化为1，得y=一4. 边=8. 《9)合并同类现得一子4- 因为左边=右边， 系数化为1，得x=-2. 所以工一一言是原方程的解， （④)合并同类项，得管-3. 9.C10.C11.A 系数化为1，得x=9. 2号13.9 5.B 6.x=1 14.解：(1)两边加(5x-1),得4x+1+5x-1= 7.解：设甲捐了5x册图书，则乙捐了8x册图书，丙捐 -5x+10+5x-1, 了9x册图书. 得9x=9, 根据题意，得5x+8x+9x=748. 两边除以9，得x=1. 合并同类项，得22x=748. (2)两边加(2-+)得名x-2+2-=十 I 系数化为1，得x=34. 则5x=170,8x=272,9x=306. 1 2-2x 答：甲捐了170册图书，乙捐了272册图书，丙捐了 得3x=2, 306册图书. 两边除以3，得x-名。 8.B9.C10.B11.B12.C 31 13.3614.17.1 (3)两边加(-号-2x),得4红+号-号 11 15.解：(1)合并同类项，得5x=-10, 系数化为1，得x=-2. 2x141 33 -2x, 11113 (2)-2)y=4-2+4, 得2x=-5, 11 两边除以2，得x=-2.5. 合并同类项，得2y=2, (4)两边乘6，得3x-3=x+7, 系数化为1，得y=1. 20 (3)合并同类项，得1.2x=2.4, 合并同类项，得一3x=8, 系数化为1，得x=2. 8 (④变形，得吕日=3号 2 系数化为1，得x=一3 113 合并同类项，得2x=5 检验：当x=-号时，左边=3×(-）-9=-17。 26 右边=6×(-）-1=-17. 系数化为1，得x=5 因为左边=右边， 16.解：设0.7=x,即x=0.777…,则10x=7.77…, 所以x=一 是原方程的解 7 所以10x-x=7,解得x=g 14.解：(1)移项，得4x-6x=6+15, 7 所以无限循环小数0.7化为分数为 合并同类项，得一2x=21, 方程两边除以一2，得工=一21 2 设0.45=y,即y=0.454545…,则100y= 45.4545…, (2路项，得台子= 所以100y-y=45,解得y=立 5 合并同类项，得x=4. 所以无限循环小数0.45化为分数为： (3)移项，得-1 2x-6x=-3-1, 设0.248=之，即之=0.248248…，则1000z= 合并同类项得号=4， 248.248248…, 248 方程两边同乘， 所以1000z-=248,解得之= 9991 得x=6. 所以无限循环小数0.248化为分数为248 999 (4)移项，得3x+5x-7x+3x=2+1, 第2课时利用移项解一元一次方程 合并同类项，得4x=3, 1.C2.C3.C 系数化为1，得x-子 4.x=-25.5 15.解：设开始来了x位客人， 6.解：1)移项，得2-x=5+7. 根据题意，得+（红名)十4= 合并同类项，得一号=12。 解得x=15. 系数化为1，得x=-24. 答：开始来了15位客人. (2)移项，得5x-7x=-9-3. 第3课时利用去括号解一元一次方程 合并同类项，得-2x=-12. 1.D2.B3.B4.B 系数化为1，得x=6. 5.-3 （3)移项，得3x-4x=-20一25. 6.解：(1)去括号，得2x-2十1=0， 合并同类项，得一x=一45. 移项、合并同类项，得2x=1, 系数化为1，得x=45. 1 (0移项，期子日=5-1 系数化为1，得x=2 (2)去括号，得9x十15一4x+6=6, 合并同类项，得2x=4. 移项、合并同类项，得5x=一15， 系数化为1，得x=2. 系数化为1，得x=一3. 7.C (3)去括号，得4x-2x十2=6-x, 8.10(x+5)=15x 移项、合并同类项，得3x=4, 9.A10.A11.D12.x=3 1 系数化为1，得x=3 4 13.解：(1)不正确.①中出现错误，其原因是移项时没 (4)去括号，得6x+8-3x+3=3, 有改变符号. 移项、合并同类项，得3x=一8， (2)正确的解题过程： 移项，得3x-6x=一1+9， 系数化为1，得=号 21 7解：把y=4代人原方程，得付 -m=5(4-m), 移项、合并同类项，得2x=14, 系数化为1，得x=7. 解得m=4. 6.C 把m=4代入关于x的方程， 7.解：设C,B两地相距xkm, 得(3X4-2)x十4-5=0，解得x=10 1 则A,B两地之间的路程为(x十10)km. 8.B9.1810.A11.B12.A 巾题意，得9+号+兰2=7， 13.114.1 15.解：(1)去括号，得10y+5=8y+7, 解得x=22.5. 移项，得10y-8y=7-5, 则A,B两地之间的路程为22.5+10=32.5(km). 合并同类项，得2y=2, 答：A,B两地之间的路程是32.5km. 系数化为1，得y=1. 8.D9.D (2)去括号，得2-1十x=-5, 10.5 移项，得x=一5-2十1， 11.解：(1)6y-2y=3y+52 合并同类项，得x=一6. (2)设x一1=y,则原方程可变形为关于y的方程： (3)去括号，得5x-5-3=3x+15, 1 移项，得5x-3x=15+5+3, 3y- 3y=2y-20y+2). 合并同类项，得2x=23, 1 1 系数化为1，得=号 去括号，得3y-3y=2y-2y-1. 1 1 (4)去括号，得4x-60+3x=6x-63十7x, 移项，得3y-3y-2y+2y=-1. 移项，得4x+3x-6.x-7x=-63+60, 合并同类项，得一6x=一3， 合并同类项，得日y=-1 系数化为1，得x= 系数化为1，得y=一月 16.解：(1)设水流速度为x千米/时，则 6 40十x=2(40-x),解得x-9 所以x-1=一7： 1 40 答：水流速度为3千米/时. 解得x=7 (2)巡逻船能在15分钟内完成任务. 12.解：(1)没有符合要求的“奇异方程”.理由如下： 设巡逻船用y小时追上竹筏，则有 把a=-1代入原方程，解得x=b. 若为“奇异方程”，则x=b十1， 因为b≠b+1, 因为6小时=10分钟，10<15， 所以不符合“奇异方程”的定义，故没有符合要求的 “奇异方程” 所以巡逻船能完成任务，需要。小时才能追上竹 (2)因为ax十b=0(a≠0)为“奇异方程”， 筏，排除隐患。 所以x=b-a, 第4课时利用去分母解一元一次方程 b 所以b一a=- 1.B2.C3.B 58 a(b-a)=-b, .3 a(a-b)=6b, 5.解：(1)去分母，得5y-1=14, 移项，得5y=15, 所以方程a(a-b)y+2=(b+2)y可化为y十 系数化为1，得y=3. (2)去分母，得2x+2=4x+1, 8=(6+). 移项、合并同类项，得一2x=一1， 1 系数化为1，得x=司 所以by+2=by+2y, 1 (3)去分母，得3(4x-3)=5(2x+1), 2=2y, 去括号，得12x-9=10x+5, 解得y=4. 225.2解一元一次方程 第1课时 利用合并同类项解一元一次方程（答案P20) 知识点2”利用合并同类项解一元一次方程的 应用 知识点1利用合并同类项解一元一次方程 5.某班有40位同学，在绿色种植活动中共植树 1.对于方程8x十6x一10x=8,合并同类项正确 101棵，已知女生每人植2棵，男生每人植 的是() 3棵，设女生有x人，则可列方程为( ) A.3x=8 B.4x=8 A.2x+3(101-x)=40 C.-4x=8 D.2x=8 B.2x+3(40-x)=101 2.若多项式a十5与2a一8互为相反数，则 C.3x+2(101-x)=40 a=( ) D.3x+2(40-x)=101 A.-1B.0 C.1 D.2 6.利用合并同类项解一元一次方程3x一x一2 3.解方程8x十9x一12x=11十3，合并同类 0,所得的解为 项可得 ,将未知数的系 7.教材121练习T2变式》甲、乙、丙三位爱心人 数化为1可得 士向某乡村小学捐赠图书，已知这三位爱心人 4.教材P121练习T1变式》用合并同类项的方法 士捐赠图书的册数之比是5：8：9，如果他们 解下列方程： 共捐了748册图书，那么这三位爱心人士各捐 (1)8x+6x=-28; 了多少册图书？ (2)-y-7y+4y=16; 易错三合并同类项时出现错误 (3)2x- 8利用合并同类项解方程：x一气+著3一名 2 4,所得的正确答案为( ) A.x=3 B.x=4 C.x=9 4 D.x=16 通能力 >>>>>>>>>>>2》>>>>>>>>>>>>>>>> (4) 9.如果x=m是关于x的方程)x一m=1的解 那么m的值是( ) A.0 B.2 C.-2 D.-6 一七年级·上册·数学，则河北专用 88 x-3z=5 10.方程-3 1的解为( 通素养 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 1 A.x=-3 B.x=- 16.模型观念》实践探究： 3 在数学实践课上，小明提出了这样的问题：分 C.x=3 nx号 数号可以写为小数形式，即0.3，反过来，无限 11.方程x+2x+3x+4x+5x+…+97x+ 98x+99x十100x=5050的解是() 循环小数0,3写成分数形式即为行：那么无 A.x=0B.x=1C.x=-1D.x=10 限循环小数0.7应怎样化为分数呢？ 12.若三个连续偶数的和为18，则它们的积 小明是这样思考的： 为() 在学习解一元一次方程时，当变形到ax=b A.216B.49 C.192 D.480 (a≠0)形式后，通过系数化为1，两边除以a, 13.一个三角形的三边长的比为3：4：5，最短的 边比最长的边短6cm,则这个三角形的周长为 得到方程的解工。，。就是分数形式。 a'a cm. 设0.7=x,即x=0.777…,又10x=7.77…, 14.王会计在记账时发现现金少了153.9元，查 这里x,0.777…,10x,7.77…存在着关系，根 账后得知是一笔支出款的小数点被看错了一 位，王会计查出这笔看错了的支出款实际是 据这一关系我就可以找到相等关系，列出 方程. 元. 15.教材P120例1变式》利用合并同类项解一元 请你阅读小明的思考过程，把无限循环小数 一次方程： 0.7,0.45,0.248化为分数的形式 (1)2x+3x=-3-7; 18 (3)45%x+75%x=5-1.2; ④g--2} =4÷4- 51 89 优计学案·课时通一 第2课时利用移项解一元一次方程（答案P21) 通基础 (3)3x+20=4x-25; >>>>>>>>>>>>>>>》>>>>>>>>>>> 知识点1利用移项解一元一次方程 1.下列变形属于移项的是() A.由5x-4=0,得-4+5x=0 B.由2x=-1,得x=一2 1 C.由4x+3=0,得4x=0-3 D由号-=5，得=5 (0*1=5 1 3. 2.下列方程变形中，移项正确的是() A.由x+3=6,得x=6+3 B.由2x=x+1,得x-2x=1 C.由-2y=12-y,得y-2y=12 D.由6十x=2,得x=6-2 3.解方程4x-2=3-x的步骤是() ①合并同类项，得5x=5;②移项，得4x十x= 3+2;③系数化为1，得x=1. 知识点2利用移项解一元一次方程的应用 A.①②③ B.③②① C.②①③ D.③①② 7.应用意识为了更有效地展开体育锻炼，某班 4.已知一元一次方程2x-1+5=0,则方程的解 将参加体育锻炼的同学进行分组，组数相同的 为 情况下，若每组8人，则余4人；若每组10人， 5.若关于x的一元一次方程ax+3=13与x十 则还缺6人.若设参加体育锻炼的有x人，则 5-7的解相同，则a的值是 下列所列方程正确的是() 6.运算能力》解下列方程： A.8x+4=10x-6B.8x-4=10x+6 (102-7=5+x: C n结。 10 8.用买10个大水杯的钱，可以买15个小水杯， 1个大水杯比1个小水杯多5元，求1个大水 杯和1个小水杯各是多少元.设1个小水杯 x元，则可列方程为 (2)5x+3=7x-9; 易错不理解移项的概念 9.解一元一次方程5x一2=6时，通过移项，得到 5x=6+2,这个过程相当于() A.方程两边加2 B.方程两边加一2 C.方程左边减2 D.方程右边加2 一七年级·上册·数学，则河北专用 90 通能力》%9%2>%%2>9> (2 324+ 4 3x; 10.A厂库存钢材100吨，每月用去15吨；B厂库 存钢材82吨，每月用去9吨.若经过x个月后， 两厂库存钢材相等，则x=() A.3 B.5 C.2 D.4 1 (3) 11.小芳在解一元一次方程●x一3=2x+9时， 22+11 23； 不小心将墨水滴在了作业本上，x前面的系 数看不清了，查看答案是x=一2，请帮小芳 算一算，●是() A.1B.3 C.4 D.-4 12.关于有理数a,b,规定运算※的意义是a※ (4)3x-1+5x=7x+2-3x. b=a十2b,则方程3x※x=2一x的 解是 13.(2024·沧州海兴月考)利用移项解方程： 3x-9=6x-1. 马小虎同学的解法如下： 移项，得3x十6.x=一1一9，① 通素第》沙999” 合并同类项，得9x=一10，② 15.推理能力利用方程解决问题： 系数化为1，得x=一9③ 相传有个人不讲究说话艺术，常引起误会，一 天他摆宴席请客，他看到还有几个人没来，就 (1)该同学的解法是否正确？哪里出现错误？ 自言自语：“怎么该来的还不来呢？”来了的客 为什么？ 人听了，心想难道我们是不该来的，于是有三 (2)如果该同学的解法错误，请写出正确的解 分之一的客人走了，他一看十分着急，又说： 题过程，并把所得的解进行检验. “不该走的倒走了！”剩下的人一听，是我们该 走啊！又有剩下的五分之三的人离开了，他 着急地一拍大腿，连说：“我说的不是他们.” 于是最后剩下的四个人也都告辞走了.聪明 的你能知道开始来了几位客人吗？ 14.运算能力》利用移项解下列方程： (1)4x-15=6x+6; 91 优计学案·课时通一 第3课时利用去括号解一元一次方程（答案P21) 通基础 (3)4x-2(x-1)=6-x; >2>>>>>>>>>>>>》>>>>>>>>>>>> 知识点1利用去括号解一元一次方程 1.方程3x一2(x-3)=5去括号变形正确的 是() A.3x-2x-3=5 (4)2(3x+4)-3(x-1)=3. B.3x-2x-6=5 C.3x-2x+3=5 D.3x-2x+6=5 2.方程3一2(x一5)=9的解是() 7若y=1是关Fy的方程宁8-m=50)一m A.x=-2B.x=2 cx-号 D.x=1 的解，则关于x的方程(3m一2)x十m一5=0 3.若式子2(x一2)与式子3(4x一1)+9的值相 的解是多少？ 等，则x的值为() A.1 B.-1C.0 D.2 4.解方程：4(x-1)-x=2(x十 ),步檗如下 ①去括号，得4x一4一x=2x十1. ②移项，得4x-x+2x=1十4. ③合并同类项，得5x=5. ④系数化为1，得x=1. 经检验，x=1不是原方程的解，在解题的四个 步骤中首先出错的步骤是() A.① B.② C.③ D.④ 知识点2去括号解方程在行程问题中的应用 5.(2024·保定定州月考)若代数式2(x一3)的 8.应用意识》一艘轮船从甲地顺水开往乙地，所 值与9一x的值互为相反数，x的值为 用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5h.已知 6.运算能力》利用去括号解方程： 船在静水中的速度为18km/h,水流速度为 (1)2(x-1)+1=0; 2km/h,则甲、乙两地之间的距离为() A.90 km B.120 km C.150 km D.160 km 9.(2024·石家庄平山期中)某地原有沙漠 108公顷，绿洲54公顷，为改善生态环境，防止 (2)9x+15-2(2x-3)=6; 沙化现象，当地政府实施了“沙漠变绿洲”工 程，要把部分沙漠改造为绿洲，使绿洲面积占 沙漠面积的80%，则沙漠改为绿洲面积 为 公顷 一七年级·上册·数学，则河北专用 易错区去括号时出现漏乘或符号等错误 (2)2-（1-x)=-5; 10.(2024·廊坊广阳区期末)在解方程2(x+ 1)十6x=一3(3x一1)时，下列去括号后所得 的结果中，正确的是() A.2x+2+6x=-9x+3 B.2x+1+6x=-9x+3 (3)5(x-1)-3=3(x+5); C.2x+2+6x=9x-3 D.2x+2+6x=-9x+1 通能力》>9999%9999 11.小虎在解关于x的方程1一x=一2(x一2a) (4)4x-3(20-x)=6x-7(9-x). 时，误将等号右边的“一2a”看成“+2a”,其他 解题过程均正确，从而解得方程的解为 x=一5，则原方程的解为() A.x=2B.x=3C.x=4D.x=5 12.若A=2x2-8x,B=x2+2x十1，则使A 0通素第》>2>>9>92>999>2 2B=一10的x的值是() A号B3 c号 n名 16.推理能力一艘巡逻船在一段河流中行驶，已 知顺水速度是逆水速度的2倍，它在静水中的 13.几何直观》如图所示，在数轴上，点A,B表 速度是40千米/时，一位航监员来电报告：“半 示的有理数分别是3x一6与4x一1，如果点 小时前，有一只有安全隐患的竹筏从你当前 A,B到原点的距离相等，则x的值 位置顺流而下，请快速拦截.” 为 (1)求水流速度. A B 0 (2)请问巡逻船能否在15分钟内完成任务？ a b 若不能，请说明理由；若能，需要多长时间才 14.现规定一种新的运算 =ad-bc,则当 c d 能追上竹筏，排除隐患？ 3 3 =9时，x= 2-x4 15.运算能力》解方程： (1)5(2y+1)=8y+7; 93 优计学案·课时通一 第4课时利用去分母解一元一次方程（答案P22) 通基础 >》>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> (3)4x-3_2z十1 5 3； 知识点1利用去分母解一元一次方程 1.解方程之一1 6 3-2-1 4 ,去分母时，方程两边 乘最简公分母() A.10 B.12 C.24 D.6 2把方程一号+兮-1去分母.下列变形正确 知识点2去分母解方程的应用 的是() 6.应用意识一列动车匀速行驶，完全经过一条 A.-3x+2x+2=1 长400米的隧道需要30秒的时间，隧道的顶 B.3x+2x+1=6 上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在动车上 C.-3x+2x+2=6 的时间是10秒，则动车的长为() D.3x+2(x+1)=-6 Ag米 B.133米 3.(2024·廊坊固安月考)下列是嘉淇同学解一 C.200米 D.400米 元次方器2“21号12伯过程 7.推理能力某船从A地顺流而下到达B地，然 解：去分母，得1+2(2x-1)=2-(1一2x),① 后逆流返回，到达A,B两地之间的C地，一共 去括号，得1+4x-2=2-1-2x,② 航行了7h.已知此船在静水中的速度为8km/h, 移项，得4x+2x=2-1一1+2，③ 水流速度为2km/h,A,C两地之间的路程为 合并同类项，得6x=2,④ 10km,求A,B两地之间的路程. 系数化为1，得=号 上述解法中，开始出现错误的是() A.① B.② C.③ D.④ 4一元一次方程5-之士2+1的解为x= 2 5.教材P129练习T1变式》利用去分母解方程： (1)5y17 63 易错去分母时出现漏乘的错误 8.(2024·衡水武邑月考)解方程工十1 2 (2)2x+24红+1 2x一-3=1去分母正确的是(） 6 3 3 A.(x十1)-(2x-3)=6 B.3(x+1)-(2x-3)=1 C.3(x+1)-(2x-3)=12 D.3(x+1)-(2x-3)=6 一七年级·上册·数学，则河北专用 94 通能力 >>>>>>>>>>>>>>5>>>2>> 通素养 >>>》>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 9.(2024·保定竞秀区期末)四名同学用接力的 12.创新意识》小东同学在解一元一次方程时， 方式解方程：3x1-1-4红-1，约定：每人只 发现这样一种特殊现象： 3 6 1 能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再 z十日0的解为x=分而一名日1： 将结果传递给下一人，最后求出方程的解.过 十0的部为x=一面-号2 2x+4 程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错 误的是( 于是，小东将这种类型的方程作如下定义： A.只有乙 甲同学 乙同学 若一个关于x的方程ax十b=0(a≠0)的解 B.甲和丁 23x-1)=6-(4x-1) 6x-2=6-4x-1 为x=b一a,则称之为“奇异方程”.请和小东 C.乙和丁 丁同学=斋 丙同学 一起进行以下探究： 6x+4x=6-1-2 D.乙和丙 (1)若a=一1，有符合要求的“奇异方程”吗？ 10.某书中一道方程题2+®x 若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由. 3 1=x,①处印刷 (2)若关于x的方程ax+b=0(a≠0)为“奇异 时被油墨盖住了，通过查答案知道这道题的解 方程”，解关于y的方程：a（a-b)y+2= 为x=一2.5，则①处的数为 11.阅读理解》一题多解是培养我们发散思维的 6+. 重要方法，方程“6(4x一3)+2(3一4x)= 3(4x一3)+5”可以有多种不同的解法，观察 此方程，假设4x一3=y. (1)原方程可变形为关于y的方 程： ,通过先求y的值，从 而可得x= (2)利用上述方法解方程：3(x-1D-专x- 1D=2x-1)-2x+1D. 1 95 优计学案·课时通