第5章5.1 方程-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（人教版2024）河北专用

第五章一元一次方程 大单元建构 方程的定义 方程的解 方程的概念 等式的性质1 解方程的 解方程 依据 等式的性质2 一元一次方程的定义 元 利用合并同类项解一元一次方程 方 产品配套问题 利用移项解一元一次方程 一元一次方 工程问题 程的解法 利用去括号解一元一次方程 销售中的盈亏问题 一元一次方 利用去分母解一元一次方程 程的应用 球赛积分表问题 分段计费问题 方案决策问题 +一≈本章核心素养 学科核心素养 具体内容 结合方程的概念、方程的解与解方程、等式的性质等概念，抽象出解一元一次方程的 抽象能力 方法，为利用方程的知识解决问题创造了条件. 利用等式的性质可以把方程进行变形，由此可以解一元一次方程或根据实际问题列 运算能力 出一元一次方程，并在解题过程中提高数学的运算能力. 利用一元一次方程的知识进行说理或解答，在解题过程中，提高数学的逻辑推理 推理能力 能力. 利用数形结合思想，解决一些与图形有关的实际问题，或把一些抽象的实际问题转化 几何直观 为图形之间的关系，由此提高几何直观能力. 在等式的性质、方程的解、利用一元一次方程解决实际问题的过程中，提高数学的应 应用意识 用意识与应用能力. 83 优计学案·课时通 5.1方程 5.1.1从算式到方程 第1课时从算式到方程（答案P19) 易错固不理解方程的概念 知识点1方程的概念 6.下列各式：①2x-1=5,②2x+3y-1 ③2+ 1.关于式子①2x=3和②1一3=一2，下列说法 3=5,④5m-1<10.其中，方程有() 正确的是( A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 A.①，②均是方程 通能力》>%>9992999 B.①是方程，②不是方程 C.①不是方程，②是方程 7.在“爱护环境，建我家乡”的活动中，七(1)班学 D.①，②均不是方程 生回收饮料瓶共10kg,其中男生回收的质量是 2.已知下列式子：①3一4=一1；②2x一5y;③1+ 女生回收质量的4倍，设女生回收饮料瓶xkg, 2x=0;④6x+4y=2;⑤3x2-2x+1=0.其中 根据题意可列方程为() 是等式的有 ,是方程 A.4(10-x)=x B.x千4x=1o 的有 C.4x=10+x D.4x=10-x 知识点2根据实际问题列方程 8.判断下列各式是不是方程，如果是，指出未知 3.甲数是2023，甲数比乙数的号多1.设乙数为 数；如果不是，说明理由， (1)3+5x-4x2; (2)2x-y=1; x,则可列方程为( A.4(.x-1)=2023 B.4x-1=2023 (3)1=1 2 (4)3x-11>0. Cx+1=2028 1 D.4(x+1)=2023 4.语句“x的3倍比y的大7”用方程表示 为 5.教材P113练习T1变式》根据下列条件列出 方程： 通素养》%9 ()某数的号与13的差的2倍等于1，求这 9.教材P113例1变式》在长方形ABCD中放入 个数 六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图 所示，求小长方形的宽AE.若AE=xcm,依 题意可得方程() (2)长方形的长比宽大5，周长为36，求长方形 A.6+2x=14-3x 的宽。 B.6+2x=x+(14-3x) 6 cn C.14-3x=6 14 cm D.6+2x=14-x 一七年级·上册·数学，则河北专用 84 第2课时 方程的解及一元一次方程（答案P19) 通基础 >2>>>>>>>>>>>>>》>>>>>>>>>>>> 易错固不理解一元一次方程的定义 7.若(m十2)xm-1=8是一元一次方程，则m的 知识点1方程的解 值为( 1.一元一次方程x一2=0的解是( A.4 B.±2 C.-2 D.2 A.x=2B.x=-2C.x=0 D.x=1 通能力 >>>>>>>>>>>>>>>》>》>>>>>>>>> 2.抽象能力已知x=2是关于x的方程3x+ a=0的解，则a的值是() 8.在下列方程：①3x-y=2,②x2-2x-3=0, A.-6B.-3 C.-4 D.-5 ③号1，@223-1，⑤号m-5-m,是 知识点2一元一次方程 一元一次方程的有() 3.下列方程：①3x二y=2:®x十③2步 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5;④x2-2x-3=0;⑤x+2-(x-3)=5.其 9.抽象能力》x=3是方程①3x=6;②2(x一 中是一元一次方程的有() 3)=0;③x-2=0;④x+3=5中 (填 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 序号)的解 4.如果方程(m一1)x十2=0是关于x的一元一 10.抽象能力》已知关于x的方程mx3一x"+2一 次方程，那么m的取值范围是() 2x3+1=0化简后是一元一次方程，求代数 A.m≠0 B.m≠1 式3m-n2的值. C.m=-1 D.m=0 5.(2024·石家庄行唐月考)已知方程4xm-1- 2=0是一元一次方程，则m= 通素养》沙999% 6.指出下列方程中的未知数是什么？方程的两 11.模型观念》在一次植树活动中，甲班植树的 边各是什么？并且判断它是否为一元一次 棵数比乙班多20%，乙班植树的棵数比甲班 方程？ 的一半多10棵.设乙班植树x棵。 (1)3=2x-1; (2)x+2y=7; (1)列两个不同的含x的式子，分别表示甲班 (3)x2+5x-1=5;(4)2x+3=元 1 植树的棵数。 (2)根据题意列出含未知数x的方程. (3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为 25棵和35棵. 85 优计学案·课时通一 5.1.2等式的性质（答案P19) 通基础 >>>>>>>>>>>>>>>》>>>>>>>>>>>>> 6.由2x一1=0得到x-2,可分两步，按步骤完 知识点1等式的性质 成下列填空： 1.若a=b,则下列变形正确的是( ) 第一步：根据等式的性质 ,等式两 A.2a=3b B.a+c=b-c 边 ,得到2x=1. C.2=6 第二步：根据等式的性质 ,等式两 a D.e2+1c2+1 1 边 ,得到x=2 2.若等式x=y可以变形为乙=义，则有( aa 7.如果(a2+1)x=b,可得x= ,依 A.a>0 B.a<0 据是等式的性质 在等式 C.a≠0 D.a为任意有理数 两边 3.下列对等武2-1=x的变形是根据等式 8.教材P117练习T2变式》利用等式的性质解 下列方程，并检验： 的性质2变形的是( ) (1)2x+4=10; (2)4x+7=3; A.2+1 =x+1 B.2x十1 -x=1 3 3 C. -x D.2x十1-3=3x 4.在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使 所得结果仍是等式，并说明依据的是等式的哪 一条性质以及是怎样变形的， (3)5-x=7; (4)2x+9=8. (1)如果- 那么x 依据 (2)如果一2x=2y,那么x= 依据 3)m果二x=4,那么x 依据 易错三不理解等式的性质 (4)如果x=3x+2,那么x一 2 9.(2024·唐山遵化月考)下列变形符合等式性 依据 质的是() 知识点2利用等式的性质解方程 A.若ac=bc,则a=b 1 5,要将等式一2x=1进行一次变形，得到x B.若2a-b=0,则2a=-b 一2，下列做法正确的是() C,若=，则a=b CC A.等式两边加2 B.等式两边乘2 C.等式两边除以一2D.等式两边乘一2 D.若3=6，则=2 一七年级·上册·数学，则河北专用 86 通能力》炒>999沙沙9999999》 15.应用意识》甲、乙两站相距275千米，一辆慢 车以每小时50千米的速度从甲站出发开往 10.已知等式3y+4=2x一2，依据等式的性质进 乙站.1小时后，一辆快车以每小时75千米的 行变形，可以得到的是() 速度从乙站开往甲站，那么快车开出后几小 A.2x=3y-6 B.3y=2x+6 时与慢车相遇？ C.x-8y+3 2 2 D.y=3x-3 11.设口，○，△分别表示三种不同的物体，如图 ①，②，③所示，前两架天平保持平衡，如果要 使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的 是() △QO AQqy gO？ 6 ① ② ③ 通素养》 △△△△ △△△△△ 16.创新意识对于有理数a,b,c,d,规定一种 A B 0 OO△ Q△△△ 新运算 1 =ad-bc,如 =1× C D c d 2-2 12.若3a+2b=1,且3a+2b一3c=0,则c的值 2-4 (-2)-0X2=-2.若 =25,求x 为 3-x5 13.若关于x的方程2x十2=一7的解与关于y 的值. 的方程4y=4a-8的解互为倒数，则a的值 为 14.(2023·保定莲池区月考)利用等式的性质解 下列方程： (1)4x+1=-5x+10; 2x21 : 8+ 14 =2x- 3 7 6 87 优计学案·课时通一2(mn+n+m)十3 (2)设长方形的宽为x,则长为(x十5)， 列方程为2(x十5十x)=36. 2X10+3=-2. 6.B7.D 8.解：(1)3+5x一4x2,不是等式，所以不是方程，是整 6 【变式训练4】解：(1) =5×8-(-2)×6= 式（或代数式等）. -28 (2)2x-y=1,是方程，未知数是x与y. 52. （3)=1,是方程，未知数是x. (2) 23m+2n -1m2-2n =2m2-4n+3m+2n=2m2+ (4)3x-11>0,不是等式，所以不是方程，是不等式. 3m-2n. 9.B解析：设AE为xcm,则AM为(14-3x)cm, 因为|m十3|+(n-1)2=0, 因为AN=MW,所以AN+6=x+MR,即6十 所以m=-3,n=1. 2x=x+(14-3x). 所以原式=18-9-2=7. 第2课时方程的解及一元一次方程 【通模拟】 1.A2.A 1.D2.D3.D 3.A解析：①含有两个未知数，不是一元一次方程； 4.3m2n3+3n2-5 5.解：(1)A=(2x-3)-(3x-5) ②上不是整式，不是一元一次方程：③是一元一次方 =2x-3-3x+5 程；④x的最高次数是2，不是一元一次方程；⑤方程 =-x十2. 变形后不含未知数，不是一元一次方程 (2)①因为2A+B=-x十6， 4.B5.2 所以B=-x+6-2A 6.解：(1)未知数是x,方程的左边是3，右边是2x一1， =-x+6-2(-x+2) 是一元一次方程. =一x+6+2x一4 (2)未知数是x,y,方程的左边是x十2y,右边是7. =x十2. 因为方程中有两个未知数，所以不是一元一次方程。 ②因为A+B=(-x+2)+(x+2)=4,是不含一次 (3)未知数是x,方程的左边是x2十5x一1，右边是 项的整式， 5,因为未知数的次数不都是1，所以不是一元一次 A一B=(一x十2)一(x十2)=一2x,是含有一次项 方程. 的整式. 所以A和B相加时是不含一次项的整式，结果是4. (4)未知数是x,方程的左边是2x十3，右边是】，因 6.解：(1)(4a+2b+6c)(2a+4b+6c) 为方程的右边不是整式，所以不是一元一次方程. (2)460440 7.D8.B9.② (3)乙种节省.理由如下： 10.解：因为关于x的方程mx3-x"+2-2x3+1=0 (4a+2b+6c)-(2a+4b+6c)=4a+2b+6c 化简后是一元一次方程， 2a-4b-6c=2a-2b. 所以m-2=0,n+2=1, 因为a>b>c, 解得m=2,n=-1, 所以2a-2b>0, 所以3m-n2=3×2-(-1)2=5. 所以(4a+2b+6c)一(2a+4b+6c)>0, 所以乙种方式节省. 11.解：(1)根据甲班植树的棵数比乙班多20%，得甲班 【通中考】 植树的棵数为(1十20%)x棵； 7.B8.D9.-510.3a2 根据乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵，得甲班 第五章一元一次方程 植树的棵数为2(x一10)棵. 5.1方程 (2)根据题意，得(1十20%)x=2(x一10). 5.1.1从算式到方程 (3)把x=25分别代入(2)中方程的左边和右边，得 第1课时从算式到方程 左边=右边，所以x=25是方程(1十20%)x= 1.B2.①③④⑤③④⑤ 2(x-10)的解. 3.C 所以乙班植树的棵数是25棵，甲班植树的棵数是 1 1 (1+20%)×25=30(棵)，而不是35棵. 4.3x=3y+7或3x-3y=7 5.1.2等式的性质 5.解：(1)设这个数为x, 1.D2.C3.D 1 4.(1)-2y等式的性质2，两边乘-10 列方程为2(5x-13)=1. (2)一y等式的性质2，两边除以一2 1.9 (3)6等式的性质2，两边乘号 两边加(3-x),得3x-3十3-x=x十7十3-x, 得2x=10, (4)3x等式的性质1，两边减3x 两边除以2，得x=5. 5.D 15.解：设快车开出后x小时与慢车相遇. b 6.】加12除以27a十12除以(a+1) 根据题意，得50(1十x)十75x=275, 变形，得50+125x=275. 8.解：(1)两边减4，得2x+4一4=10-4，即2x=6, 两边减50，得125x=225. 两边除以2，得x=3. 检验：当x=3时，左边=2×3+4=10，右边=10. 两边除以125，得红=号 因为左边=右边， 所以x=3是原方程的解。 答：快车开出后号小时与授车相遇。 (2)两边减7，得4x十7-7=3-7，即4x=-4. 2 -4 两边除以4，得x=一1. 16解：由题意，得 =2×5 3-x5 检验：当x=一1时，左边=4×（一1）+7=3，右 (-4)×(3-x)=25. 边=3. 整理，得22-4x=25. 因为左边=右边， 两边减22，得一4x=3. 所以x=一1是原方程的解. (3)两边减5，得5-x-5=7-5,即-x=2. 两边除以一4，得x=一3 41 两边乘-1，得x=一2. 5.2解一元一次方程 检验：当x=一2时，左边=5一（一2）=7，右边=7. 第1课时利用合并同类项解一元一次方程 因为左边=右边， 所以x=一2是原方程的解. 1.B2.C3.5x=14x=5 14 (4)两边减9，得2x十9-9=8-9，即2x=-1. 4.解：(1)合并同类项，得14x=-28. 两边除以2，得x=一2 系数化为1，得x=一2. (2)合并同类项，得一4y=16. 检验：当z=-号时，左边=2X(一）十9=8，有 系数化为1，得y=一4. 边=8. 《9)合并同类现得一子4- 因为左边=右边， 系数化为1，得x=-2. 所以工一一言是原方程的解， （④)合并同类项，得管-3. 9.C10.C11.A 系数化为1，得x=9. 2号13.9 5.B 6.x=1 14.解：(1)两边加(5x-1),得4x+1+5x-1= 7.解：设甲捐了5x册图书，则乙捐了8x册图书，丙捐 -5x+10+5x-1, 了9x册图书. 得9x=9, 根据题意，得5x+8x+9x=748. 两边除以9，得x=1. 合并同类项，得22x=748. (2)两边加(2-+)得名x-2+2-=十 I 系数化为1，得x=34. 则5x=170,8x=272,9x=306. 1 2-2x 答：甲捐了170册图书，乙捐了272册图书，丙捐了 得3x=2, 306册图书. 两边除以3，得x-名。 8.B9.C10.B11.B12.C 31 13.3614.17.1 (3)两边加(-号-2x),得4红+号-号 11 15.解：(1)合并同类项，得5x=-10, 系数化为1，得x=-2. 2x141 33 -2x, 11113 (2)-2)y=4-2+4, 得2x=-5, 11 两边除以2，得x=-2.5. 合并同类项，得2y=2, (4)两边乘6，得3x-3=x+7, 系数化为1，得y=1. 20