第3章3.1 列代数式表示数量关系-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（人教版2024）河北专用

第三章代数式 大单元建构 代数式本身表示的数量关系 根据题中的数量关系列代数式 代数式 列代 的意义 代数式表示的实际问题的意义 数式 根据实际问题中的数量关系列代数式 代数式 表示运算法则或运算律 已知代数式中有关字母的值求代数式的值 表示图形周长公式、面积公式或体积公式 用代数式表 求代数 根据公式求实际问题中代数式的值 示数或式 式的值 表示数、式或图形的变化规律 根据实际问题列代数式并求该代数式的值 本章核心素养 学科核心素养 具体内容 结合代数式的概念、代数式的意义与代数式的值的概念，抽象出用代数式表示数或式 抽象能力 的方法，并用符号和数学表达式表示上述方法，为利用本章知识解决问题创造了 条件 借助用代数式表示数的方法、解释代数式的意义、求代数式的值等计算，解决一些与 运算能力 代数式有关的知识，并在解题过程中提高运算能力，发展符号意识 在根据实际问题列代数式、求代数式的值等解题过程中，提高数学的逻辑推理能力， 推理能力 提高发现问题和解决问题的能力。 在利用代数式表示图形周长、图形面积和图形体积时，提高认识图形、分析图形和转 几何直观 化图形的能力，增强几何直观。 在根据实际问题列代数式、求实际问题中代数式的值的解题过程中，提高数学的应用 应用意识 意识与应用能力. 55 优计学案·课时通 3.1列代数式表示数量关系 第1课时代数式的意义（答案P12) 通基佣》9>> 通能力 >>》>》>>>>>>>>>>>>y>>>>>> 知识点1用字母表示数的书写方法 5.教材P71练习T2变式》指出下列代数式的意 1.下列式子符合书写要求的是() 义，再说出一个实际问题中的实例： 号 (1)8ab; B.-1×k C.2x÷y D.a×10% 知识点2用字母表示文字中的数量关系 (2)5(a+3); 2.下列对式子a一6的描述，正确的是( A.a与b的相反数的差 (3)a2+b2; B.a与b的差的倒数 C.a与b的倒数的差 D.a的相反数与b的差的倒数 (4)3a+26 5 知识点3代数式的意义 3.教材P71练习T2变式》下列用语言叙述代数 式！-10表示的数量关系，不正确的是( 通素第》>222%> A.比x的倒数小10的数 6.推理能力连续的偶数相加，加数的个数(n) B.比x的倒数大10的数 与和(s)的情况如下： C.x的倒数与10的差 加数的个数/n 和/s D.1除以x的商与10的差 1 2=1×2 易错适不能正确解释代数式的意义 2 2+4=6=2X3 4.分析下列赋予4a实际意义的例子，其中错误 3 2+4+6=12=3×4 的是() 4 2+4+6+8=20=4×5 A.若葡萄的价格是4元/千克，则4a表示买 5 2+4+6+8+10=30=5×6 a千克该种葡萄的金额 (1)加数的个数n为6时，和s为 B.若a表示一个正方形的边长，则4a表示这 (2)请用公式表示：从2开始，n个连续偶数相 个正方形的周长 加，它们的和s与n的关系. C.汽车行驶速度是a千米/时，则4a表示这辆 汽车4小时行驶的路程 D.若一个两位数的十位数字是4，个位数字是 a,则4a表示这个两位数 一七年级·上册·数学，则河北专用 56 第2课时 列代数式表示数量关系（答案P12) 通基础 >>>>>>>>>>>>>>>>》>>>>>>>>>> 通能力 >>>》>》>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 知识点1根据文字信息列代数式 8.抽象能力》长方形窗户上的装饰物如图所示， 1.(2024·河北模拟)“4与x的平方的积”可用 它是由半径均为b的两个四分之一圆组成，则 代数式表示为() 能射进阳光部分的面积是( A.4x B.4x2 C.16x D.16.x2 2.(2024·石家庄平山月考)“一5与x的积”可 以用含x的代数式表示为 知识点2根据代数型问题列代数式 3.抽象能力若某两位数的个位上的数为a,十 A.2a2-πb2 4.2a-0 位上的数为b,则此两位数可表示为() C.2ab-πb9 A.a+bB.ba C.106+a D.10a+6 D.2a6-70 4.某公司在销售一种智能机器人时发现，每月可 9.(2024·沧州海兴期末)超市出售某商品，先在 售出200个，当每个降价1元时，每月可多销 原标价a的基础上提价20%，再打八折，则该 售出6个，如果每个降价x元，那么每月可售 商品现在的售价为( 出机器人( A.0.2×1.2a B.0.2X0.8a A.6x个 B.(1+6x)个 C.0.8×1.2a D.0.8X0.8a C.(200+6x)个 D.194个 10.某书店出售图书的同时，推出一项租书业务， 每租看1本书，租期不超过4天，每天租金 知识点3根据图形型问题列代数式 m元；租期超过4天，从第五天开始每天租金 5.教材P73练习T4变式》如图所示，在下列四个 收n元，如果租看一本书9天归还，那么租 式子中，不能表示阴影部 x 金为 元. 分面积的是( 11.模型观念》如图所示，有一块长为acm,宽为 A.3(x+2)+x2 bcm的长方形硬纸片，四角各截去一个边长 B.x(x+3)+6 为xcm的正方形，折起来做成一个没有盖的 C.x2+5 盒子，请你用关于a,b,x的代数式表示盒子 D.(x+3)(x+2)-2x 的容积. 6.圆是一种常见的图形，如果用字母r表示圆的 半径，则圆的周长用关于x的代数式表示 为 ,圆的面积用关于x的代数式表示 为 a cm 易错固列代数式时忽略实际问题的意义 7.买一个篮球需要m元，买一个排球需要n元， 则买3个篮球和5个排球共需要( ) A.8mn元 B.15mn元 C.(3m+5n)元 D.(5m+3n)元 57 优计学案·课时通 第3课时用代数式表示正比例关系与反比例关系（答案P12) 通基仙 (3)△ABC的面积与AD是正比例关系吗？ >3>》>>>>>5>>>>>》>5>2>2>>> 为什么？ 知识点1”用代数式表示正比例关系 1.在下面各组变量的关系中，成正比例关系的 是() D A.人的身高与年龄 B.汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 C.正方形的面积与它的边长 D.圆的周长与它的半径 2.(2024·沧州新华区期末)圆柱体的底面积一 定，它的体积和高 (选填“成”或“不成”) 正比例关系 3.已知A,B两地相距30千米，小明以6千米/时 的速度从A地步行到B地，走过的路程为 知识点2用代数式表示反比例关系 y(千米)，步行的时间为x(小时)： 5.学科融合》阿基米德说：“给我一个支点，我就 (1)y与x之间的关系是正比例关系吗？为 能撬动整个地球.”这句话精辟地阐明了一个 什么？ 重要的物理学知识一杠杆原理，即“阻力× (2)用关于y,x的式子表示y与x之间的 阻力臂=动力×动力臂”.张师傅欲用撬棍撬 关系。 动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为900N (3)小明出发3小时后，走过的路程是多少？ 和1m. (1)动力F与动力臂1之间的关系是反比例关 系吗？为什么？ (2)用关于F,L的式子表示动力F与动力臂1 之间的关系 4.几何直观如图所示，△ABC的底边BC的长 是12cm,BC边上的高为AD,当顶点A在射 线DA上由点D向上移动时，三角形的面积将 发生变化， (1)当AD=5cm时，求△ABC的面积， (2)设AD=xcm,请你用关于x的代数式表 示△ABC的面积， 一七年级·上册·数学：则河北专用 58 易错三没有彻底理解正比例或反比例的概念 (4)请你推测，9时的水位是多少？ 6.设圆的半径为r(cm),圆的面积为S(cm2),圆 的面积公式可表示为S=πx2,则下列说法正 确的是( ) A.S与r成正比例 B.S与r成反比例 C.S与r2成正比例 D.S与r2成反比例 通能力> >>3>>>>>>>>>>>>>>>>>>>y 7.学科融合》在一项科学实验中，研究人员对不 通素养> >>》>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 同形状的物体进行了压力测试，这些物体的质 9.推理能力》小明的爸爸的手机话费套餐为包 量相同，但形状各异.研究人员将这些物体放 月129元，超出部分国内拨打电话0.15元/ 置在水平的测试平台上，并记录了测试平台受 分.由于业务多，他打电话已超出了包月费.下 到的压强p(单位：Pa)与受力面积S(单位： 表是超出部分国内拨打的收费标准， m)之间的关系，结果如表所示. 时间/分 1 2 3 4 桌面所受压强p/Pa 50 100 200 400 电话费/元0.150.300.450.600.75 … 受力面积S/m 2 1 0.5 0.25 (1)这个表反映了哪两个量之间的关系？它们 根据表中的数据，用代数式表示桌面所受压强 之间是什么关系？ p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系 (2)如果用x表示国内拨打超出时间，y表示 国内拨打超出部分的电话费，请你用代数式表 为 示y与x的关系， 8.教材P75练习T3变式受暴雨袭击，某河流的 (3)如果国内拨打电话超出10分钟，需多付多 水位持续升高，某天水文检测人员每隔2小时 少元电话费？ 观测一次该河流的水位上涨情况，水位上涨记 (4)某次超出部分国内拨打电话的费用是 录如下表(0时的水位为3米)： 5.4元，那么小明的爸爸国内拨打电话超出几 时间t/小时 0 2 4 6 8 10 分钟？ 水位上涨h/米 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 时间t/小时 12 14 16 18 20 22 水位上涨h/米 0.6 0.7 0.80.9 1.1 (1)观察表中数据，8时的水位是 米，当水 位是3.6米时，当时的时间是时 (2)上表表示的是哪两个量之间的关系？这两 个量是正比例关系吗？为什么？ (3)用关于h与t的代数式表示h与t的关系， 优计学案·课时通综合与实践进位制的认识与探究 第2课时列代数式表示数量关系 1.B解析：由题意知，(110111)2=1×25+1×24+1.B2.-5x 0×23+1×22+1×2+1=55, 3.C4.C5.C 则二进制的(110111)2等于十进制的数55. 6.2πrπr2 2.A解析：由题意可得楔形文字记数7（门， 7.C8.D9.C 表示十进制的数为1×602+10×60+3=1×3 10.(4m+5n) 600+600+3=3600+600+3=4203. 11.解：这块硬纸片折成盒子后，盒子的形状为长方体， 3.21解析：由题意得10101=1×24+0×23+1× 且长方体的底面是一个长为a-2x、宽为b一2x的 22+0×21+1=21. 长方形，盒子的高度为x, 4.(1)13a0)1189)(2)1 所以盒子的容积为：x(a一2x)(b-2x)cm3. 第3课时用代数式表示正比例关系与反比例关系 解析：(1)因为158)=1×81+5=13， 1.D2.成 所以15(8)=1310· 3.解：(1)y与x之间的关系是正比例关系.理由如下： 因为98÷92=1…17,17÷91=1…8， 因为小明以6千米/时的速度从A地步行到B地， 所以98(10)=118(9) 所以小明走过的路程与所用时间的比值不变，总等 (2)2x(9)=2×9+x=25, 于6千米/时，则y与x之间的关系是正比例关系. 25÷82=3…1, (2)y与x之间的关系为y=6x. 所以y=1. (3)因为6×3=18（千米）， 5.解：(1)(1010) 所以小明出发3小时后，走过的路程是18千米 (2)设这个二进制数为x, 4.解：(1)根据三角形面积公式，得△ABC的面积为： 因为3对应的二进制为11. 2×12×5=30(cm) 所以11+x=111, 所以x=100. (2)根据三角形面积公式，得△ABC的面积为：了× 第三章代数式 3.1列代数式表示数量关系 12Xx=6x. 第1课时代数式的意义 (3)△ABC的面积与AD是正比例关系，因为 △ABC的面积与AD的比值总为6. 1.A2.C3.B4.D 5.解：(1)8ab的意义是a,b乘积的8倍；举例：每台收 5.解：(1)动力F与动力臂1之间的关系是反比例关 割机每小时收割b亩小麦，则8台收割机工作a小 系.理由如下： 因为动力F与动力臂！的乘积是一个定值， 时收割小麦8ab亩. 所以动力F与动力臂1是反比例关系. (2)5(a十3)的意义是a与3的和的5倍；举例：小美 (2)因为900×1=900， 每分钟行走a米，小丽每分钟比小美多行走3米，则 所以动力F与动力臂l之间的关系为F=900. 小丽行走5分钟走过的路程为5(a十3)米， (3)a2+b2的意义是a,b的平方的和； 6.C7.p=。 举例：甲正方形的边长为a厘米，乙正方形的边长为8.解：(1)3.412 b厘米，则两个正方形的面积之和为(a2十b2)平方 (2)上表表示的是水位上涨h(米)与时间t(小时)两 厘米. 个量之间的关系，这两个量是正比例关系.理由 （4)3+2b的意义是a的3倍与6的2倍的和除以 如下： 5 观察表中数据可知，每经过1小时，水位上涨0.05米， 5的商；举例：甲种糖果每千克a元，乙种糖果每千 所以水位上涨h(米)与时间t(小时)成正比例关系. 克b元，则3千克甲种糖果与2千克乙种糖果混合 (3)因为每经过1小时，水位上涨0.05米， 后平均每千克“十2的元 所以h与t的关系为h=0.05t. (4)因为h=0.05×9=0.45,所以9时的水位是3+ 6.解：(1)42 0.45=3.45(米). (2)由题意，得 9.解：(1)反映了超出时间与超出部分的电话费之间的 当n=1时，s=1×2; 关系， 当n=2时，s=2×3; 因为超出部分的电话费与超出时间的比值保持 当n=3时，s=3×4; 不变， 当n=4时，s=4X5;…； 所以超出部分的电话费与超出时间成正比例关系。 所以s与n的关系为s=n(n+1)(n为正整数). (2)因为超出部分国内拨打话费为0.15元/分， 12 所以用式子表示y与x的关系为y=0.15x. 周长为6a十πa十πa=6×5+π×5+π×5=(10π十 (3)当x=10时，y=0.15×10=1.5, 30)cm; 所以国内拨打电话超出10分钟，需多付1.5元电 1 1 话费. 面积为4a2-xa2+2a2=4X52-πX52+2r× (4)当y=5.4时，解方程0.15x=5.4, 52=100-25元+ 25 得x=36. 2x=(100-12.5π)cm2. 所以小明的爸爸国内拨打电话超出36分钟， 3.2代数式的值 6解：(1)阴影部分面积为。+-名0-号×4a十0 第1课时代数式的值 1 1.C2.C3.D =a2+4-2a2-2a-8 4.28 =2a2-2a+8. 1 5.解：(1)当x=1,y=3时，(x+y)2=(1+3)2=16. (2)当x=1,y=3时，x2+2xy+y2=12+2×1× (2)当a=3时， 3+32=16. S影=2a2-2a+8=2×32-2X3+8=6.5. 1 1 (3)通过计算，可以发现，(x十y)2与x2十2xy十y2 的值相等 7.解：（1)根据题意，得2ab一πa2=(2ab一πa2)平 比如，当x=3,y=4时，(x十y)2=(3+4)2=49, 方米， x2+2xy十y2=32+2×3×4+42=49,即(x+y)2 所以种草的面积为(2ab-πa2)平方米. 与x2+2xy十y2的值相等. (2)当a=10,b=35时，种草的面积为 6.D7.B8.A 2ab-元a2=2×10×35-3.14×102 9.-26 =2×10×35-3.14×100 10.解：(1)114 =700-314=386(平方米). (2)2x的值每增加1时，3x十8的值就增加3 8.解：(1)S“图"字图案=S正方形一2S三角形一S长方形= (3)由题意得，符合条件的代数式为一5x+6. 102-2X 2xy-xy=100-2xy. 第2课时用代数式表示公式 1.A (2)当x=3,y=2时， 2.解：(1)根据题意，阴影部分的面积为：202一4x2= S“周"字图案=100-2×3×2=100-12=88. 400-4x2. 9.解：(1)观察图形，得窗户面积为(4ab+2西')cm)。 (2)当x=3时，S=400-4×32=364(cm2). 3.解：(1)由已知得h=1.7m, (2)将a=1006=80代人4a6+2动中，得窗户的 代入s2=1.7h中，得s2=1.72, 所以s=1.7(km). 面积为 答：当眼睛离海平面的高度是1.7m时，能看到 4×100×80+2 ×π802=(32000+3200π)(cm2). 1.7km远. (2)由已知此时看到的最远距离是5×1.7= 数学活动 1.B 8.5km, 代入s2=1.7h中，得8.52=1.7h,解得h=42.5. 2.3n-1 3.解：他们分别表示梅花Q、黑桃K、方片A、红桃3. 观望台离海平面的高度：42.5一1.6=40.9(m). 答：观望台离海平面的高度为40.9m. 4.D解析：由图可知：后一个图形比前一个图形多 4.解：(1)根据长方形与圆的面积公式，得阴影部分的 2个图形，所以第n个图形有：3十(n-1)×2= (2n十1)张黑色正方形纸片， 面积为6-a-()月 所以第⑧个图中黑色正方形纸片的张数为2X8十 (2)当a=4,b=8时， 1=17. 阴影部分的面积为4×8-4π一2π=32一6π. 5.C解析：第1个图案中圆点的个数为2=12+1；第 2个图案中圆点的个数为5=22+1；第3个图案中 5解：(1D周长为2a×3+x×2X2a+号x×2u= 圆点的个数为10=32十1；…；所以第n个图案中圆 (6a+πa十πa)cm; 点的个数为n2+1.当n=9时，n2+1=82. 面积为2a)-子x×(a+分X。=(4u-m+ 6.8888488888887 7.解：(1)41（4n+1) 2a2)cm2. 1 (2)当4n+1=2025时， 解得n=506. (2)当a=5时， 所以第506个图形中有2025根火柴 13