15.3.1等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十五章 轴对称 15.3.3.1 等腰三角形的性质 八年级上 1.经历探索等腰三角形的性质的过程，掌握等腰三角形的性质. 2.会运用等腰三角形的性质解决几何问题. 学习目标 建筑工人在盖房子时，将一块如图所示的等腰三角板ABC的底边BC与房梁重合放置，并在BC的中点D处系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板的顶点A，就说明房梁是水平的. 你知道为什么吗？ 新课引入 探究 1.把一张长方形的纸按图中的虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？ 剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC中AB=AC，所以△ABC是等腰三角形. 新知学习 2.把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角. 重合的线段 重合的角 AB 与 AC BD 与 CD AD 与 AD ∠B 与∠C ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说出你的猜想. 新知学习 猜想 1：等腰三角形的两个底角相等. 猜想 2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合. 试着证明这2个猜想. 新知学习 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，求证：∠B =∠C. A B C 在△BAD和△CAD中， AB = AC， BD = CD， AD = AD， ∴△BAD≌△CAD (SSS)， ∴∠B =∠C，∠BAD =∠CAD，∠ADB =∠ADC=90° ， ∴AD⊥BC. D 方法一：作底边的中线 证明：作底边BC的中线 AD，则BD=CD， 新知学习 方法二：作顶角的平分线 在△BAD和△CAD中， AB = AC， ∠BAD =∠CAD， AD = AD， ∴△BAD ≌△CAD (SAS)， ∴∠B =∠C，∠BAD =∠CAD ，∠ADB =∠ADC=90° ， ∴AD⊥BC. A B C D 证明：作顶角∠BAC的平分线 AD， 新知学习 方法三：作底边上的高 在 Rt△BAD 和 Rt△CAD 中， AB = AC ， AD = AD ， ∴△BAD≌△CAD (HL)， ∴∠B =∠C ，∠BAD =∠CAD，∠ADB =∠ADC=90° ， ∴AD⊥BC. A B C D 证明：作底边BC 上的高 AD. 新知学习 归纳总结 等腰三角形的性质 ： 等腰三角形的两个底角相等 ( 简写成：等边对等角 ) . 符号语言： 如图，在△ABC中， ∵AB = AC， ∴∠B =∠C (等边对等角). A B C 新知学习 归纳总结 等腰三角形的性质 ： 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 ( 简写成“三线合一” ). A B C D 符号语言 1： 如图，在△ABC中， ∵AB = AC，AD⊥BC， ∴BD = CD，∠BAD =∠CAD ( 三线合一 ). 新知学习 符号语言 3： 如图，在△ABC中， ∵AB = AC，∠BAD=∠CAD， ∴AD⊥BC，BD = CD ( 三线合一 ). 符号语言2： 如图，在△ABC中， ∵AB = AC，BD = CD， ∴AD⊥BC，∠BAD = ∠CAD( 三线合一) . A B C D 等腰三角形是轴对称图形吗？ 新知学习 从以上证明也可以得出，沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线 (顶角的平分线、底边上的高) 所在直线就是它的对称轴. 归纳总结 新知学习 ∠∠ 问题解决 建筑工人在盖房子时，将一块如图所示的等腰三角板ABC的底边BC与房梁重合放置，并在BC的中点D处系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板的顶点A，就说明房梁是水平的. 你知道为什么吗？ 悬挂在D点的重物，绳子受重力作用会自然下垂至竖直方向. ∵△ABC是等腰三角形，D是BC的中点， ∴AD⊥BC(“三线合一”) . 若房梁BC水平，则DA方向与重力方向一致(竖直)，因此绳子会恰好经过顶点A. 新知学习 例 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，BD = BC = AD. 求△ABC 各角的度数. 解：∵AB = AC，BD = BC = AD， ∴∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD（等边对等角）. 设∠A = x，则∠BDC =∠A +∠ABD = 2x， 从而∠ABC =∠C =∠BDC = 2x， 于是在△ABC 中，有 ∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°. 解得 x = 36°. 所以，在△ABC 中，∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°. 新知学习 变式 在△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交的锐角为 50°，则底角的大小为 . 70°或 20° 分析：当题目未给定等腰三角形的形状时，一般需考虑锐角三角形、钝角三角形、直角三角形三种情况. 新知学习 1.(2024兰州)如图，在 △ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则 ∠ADB＝(　　) A. 100° B. 115° C. 130° D. 145° B 2.(2024云南)已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为(　　) A. B. 2 C. 3 D. C 随堂练习 3.(补充证明过程)如图，已知△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，∠DBC=∠BAC.求证：AC⊥BD．请将下面的证明过程补充完整，并在相应的括号内注明理由． 证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点F． AB＝AC，AE⊥BC．∴∠CAE=___________　 　 ∵∠DBC=∠BAC，(已知) ∴∠CAE＝∠DBC (____________ ) 又∵∠1＝∠2，∠ADF＝180°﹣∠2﹣_________ ， ∠BEF＝180°﹣∠1﹣_________ ∴AC⊥BD (____________ )． ∠BAC 等量代换 ∠CAE ∠DBC 垂直定义 随堂练习 4.如图，在△ABC 中，AB = AC，AD ⊥ BC ， BE⊥ AC ，AD、BE相交于点 H，且AE = BE，求证：AH = 2BD. 分析：运用等腰三角形“三线合一”，得 BC=2BD，只需证明△AHE≌△BCE . 随堂练习 证明：∵AB = AC，AD ⊥ BC，BE⊥ AC， ∴BC = 2BD.(等腰三角形“三线合一”) ∠ADC = 90°，∠AEH =∠BEC = 90°， ∴∠HAE +∠C = 90°，∠CBE +∠C = 90°，∴∠HAE =∠CBE . 在△AHE 和△BCE 中， ∠HAE =∠CBE， AE = BE， ∠AEH =∠BEC， ∴△AHE≌△BCE(ASA). ∴AH = BC. 又∵BC = 2BD，∴AH = 2BD. 随堂练习 等腰三角形的两个底角相等 (简写成：等边对等角). 等腰三角形 的性质 性质1 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”). 性质2 ∟ 课堂小结 $