17.1 用提公因式法分解因式-第1课时提公因式（一） 课件 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

17.1.1 提公因式(一) 第十七章 因式分解 八年级上 1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系. 2.理解并掌握提公因式法并并能简单运用提公因式法分解因式. 学习目标 回顾 (1)求36和48的最大公因数； (2)求16，24和36最小公倍数. 解：(1)∵36=2×2×3×3，48=2×2×2×2×3 ∴33和42的最大公因数是2×2×3=12； (2)∵16=2×2×2×2，24=2×2×2×3， 36=2×2×3×3， ∴16，24，36的最小公倍数是2×2×2×2×3×3=144 思考 上述求最大公因式和最小公倍数的过程有什么共同点？ 都需要把整数分解成几个因数的乘积. 类似于整数的分解，你能将整式分解成几个因式的乘积吗？一起来看看吧！ 新课引入 问题 1. 如图，你能用不同的方式表示以下拼图的总面积吗？ m m m ___________ = _________ ma+mb+mc m(a+b+c) m 即 ma+mb+mc = m(a+b+c) 新知学习 x+1 x x x 1 _________________ = _______________ x2+x+x+1 (x+1)(x+1) 即 x2+2x+1 = (x+1)(x+1) 问题 2. 观察下面拼图过程，写出相应的关系式. 新知学习 ma+mb+mc = m(a+b+c) x2+2x+1 = (x+1)(x+1) 等式左边都是多项式！ 等式右边都是整式乘积的形式！ 没错，这几个式子的变形都是从多项式到整式乘积的过程. 思考 这两个式子的变形有什么特点？ 新知学习 多项式 整式的积 因式分解 探究 请把下列多项式写成整式的乘积的形式. x2＋x = x(x+1) x2-1 = x2＋2x+1 = (x+1)(x-1) (x+1)2 整式乘法 新知学习 像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即 归纳总结 注意： 1. 等式的左边必须是多项式； 2. 分解的结果要以积的形式表示. pa+ pb+ pc p(a+b+c) 因式分解 整式乘法 新知学习 pa+ pb+ pc=p(a+b+c) 公共的因式p 问题 观察下列多项式，它们有什么共同特点？ x2 ＋ x=x(x+1) 公共的因式 x 若多项式的各项都有一个公共的因式，我们把这个因式叫作这个多项式各项的公因式. 新知学习 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. (a + b + c) pa + pb + pc p = 归纳总结 新知学习 例1 分解因式： (1) mx2 ＋ my2； (2) 3x2 -4xy2＋x. 解：(1) mx2 ＋ my2 =m(x2＋y2)； (2) 3x2-4xy2＋x =x·3x-x·4y2＋x·1 =x(3x-4y2＋1). 对于(2)，将x提出后，括号内的第三项为1. 新知学习 思考 因式分解与整式乘法有什么关系？ 因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式，即互逆运算. 整式乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，特征是积化和差； 因式分解是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，特征是和差化积. 因式分解 整式乘法 积化和差 和差化积 新知学习 1.下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(　　) A．a2＋1＝a(a＋ )　　　　　　 B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y) D 不是整式 不是和差化积 结果不是积的形式 随堂练习 2.(1)(2024江西)因式分解：a2+2a =________. (2) -a+ab-ac = . a(a+2) a(-1+b-c) 将a提出后，括号内的第一项为-1. 随堂练习 解：原式=0.11×(17+37+46) =0.11×100 =11； 解：原式=(-2)100 ×(-2+1) =2100 ×(-1) =-2100. 3.简便计算： (1) 17×0.11+37×0.11+46×0.11; (2) (-2)101+(-2)100. 随堂练习 解：∵19992+1999 =1999×(1999+1) =1999×2000； ∴ 19992+1999 能被1999整除；也能被2000整除. 解：∵16.9× +15.1× =(16.9+15.1)× =32× =4 ∴ 16.9× +15.1× 能被4整除. (2)16.9× +15.1× 能被4整除吗？ 4.(1)19992+1999 能被1999整除吗？能被2000整除吗？ 随堂练习 解：由题意得，x-y=26， ∵x2-xy=x(x-y), ∴26x=1040， 解得x=40， ∴y=40-x=40-26=14. 答：父亲和儿子今年分别是40岁，14岁. 5.父亲今年x岁，儿子今年y岁，父亲比儿子大26岁，并且x2-xy=1040，请你求出父亲和儿子今年各多少岁？ 随堂练习 因式分解 概念 与整式乘 法的关系 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫作因式分解，也可称为分解因式. pa+ pb+ pc=p(a+b+c) 因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式，即互逆运算. pa+ pb+ pc p(a+b+c) 因式分解 整式乘法 提公因式法 课堂小结 $