2025-2026学年北师大版（2024）数学七年级上册期中模拟试卷

2025-2026学年北师大版七年级数学上册期中模拟试卷 一．选择题（共10小题） 1．2024的相反数是（　　） A．﹣2024 B．2024 C． D． 2．如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是（　　） A． B． C． D． 3．2025年投入乡村振兴资金为1250亿元，将“1250亿”用科学记数法表示为（　　） A．12.5×1010 B．1.25×1011 C．1.25×1012 D．0.125×1012 4．下列运算正确的是（　　） A．5m+n＝5mn B．4m﹣n＝3 C．3m2+2m3＝5m5 D．﹣m2n+2m2n＝m2n 5．一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（　　） A．B代表 B．A代表 C．C代表 D．B代表 6．下列说法正确的是（　　） A．的系数是 B．6a2bc与bca2不是同类项 C．32a2b2+a4bc的次数是7 D．3x﹣6x2+5是二次三项式 7．若单项式﹣am+1b6与2a3b2n是同类项，则mn的值为（　　） A．6 B．8 C．9 D．27 8．已知代数式x+2y的值是﹣3，则代数式2x+4y+1的值是（　　） A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3 9．若|x|＝3，|y|＝1且|x﹣y|＝x﹣y，则2x+y＝（　　） A．5或7 B．﹣7或﹣5 C．﹣7或5 D．﹣5或7 10．将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，…，按此规律，则第⑧个图中棋子的颗数是（　　） A．32 B．52 C．67 D．84 二．填空题（共6小题） 11．硬币在桌面上快速地转动时，看上去像球，这种生活现象可以反映的数学原理是 　 　 ． 12．比较大小： 　 　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 13．下列各数：π、﹣2.1、﹣5、3、0，﹣|﹣5|，其中非负整数的个数是　 　 个． 14．已知a，b非零且互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为3，则的值为　 　 ． 15．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为12，我们发现第1次输出的结果为6，第2次输出的结果为3，……，则第2024次输出的结果为　 　 ． 16．如图，数轴上点A、B、C表示的数分别为4、2、1，点O为原点，若点M从点A出发以每秒1个单位的速度向右运动，点N从点B出发以每秒3个单位的速度向右运动，点R从点C出发以每秒2个单位的速度向右运动，点M、N、R同时出发，设运动的时间为t秒，t的值为 　 　 时，点N到点M、R的距离相等． 三．解答题（共9小题） 17．计算： （1）（﹣21）﹣（﹣7）+|﹣5|； （2）； （3）； （4）． 18．如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体 （1）用粗实线画出该几何体的从正面看、从左面看、从上面看到的形状图； （2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和从左面看的形状图不变，那么最多可以再添加　 　 块小立方块． 19．先化简，再求值：2x2﹣[2xy﹣3y2+2（x2+xy）]，其中|x+1|+（y﹣2）2＝0． 20．小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ﹣2，+5，﹣1，+8，﹣3，﹣2，﹣4，+7． （注：向西记作“﹣”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： （1）小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ （2）公司规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 21．用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝ab2+2ab+a．如：1*3＝1×32+2×1×3+1＝16． （1）求（﹣2）*3的值； （2）若，求a的值． 22．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． （1）判断a﹣b　 　 0，a﹣c　 　 0，b﹣c　 　 0； （2）化简|a﹣b|+|a﹣c|﹣|b﹣c|． 23．观察下列两位数的综合算式： 11×10﹣（1+1）＝108，12×10﹣（1+2）＝117，23×10﹣（2+3）＝225， 35×10﹣（3+5）＝342，84×10﹣（8+4）＝828，91×10﹣（9+1）＝900，… （1）请另外写出一个符合上述规律的式子：　 　 ； （2）运算结果一定是　 　 的倍数（填符合条件的最大整数），设十位数字为a，个位数为b，请用字母表示上述观察到的规律式子　 　 ，并运用整式的运算解释上述观察到的规律； （3）三位数是否有类似的结论？若有，请用字母表示出来；若没有，请举例说明．（只写答案即可） 24．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，m3表示立方米）：例：若某户居民1月份用水8m3，应收水费为2×6+4×（8﹣6）＝20（元）．请根据表中的内容解答下列问题： 每月用水量 单价 不超出6m3的部分 2元/m3 超出6m3不超出10m3的部分 4元/m3 超出10m3的部分 8元/m3 （1）填空：若该户居民2月份用水4m3，则应收水费　 　 元； （2）若该户居民3月份用水am3（其中6＜a＜10），则应收水费多少元？（用含a的代数式表示，并化简） （3）若该户居民4，5两个月共用水15m3（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水xm3，求该户居民4，5两个月共交水费多少元？（用含x的表示，并化简） 25．阅读下面材料： 在数轴上5与﹣2所对的两点之间的距离：|5﹣（﹣2）|＝7； 在数轴上﹣2与3所对的两点之间的距离：|﹣2﹣3|＝5； 在数轴上﹣8与﹣5所对的两点之间的距离：|（﹣8）﹣（﹣5）|＝3； 在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|． 回答下列问题： （1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　 　 ；数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为　 　 ；数轴上表示数　 　 和　 　 的两点之间的距离表示为|x+2|； （2）七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子|x+2|+|x﹣3|进行探究： ①请你借助数轴，当表示数x的点在﹣2与3之间移动时，求|x﹣3|+|x+2|的值； ②要使|x﹣3|+|x+2|＝7，请你求出数轴上表示点的数x的值． 2025-2026学年北师大版七年级数学上册期中模拟试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D B D B B A C 一．选择题（共10小题） 1．2024的相反数是（　　） A．﹣2024 B．2024 C． D． 【分析】根据相反数的定义即可求得答案． 【解答】解：2024的相反数是﹣2024， 故选：A． 【点评】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据旋转体的定义，直角梯形绕它的一腰（与两底垂直的一边）旋转一周形成圆台，可得答案． 【解答】解：如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是圆台． 故选：C． 【点评】本题主要考查了点、线、面、体，熟练掌握立体图形的特征是解决本题的关键． 3．2025年投入乡村振兴资金为1250亿元，将“1250亿”用科学记数法表示为（　　） A．12.5×1010 B．1.25×1011 C．1.25×1012 D．0.125×1012 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1250亿＝125000000000＝1.25×1011． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．下列运算正确的是（　　） A．5m+n＝5mn B．4m﹣n＝3 C．3m2+2m3＝5m5 D．﹣m2n+2m2n＝m2n 【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：A、5m+n≠5mn，故A错误； B、4m﹣n≠3，故B错误； C、3m2+2m3≠5m5，故C错误； D、﹣m2n+2m2n＝m2n，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型． 5．一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（　　） A．B代表 B．A代表 C．C代表 D．B代表 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， A与点数是1的对面，B与点数是2的对面，C与点数是4的对面， ∵骰子相对两面的点数之和为7， ∴A代表的点数是6，B代表的点数是5，C代表的点数是3． 故选：B． 【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体是空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 6．下列说法正确的是（　　） A．的系数是 B．6a2bc与bca2不是同类项 C．32a2b2+a4bc的次数是7 D．3x﹣6x2+5是二次三项式 【分析】根据单项式的系数的定义判断选项A，根据同类项的定义判断选项B，根据多项式的项、次数的定义判断选项C、D． 【解答】解：A、的系数是，故此选项不符合题意； B、6a2bc与bca2是同类项，故此选项不符合题意； C、32a2b2+a4bc的次数是6，故此选项不符合题意； D、3x﹣6x2+5是二次三项式，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了同类项，单项式，多项式，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 7．若单项式﹣am+1b6与2a3b2n是同类项，则mn的值为（　　） A．6 B．8 C．9 D．27 【分析】先根据同类项的定义求出m与n的值，再代入进行计算即可． 【解答】解：∵单项式﹣am+1b6与2a3b2n是同类项， ∴m+1＝3，2n＝6， ∴m＝2，n＝3， ∴mn＝23＝8． 故选：B． 【点评】本题考查同类项、有理数的乘方，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 8．已知代数式x+2y的值是﹣3，则代数式2x+4y+1的值是（　　） A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3 【分析】先根据已知条件得出x+2y＝﹣3，再将所求代数式提取公因数2，最后把x+2y的值代入计算即可． 【解答】解：∵x+2y＝﹣3， ∴2x+4y+1 ＝2（x+2y）+1 ＝2×（﹣3）+1 ＝﹣6+1 ＝﹣5． 故选：B． 【点评】本题考查了代数式求值，掌握整体代入的方法是解决问题的关键． 9．若|x|＝3，|y|＝1且|x﹣y|＝x﹣y，则2x+y＝（　　） A．5或7 B．﹣7或﹣5 C．﹣7或5 D．﹣5或7 【分析】根据绝对值的性质求出x、y的值，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可． 【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝1， ∴x＝±3，y＝±1， ∵|x﹣y|＝x﹣y， ∴x﹣y≥0， ∴x＝3，y＝±1， ∴2x+y＝2×3+1＝7， 或2x+y＝2×3﹣1＝5． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的加法，绝对值的性质，是基础题．判断出x、y的对应情况是解题的关键． 10．将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，…，按此规律，则第⑧个图中棋子的颗数是（　　） A．32 B．52 C．67 D．84 【分析】根据图形的变换规律，即可得到第n个图形中，棋子数量为2（n+1）+（n﹣1）2＝n2+3，据此求得第⑧个图形中共有棋子的颗数． 【解答】解：第①个图形中，棋子数量为4＝2×2+02； 第②个图形中，棋子数量为7＝2×3+12； 第③个图形中，棋子数量为12＝2×4+22； 以此类推， 第n个图形中，棋子数量为2（n+1）+（n﹣1）2＝n2+3； ∵当n＝8时，n2+3＝67， ∴第⑧个图形中共有棋子的颗数是67， 故选：C． 【点评】此题考查图形的变化规律问题，需要找出图形之间的联系，得出运算规律．解决问题的关键是得到第n个图形中，棋子数量为2（n+1）+（n﹣1）2＝n2+3． 二．填空题（共6小题） 11．硬币在桌面上快速地转动时，看上去像球，这种生活现象可以反映的数学原理是 　面动成体　 ． 【分析】解题的关键是掌握点、线、面、体之间的相互关系，即可． 【解答】解：硬币在桌面上快速地转动时，看上去像球，这种生活现象可以反映的数学原理是面动成体， 故答案为：面动成体． 【点评】本题考查点、线、面、体的知识，正确理解面动成体是解决问题的关键． 12．比较大小： 　＜　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 【分析】求出两个负数的绝对值，再比较大小． 【解答】解：∵||，||； ∴． 故答案为：＜． 【点评】本题考查了有理数大小比较，知道“两个负数，绝对值大的反而小”是解题的关键． 13．下列各数：π、﹣2.1、﹣5、3、0，﹣|﹣5|，其中非负整数的个数是　2　 个． 【分析】非负整数是指大于等于0的整数，根据概念找出所以的正整数和0即可． 【解答】解：π、﹣2.1、﹣5、3、0，﹣|﹣5|，其中非负整数是3，0，共计2个， 故答案为：2． 【点评】本题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的分类． 14．已知a，b非零且互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为3，则的值为　﹣4　 ． 【分析】根据题意得到a+b＝0，，cd＝1，x2＝9，进而代值求解即可． 【解答】解：由题意得，a+b＝0，cd＝1，|x|＝3， ∴，x2＝9， ∴ ＝0﹣1﹣3 ＝﹣4， 故答案为：﹣4． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，涉及到相反数、倒数、绝对值，熟练掌握有理数混合运算的法则是解题的关键． 15．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为12，我们发现第1次输出的结果为6，第2次输出的结果为3，……，则第2024次输出的结果为　3　 ． 【分析】本题主要要考查程序框图与代数式求值，关键在于根据每次输出的结果总结出规律．根据运算程序可推出第三次输出的结果为6，第四次输出的结果为3，第五次输出的结果为6，第六次输出的结果为3，……，依此类推，即可推出第偶数次输出的为3，第奇数次输出的为6，可得第2024次输出的结果为3． 【解答】解：由题知， 当输入的x的值为12时， 第1次输出的结果为6， 第2次输出的结果为3， 第3次输出的结果为6， 第4次输出的结果为3， 第5次输出的结果为6， …… 第偶数次输出的结果为3，第奇数次输出的为结果6， 故第2024次输出的结果为3； 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了数字变化的规律、有理数的混合运算及代数式求值，能通过计算发现从第1次输出的结果开始按6，3循环是解题的关键． 16．如图，数轴上点A、B、C表示的数分别为4、2、1，点O为原点，若点M从点A出发以每秒1个单位的速度向右运动，点N从点B出发以每秒3个单位的速度向右运动，点R从点C出发以每秒2个单位的速度向右运动，点M、N、R同时出发，设运动的时间为t秒，t的值为 　或3　 时，点N到点M、R的距离相等． 【分析】根据题意求得M表示的数为4+t，N表示的数为2+3t，R表示的数为1+2t，故MN＝|4+t﹣（2+3t）|＝|2﹣2t|，NR＝2+3t﹣（1+2t）＝1+t，从而|2﹣2t|＝1+t，即可解得答案． 【解答】解：M表示的数为4+t，N表示的数为2+3t，R表示的数为1+2t， ∴MN＝|4+t﹣（2+3t）|＝|2﹣2t|，NR＝2+3t﹣（1+2t）＝1+t， ∵点N到点M、R的距离相等， ∴|2﹣2t|＝1+t， 即2﹣2t＝1+t或2﹣2t＝﹣1﹣t， 解得t或t＝3； 故答案为：或3． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示M，N，R表示的数． 三．解答题（共9小题） 17．计算： （1）（﹣21）﹣（﹣7）+|﹣5|； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）利用有理数的加减运算法则求解即可； （2）利用有理数的加减混合运算，结合运算律简便运算即可； （3）利用乘法分配律简便运算即可； （4）根据先乘方、再乘除，最后加减运算的顺序求解即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣21+7+5 ＝﹣21+12 ＝﹣9； （2）原式 ＝3﹣2 ＝1； （3）原式 ＝﹣18﹣4+12 ＝﹣22+12 ＝﹣10； （4）原式＝﹣1﹣3+25×2 ＝﹣4+50 ＝46． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序，正确求解是解答的关键． 18．如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体 （1）用粗实线画出该几何体的从正面看、从左面看、从上面看到的形状图； （2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和从左面看的形状图不变，那么最多可以再添加　4　 块小立方块． 【分析】（1）确定从正面看、从上面看和从左面看的图形的层数和列数，以及对应位置的分布情况，再画出对应的图形即可； （2）从正面看和从左面看的形状图不变，从前往后，第一排第一层可以再添加2块小立方块，第二排可以添加2块小立方块，第三排不能添加，从而可得总的添加数，据此可得答案． 【解答】解：（1）从正面看、从左面看、从上面看视图如下： （2）从正面看和从左面看的形状图不变， 从前往后，第一排第一层的第二、三列（从左往右）可以各添加一个；第二排第一层的第三列可以添加1块，第二层的第三列可以添加1块，总共可以添加2块小立方块；故总共可以添加4块小立方块． 故答案为：4． 【点评】本题考查了从不同方向看几何体，画出三视图是关键． 19．先化简，再求值：2x2﹣[2xy﹣3y2+2（x2+xy）]，其中|x+1|+（y﹣2）2＝0． 【分析】将原式去括号，合并同类项，再根据绝对值及偶次幂的非负性求得x，y的值后代入化简结果中计算即可． 【解答】解：原式＝2x2﹣2xy+3y2﹣2（x2+xy） ＝2x2﹣2xy+3y2﹣2x2﹣2xy ＝3y2﹣4xy； ∵|x+1|+（y﹣2）2＝0， ∴x+1＝0，y﹣2＝0， 解得：x＝﹣1，y＝2， 原式＝3×22﹣4×（﹣1）×2＝12+8＝20． 【点评】本题考查整式的加减﹣化简求值，绝对值及偶次幂的非负性，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 20．小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ﹣2，+5，﹣1，+8，﹣3，﹣2，﹣4，+7． （注：向西记作“﹣”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： （1）小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ （2）公司规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 【分析】（1）根据有理数的加法，把相反意义的行程理数相加求和，根据正数在东，负数在西方可得答案； （2）判断出大于3千米与小于3千米的，根据收费标准列式求解即可得到答案； 【解答】解：（1）﹣2+5+（﹣1）+8+（﹣3）+（﹣2）+（﹣4）+7＝8＞0， 答：他此时在出发地A处东边，距A处8千米； （2）只有+5，+8，﹣4，+7四次大于3千米， 分别超过：2千米，5千米，1千米，4千米， 费用为：8×10+（2+5+1+4）×2 ＝80+12×2 ＝104（元）， 答：小王师傅接送8次乘客共收车费104元． 【点评】本题考查正负数的意义，有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算是解题的关键． 21．用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝ab2+2ab+a．如：1*3＝1×32+2×1×3+1＝16． （1）求（﹣2）*3的值； （2）若，求a的值． 【分析】（1）按规定的运算法则计算即可； （2）按规定的运算法则求出，即可得到4（a+1）＝12，从而可求得a． 【解答】解：（1）∵a*b＝ab2+2ab+a， ∴（﹣2）*3 ＝（﹣2）×32+2×（﹣2）×3+（﹣2） ＝﹣32； （2）∵（a+1）*3 ＝（a+1）×32+2（a+1）×3+（a+1） ＝16（a+1）， ∴（a+1）*3*（） ＝[16（a+1）]*（） ＝4（a+1）， ∵， ∴4（a+1）＝12， 解得：a＝2． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，理解新运算法则是解题的关键． 22．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． （1）判断a﹣b　＜　 0，a﹣c　＞　 0，b﹣c　＞　 0； （2）化简|a﹣b|+|a﹣c|﹣|b﹣c|． 【分析】（1）由图可得：c＜a＜0＜b，得a﹣c＞0，a﹣b＜0，b﹣c＞0，从而解决此题． （2）由（1）得：a﹣c＞0，a﹣b＜0，b﹣c＞0．根据绝对值的定义，得|a﹣c|＝a﹣c，|a﹣b|＝b﹣a，|b﹣c|＝b﹣c，从而解决此题． 【解答】解：（1）由图可得：c＜a＜0＜b． ∴a﹣c＞0，a﹣b＜0，b﹣c＞0． 故答案为：＜，＞，＞． （2）由（1）得：a﹣c＞0，a﹣b＜0，b﹣c＞0， ∴|a﹣c|＝a﹣c，|a﹣b|＝b﹣a，|b﹣c|＝b﹣c， ∴|a﹣b|+|a﹣c|﹣|b﹣c| ＝b﹣a+a﹣c+c﹣b ＝0． 【点评】本题主要考查数轴，绝对值、整式的加减运算，熟练掌握实数的大小关系、绝对值的定义、整式的加减运算法则是解决本题的关键． 23．观察下列两位数的综合算式： 11×10﹣（1+1）＝108，12×10﹣（1+2）＝117，23×10﹣（2+3）＝225， 35×10﹣（3+5）＝342，84×10﹣（8+4）＝828，91×10﹣（9+1）＝900，… （1）请另外写出一个符合上述规律的式子：　45×10﹣（4+5）＝441　 ； （2）运算结果一定是　9　 的倍数（填符合条件的最大整数），设十位数字为a，个位数为b，请用字母表示上述观察到的规律式子　（10a+b）×10﹣（a+b）＝9（11a+b）　 ，并运用整式的运算解释上述观察到的规律； （3）三位数是否有类似的结论？若有，请用字母表示出来；若没有，请举例说明．（只写答案即可） 【分析】（1）仿照所给的等式，写出符合条件的等式即可； （2）通过观察可得（10a+b）×10﹣（a+b）＝9（11a+b），进而可得运算结果是9的倍数，可利用整式的加减运算进行证明即可； （3）仿照两位数的情况，写出三位数类似的结论即可，利用整式的加减运算进行证明即可． 【解答】解：（1）由题意得：45×10﹣（4+5）＝441， 故答案为：45×10﹣（4+5）＝441（答案不唯一）； （2）运算结果一定是9的倍数， ∵11×10﹣（1+1）＝9×（11×1+1）＝108， 12×10﹣（1+2）＝9×（11×1+2）＝117， 23×10﹣（2+3）＝9×（11×2+3）＝225， …， ∴用字母表示上述观察到的规律为：（10a+b）×10﹣（a+b）＝9（11a+b）， ∴运算结果一定是9的倍数； 证明：（10a+b）×10﹣（a+b） ＝100a+10b﹣a﹣b ＝99a+9b ＝9（11a+b）； （3）有；（100a+10b+c）×10﹣（a+b+c）＝9（111a+11b+c）． 【点评】本题考查数字的变化规律，整式的加减运算，通过观察所给的等式，探索出一般规律是解题的关键． 24．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，m3表示立方米）：例：若某户居民1月份用水8m3，应收水费为2×6+4×（8﹣6）＝20（元）．请根据表中的内容解答下列问题： 每月用水量 单价 不超出6m3的部分 2元/m3 超出6m3不超出10m3的部分 4元/m3 超出10m3的部分 8元/m3 （1）填空：若该户居民2月份用水4m3，则应收水费　8　 元； （2）若该户居民3月份用水am3（其中6＜a＜10），则应收水费多少元？（用含a的代数式表示，并化简） （3）若该户居民4，5两个月共用水15m3（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水xm3，求该户居民4，5两个月共交水费多少元？（用含x的表示，并化简） 【分析】（1）由于4m3＜6m3，按照2元/m3的水费计算水费即可； （2）分两段计算水费：6m3的水按照2元/m3计算水费，余下按照4元/m3水费计算水费，再相加并化简即可； （3）因为5月份用水量超过了4月份，所以4月份用水量少于7.5m3．由于不具体知道4月份的用水量，故分三种情况考虑：①当4月份用水量少于5m3时；②当4月份用水量大于或等于5m3但不超过6m3时；③当4月份用水量超过6m3但少于7.5m3时；再按照分段计费的计算方法计算即可． 【解答】解：（1）4×2＝8（元）． 故答案为：8． （2）6×2+4（a﹣6）＝（4a﹣12）元； 答：该户居民3月份用水am3（其中6＜a＜10），则应收水费（4a﹣12）元． （3）15÷2＝7.5（m3）， 因为5月份用水量超过了4月份，所以4月份用水量少于7.5m3， ①当4月份用水量少于5m3时，则5月份用水量超过10m3， 所以4，5两个月共交水费＝2x+6×2+4×4+8（15﹣x﹣10）＝（68﹣6x）元； ②当4月份用水量大于或等于5m3但不超过6m3时，则5月份用水量不少于9m3但不超过10m3， 所以4、5两个月共交水费＝2x+6×2+4（15﹣x﹣6）＝（48﹣2x）元； ③当4月份用水量超过6m3但少于7.5m3时，则5月份用水量超过7.5m3但少于9m3， 所以4，5两个月共交水费＝4（x﹣6）+6×2+4（15﹣x﹣6）+6×2＝36（元）． 【点评】本题考查了列代数式，这是分段计费问题，理解题意，注意分类讨论是解题的关键． 25．阅读下面材料： 在数轴上5与﹣2所对的两点之间的距离：|5﹣（﹣2）|＝7； 在数轴上﹣2与3所对的两点之间的距离：|﹣2﹣3|＝5； 在数轴上﹣8与﹣5所对的两点之间的距离：|（﹣8）﹣（﹣5）|＝3； 在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|． 回答下列问题： （1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　3　 ；数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为　|x﹣3|　 ；数轴上表示数x 和　﹣2　 的两点之间的距离表示为|x+2|； （2）七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子|x+2|+|x﹣3|进行探究： ①请你借助数轴，当表示数x的点在﹣2与3之间移动时，求|x﹣3|+|x+2|的值； ②要使|x﹣3|+|x+2|＝7，请你求出数轴上表示点的数x的值． 【分析】（1）利用距离公式，计算即可； （2）①根据绝对值的意义化简计算即可； ②分x＞3，x＜﹣2，﹣2≤x≤3，求解即可． 【解答】解：（1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|（﹣2）﹣（﹣5）|＝3； 数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为|x﹣3|； 数轴上表示数x和﹣2的两点之间的距离表示为|x+2|， 故答案为：3，|x﹣3|，x，﹣2． （2）①∵﹣2≤x≤3， ∴|x﹣3|+|x+2|＝3﹣x+x+2＝5． ②当x＞3时，|x﹣3|+|x+2|＝x﹣3+x+2＝2x﹣1， ∵|x﹣3|+|x+2|＝7， ∴2x﹣1＝7， 解得x＝4，符合题意； 当x＜﹣2时，|x﹣3|+|x+2|＝3﹣x﹣x﹣2＝1﹣2x， ∵|x﹣3|+|x+2|＝7， ∴1﹣2x＝7， 解得x＝﹣3，符合题意； 当﹣2≤x≤3时，|x﹣3|+|x+2|＝3﹣x+x+2＝5， ∵|x﹣3|+|x+2|＝7， ∴矛盾，不成立， 故x＝4或x＝﹣3． 【点评】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的化简，熟练掌握掌握距离公式，正确理解绝对值的特点和意义是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/2 15:55:58；用户：张思雨；邮箱：18366661343；学号：24445058 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $