专题3 二次函数的图象和性质-2025-2026学年人教版九年级数学上册期中考试专题复习

专题3 二次函数的图象和性质 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线的对称轴是直线(    ) A. B. C. D. 2.一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为     A. B. C. D. 3.已知函数的图象上有，，三点，则的大小关系(    ) A. B. C. D. 4.把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是(    ) A. B. C. D. 5.关于二次函数，下列说法正确的是(    ) A. 图象与y轴的交点坐标为 B. 图象的对称轴在y轴的右侧 C. 当时，y的值随x值的增大而减小 D. y的最小值为 6.函数与的图象可能是     A. B. C. D. 7.平面上有一个图形G与图形外一点，当时，的坐标为，当时，的坐标为，若点在图形G上，则称是“点P与图形G的联系点”，设抛物线C：为常数顶点为E，点E关于x轴的对称点为F，若抛物线上存在点是点F与图形C的联系点，则所有可能的m的和为     A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8.如图，四边形ABCD中，已知，AB与CD之间的距离为4，，，，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是     A. B. C. D. 9.在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论： ①； ②； ③； ④为实数； ⑤ 其中错误结论的个数有(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10.请写出一个开口向下，且经过点的抛物线的表达式为          . 11.把二次函数的图像向上平移3个单位，再向左平移2个单位，可得抛物线的表达式为          . 12.二次函数的最大值是          . 13.已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是          . 14.如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于E，F两点.当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为          . 15.抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是           三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题8分 如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和，与y轴交于点 求k，b，a的值; 求的面积. 17.本小题8分 已知抛物线经过点 用含a的代数式表示b； 当抛物线与x轴交于点时，求此时a的值； 设抛物线与x轴两交点之间的距离为当时，求a的取值范围． 18.本小题8分 已知抛物线， 直接写出该抛物线与x轴的交点坐标为___________. 求该抛物线的顶点坐标； 画出它的图象； 若在抛物线上，且，直接写出m的取值范围是___________. 19.本小题8分 已知抛物线为常数，且有最低点． 求二次函数的最小值用含a的式子表示； 将抛物线向右平移a个单位得到抛物线经过探究发现，随着a的变化，抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 记所求的函数图象为H，抛物线与H交于点P，设点P的纵坐标为n，结合图象，求n的取值范围． 20.本小题8分 对于平面直角坐标系xOy中第一象限内的点和图形W，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形W中的任意一点满足且，则称四边形PMON是图形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例：已知，，则点为线段AB的一个覆盖的特征点． 已知点， ①在，，中，是的覆盖特征点的为____； ②若在一次函数的图象上存在的覆盖的特征点，求m的取值范围． 以点为圆心，半径为1作圆，在抛物线上存在的覆盖的特征点，直接写出a的取值范围____. 21.本小题8分 抛物线与x轴交于、，与y轴交于点 求抛物线的表达式； 如图1，M为抛物线对称轴l上一动点，连接MA、MC，求的最小值及此时M点的坐标； 如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，点，P为抛物线上一动点，Q为抛物线对称轴l上一动点，以点E、F、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出所有可能的点Q的坐标． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解： ， 对称轴是直线 故选： 把二次函数解析式配方成顶点式的形式，然后即可写出对称轴． 本题考查了二次函数的性质，配方成顶点式是解题的关键，也可以利用对称轴公式直接求解． 2.【答案】C  【解析】解：抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， ， 顶点为， 抛物线解析式为 故选： 3.【答案】B  【解析】解：， 该函数开口向下，对称轴为直线， 该函数图象上有、、三点，， ， 故选： 根据二次函数的性质可以判断、、的大小关系，从而可以解答本题． 本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 4.【答案】C  【解析】解：将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到函数解析式是： 故选： 按照“左加右减，上加下减”的规律进行解题． 此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 5.【答案】D  【解析】【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【解答】解：当时，，所以图像与y轴的交点坐标为，A错; ，对称轴为直线，B错; 当时，y的值随x值的增大而增大，C错; 二次函数的图像开口向上，有最小值，D正确. 故选 6.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查二次函数的图像与一次函数的图像.分别分析a和b的值，即可得出答案. 【解答】 解：由抛物线开口向上得到，由直线经过一、二、三象限，得，，，所以A选项错误； B.由抛物线开口向上得到，而由直线经过第一、二、四象限得到，，所以B选项正确； C.由抛物线开口向下得到，而由直线经过第一、二、四象限得到，，，所以C选项错误； D.由抛物线开口向下得到，则直线经过第二、三、四象限，得到，，所以D选项错误． 故选 7.【答案】B  【解析】【分析】根据抛物线的表达式可知  ，可得  ，当  时，  的坐标为  ，当  时，  的坐标为  ，分别求出 m 的值，再求出 m 的和即可． 【详解】解：抛物线 C ：   m 为常数顶点为 E ，   ， 点 E 关于 x 轴的对称点为 F ，   ， 当  时，  的坐标为  ，当  时，  的坐标为  ， 当  的坐标为  时，则  ，  ， 此时，  ，解得  舍，  ， 当  的坐标为  时，则  ，  ， 此时，  ，解得  ，  ， 所有可能的 m 的和为  ， 故选： 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，以及新概念的理解，正确理解题目意思，写出  点的坐标是解答本题的关键． 8.【答案】B  【解析】【分析】分点 Q 在线段 AD 上，点 Q 在线段 CD 上，点 Q 在线段 BC 上，三种情况讨论，由三角形面积公式可求解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作  于E，过点C作  于F，   ，  ，  ， 四边形 DEFC 是矩形，   ，   ，  ，   ，   ，   ，   ，   ，  ， 当点 Q 在线段 AD 上，则  ，   ，  ，   ，   ，   ，即  ，   ，   ； 当点 Q 在线段 CD 上，则  ，  ； 当点 Q 在线段 BC 上，则  ，   ，  ，   ，   ，  ，   ，   ，   ． 故选： 【点睛】本题考查了动点问题的函数图形，三角形的面积公式，求出各段的函数关系式是解题的关键． 9.【答案】A  【解析】解：①由抛物线可知：，， 对称轴， ， ，故①正确； ②由对称轴可知：， ， 时，， ， ，故②正确； ③关于的对称点为， 时，，故③正确； ④当时，y的最小值为， 时，， ， 即，故④错误； ⑤抛物线与x轴有两个交点， ， 即， ，故⑤正确； 故选： 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 10.【答案】答案不唯一  【解析】【分析】可以把点  作为抛物线的顶点，根据开口向下可知二次项系数取一个负数即可． 【详解】解：写出一个开口向下，且经过点  的抛物线的表达式为  ， 故答案为：  答案不唯一 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 11.【答案】  【解析】【分析】根据二次函数图像平移的规律“上加下减，左加右减”即可写出平移后二次函数的解析式． 【详解】解：抛物线  的图像向上平移3个单位后的解析式为：  再将  向左平移2个单位后的解析式为：  ． 故答案为：  ． 【点睛】本题考查二次函数图像的平移．掌握二次函数图像平移的规律是解答本题的关键． 12.【答案】7  【解析】【分析】 本题考查二次函数的最值，掌握二次函数最值的求解方法是解题关键，先将二次函数化为顶点式，然后再确定最值即可. 【解答】  解：因为，且， 所以当时，y取最大值，且最大值为 13.【答案】  【解析】略 14.【答案】  【解析】解：把点的坐标代入， 得， 解得， 设点C的横坐标为m，则， 点E坐标为 点E在抛物线上， ，解得舍去或 ， 故答案为： 15.【答案】①③  【解析】【分析】先根据函数开口向下判断a的负号，再根据函数与y轴的交点判断c的符号，即可判断①；根据函数的顶点和点B即可确定函数经过点  ，即可判断②；根据函数的对称轴即可得出a、b之间的等量关系，根据  即可的出a、c之间的关系，最后将  代入函数表达式即可得出结论；④根据二次函数与一元二次方程之间的关系即可进行解答． 【详解】解：①函数开口向下，   ， 函数图像与y轴交于正半轴，   ，   ，故①正确； ②顶点为  ， 函数对称轴为直线：  ， 函数经过点  ， 函数经过点  ， 当  时，  ， 故②不正确； ③函数对称轴为直线：  ，   ，即：  ， 由②可知：  ，故  ， 当  时，  ， 函数经过点  ，   ，即  ， 故③正确； ④若此抛物线经过点  ，则  一定是方程  的一个根， 故④不正确； 综上：正确的有①③； 故答案为：①③． 16.【答案】解：把点的坐标代入²中，得， 二次函数是 把点的坐标代入中，得， 把和的坐标分别代入中， 得解得 ，， 由知，令， 则， ， ，   【解析】此题考查待定系数法求求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，正确利用函数图象上的点解决问题． 首先把点代入二次函数得出a，再把点代入二次函数解析式得出m，进一步把A、B代入一次函数即可求得k，b的值； 利用一次函数求得点C坐标，把的面积分为与的面积和即可． 17.【答案】解：把  代入  得：  ， 整理得：  ； 解：把  代入  得：  ，   ，   ，   ； 解：由知，  ，   ， 令  ，即  ，   ，   ，  ，   ，   ，   ，   ，   ，   ．   【解析】【分析】把  代入抛物线解析式，整理后可得答案； 把  代入抛物线解析式可得  ，然后根据中结论进行计算即可； 令  ，求出  ，  ，然后根据  得出含绝对值的不等式，解不等式可得答案． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，解不等式等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 18.【答案】 ，  ； 解：  ， 该抛物线的顶点坐标为  ； 解：列表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 函数图象如图：   ．   【解析】【分析】根据交点式可直接得出与x轴的交点坐标； 将交点式化为顶点式可得答案； 先列表，然后画出函数图象即可； 根据函数图象可得点  和  是抛物线上的对称点，且横坐标之差为2，进而可得答案． 【详解】解：抛物线  ， 该抛物线与x轴的交点坐标为  ，  ， 故答案为：  ，  ； 见答案； 见答案； 解：由函数图象得，点  和  是抛物线上的对称点，且横坐标之差为2， 若  在抛物线上，且  ，则m的取值范围是  ， 故答案为：  ． 19.【答案】【小题1】 解：，抛物线有最低点， 抛物线开口向上，二次函数的最小值为； 【小题2】 抛物线， 平移后的抛物线，， 抛物线顶点坐标为， ，， ， 即，变形得， ，， ， 与x的函数关系式为； 【小题3】 如图，函数图象为射线， 时，；时，， 函数H的图象过点， 抛物线， 时，；时，， 抛物线G恒过点， 由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则， 点P纵坐标的取值范围为   【解析】  抛物线有最低点即开口向上，，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．   写出抛物线的顶点式，根据平移规律即得到抛物线的顶点式，进而得到抛物线顶点坐标，即，，即消去a，得到y与x的函数关系式．再由，即求得x的取值范围．   求出抛物线恒过点，函数H图象恒过点，由图象可知两图象交点P应在点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间． 20.【答案】①  ，  ；②  且  ．   或  ．   【解析】【分析】①根据覆盖的定义线段 AB 坐标中横坐标的最大值，与纵坐标的最大值即可判断； ②先找覆盖的特征点，将特征点代入函数，求出m的值，结合图像即可求出范围； 圆中点的横坐标最大值为4，纵坐标的最大值为5，则  为覆盖的特征点，当  时，代入抛物线  得，  ，结合图像得  ，  ，在直线  的右侧y随x的增大而增大，总存在  的点，即存在覆盖特征点综合即可． 【详解】解：①根据覆盖的定义C点的纵坐标最大是3，B点的横坐标最大是3，即：  且  ，所以  ，  是覆盖的特征点， 故答案为：  ，  ； ②设点  为  的覆盖的特征点．依题意得：  ， 当  时，结合函数图像可知，在一次函数  的图像上存在  的覆盖的特征点，故符合题意． 当  时，如图，点  为  的覆盖的特征点．   又点 P 在一次函数  的图像上， 当直线  过点  时，即：  解得：  ． 结合函数图像可知  ． 综上所述：  且  ． 解：圆中点的横坐标最大值为3，纵坐标的最大值为5，则  为覆盖的特征点， 当  时，代入抛物线  得  ， 解得：  ， 结合图像得  ，即存在覆盖特征点， 当  时，此时  是一条直线，不存在符合条件点， 当  时，在直线  的右侧y随x的增大而增大，总存在  的点，即存在覆盖特征点， 综合得 a 的范围是  或  ， 故答案为：  或  ． 【点睛】本题考查二次函数综合问题和新定义问题，掌握新定义内涵，认真阅读定义，从中找出关键点是图形中的横坐标最大值与纵坐标的最大值是覆盖特征点，抓住特征点即可解决问题是解题关键． 21.【答案】    ；    、    【解析】【分析】利用待定系数法求二次函数的表达式； 作点 C 关于对称轴的对称点  ，连接  ，此时  最小，最小值为  的长，求出  的长，利用待定系数法求出直线  的表达式，再求出点 M 的坐标； 根据平行四边形的性质和判定，找出点 P 、点 Q 的位置，再求出相应的坐标即可． 【详解】解：抛物线  与 x 轴交于  、  ，   ，解得  ，  ， 抛物线的表达式为  ． 解：如图，作点 C 关于对称轴的对称点  ， 连接  ，此时  最小，最小值为  的长， 抛物线的表达式为  ，   ，对称轴为  ，   ，   ，   ，   的最小值为  ， 设：直线  的表达式  、  为：  ， 由题意得：  ，解得  ，  ，   ， 当  时，  ，   ． 解：①如图：   ，当点 P 的横坐标为 2 时，此时    ， 又    此时  ，  ，故四边形为平行四边形； ②如图： 当点 P 为  ， Q 为  时，   ，  ，  ，  ，   ，  ，故四边形为平行四边形； ③当 EF 为对角线时，如图， 四边形 PEQF 为平行四边形，   ，  轴， 同理求得：点P的坐标为  ，   ， 点Q的坐标为  ； 综上：点 Q 的坐标为  、  、  ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、最短路径问题及平行四边形与二次函数的综合问题，利用对称或平行处理问题及分类讨论平行四边形的存在问题是解答本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $