专题6 图形的相似 2025-2026学年北师大版九年级数学上册期中考试专题复习

专题6 图形的相似 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，那么的值为      A. B. C. D. 2.已知，若，则    A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 3.如图，直线，直线a，b与，，分别交于点A，B，C和点D，E，若，，则EF的长为    A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.下列各组图形不是相似图形的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，四边形四边形EFGH，则下列结论正确的是    A. B. C. D. 6.如图，已知，若AB的长度为6，则DE的长度为    A. 4 B. 9 C. 12 D. 7.已知，相似比是3，则与的面积比是    A. B. 3 C. 9 D. 8.如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，那么下列条件中，不能判定的是    A. B. C. D. 9.如图，已知，，AC平分若，，则CD的长度为    A. 3 B. C. 2 D. 10.小明用两根小木棍AC，BD自制成一个如图所示的“X形”测量工具，AC与BD交于点O，，，现将其放入一个锥形瓶内，经测量，，则该锥形瓶底部的内径AB的长为    A. 6cm B. 9cm C. 12cm D. 15cm 11.如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，以原点O为位似中心，在第四象限内作与的相似比为的位似图形，则点C的坐标为    A. B. C. D. 12.如图，在中，AD和BE是高，，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，有下列结论：①；②；③；④其中正确的有    A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 13.在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是          . 14.宽与长的比为的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如古希腊的帕提侬神庙等.如图，帕提侬神庙平面图的长约为30m，则它的宽约为          结果保留根号 15.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺即图中的“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，AP与BC相交于点测得，，，则树高           16.如图，在中，，于点如果，那么          . 17.如图，已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点将绕点B逆时针旋转得到，当，，D三点共线时，的长为          . 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题8分 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，B，C两点的坐标分别为， 以原点O为位似中心，在y轴左侧画出将放大两倍，得到的； 分别写出B，C两点的对应点，的坐标； 已知为内部一点，直接写出点M在中的对应点的坐标. 19.本小题8分 如图，在中，D是AC边上一点，， 求证：； 若，，，求BC的长. 20.本小题8分 如图，，，B是线段AD上一点，且已知，， 求证：； 求线段BD的长. 21.本小题8分 如图，AF，AG分别是和的高， 求证：； 若，，求BC的长. 22.本小题8分 如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F， 求证：； 若，求AE的长； 如图2，连接AG，求证： 23.本小题8分 将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至，记旋转角为，连接，过点D作DE垂直于直线，垂足为点E，连接， 如图1，当时，的形状为______，连接BD，可求出的值为______； 当且时， ①中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】略 2.【答案】A  【解析】略 3.【答案】C  【解析】略 4.【答案】B  【解析】略 5.【答案】D  【解析】略 6.【答案】B  【解析】略 7.【答案】C  【解析】略 8.【答案】C  【解析】略 9.【答案】B  【解析】略 10.【答案】B  【解析】略 11.【答案】B  【解析】略 12.【答案】D  【解析】【分析】 由直角三角形斜边上的中线性质得出，证明是等腰直角三角形，得出，证出，推出，①正确； 证出，得出，由等腰三角形的性质得出，，由ASA证明≌，得出，②正确； 证明，得出，即，再由等腰直角三角形的性质得出；③正确； 由F是AB的中点，，得出④正确；即可得出结论． 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键． 【解答】 解：在中，AD和BE是高， ， 点F是AB的中点， ， ， 是等腰直角三角形， ， 点F是AB的中点， ， ，①正确； ，，， ， ， ， ，， 在和中， ， ≌， ，②正确； ，， ， ，即， ， ，③正确； 是AB的中点，， ，④正确． 综上，正确的结论有①②③④共4个. 故选： 13.【答案】或  【解析】略 14.【答案】  【解析】略 15.【答案】6  【解析】略 16.【答案】  【解析】略 17.【答案】或  【解析】①当在BD的上方时，，是等腰直角三角形，，，∽，，，，，，，， ②当在BD的下方时，如图所示．同理可证∽，，，，，，，，综上所述，的长为或 18.【答案】【小题1】 解：如答图，即为所求. 【小题2】 由图象可得点， 【小题3】 点的坐标为   【解析】 略  略  略 19.【答案】【小题1】 证明：， 又， 【小题2】 解：由，得 ，，，   【解析】 略  略 20.【答案】【小题1】 证明：，，， ， 又， 【小题2】 解：， ，，，   【解析】 略  略 21.【答案】【小题1】 证明：，AG分别是和的高， ，， ， ， 又， 【小题2】 解：， ，，   【解析】 略  略 22.【答案】证明：四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上， ， 又，， 在和中， ， ≌， ， 故； 四边形ABCD是矩形， ， ∽， ，即， ≌， ，， 设，则有，化简得， 解得或舍去， 证明：如图，在线段EG上取点P，使得， 在与中， ， ≌， ，，， ， 为等腰直角三角形，   【解析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质．证明≌，得出，证得，则结论得出； 证明∽，得出，即，设，则有，化简得，解方程即可得出答案； 在线段EG上取点P，使得，证明≌，得出，，，证得为等腰直角三角形，可得出结论． 23.【答案】解：等腰直角三角形；； ①两结论仍然成立． 证明：连接BD， ，， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形ABCD是正方形， ，， ， ， ， 即， ∽， ②或  【解析】【分析】 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由旋转的性质得出，，证得是等边三角形，可得出是等腰直角三角形．证明∽，得出 ①得出，则是等腰直角三角形，得出，证明∽，由相似三角形的性质可得出 ②分两种情况画出图形，由平行四边形的性质可得出答案． 【解答】 解：绕点A逆时针旋转至， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 连接BD，则是等腰直角三角形， 四边形ABCD是正方形， ， ， 同理， ， ，， ， ∽， 故答案为：等腰直角三角形； ①见答案 ②若CD为平行四边形的对角线，， 点在以A为圆心，AB为半径的圆上，取CD的中点连接BO交于点， 过点D作交的延长线于点E， 由可知是等腰直角三角形， ， 由①可知∽，且 若CD为平行四边形的一边，如图3， 点E与点A重合， 综合以上可得或 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $