7.2认识证明（基础篇）讲义2025-2026学年北师大版数学八年级上册

认识证明 7.2认识证明 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 传送门 复习 中位数 课前复习 中位数 平均数 众数的联系与区别 从统计图分析数据 新课探索 定义 新课探索 命题 真命题与假命题 定理 证明 题型练习 判断是否是命题 题型练习 判断命题真假 举反例 定理与证明 逻辑推理与论证 易错点 易错点 总结 总结 课前复习 中位数 将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列：如果数据的个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则就是这组数据的中位数. 平均数 中位数 众数的联系与区别 平均数、中位数和众数都是描述一组数据集中趋势的统计量： (1)平均数反映了一组数据的平均大小，常用来代表数据的总体“平均水平”; (2)众数反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”; (3)中位数像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”. 从统计图分析数据 各类统计图的特点： (1)扇形统计图：用整个圆的面积表示总数(单位1),用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数. 特点：清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系. (2)条形统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按一定的顺序排列起来组成的图。 特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较. (3)折线统计图：根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来，以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化. 特点：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况. 新课探索 1、 定义 描述，作出明确的规定，也就交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行，为此， 就要对名称和术语的含义加以描述，做出明确的规定，也就是是给出它们的定义. 比如：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 【练习】下列语句中，为定义的是( ). A 两点确定一条直线 B 三角形的角平分线是一条线段 C 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 D 同角的余角相等 2、 命题 判断一件事情的句子，叫做命题. 一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成：条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项. 注：命题通常可以写成“如果…那么…”的形式， 其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论. 【练习】单选题下列语句中，不是命题的是 ( ) A 对顶角相等 B 直角的补角是直角 C 过直线l外一点A作直线AB⊥l于点B D 两个锐角的和是钝角 3、 真命题与假命题 真命题：正确的命题称为真命题；假命题：不正确的命题称为假命题. 任何一个命题非真即假. 说明假命题的方法： 使它具备命题的条件，而不具有命题的结论(举反例). 证实真命题的方法： ①公认的真命题称为公理(基本事实); ②除了公理外，其他真命题的正确性都通过演绎推理的方法证实. 【练习】下列命题中，真命题是( ) A相等的角是对顶角 B同旁内角互补 C平行于同一条直线的两条直线互相平行 D垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 4、 定理 定理是从真命题(基本事实或其他已被证明的定理)出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 比如：“对顶角相等”;“内错角相等，两直线平行”等都是定理. 【练习】下列语言是命题的是() A 画两条相等的线段 B 等于同一个角的两个角相等吗? C 延长线段AO到C,使OC=OA D 两直线平行，内错角相等. 5、 证明 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. ①证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”,这些根据可以是已知条件，或学过的定义、基本事实、定理等. ②判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明. 【练习】如图，BC//DE,∠1=105°,∠AED=65°,则∠A的大小是( ). A25° B 35° C 40° D 60° 题型练习 1、 判断是否是命题 1．下列句子是命题的是（   ） A．画 B．小于直角的角是锐角吗 C．作线段AB的垂直平分线 D．相等的角是对顶角 2．下列语句不是命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．作直线垂直于直线 C．若，则 D．同角的补角相等 2、 判断命题真假 3．下列命题中，真命题是（   ） A．无限小数都是无理数 B．带根号的数是无理数 C．立方根等于它本身的数是0或1 D．数轴上的点表示的数是实数 4．下列命题中，是真命题的是（　　） A．0.81是 0.9 的算术平方根 B．－64的立方根是－8 C．的平方根是4 D．平方根等于它本身的数只有 0 3、 举反例 5．对于命题“如果，那么、都大于”能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D．， 6．对于命题“若，则．”能说明它属于假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 4、 定理与证明 7．下列语句中，属于定理的是（    ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 8．下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 5、 逻辑推理与论证 9．甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的供词如下： 甲：“乙、戊作案了”； 乙：“甲、丁作案了”； 丙：“乙、己作案了”； 丁：“甲、丙作案了”； 戊：“甲、己作案了”． 已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四人都是一半真一半假．则作案的两人是（   ） A．甲、丙 B．乙、戊 C．丁、己 D．甲、戊 10．甲、乙、丙、丁四人各说了一句话．甲说:“我是说实话的人”；乙说:“我们四个人都是说谎话的人”；丙说:“我们四个人只有一人是说谎话的人”；丁说:“我们四个人只有两个人是说谎话的人”．这四个人中，有人说的是实话，有人说的是谎话，那么甲说的是 ，丙说的是 ． 易错点 1. 混淆定理与公理 · 公理是无需证明的基本事实，例如“两点之间线段最短”。 · 定理是需要通过逻辑推理和已知条件证明的结论，例如“三角形内角和为180°”。 · 易错点：学生常将定理误认为公理，忽视定理的证明过程。 2. 命题的理解不准确 · 命题是一个可以判断真假的陈述句。 · 易错点：学生容易将疑问句或命令句误认为命题，例如“请计算这个角度”并非命题。 3. 忽视反例的重要性 · 若一个命题为假，只需举出一个反例即可。 · 易错点：学生在判断命题真假时，常试图通过举例证明命题为真，而忽略寻找反例的可能性。 4. 条件与结论的混淆 · 在命题“如果A，则B”中，A是条件，B是结论。 · 易错点：学生容易将条件和结论颠倒，导致证明方向错误。 总结 定义 描述，作出明确的规定，也就交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行，为此， 就要对名称和术语的含义加以描述，做出明确的规定，也就是是给出它们的定义. 比如：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 命题 判断一件事情的句子，叫做命题. 一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成：条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项. 注：命题通常可以写成“如果…那么…”的形式， 其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论. 真命题与假命题 真命题：正确的命题称为真命题；假命题：不正确的命题称为假命题. 任何一个命题非真即假.说明假命题的方法： 使它具备命题的条件，而不具有命题的结论(举反例). 证实真命题的方法： ①公认的真命题称为公理(基本事实); ②除了公理外，其他真命题的正确性都通过演绎推理的方法证实. 定理 定理是从真命题(基本事实或其他已被证明的定理)出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 比如：“对顶角相等”;“内错角相等，两直线平行”等都是定理. 证明 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. ①证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”,这些根据可以是已知条件，或学过的定义、基本事实、定理等. ②判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 认识证明 7.2认识证明 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 页码 传送门 复习 中位数 2 课前复习 中位数 平均数 众数的联系与区别 从统计图分析数据 新课探索 定义 3 新课探索 命题 真命题与假命题 定理 证明 题型练习 判断是否是命题 7 题型练习 判断命题真假 举反例 定理与证明 逻辑推理与论证 易错点 14 易错点 总结 14 总结 课前复习 中位数 将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列：如果数据的个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则就是这组数据的中位数. 平均数 中位数 众数的联系与区别 平均数、中位数和众数都是描述一组数据集中趋势的统计量： (1)平均数反映了一组数据的平均大小，常用来代表数据的总体“平均水平”; (2)众数反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”; (3)中位数像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”. 从统计图分析数据 各类统计图的特点： (1)扇形统计图：用整个圆的面积表示总数(单位1),用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数. 特点：清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系. (2)条形统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按一定的顺序排列起来组成的图。 特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较. (3)折线统计图：根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来，以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化. 特点：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况. 新课探索 1、 定义 描述，作出明确的规定，也就交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行，为此， 就要对名称和术语的含义加以描述，做出明确的规定，也就是是给出它们的定义. 比如：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 【练习】下列语句中，为定义的是( ). A 两点确定一条直线 B 三角形的角平分线是一条线段 C 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 D 同角的余角相等 答案：C、 分析：平行线定义. 2、 命题 判断一件事情的句子，叫做命题. 一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成：条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项. 注：命题通常可以写成“如果…那么…”的形式， 其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论. 【练习】单选题下列语句中，不是命题的是 ( ) A 对顶角相等 B 直角的补角是直角 C 过直线l外一点A作直线AB⊥l于点B D 两个锐角的和是钝角 答案：C、 分析：对顶角相等是命题；直角的补角是直角是命题；两个锐角的和是钝角是命题；而过直线l外一点A作直线AB⊥l于点B是描述性语言，不是命题. 故选：C. 3、 真命题与假命题 真命题：正确的命题称为真命题；假命题：不正确的命题称为假命题. 任何一个命题非真即假. 说明假命题的方法： 使它具备命题的条件，而不具有命题的结论(举反例). 证实真命题的方法： ①公认的真命题称为公理(基本事实); ②除了公理外，其他真命题的正确性都通过演绎推理的方法证实. 【练习】下列命题中，真命题是( ) A相等的角是对顶角 B同旁内角互补 C平行于同一条直线的两条直线互相平行 D垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 答案：C、分析：A:相等的角不一定是对顶角，故此选项错误； B:两直线平行，同旁内角互补，故此选项错误； C:平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确； D:在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故此选项错误. 4、 定理 定理是从真命题(基本事实或其他已被证明的定理)出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 比如：“对顶角相等”;“内错角相等，两直线平行”等都是定理. 【练习】下列语言是命题的是() A 画两条相等的线段 B 等于同一个角的两个角相等吗? C 延长线段AO到C,使OC=OA D 两直线平行，内错角相等. 答案：D、 分析：根据命题的定义：只有答案D、两直线平行，内错角相等.对事情做出正确或不正确的判断，故此选项正确； 故选：D。 5、 证明 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. ①证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”,这些根据可以是已知条件，或学过的定义、基本事实、定理等. ②判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明. 【练习】如图，BC//DE,∠1=105°,∠AED=65°,则∠A的大小是( ). A25° B 35° C 40° D 60° 答案：C、 分析：∵∠1=105°,∠CBA+∠1=180°,∴∠CBA=180°-105°=75°. ∵BC//DE,∴∠C=∠AED=65°. 在△ACB中，∠A+∠C+∠CBA=180°, ∴∠A=180°-∠C-∠CBA=40°. 题型练习 1、 判断是否是命题 1．下列句子是命题的是（   ） A．画 B．小于直角的角是锐角吗 C．作线段AB的垂直平分线 D．相等的角是对顶角 【答案】D 【分析】本题考查命题的定义，掌握命题是可以判断真假的陈述句，据此判断选项是解题的关键； 根据命题的定义，对每个选项进行判断，分析是否符合命题的特征． 【详解】解：A、“画”，是作图指令，不是命题，不符合题意； B、“小于直角的角是锐角吗”，是疑问句，不是命题，不符合题意； C、“作线段的垂直平分线”，是作图指令，不是命题，不符合题意； D、“相等的角是对顶角”，是可以判断真假的陈述句，是命题，符合题意． 故选：D． 2．下列语句不是命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．作直线垂直于直线 C．若，则 D．同角的补角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题的概念，掌握其概念：判断一件事情的语句叫做命题，是解题的关键． 判断一件事情的语句叫做命题，据此判断即可． 【详解】A、是命题，故不合题意； B、作直线AB垂直于直线CD是描述了一种作图的过程，不是命题，故符合题意； C、是命题，故不合题意； D、是命题，故不合题意； 故选：B． 2、 判断命题真假 3．下列命题中，真命题是（   ） A．无限小数都是无理数 B．带根号的数是无理数 C．立方根等于它本身的数是0或1 D．数轴上的点表示的数是实数 【答案】D 【分析】本题考查实数的分类、立方根的性质以及实数与数轴的关系，根据定义逐一判断各选项，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、无限小数包括无限循环小数（有理数）和无限不循环小数（无理数），故A错误； B、带根号的数不一定无理，如是有理数，故B错误； C、立方根等于它本身的数是0、1、，故C错误； D、数轴上的点与实数一一对应，故D正确； 故选：D． 4．下列命题中，是真命题的是（　　） A．0.81是 0.9 的算术平方根 B．－64的立方根是－8 C．的平方根是4 D．平方根等于它本身的数只有 0 【答案】D 【分析】本题考查平方根和立方根的基本概念，注意算术平方根与平方根的区别． 逐一判断各选项命题的真假，使用平方根、立方根等初中数学概念． 【详解】∵， ∴ 0.9是0.81的算术平方根，故A是假命题； ∵， ∴ 的立方根是，不是，故B是假命题； ∵ ，4的平方根是，不是4，故C是假命题； ∵ 平方根等于本身的数x需满足，仅时成立（0的平方根是0），故D是真命题． 故选：D． 3、 举反例 5．对于命题“如果，那么、都大于”能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据题意，举一个例子，满足一个大于，一个不大于，且两个角的和大于即可． 本题考查了假命题的反例证明，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，符合题意的是，，其余都不满足， 故选：C． 6．对于命题“若，则．”能说明它属于假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了举反例判断命题真假．反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项． 【详解】解：A、，满足，，不能作为反例，故不符合题意； B、，满足，，能作为反例，故符合题意； C、，不满足，不能作为反例，故不符合题意； D、，满足，，不能作为反例，故不符合题意； 故选：B． 4、 定理与证明 7．下列语句中，属于定理的是（    ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查定理的判断，掌握定理、命题的定义是关键． 根据定理的概念，逐一进行判定即可． 【详解】解：A、在直线AB上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，原命题是假命题，故不是定理，不符合题意； C、选项中“内错角相等”缺少“两直线平行”的前提条件，是假命题，故不是定理，不符合题意； D、同角的补角相等，是定理，符合题意． 故选：D． 8．下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】根据定理是真命题进行判定． 本题考查了定理的理解，定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述． 【详解】解：A. 在直线上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B. 如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，叙述语句是假命题，不是定理，不符合题意； C. 作射线，不是命题，不是定理，不符合题意； D. 同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意； 故选：D． 5、 逻辑推理与论证 9．甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的供词如下： 甲：“乙、戊作案了”； 乙：“甲、丁作案了”； 丙：“乙、己作案了”； 丁：“甲、丙作案了”； 戊：“甲、己作案了”． 已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四人都是一半真一半假．则作案的两人是（   ） A．甲、丙 B．乙、戊 C．丁、己 D．甲、戊 【答案】D 【分析】本题考查了推理与论证，合理的分析与推理排除是解题关键．根据证词中各人出现次数，判断出只能是甲与丙或甲与丁或甲与戊或乙与己合伙作案，再逐一判断，最终确定答案． 【详解】解：根据条件，5份供词中一份假的，其余都是一真一假，且这4份供词都有一个罪犯的名字． 两个罪犯的名字在五份供词中一共出现了四次． 在供词中，甲出现了3次，乙出现了2次，丙出现了1次，丁出现了1次，戊出现了1次，己出现了2次， 因此只能是甲与丙或甲与丁或甲与戊或乙与己合伙作案， 当甲与丙合伙作案时，则丁的供词全对，与已知矛盾； 当甲与丁合伙作案时，则乙的供词全对，与已知矛盾； 当乙与己合伙作案时，则丙的供词全对，与已知矛盾； 当甲与戊为作案人时，丙的供词为全假，甲、乙、丁、戊的供词均为一真一假，符合题意． 只能是甲与戊合伙作案． 故选：D． 10．甲、乙、丙、丁四人各说了一句话．甲说:“我是说实话的人”；乙说:“我们四个人都是说谎话的人”；丙说:“我们四个人只有一人是说谎话的人”；丁说:“我们四个人只有两个人是说谎话的人”．这四个人中，有人说的是实话，有人说的是谎话，那么甲说的是 ，丙说的是 ． 【答案】 实话 谎话 【分析】本题考查了逻辑推理与判断，根据四人所说的话，显然第二个人说的是谎话，再依次假设第三个人和第四个人说的是实话，然后再根据假设结论来推导（能推导出与条件矛盾的即为错误结论），从而得出答案． 【详解】解：乙显然说的是谎话， 假设丙说的是实话，那么丁说的应该也是实话，由此两人的话产生矛盾， 所以丙说谎话， 假设丁说实话，那么甲也说实话， 假设丁说谎话，那么只有甲说实话， 所以可以确定甲说实话，乙、丙说假话，丁说话不确定， 故答案为：实话，谎话． 易错点 1. 混淆定理与公理 · 公理是无需证明的基本事实，例如“两点之间线段最短”。 · 定理是需要通过逻辑推理和已知条件证明的结论，例如“三角形内角和为180°”。 · 易错点：学生常将定理误认为公理，忽视定理的证明过程。 2. 命题的理解不准确 · 命题是一个可以判断真假的陈述句。 · 易错点：学生容易将疑问句或命令句误认为命题，例如“请计算这个角度”并非命题。 3. 忽视反例的重要性 · 若一个命题为假，只需举出一个反例即可。 · 易错点：学生在判断命题真假时，常试图通过举例证明命题为真，而忽略寻找反例的可能性。 4. 条件与结论的混淆 · 在命题“如果A，则B”中，A是条件，B是结论。 · 易错点：学生容易将条件和结论颠倒，导致证明方向错误。 总结 定义 描述，作出明确的规定，也就交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行，为此， 就要对名称和术语的含义加以描述，做出明确的规定，也就是是给出它们的定义. 比如：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 命题 判断一件事情的句子，叫做命题. 一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成：条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项. 注：命题通常可以写成“如果…那么…”的形式， 其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论. 真命题与假命题 真命题：正确的命题称为真命题；假命题：不正确的命题称为假命题. 任何一个命题非真即假.说明假命题的方法： 使它具备命题的条件，而不具有命题的结论(举反例). 证实真命题的方法： ①公认的真命题称为公理(基本事实); ②除了公理外，其他真命题的正确性都通过演绎推理的方法证实. 定理 定理是从真命题(基本事实或其他已被证明的定理)出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 比如：“对顶角相等”;“内错角相等，两直线平行”等都是定理. 证明 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. ①证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”,这些根据可以是已知条件，或学过的定义、基本事实、定理等. ②判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明. 1 学科网（北京）股份有限公司 $