广东省湛江市第一中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷

湛江市第一中学2025-2026学年第一学期高一年级第一次月考试卷 数学学科试卷 一、选择题：本题共 8 道小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设、，“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 3．若，，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．给出如下三个命题： ①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题； ②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”； ③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”． 正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（   ） A． B．，或 C．，或 D． 7．已知实数，则（    ） A．无最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值4 8．定义若函数，且在区间上的值域为，记区间的长度为，则的最大值为（） A．1.4 B．0.9 C．1.9 D．3.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9．已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是 C．的解集为 D．的值域为 10．已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 11．下列各组函数中，与表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．若是不等式成立的一个充分非必要条件，则实数的取值范围是 ． 13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 14．若对，使得成立，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知集合，． (1)求； (2)若，为集合，定义集合运算，求． 16．为宣传村镇特点，助力乡村振兴，设计专业的大学生小王应某村委会要求，设计一个长为米，宽为米的矩形广告牌，使得该广告牌的面积等于一个长为米，宽为1米的矩形的面积. (1)求关于的函数； (2)若村委会要求广告牌的面积最小，小王应如何设计该广告牌？ 17．已知． (1)若对恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式：． 18．已知函数. (1)若关于的不等式的解集为（），求实数，的值； (2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 19．已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有． (1)求，； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 湛江市第一中学2025-2026学年第一学期高一数学第一次月考试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D B A B C AB BCD 题号 11 答案 BD 1．A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】当且时，，则“且”“”， 另一方面，当时，可取，， 则“且”“”， 因此，“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．D 【分析】利用方程组法即可求出函数的解析式. 【详解】由，用替换可得， 从而得方程组，解得，故D正确. 故选：D. 3．C 【分析】已知条件结合不等式的性质，判断各选项结论是否正确. 【详解】若，，，， 由，则，得，A选项错误； 由，有，则，B选项错误； 由，，有，C选项正确； 由，有，D选项错误. 故选：C. 4．D 【分析】利用并集的定义可得出集合. 【详解】因为，，则. 故选：D. 5．B 【分析】①根据真值表可得p且q为假命题时，则p、q至少有一个是假命题．②写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论．③全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，结合已知中原命题；③“∀x∈R，x2+1≥1”，易得到答案． 【详解】①根据真值表可得：若p且q为假命题时，则p、q至少有一个是假命题，所以①错误． ②根据命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”． 是真命题，所以②正确． ③若原命题“∀x∈R，都有x2+1≥1” ∴命题“∀x∈R，都有x2+1≥2x”的否定是： ∃x∈R，有x2+1＜1，所以③不正确． 故选B． 【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握真值表、特称命题、命题的否定以及其他的有关基础知识，属于基础题. 6．A 【分析】先根据一元二次不等式的解集得出，再化简得出，即可得出不等式的解集. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是，解得， 则不等式化为， 即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A. 7．B 【分析】对分式变形，利用基本不等式求解即可得出最大值. 【详解】由，则， ，当且仅当，即时等号成立， 所以有最大值4. 故选：B 8．C 【分析】根据定义作出函数的图像，根据函数值域，求出对应点的坐标，利用数形结合进行判断即可. 【详解】函数，当时有最大值2， 当时， 当时，， 令，解得，令，得， 记， 则 的图象如图所示.    令，解得(舍去)或 观察图象可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ， 在区间上的值域为， 则区间的长度的最大值为. 故选：C. 9．AB 【分析】对A：由分段函数的性质代入计算即可得；对B：分及进行计算即可得；对C：分及解不等式即可得；对D：分别求出当时，时，的取值范围即可得. 【详解】对A：因为，则，故A正确； 对B：当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B正确； 对C：当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为，故C错误； 对D：当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故D错误； 故选：AB. 10．BCD 【分析】利用基本不等式逐个选项判断即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故A错误； 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立，故B正确； 因为，所以， 所以，所以，故C正确； 因为，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 又，故D正确． 故选：BCD 11．BD 【分析】判断两函数的定义域与对应关系是否相同即可． 【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，不是同一函数； 对于B，函数的定义域为R，函数的定义域为R， 两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于C，函数的定义域为R，函数的定义域为 两函数的定义域不同，不是同一函数； 对于D， 的定义域为R，函数的定义域为R， 两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数． 故选：BD. 12． 【分析】根据题意得，然后列不等式组可求出结果. 【详解】因为是不等式成立的一个充分非必要条件， 所以， 所以，且等号不能同时成立， 解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 13． 【分析】根据抽象函数和具体函数定义域求解方法，结合函数解析式，求解即可. 【详解】根据题意，，且，解得，故定义域为. 故答案为：. 14． 【分析】由关于的一元二次不等式恒成立得，参变分离后再由基本不等式求解最值． 【详解】由，得． 由题意可得，使得成立， 即，使得成立． ，当且仅当时等号成立，故． 故答案为：. 15．(1) (2)． 【分析】（1）解不等式求得集合，进而求得. （2）根据新定义运算来求得. 【详解】（1）因为， 所以． （2）由集合运算的新定义及不等式的性质，可得． 16．(1) (2)小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求 【分析】（1）由题意，根据矩形的面积公式，建立方程，整理为函数，可得答案； （2）利用基本不等式，整理为关于的不等式，可得答案. 【详解】（1）由题意可知，， 所以，又，所以， 所以. （2）法一：由，得， 解得，或（舍去），所以， 当且仅当时，取得等号. 故小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求. 法二：， 当且仅当，即时等号成立， 此时， 故小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求. 17．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）二次不等式恒成立，由判别式不大于0可得参数范围； （2）根据相应方程两根的大小分类讨论可得． 【详解】（1）对恒成立， 即恒成立， 所以， 整理得，解得， 所以的取值范围是． （2），即， 即，即， 当，即时解得； 当，即时解得或； 当，即时解得或． 综上，时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为． 18．(1)，； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据一元二次不等式与二次函数的关系，及其解集求参数值； （2）问题化为恒成立，应用基本不等式求不等式右侧的最小值，即可得范围； （3）分类讨论参数求一元二次不等式对应的解集. 【详解】（1）由关于的不等式的解集为，得， 且和是方程的两个实数根，即，解得， 所以的另一实数根为，即，所以，. （2）由，得，又，所以恒成立. 当时，，当且仅当时取等号， 所以，即实数的取值范围为. （3）当时，不等式为，其解集为； 当时，不等式可化为，其方程对应的两根分别为，. 若，不等式解集为； 若，不等式可化为，此时不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为. 综上可知， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 19．(1)， (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）令，可得出的值，令可得出的值； （2）判断出函数为上的减函数，利用函数单调性的定义可证得函数为上的减函数； （3）分析可得出，将所求不等式变形为，解得，计算得出，则，再利用函数的单调性可得出关于实数的不等式（组），即得出原不等式的解集. 【详解】（1）因为函数满足对一切实数、都有成立， 令可得，可得， 令可得. （2）函数在上单调递减，证明如下： 设，则，又， 所以，可得， 所以当时，， 任取、且，则，， 则 ，即， 因此，函数在上单调递减. （3）由（2）可知，函数在上为单调递减函数， 令，可得，所以， 因为， 令， 由 得，即，解得， 可得， 因为，， 所以不等式等价于， 因为函数在上单调递减，则， 对于不等式，即显然成立， 对于不等式，即，解得， 因此，原不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性化归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $