安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

定远育才学校2025-2026学年高二（上）10月月考试卷 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则(    ) A. B. C. D. 2.下列说法中，正确的是(    ) A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 已知为空间中任意一点，，，，四点共面，且，，，中任意三点不共线，若，则 D. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 3.若方程表示圆，则实数的取值范围是  (    ) A. B. C. D. 4.(    ) A. B. C. D. 5.如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为(    ) A. B. C. D. 6.直线与直线：平行，且直线过点，则直线和的距离为     ． A. B. C. D. 7.过点的直线与圆：相切，则切线长为(    ) A. B. C. D. 8.已知，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，若，则为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知平面，的法向量分别是，，直线的方向向量为，则(    ) A. B. C. 可以作为空间的一个基底 D. 在上的投影向量的模长为 10.下列四个命题中真命题有(    ) A. 直线在轴上的截距为 B. 经过定点的直线都可以用方程表示 C. 直线必过定点 D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是 11.已知椭圆的两个焦点分别为，，为坐标原点，过的直线交椭圆于，两点，则下列说法正确的是  (    ) A. 的周长为 B. 的周长为 C. 若，则 D. 若，则的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.点是圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为_________． 13.正方体的棱长为，为的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为__________． 14.已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在棱长为的正方体中，，分别为，的中点． 求 求直线与所成角的余弦值 求平面和平面夹角的余弦值． 16.本小题分 已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点． 已知、是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程 如图，已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线、、上的点、、与、、均不重合，且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标 已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围． 17.本小题分 如图，在边长为的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图． 求证：平面 判断在线段上是否存在一点，使平面平面若存在，求出的值若不存在，请说明理由． 18.本小题分 已知的三个顶点，，，其外接圆为圆． 若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； 对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得是线段的中点，求圆的半径的取值范围． 19.本小题分 如图，从椭圆：上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，又点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且， 求椭圆的方程； 设点关于轴的对称点为，过椭圆上不同于，的任意一点，作直线，分别交轴于点，证明：点，的横坐标之积为定值． 答 案 1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.  8.  9.  10.  11.  12.  13.  14.  15.解：在棱长为的正方体中， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ， ． ，， ， 直线与所成角的余弦值为． 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ，， 令，则， 则， 平面和平面所成的角为锐二面角， 所以平面和平面夹角的余弦值为．  16.解：由已知得， 又， 直线的方程； 设直线的斜率分别为， 由题意知，，， 且，得，负值舍去． 直线的方程为，直线的方程为， 联立得； 设，其中， 故． 由于当且仅当时，等号成立， 故．  17.证明：，， ， ，，，平面， 平面， 又平面， ， ，，，平面， 平面； 解：由题意，以，，分别为，，轴，建立坐标系，则， ，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则 令，， 设， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令，， 平面平面， 由得，，， ，在线段上不存在一点，使平面平面． 18.解：设外接圆的方程为， 将，，三点坐标代入方程得： 解得 所以外接圆的方程为． 化成标准方程为． 所以外接圆圆心，半径为． 易得直线的方程为， 设，． 因为是线段的中点，所以． 又点，都在半径为的圆上， 所以 即 因为这个关于，的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点， 所以． 又，所以对任意的，成立． 而在，上的值域为，， 所以且． 又点在圆外，所以，即对任意的，成立，即． 故圆的半径的取值范围为， 19.解：由题意可知，，，，， ， ， 即， ， ， ， ， 又， ，，， 椭圆方程为； 由得，则， 设，则有， 直线的方程为， 令，整理得， 同理可得点的横坐标， 所以点，的横坐标之积， 因为，所以． 故点，的横坐标之积为定值．  第6页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $