福建省南安市侨光中学、晋江市侨声中学2025-2026学年高二上学期11月质量监测联考数学试卷

晋江市侨声中学 南安市侨光中学 2025年秋季侨声中学、侨光中学高二年质量监测联考一数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题者：尤泽燕 郭远明 审核者：周柳斌 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为(  ) A. B. C. D. 2. 已知点关于z轴的对称点为B，则线段的长度等于(  ) A. B. C. 2 D. 3．进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116  785  812  730  134  452  125  689  024  169 334  217  109  361  908  284  044  147  318  027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是(  ) A． B． C． D． 4.与直线关于点对称的直线是( ) A．　　　　 　　　　　 B． C．　　　　 　　　　 D． 5.如图，已知圆锥的轴截面CAB是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为(  ) A. B. C.　　　 　D. 6.本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为(  ） A． B． C． D． 7.九章算术是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，分别为，的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则(  ) A. B. C. D. 8.已知直线上总存在点，使得过点作的圆： 的两条切线互相垂直，则的取值范围是(  ) A. 或 B. C. D. 或 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列关于空间向量的命题中，正确的有(  ) A.若向量与空间任意向量都不能构成基底，则； B.若非零向量满足，，则有； C.若是空间向量的一组基底，且，则，，，四点共面； D.若向量是空间向量一组基底，则，，也是空间向量的一组基底. 10．盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”.则下列说法正确的是(  ) A．A与相互独立 B．A与互为对立事件 C．与互斥事件 D．与相互独立 11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯.他发现:“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.在平面直角坐标系中, 点.设点的轨迹为,下列结论正确的是(  ) A.的方程为 B.点，则的取值范围是 C. 当三点不共线时,射线是的平分线 D. 上存在点,使得 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知直线与直线平行，则平行线间的距离为_____ 13.已知,且，则的最大值为______ 14.在棱长为的正方体中，为线段的中点，设平面与平面的交线为，则点到直线的距离为_____         ． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分13分） 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是． （1）求的长 （2）求异面直线与所成角的余弦值 16.（本小题满分15分） 已知△ABC的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． （1）求点B的坐标； 　（2）求直线BC在轴上的截距． 17. （本小题满分15分） 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲答对3道题目的概率． （2）求乙恰好答对2道题目的概率． （3）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 18. （本小题满分17分） 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上． 求圆的标准方程； 若过点的直线与圆交于，两点，当时，求直线的一般式方程； 过点且不与轴重合的直线与圆相交于，两点，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，两点，记，的面积为，，求的最大值． 19. （本小题满分17分） 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，是的中点，平面，，，平面平面. （1） 求证：直线平面 （2） 如图，且，求点到平面的距离； （3） 设四棱锥的外接球球心为，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 晋江市侨声中学 南安市侨光中学 2025年秋季侨声中学、侨光中学高二年质量监测联考一数学试卷 (参考答案） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.C 2.A.3．B4.D　 5. A 解：，且，所以， 连接，则平面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设圆的半径为，则、、、， ，， ， 因此异面直线与所成角的余弦值为．故选A． 6.B【详解】记吹风为事件，下雨为事件， 因为， 所以既吹南风又下雨的概率为，故选：B. 7.D解：因为平面，平面， 所以，，又底面是正方形，所以，则两两垂直， 以点为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，由，，分别为，的中点，则，，，，，，设平面的法向量为，则令，得， 设，则，因为平面，所以，则， 即，解得，故AG．故选D． 8.如图，设切点分别为A，B．连接AC，BC，MC，由及知，四边形MACB为正方形，故若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心到直线的距离，即∴，故选C． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.AD 10．ABD 【分析】依次列出样本空间，事件A、B、C、D包含的基本事件，由事件的基本关系及概率公式一一判定选项即可. 【详解】依题意可设2个红球为，2个白球为，则样本空间为： ，共12个基本事件. 事件A，共4个基本事件. 事件B，共6个基本事件. 事件C，共6个基本事件. 事件D， 共8个基本事件. 对于A选项，因， 则，故A与相互独立，故A正确； 对于B选项，注意到，得A与互为对立事件，故B正确； 对于C选项，注意到，则与不互斥，故C错误； 对于D选项，因，，， 则，故D与相互独立，故D正确. 故选：ABD 11.ABC 【详解】设点，则，化简整理得，即 ，故A正确； 对于C选项，，,要证PO为角平分线，只需证明，即证，化简整理即证，设，则， ，则证 ，故C正确； 对于D选项，设,由可得，整理得，而点M在圆上，故满足，联立解得，无实数解，于是D错误.故答案为ABC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．13.14.          ． 14解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，， ，，， 所以，， ，， 设平面的法向量为， 则，即 令，得，， 故平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， 则，即 令，得，， 故平面的一个法向量为， 设交线的方向向量为， 则，即 令，得，， 故交线的一个方向向量， 因为，点， 则，， 所以点到直线的距离为 ．故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应马出文字说明､证明过程或璌算步骤. 15【详解】（1）由题意可知，………………………………1分 则 ………………………………3分 ，……………5分 ∴……………………………………………………………………..6分 （2），…………………………………………………………..7分 又，…………………………………………………………..8分 ………………………..10分 ∴……………………………………………………………………..12分 ∴异面直线与所成角的余弦值为0………………………………….13分 16.（本小题满分15分）【解析】 （1） 由题意可得边AB上的高线CH所在的直线方程为x+y-1=0， 设直线AB的方程为x-y+a=0，…………………………………………2分 将A（4，1）代入可得：4-1+a=0，即a=-3， 所以直线AB的方程为：x-y-3=0， ……………………………………3分 由题意可得B为直线AB与BM的交点，即， 解得x=-1，y=-4， 即B（-1，-4）；………………………………….6分 （2） 设C（m,n），则AC的中点M（，），…………………………7分 则，……………………………………………………9分 解得m=-2，n=3，即C（-2，3），………………………………………11分 可得kBC==-7，………………………………………………….12分 所以直线BC的方程为：y+4=-7（x+1），………………………………13分 令，得 所以直线BC在轴上的截距为．…………………………………15分 17. （本小题满分15分） 【小问1详解】 （1）设 “甲答对3道题目”,……………………………………………1分 则………………………………………………………….3分 【小问2详解】 (2) 设 “乙答对2道题目”,…………………………………………….4分 则………………………………………………………….7分 【小问3详解】 C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立，……………….8分 ，…………………………………………….9分 …………………………………………….10分 E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥， 与，与分别相互独立， ………………………………………………………….14分 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率……………………………….15分 18. （本小题满分17分） 【答案】解：已知圆与直线相切于点，圆心在轴上， 由题可知，设圆的方程为，，圆心为， 由直线与圆相切于点， 得，解得，， 所以圆的标准方程为；……………………………………3分 若过点的直线与圆交于，两点， 当时， 设圆心到直线的距离为， ，，．………………4分 当直线斜率不存在时，，满足到直线的距离；………………5分 当直线斜率存在时：设方程：， 即， ，整理得，解得， ，即，………………8分 综上：直线的一般式方程为或；………………9分 过点且不与轴重合的直线与圆相交于，两点，为坐标原点， 直线，分别与直线相交于，两点，记，的面积为，，由题意知，，………………10分 设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或，则点的坐标为，……………………11分 又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为，…………12分 由题可知：，…………………………………………………13分 ， 又，同理， ，……………………………16分 当且仅当时等号成立，的最大值为．……………………………17分 19. （本小题满分17分） 【小问1略】………………………3分 【小问2详解】 取BC中点N，连接ON，则， ∵平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD， ∴，， ∴以O为原点，OA，ON，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，………………………4分 则，，，，，……………5分 于是，，，， 设平面的一个法向量为， 则，得，故可取，………7分 ∴点M到平面PBC的距离为．………………………8分 【小问3详解】 存在点E，使得直线与平面AEC所成的角的正弦值为， ∵，且平面ABCD为正方形， ∴点Q在平面上的射影是ABCD的中心，可设，则， ∴，解得．………………………………………10分 即，， 设，，………………………………………………………11分 ∴，，， 设平面AEC的一个法向量为， 则，得， 取，………14分 设直线与平面AEC所成的角为， ∴， 化简得，∴或， ∴当或时，直线与平面AEC所成角的正弦值为．…………………………………………………………………………17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录h1xUe,c成扫描一维码下我Ap吧 《用户名和视始密码均为准考迁号》 ■ 2025年秋季侨声中学、侨光中学高二年 质量监测联考一数学答题卡 15. D 16 B 考场/座位号： 姓名： 班级 贴条形码区 D ▣▣ 可 正确填涂☐缺考标记 □ 客观题 I[A][B][C][D] 5[A】[B][C】[D] 9[A]EB][C][D] 2[a】[B][C】[D] 6【AJ{B]【c】【D]i0[AJ【B】[c]【D] 3[A][B][c][D] T[J[B][c】D] 11[aJB】[c][D1 4 [A][B][c][D] 8 [A][B][C][D] 填空题 14. 解答愿 ■ 囚囚■ 囚囚■ ■ ■ a ▣ 19 I i ■ 囚■囚 ▣■囚 ■晋江市侨声中学 南安市侨光中学 2025年秋季侨声中学、侨光中学高二年质量监测联考一数学试卷 (考试时间：120分钟 满分：150分) 命题者：尤泽燕 郭远明 审核者：周柳斌 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 1.若直线1的一个方向向量为(-1,3)，则它的倾斜角为() A.30° B.609 C.120° D.150° 2.已知点A(1,-1,2)关于z轴的对称点为B,则线段AB的长度等于() A.2V2 B.2W6 C.2 D.3V2 3.进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高 温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上)，在今后的3天中， 每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结 果如下： 116785 812 730 134 452 125 689 024 169 334217 109 361 908 284 044 147 318 027 若用0,1,2,3,4,5表示高温橙色预警，用6,7,8,9表示非高温橙色预警， 则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是( 3-5 A. 1 B. 2 C.13 D.2 20 4.与直线2x+3y-6=0关于点(1，-1)对称的直线是() A.3x-2y+2=0 B.2x+3y+7=0 C.3x-2y-12=0 D.2x+3y+8=0 5.如图，已知圆锥CO的轴截面CAB是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D 在AB上，且AOD=2∠BOD,则异面直线AD与BC所成角的余弦值为( A.3 B. 2 D. 4 4 6.本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率20%，下雨的 概率为30%，吹南风或下雨的概率为35%，则既吹南风又下雨的概率为() A.30% B.15% C.10% D.6% 7.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧 棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马P一ABCD中，PA1平面 ABCD,底面ABCD是正方形，E,F分别为PD,PB的中点，点G在线段AP 上，AC与BD交于点O,PA=AB=2,若OG/平面EFC,则AG=( 时 R月 c 8.己知直线1：(m+2)x+(m-1)y+4-4m=0上总存在点M,使得过M点作的 圆C:x2+y2+2x-4y+3=0的两条切线互相垂直，则m的取值范围是() A.m≤1或m≥2B.2≤m≤8C.-2≤m≤10D.m≤-2或m≥8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列关于空间向量的命题中，正确的有() A.若向量a,b与空间任意向量都不能构成基底，则a/b: B.若非零向量a,b,c满足a1b,bLc,则有a/c: C.若OA,0B,0C是空间向量的一组基底，且oD=1OA+}OB-0C,则4，B, 6 3 2 C,D四点共面； D.若向量a,i,c是空间向量一组基底，则a+b,i+c,a+c也是空间向量的一 组基底 10.盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件A=“两 个球颜色相同”，B=“第1次取出的是红球”，C=“第2次取出的是红球”， D=“两个球颜色不同”.则下列说法正确的是() A.A与B相互独立 B.A与D互为对立事件 C.B与C互斥事件 D.B与D相互独立 11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯.他发现：“平面内到两个定点A,B的距离之比 为定值2（兄≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿 波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0),B(4,0) PA 点P满足 PB 2·设点P(x,)的轨迹为C,下列结论正确的是() A.C的方程为(x+4)+y2=16 区点功则，广的取值范国是号 C.当A,B,P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线 D.在C上存在点M,使得MO=2MA 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知直线3x+4y+9=0与直线6x+y+14=0平行，则平行线间的距离为 13.已知x,y∈R,且(x-3)2+(y-4)2=1,则x2+y2-11的最大值为 14.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD的中点，设平面A1BC1 与平面CC1E的交线为m,则点A到直线m的距离为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 15.（本小题满分13分) 如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-AB,CD,其中，以顶点A为端点 的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°. D C (1)求AC,的长 (2)求异面直线AC,与BD所成角的余弦值 D - 16.（本小题满分15分) 已知△ABC的顶点A(4,1),边AB上的高线CH所在的直线方程为x+y-1=0, 边AC上的中线BM所在的直线方程为3x-y-1=0. (1)求点B的坐标； (2)求直线BC在y轴上的截距. 17.（本小题满分15分) 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每 道题日的概率都是号，乙答对每道愿日的概率都是)对抽到的不同题日能否答 对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； (1)求甲答对3道题目的概率. (2)求乙恰好答对2道题目的概率， (3)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否 则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率. 18.(本小题满分17分) 已知圆M与直线3x-√7y+4=0相切于点(1，V7),圆心M在x轴上. (1)求圆M的标准方程； (2)若过点(1,1)的直线l与圆M交于P,Q两点，当PQ=2V7时，求直线的一般 式方程： (3)过点M且不与x轴重合的直线与圆M相交于A,B两点，O为坐标原点，直线OA, 0B分别与直线x=8相交于C,D两点，记△0AB,△0cD的面积为51,52，求号 的最大值 19.(本小题满分17分) 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，O是AD的中点，PO⊥平面ABCD, PO=√3，AB=2,平面PAB∩平面PCD=I. (1)求证：直线AB∥平面PCD (2)如图，M∈I且PM=3,求点M到平面PBC的距离； (3)设四棱锥P-ABCD的外接球球心为Q,在线段PB上是否存在点E,使 得直线PQ与平面4BC所成的角的正弦值为30？若存在，请确定点E的位置， 35 若不存在，请说明理由. P 以 D 4晋江市侨声中学 南安市侨光中学 2025年秋季侨声中学、侨光中学高二年质量监测联考一数学试卷 (参考答案) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的， 1.C2.A.3.B4.D 5.A解：：∠AOD=2∠B0D,且∠A0D+∠BOD=元，所以∠B0D=F 连接CO,则C01平面ABD, 以点O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为y、z轴建立如下图所示的空间直角 坐标系，设圆0的半径为2，则A(0,-2,0)、B(0,2,0)、C(0,0,2V3、D(V5,1,0), AD=(V3,3,0),BC=(0,-2,2V3), C0s<AD,BC>=而C -6 IAD-BCI 2V3x4 41 因此异面直线AD与BC所成角的余弦值为.故选A, 6.B【详解】记吹风为事件A,下雨为事件B, 因为P(A∩B)=P(A)+P(B)P(AUB上206+30635%15%， 所以既吹南风又下雨的概率为15%，故选：B. 7.D解：因为PA1平面ABCD,AB,ADc平面ABCD, 所以PA1AB,PA1AD,又底面ABCD是正方形，所以AB⊥AD,则 PA,AB,AD两两垂直， 以点A为坐标原点，AB,AD,AP的方向分别为x,y,z轴的正方向建 立空间直角坐标系，由PA=AB=2,E,F分别为PD,PB的中点，则 0(1,1,0),C(2,2,0),E(0,1,1),F(1,0,1),EF=(1,-1,0),EC=(2,1,-1), 设平面EFC的法向量为元=化，y,2,则=X-y=0, 令x= EC.mi=2x+y-z=0, 1,得m=(1,1,3), 设G(0,0,a),则0G=(-1,-1,a),因为0G/平面EFC,所以0G1m,则0Gm=0, 即-1×1-1×1+3a=0,解得a=子，故AG=子故选D. 8.如图，设切点分别为A,B.连接AC,BC,MC,由 ∠AMB=∠MAC=∠MBC=90°及MA=MB知，四边形MACB为.正 方形，故MC=√2+2=2，若直线1上总存在点M使得过点M的两 条切线互相垂直，只需圆心(-1,2)到直线1的距离 d-上m-2+2m-2+4-4训≤2， 即m2-8m-20≤0， V(+2)'+(m-1)2 320 -2≤m≤10，故选C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.AD 10.ABD 【分析】依次列出样本空间，事件A、B、C、D包含的基本事件，由事件的基本 关系及概率公式一一判定选项即可. 【详解】依题意可设2个红球为4，a2,2个白球为b,b2,则样本空间为： 2={a,a)(a,b)(a,b)(a,a)(a,b)(a,b)(6,4)(6,4a)(6,b) (b,4)(b,4凸)，(b,b}，共12个基本事件. 事件A={(a,a)(a,a)(色，b,),(b,b)}，共4个基本事件 事件B={(a,4)(a,b)(a,b),色，4)，色b),乌b},共6个基本事件. 事件C={(a,4)(a,4)(色，4)（色，a),(色，a)(b,a},共6个基本事件. 事件D={(a,b),(a,b2),(a2,b),(a,b2),(b,a),(6,a2),(b,4),(b2,42)}, 共8个基本事件. 对+A远原，因P4日}r@)8}(u@日& 则P(A)P(B)=P(AB),故A与B相互独立，故A正确： 对于B选项，注意到A∩D=O,AUD=2,得A与D互为对立事件，故B正确： 对于C选项，注意到B∩C≠O,则B与C不互斥，故C错误： 对于D选项，因P@=合分Po)-音Pe0)音 41 则P(D)·P(B)=P(DB),故D与B相互独立，故D正确： 故选：ABD 11.ABC【详解】设点P(x,y),则 PA_1Vx+2)°+y 化简整理得 PB 2 V(x-4)2+y2 x2+y2+8x=0,即 (x+4)2+y2=16,故A正确： 对于C选项，cos∠APO=AP+PO2-A02 —，CoS∠BPO= BP2+PO2-BO ,要证 2AP.PO 2BP.PO P0为角平分线，只需证明cos∠PO=cos∠BPO,即证 AP+PO-A0_BP+P0-B0,化简整理即证P02=2AP2-8,设P(x), 2AP.PO 2BP.PO 则PO2=x2+y2, 2Ap2-8=2x2+8x+2y2=(x2+8x+y2）+(x2+y2）=x2+y2,则证 cos∠APO=cos∠BPO,故C正确； 对于D选项，设M(,),由MO=2M4可得√x,2+。2=V(x,+2)+y,2，整 理得3x,2+3y。2+16x。+16=0,而点M在圆上，故满足x2+y2+8x=0,联立解得 x=2,。无实数解，于是D错误.故答案为ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.213.2514.V2 3 14解：以点A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分 别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： B 则A(0,0,0),A1(0,0,1),B(1,0,0), C(1,1,0),C1(1,1,1),E(0,2,0 所以A1B=(1,0,-1),A1C=(1,1,0), cC=(0,01),cE=（-1,-20 设平面A1BC1的法向量为元=(x,y,z), 则AB=0,即二0 元.A1C=0’x+y=0' 令x=1,得y=-1,z=1, 故平面A1BC1的一个法向量元=(1，-1,1)， 设平面CC1E的一个法向量为币=(x1,y1,乙1)， 21=0 则cG=0,即 (⑦.CE=0’(-x1-2y1=0' 令y1=2,得1=-1，Z1=0, 故平面CC1E的一个法向量为市=(-1,2,0)， 设交线m的方向向量为m=(x2,y2,z2), 则职脑6克。 令y2=1,得x2=2,z2=-1, 故交线m的一个方向向量m=(2,1,-1), 因为AC1=(1,1,1),点C1∈m 则AC·元=2，|m=√22+12+(-1)2=V6, 所以点A到直线m的距离为 G-(-3故答案为：四 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应马出文字说明、证明过程或璌算步骤 15【详解】（1)由题意可知AC=AB+AD+A4,…1分 则4AC=(AB+AD+AA)} =AB+AD+A4+2ABAD+2AB.A4+2ADAA…3分 =62+62+62+2×6×6×c0s60°+2×6×6×c0s60°+2×6×6×c0s60°=63，…5分 AC=................ ….6分 (2)BD=AD-AB,….7分 又AC=AB+AD+AA,….8分 AC,.BD=(AB+AD+AA)(AD-AB) =AB.AD+AD.AD+AAAD-AB.AB-AD.AB-AAAB….10分 =6×6×c0s60°+62+6×6×c0s60°-62-6×6×c0s60°-6×6×c0s60°=0 AG1BD…..12分 .异面直线AC与BD所成角的余弦值为0….13分 16.(本小题满分15分)【解析】 (1)由题意可得边AB上的高线CH所在的直线方程为x+y-1=0, 设直线AB的方程为X-y+a=0,…2分 将A(4,1)代入可得：4-1+a=0,即a=-3, 所以直线AB的方程为：X-y-3=0,…3分 由题意可得B为直线AB与BM的交点，即∫xy3=0 3x-y-1=0 解得x=-1,y=-4,即B(-1,-4);….6分 m+4n+1 (2)设C(m,n),则AC的中点M(2, 2), …7分 则m+n-1=0 …9分 3.m+4_+1-1=0 22 解得m=-2,n-3,即C(-2,3),…11分 可得ke=-4-7=-7,….12分 -1-(-2) 所以直线BC的方程为：y+4=-7（x+1),…13分 令x=0,得y=-11 所以直线BC在y轴上的截距为-11. …15分 17.(本小题满分15分) 【小问1详解】 (1)设A=“甲答对3道题目” ，0 …1分 则PA0=2x2x2-8 ….3分 33327 【小问2详解】 (2)设B= “乙答对2道题目”，….4分 则P()=3x白-3 ….7分 8 【小问3详解】 C“甲通过面试”，D“乙通过面试”，C与D相互独立，….8分 PC9=1-P©=1-x1x126 33327 …9分 PD)=1-pD=1-2X228 111 ….10分 E“甲、乙两人只有一人通过面试”，则E=(CD)U(CD),因为CD与CD互斥， C与D,C与D分别相互独立， P(E)=P(CDUCD)=P(CD)+P(CD)=P(C)P(D)+P(C)P(D) 267D 278278-72 ….14分 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 ….15分 2 18.(本小题满分17分) 【答案】解：(1)已知圆M与直线3x-√7y+4=0相切于点(1，V7),圆 心M在x轴上， 由题可知，设圆的方程为(x-a)2+y2=2,r>0,圆心为(a,0), 由直线3x-V7y+4=0与圆相切于点(1，V7, M A C (1-a)2+7=r2 、，解得a=4,r=4, 所以圆M的标准方程为(x一4)2十y2=16;…3分 (2)若过点(1,1)的直线l与圆M交于P,Q两点， 当PQ1=2W7时， 设圆心M(4,0)到直线l的距离为d, PQ=2Wr2-dz,·2V7=2V16-d2,·d=3.…4分 ①当直线1斜率不存在时，x=1,满足M(4,0)到直线x=1的距离 d=3;…5分 ②当直线斜率存在时：设方程：y-1=k(x-1), 即kx-y+1-k=0, ·d=4=3,整理得(3k+1)2=9(k2+1),解得k=手 Vk2+1 :y-1=x-1),即4x-3y-1=0,…8分 综上：直线的一般式方程为x=1或4x-3y-1=0;…9分 (3)过点M且不与x轴重合的直线与圆M相交于A,B两点，O为坐标原点， 直线OA,OB分别与直线x=8相交于C,D两点，记△OAB,△OCD的面积为S1, S2,由题意知，∠A0B=乏之 …10分 设直线OA的斜率为k(k≠O),则直线OA的方程为y=kx, 由P x2+y2-8x=0'得(1+k2)x2-8x=0, 8 解化-8安 X三 1+k2 8k, 则点A的坐标为()…11分 (y= 1+k2 又直线0B的斜率为- 理可得：点B的坐标为（器，） …12分 由题可知：C(8,8k),D(8,- ，…13分 :.S1 10AlIOBI 10Al 10BI S2 lODllOC] locI JoDI 8 又：loA=4= 1 同理0 k2 OC xc 8-1+k2’ 10D1-1+k2 4= k2 k2 1 1 S2 2+102= …16分 k4+2k2+1 2++2 当且仅当个=1时等号成立，爱的最大值为号 …17分 19.(本小题满分17分) 【小问1略】…3分 【小问2详解】 取BC中点N,连接OW,则ON⊥OA, ,PO⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,ONC平面ABCD, ∴.PO⊥OA,PO⊥ON, ∴.以O为原点，OA,ON,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标 系，…4分 则P0,0,V3),B(1,2,0),C(-1,2,0),M(0,3,3,A1,0,0), …5分 于是，PB=1,2,-5),BC=（-2,0,0),M匣=(0，-3,0)， 设平面PBC的一个法向量为=(x,乃，三)， PB.=0 则 BC.元=0' 得 5+2y-5=0,故可取 -2x=0 D n=(0,V3,2, …7分 ∴.点M到平面PBC的距离为 …8分 √7 > 【小问3详解】 存在点B使得直线0与平面BC所成的角的正弦值为3Vo5 35 :QA=QB=QC=QD,且平面ABCD为正方形， ∴.点Q在平面上的射影是ABCD的中心，可设Q(0l,h),则P2=A2, ∴1+(h-V5=1+1+,解得=5 ……10分 即001，)，0=01-25， 设PE=2PB,元∈[0,1]， …11分 .E2,2元，5-V32,AE=(2-1,2元，3-V3,4AC=(-2,2,0), 设平面AEC的一个法向量为乃=(x,,22), 则 =0.得a-+2:+5-5列：=0 4c-=0'有-2x+2%=0 取z=（5(2-1),3(2-1),32-1, …14分 设直线PO与平面AEC所成的角为日， (-)2 62-1) .sin0-cos(P.)- 3V105 po. 2W5 35 1+ V6(2-1)2+3元-1)月 3 2 化简得902-1291+46=0，.元=二或 23 3 30 当P呢=PB或P元 23P西时，直线Q与平面ABC所成角的正弦值为 3 3W105 …17分 35