1.3 勾股定理的应用 同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第三节 勾股定理的应用 一、思维导图 二、知识梳理 1.勾股定理的应用： （1）有关立体图形表面上两点间的最短路径问题：解决此类问题时，先将立体图形转化为平面图形，连接两点之间的线段长度就是最短距离。然后再利用勾股定理求出平面图形中线段长度，就是立体图形表面上两点间的最短路径的长. 规律总结：对于长方体三种展开方式中，沿最长的棱展开得到的路线是最短的. （2）勾股定理在折叠问题中的应用：利用勾股定理在折叠问题中求边长的主要思路（1）注意相关对应点、对应线段之间的位置、大小关系的变与不变；（2）抓住折叠问题中相关点、线，构建直角三角形；（3）利用勾股定理直接计算或列方程求解. 三、夯实基础 （一）选择题 1.勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是    A. B. C. D. 2.如图，长方体的底面边长为和，高为如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要  (     ) A. B. C. D. 3.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，顶端距离地面如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面，则小巷的宽度为(     ) A. B. C. D.   4.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时是的对应点，顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为(     ) A. B. C. D. 5.我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题．大意是：有一个水池，纵截面是一边长为尺即的长方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇径直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，如图．设芦苇长为尺，那么可以列出方程为(     ) A. B. C. D. 6.如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为，，．和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为 (     ) A. B. C. D. 7.如图，鱼竿长，露在水面上的鱼线长为钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿提起到的位置图中所有点均在同一平面内，此时露在水面上的鱼线长为，鱼线水平方向移动的距离是(     ) A. B. C. D. （二）填空题 8.如图，长方体的底面边长分别为和，高为如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要          ． 9. 如图是“赵爽弦图”，，，和均是四个全等的直角三角形，四边形和四边形都是正方形．若，，则四边形的面积为          ． 10.如图，一只蚂蚁从点沿圆柱表面爬到点，圆柱的高为，底面半径的长为，那么它爬行的最短的路线长是          ． 11.如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角米．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了米，木板顶端向下滑动了米，则木板的长为          米． （三）解答题 12.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线螺旋前进的． 通过阅读以上信息，解决下列问题： 若树干的周长即图中圆柱的底面周长为，葛藤绕一圈升高即圆柱的高，则它爬行一圈的路程是多少？ 若树干的周长为，葛藤绕一圈爬行，它爬行圈到达树顶，则树干高多少？ 13.如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点处，若，，，问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少厘米？ 14.如图，小明坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住他后用力一推，爸爸在处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，． 与全等吗？请说明理由； 爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 四、拓展提升 （一）选择题 1.临汾是帝尧之都，有着尧都之称尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志如图，在底面周长约为米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕圈到达柱顶正上方从点到点，为的中点，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为(     ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2.如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为   杯壁厚度不计． A. B. C. D. 3.如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是． A. B. C. D. 4.如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图所示，一个身高的学生走到处，即，门铃恰好自动响起，则的长为(     ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5.九章算术是古代东方数学代表作，书中记载：“今有开门去阃读，门槛的意思一尺，不合二寸，问门广几何？”题目大意是：如图、图图为图的平面示意图，推开双门，双门间隙的距离为寸，，两点到门槛的距离都为尺尺寸，则的长是(     ) A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸 （二）填空题 6.如图，圆柱底面圆的周长为，，分别是上、下底面的直径，高，用一条无弹性的丝带从至按如图所示的方式缠绕圈，则丝带的最短长度为          ． 7.如图，在一个长为米，宽为米的纸板上有一长方体木块，它的长和纸板宽平行且大于木块的正面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从处爬行到处需要走的最短路程是          米 8.如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时米，感应门自动打开，则_____米． 9.如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以的速度移动，设运动的时间为当           时，为直角三角形． 10.如图，在中，，，，点在边上，以为折痕将折叠得到，与边交于点若为直角三角形，则的长是          ． （三）解答题 11.某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量风筝放飞的垂直高度 测量示意图 测量数据 记录长度 测得水平距离的长为米． 根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． 小明牵线放风筝的手到地面的垂直距离为米． 解决问题 任务一 如图，求风筝离地面的垂直高度． 任务二 如果小明想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则他应该再放出多少米的线？ 12.如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能通过该隧道吗？ 13.为了积极宣传防疫，某区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路的一侧点处，小明家到公路的距离为米，假使广播车周围米以内能听到广播宣传，广播车以米分的速度在公路上沿方向行驶时，假如小明此时在家，他是否能听到广播宣传？若能，请求出他总共能斪到多长时间的广播宣传？若不能，请说明理由． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三节 勾股定理的应用 参考答案： 三、夯实基础 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A  C  C A  D  B   B          12.(1)解： 将圆柱侧面沿AB剪开的展开图，如图所示： 由题意可知，圆柱的底面周长为30cm，即AC＝30cm，高为40cm，即CD＝40cm， 在Rt△ACD中，根据勾股定理得，AD2＝AC2+CD2＝2500， ∴AD＝50cm．  答：它爬行一圈的路程是50cm．  (2)解：树干的周长为80cm，即AC＝80 cm，绕一圈爬行100 cm，即AD＝100 cm， 在Rt△ACD中，根据勾股定理得，CD2＝AD2-AC2＝3600， ∴绕一圈上升的高度CD＝60cm， ∴树干的高为60×10＝600(cm)＝6m， 答：树干高6m．  13.解：如图当蚂蚁从出发先到上再到点时 ， ， 在中 如图当蚂蚁从出发先到上再到点时 ， ， 在中 ， 第一种方案最近，这时蜘蛛走过的路程是．  14.解：与全等．理由如下： 由题意可知，，， ， ， 在和中， ， ≌； 由知≌， ，， 由题意知，， ， 爸爸是在距离地面的地方接住小明的．  四、拓展提升 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案  A  C  C  B  C         或  或  11.解：在中，，，， ， 又，米，米， 米， 答：风筝离地面的垂直高度为米； 风筝沿方向再上升米后，米， 此时风筝线的长为：米， 风筝应该放出线的长度为：米， 答：他应该再放出米线． 12.解：如图，作，取的中点，作于点，连接． 设，则． 在中，由勾股定理，得． ， ． ． 这辆卡车能通过该隧道．  13.解：小明能听到广播宣传， 理由：因为村庄  到公路  的距离  米  米， 所以小明能听到广播宣传． 如图，假设当宣讲车行驶到  点开始小明能听到广播，行驶到  点之后小明听不到广播， 则  米，  米， 所以  米， 所以  米， 所以小明听到广播的时间为：  分钟， 所以他总共能听到  分钟的广播宣传． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $