期中考前满分冲刺之优质压轴题-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

期中考前满分冲刺之优质压轴题 【专题过关】 类型一、正确结论(个数)(选、填) 1．如图，，F为AB上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据平行线的性质可得，，再结合，可得，可判断①；根据平行线的性质可得，可判断②；根据题中的条件无法确定的度数，可判断③；根据平行线的性质可得，从而得到，可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， 根据题中的条件无法确定的度数，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 无法确定是否等于，故④错误； 故选：B 2．如图，在和中，，，，直线，交于点，连接．下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．先证明，即可证明得到，即可判断①②；设与的交点为，在中由三角形外角的性质可得，在中由三角形外角的性质可得，则，即可判断③；过点作于，于，先证明得到，即可证明得到，假设平分，则可证得到，这与矛盾，即可判断④． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ，故①正确； ，故②正确； 设于的交点为， 在中由三角形外角的性质可得， 在中由三角形外角的性质可得， ， ，故③正确； 过点作于，于， ， 又，， ， ， 又， ， ， 假设平分， ， ，即， 又， ， ，这与矛盾， 不平分，故④错误， 故正确的有：①②③． 故选：B． 3．已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确结论正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． ①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中， ∵， ， ∴，本选项正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ， ∴，本选项正确； ③∵， ， ∴， ∴，本选项正确； ④∵， ，故此选项正确， 故选：C． 4．如图，，，延长至点，连接，和的角平分线交于点，下列三个结论：①；②；③若，，则．其中结论正确的个数有 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和，外角和定理的运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 根据平行线的性质可得，根据平行线的判定即可判定结论①；根据平行线的性质，角平分的性质，三角形的内角和外角和定理可得，由此可判定结论②；根据三角形的外角和定理可得，结合角平分线性质可得，根据平行的性质，，由此即可判定结论③． 【详解】解：结论①， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论①正确； 结论②， 如图所示，设交于点， 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论②错误； 结论③若，，则， ∵，且， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，则， ∵， ∴，， ∴， ∴，故结论③正确； 综上所述，正确的有①③， 故答案为：①③ ． 5．如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点F，连接．下列结论：；；平分；．其中正确结论的个数 【答案】3/3个 【分析】作于M，于N，设交于O．证明，利用全等三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：如图，作于M，于N，设交于O． ∵， ∴， 在与中， ， （）， ∴，，故①正确， ∵， ∴， ∴，故②正确， ∵，，， ∴， ∴， ∴平分， ∴，故④正确， 若③平分成立，则， ∵， ∴，推出，由题意知，不一定等于， ∴不一定平分，故③错误， 即正确的有3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是利用面积证明，属于中考常考题型． 6．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F是垂足，现给出以下四个结论：①∠DEF＝∠DFE；②AE＝AF；③AD垂直平分EF；④∠BDE＝∠CDF．其中正确结论的个数是 ． 【答案】4 【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定与性质对各个选项进行分析即可得答案． 【详解】解：∵∠B＝∠C， ∴AB＝AC， 又∵D是BC的中点， ∴AD平分∠BAC， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∵DA＝AD， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴AE＝AF，∠EDA＝∠FDA ∴AD垂直平分EF， 故②③正确， ∴∠DEF＝∠DFE， 故①正确， ∵∠BED＝∠DFC＝90°， ∴∠BDE＝∠CDF． 故④正确． 故答案为：4． 【点睛】 此题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质及角平分线性质的综合运用． 类型二、最值问题(选、填) 1．如图，在中，，，平分交于点D，点E、F分别是线段、上的动点，则的最小值为（    ）． A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出；在线段上截取，连接，可证明，得到，则当C、E、H三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图所示，在线段上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当C、E、H三点共线，且时，有最小值，当，即此时有最小值，最小值为线段的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为3， 故选：B． 2．如图，在锐角三角形中，，的面积为12，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用轴对称解决线段最短问题， 垂线段最短，角平分线的性质． 作N关于的对称点，连接、，与交于点O，过点C作于点E，根据角平分线的性质可得，则，根据两点之间线段最短可得的最小值为，再根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度，最后由的面积求出，即可求解． 【详解】解：如图，作N关于的对称点，连接、，与交于点O，过C作于E， ∵平分 ∴在上，且 ∴， ∴根据两点之间线段最短可得 的最小值为，即C点到线段某点的连线， ∴根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度， ∵ 的面积为 12 ∴ ∴，即的最小值为6， 故选D． 3．如图，在中，，，，为角平分线上一动点，为边上一动点，的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】过点Q作的对称点，连接，则，过点作交延长线于点，则，那么的最小值为，过点作交于，过点作于点，证明，导角证明得到，则由等腰三角形的性质以及全等三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：过点Q作的对称点，连接，则，过点作交延长线于点， ∵为角平分线上一动点， ∴点在射线上， ∴， ∴的最小值为，此时重合，点共线， 过点作交于，过点作于点， ∴， ∴ ∵， ∴为等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂线段最短，三角形的外角定理等知识点，难度大，解题的关键是正确构造全等三角形． 4．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称的应用．解题的关键是能够通过构造全等三角形，把进行转化．构造法是初中解题中常用的一种方法，对于最值的求解是初中考查的重点也是难点． 从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵的平分线交于点， ， 在和中， ∴， ， ， ∵有最小值． 当是点到直线的距离时，， 又，，此时， 即取最小值为4， ∴的最小值是 4 ． 故答案为4． 5．如图，在等边中，D为边的中点，，P是线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，含的直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 过点作于，过点作于．求出，再证明，，根据垂线段最短，解决问题即可． 【详解】如图，过点作于，过点作于． 是等边三角形，， ，平分， ，垂直平分， ∴， ， ， ，， 根据面积法可得， ， ， ， ∴，即， ∴的最小值为． 故答案为：． 6．如图，已知：，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度．的周长的最小值是 ． 【答案】 120 【分析】分别作点P关于，的对称点，；连接，分别交，于点A、点B，则此时的周长最小，连接，，由轴对称的性质得，，结合得到，进而推出是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：分别作点P关于，的对称点，；连接，分别交，于点A、点B，则此时的周长最小． 连接，， 由轴对称的性质得，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵的周长， ∴的周长的最小值． 故答案为：120；． 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题、等边三角形的性质与判定，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点． 类型三、全等三角形动点求t(选、填、解) 1．如图．在长方形中，，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t，当t的值为多少时，和全等．（   ） A．2或9 B．2或7 C．2 D．3或7 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得． 【详解】解：由题意得：，， 若，， 根据证得， ，即； 若，， 根据证得， ，即． 当t的值为2或9秒时．与全等． 故选：A． 2．如图，已知在中，，，点D为的中点．点P在线段上以每秒3个单位长度的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A以每秒a个单位长度的速度运动．设运动时间为t秒，若和全等，且和是对应角，则a的值为（　 　） A．3 B．3或5 C．3或 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分两种情况讨论是解题的关键．根据题意可得：，从而可得，再利用线段的中点定义可得，最后分两种情况：当时；当时；从而利用全等三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵，点D为的中点， ∴， ∵和全等，且和是对应角， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：a的值为3或， 故选：C． 3．如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，和全等． 【答案】1或7 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意可得当点P在上时，只有这种情况，当点P在上时，由于此时不是直角三角形，故此种情况不存在，当点P在上时，只有这种情况，根据全等三角形的性质求出点P的运动路程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 当点P在上时，若和全等，则只有这种情况， ∴， ∴； 当点P在上时，由于此时不是直角三角形，故此种情况不存在， 当点P在上时，同理可得只有这种情况， ∴， ∴点P的运动路程为， ∴； 综上所述，当t的值为1秒或7时，和全等． 故答案为：1或7． 4．如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动．过分别作直线的垂线段，垂足分别为．设运动时间为，当与全等时， s． 【答案】1或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质．分四种情况讨论，由与全等，，①当点在上，点第一次从上时，则；当点在上，点从上时，则；当点在上，点从上时，则；当点在上，点第二次从上时，则，分别解方程并检验即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 当点在上，点第一次从上时， ∵与全等， ， ， ， 当点在上，点从上时， ∵与全等， ， ， 当点在上，点从上时， ∵与全等，， ， ， （舍）； 当点在上，点第二次从上时， ∵与全等，， ， ， 综上所述：t的值为1或或； 故答案为：1或或． 5．如图（1），线段，过点A、B分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点D．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B运动；同时动点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线运动．当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为． (1)当时， ______， ______，用含a的代数式表示的长为______． (2)当，时， ①求证：； ②求证：． (3)如图（2），将“过点A、B分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的a、t的值． 【答案】(1)2，4， (2)①见解析；②见解析 (3)，或， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，列代数，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间可得的长，进而可得的长； （2）①可证明，再由垂线的定义可得，据此可证明结论；②由全等三角形的性质得到，则可证明，再由平角的定义即可证明结论； （3）分和两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，， ∴， 故答案为：2，4，； （2）证明：①当，时，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，，或，． 6．如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以/秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒： (1)________cm．（用t的代数式表示） (2)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以/秒的速度沿向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)/秒或/秒 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）题干未指明全等三角形边的对应情况，需要分两种情况①当时；②当时，分别讨论计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，点P的运动时间为t秒时，， 则； 故答案为：； （2）①如图1，，则，， ， ，即，解得：， ，即，解得：（cm/秒）． ②如图2，当，则，． ，， ，即，解得：， ，即，解得：； 综上所述：当/秒或/秒时，与全等． 类型四、等腰三角形分类讨论(选、填、解) 1．如图，在中，，在直线上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 根据题意三种情况：，，，作图解答即可． 【详解】解：由题意可分三种情况：，，， 作图可得： 由图可得点一共有个， 故选：A． 2．如图，在的网格中，点A，B在格点上，点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 分三种情况： 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点于点、； 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点于点； 当时，作的垂直平分线，交网格的格点于点、、、、； 综上所述，是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是， 故选：C． 3．如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题： (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有 个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有 个． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定． （1）分4种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可； （2）分2种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可． 【详解】（1）如图1，当时，满足条件的等腰三角形有4个，理由如下： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：4； （2）如图2，当时，满足条件的等腰三角形有2个，理由如下： 当时，是等边三角形， 当时，； 故答案为：． 4．已知：如图中，，，在射线上找一点 D，使为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，分三种情形分别求解即可解决问题． 【详解】解：中，，， ∴， 如图，有三种情形： ①当时， ∴； ②当时，， ∴， ③当时，， ∵。 ∴， ∴． 故答案为或或． 5．【背景】数学兴趣小组发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系，并对此展开探究． 【探索】（1）如图1，在和中，点为与的交点． ①若，则___________； ②若，则与之间的数量关系是___________； 【应用】（2）如图2，在等腰中，，，是边上一点，将沿折叠至的对应边与交于点，当为等腰三角形时，求的度数； （3）如图3，在中，，是边上的高，，是外一点且满足．记，求与的关系式． 【答案】（1）①，②；（2）的度数为或，（3） 【分析】（1）①求出，得；②根据，，得． （2）设，则，．，．当时，，解得．得．当时，，解得．得． （3）由题意可得：， 在 BD 上截 ，证明，，得，可得，得，得． 【详解】解：（1）①∵在中，， ∴， ∴， ∴在中， ． ②∵在中，；在中，， 且，， ∴． （2）∵，， ∴，， 设， 则，， ∴， ∴， ∵为等腰三角形，且， 情况1：， ∴， 解得：． ∴，， ∴． 情况2：， ∴， 解得：， ∴，， ∴． ∴的度数为或 ． （3）∵ ∴， 在 上截取 ， ∵， 结合（1）可得：， ， ， 在和中， ， ∴，而， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． 6．如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”， (1)如图1，三角形内角分别为，，，这个三角形 （填“存在”或“不存在”）“黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D．求证：是的一条“黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 【答案】(1)存在 (2)见解析 (3)符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数是或或或． 【分析】（1）根据给定的将分为和即可双腰三角形； （2）根据垂直平分线得，可得是等腰三角形，利用三角形外角定理，即可证得是等腰三角形，那么结论成立； （3）当是一个等腰三角形，且它是“准黄金三角形”时，有四种情形，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，作的垂直平分线交于点D，连接， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴这个三角形存在“黄金线”； 故答案为：存在； （2）证明：∵线段的垂直平分线交于点E， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的一条“黄金线”； （3）解：一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，有以下四种情况： ①如图3，，， ∴， ∵是一个“准黄金三角形”， ∴和都是等腰三角形， ∴， 此时等腰三角形的顶角为； ②如图4，设， ∵， ∴，， 则， 解得， 此时等腰三角形的顶角为； ③如图5，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 此时等腰三角形的顶角为； ④如图6，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时等腰三角形的顶角为； 综上，符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了新定义—“准黄金线”，“准黄金三角形”的理解和运用，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，正确地理解题意是解题的关键． 类型五、用的代数式表示边、角(选、填、解) 1．如图，已知点在线段上，且，，分别是，的平分线，若的度数可用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用三角形外角和证明，角平分线定义得，，从而得到，再根据三角形 外角和得到，即可求解． 【详解】解：连接，并延长到F，如图， ，，， 又， ， ， ， ∵，分别是，的平分线， ，， ， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内角和与外角和，角平分线定义，解题关键是证得或． 2．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则的值是（   ）（用含的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质． 先根据平行线的性质得到，，再由折叠的性质得到，则，根据三角形内角和定理得到，则． 【详解】解：∵， ∴，， ∵纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，在与中，，，，连接和交于点，连接．则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 过点作，交于点，证明，得出对应边相等和对应角相等，然后利用三角形的内角和及角平分线的定义即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图1，在内部任取一点，则图中互不重叠的所有角的和是；在图1中的任一小三角形内任取一点（如图2），则图中互不重叠的所有角的和是．以此类推，当取到点时，图中互不重叠的所有角的和是 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和，列代数式．当内的点的个数是1时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是3；当内的点的个数是2时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是5；以此类推得到，当内的点的个数是3时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是7；当内的点的个数是时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是． 【详解】解：在图1中的任一小三角形内任取一点，图中互不重叠的所有角的和是； 在图1中的任一小三角形内任取一点（如图2），图中互不重叠的所有角的和是； 当内的点的个数是1时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是3； 当内的点的个数是2时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是5； 以此类推得到，当内的点的个数是3时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是7； 当内的点的个数是时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是， ∴当取到点，图中互不重叠的所有角的和是：． 故答案为：． 5．钝角三角形中，，． (1)若． 如图，当，点恰好为中点时，延长至，使，连接，请直接写出_______，______； 如图，点为延长线上一点，连接，过点作交的延长线于点，且有，请探究的关系，并说明理由． (2)如图，若，过点的直线交边于点．点在直线上，且．若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，；，理由见解析； (2)． 【分析】（）由，点恰好为中点，，则有，，从而求出，连接，证明垂直平分，则有，可证是等边三角形，然后通过三角形内角和定理即可求出； 作角平分线交于点，可得，所以，从而证明，所以，，然后通过线段和差即可求解； （）在延长线上截取一点，使得，由，，则，证明，故有，，由，则，最后通过等边对等角即可求解． 【详解】（1）解：∵，点恰好为中点，， ∴，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵，点恰好为中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； ，理由， 如图，作角平分线交于点， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图，在延长线上截取一点，使得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”，等腰三角形的判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 6．“如图①，在中，，和的平分线相交于点，求的度数．”小白在解决这个问题的过程中，发现当取不同的数值时，的大小并不改变，于是猜想三角形的两个内角的平分线的夹角和第三个内角的度数之间存在着某种数量关系，所以决定将其作为一个项目做进一步探究． 【项目模型】如图②，直线与直线相交于点，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合）．连接，和的平分线交于点．探究与的数量关系． 【特例发现】如图②，当时，__________度；当时，_____________度． 【规律探索】如图②，当度数为时，用含的代数式表示的大小，并写出推导过程． 【拓展应用】如图③，当时，和的平分线交于点，和的角平分线交于点．在点和点的运动过程中，当的三个内角中有一个角是另一个角的3倍时，直接写出的度数． 【答案】特例发现：；；规律探索：，推理过程见解析；拓展应用：或 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，熟知三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键． 特例发现：先由三角形内角和定理得到的度数，再由角平分线的定义得到，据此得到，则由三角形内角和定理可求出的度数； 规律探索：同特例发现中的方法求解即可； 拓展应用：由三角形内角和定理可得，则由平角的定义可得，再由角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理可得，则由规律探索的结论可得；再分，，和， 四种情况根据三角形内角和定理求出的度数，进而根据角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：特例发现：当时， ∵， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴， ∴， ∴； 规律探索：，推理如下： ∵，， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴， ∴， ∴； 拓展应用：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵和的角平分线交于点， ∴； 当时， 则， ∴， ∴， ∴； 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 综上所述，的度数为或． 类型六、乘法公式与几何图形(选、填、解) 1．如图，将甲、乙两个正方形并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图1与正方形图2．若图1、图2中阴影部分的面积分别为9与36，则正方形乙的面积为（   ） A．18 B．13 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减，代数式，完全平方公式，熟练掌握知识点是解题的关键． 甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，表示图1阴影的面积得到，图2中阴影的面积得到，化简为，整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，由题意得 图1中阴影的面积为； 图2中阴影的面积为，即， ∴，即乙正方形的面积为9． 故选D． 2．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据左边的操作，得到剩余的面积为；根据右边的操作，得到长方形的面积为，根据面积相等，解答即可． 本题考查了平方差公式，熟练掌握公式的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据左边的操作，得到剩余的面积为；根据右边的操作，得到长方形的面积为，根据面积相等，得． 故选：D． 3．如图1是一个宽为a、长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．则根据这两个图形间的关系，得到代数式三者之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，图2中正方形的边长为，中间阴影部分小正方形的边长为，根据大正方形的面积等于4个长为a宽为的长方形面积加上小正方形的面积，根据题意列式即可得出答案． 本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景进行求解是解决本题的关键． 【详解】解：根据题意可得， 图2中正方形的边长为，中间阴影部分小正方形的边长为，图1的面积为， 则． 故答案为：． 4．现用相同的长方形材料（如图1，长为，宽为）拼出如图图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内若图2，图3中空白部分面积分别为19，68，长方形材料的面积是 ． 【答案】15 【分析】本题考査了完全平方公式的几何背景，数形结合思想是解题的关键．先用a， b表示、，再整体求解； 【详解】解：，，即， ∴； 长方形材料的面积； 故答案为：15． 5．小李和小王学习了乘法公式后，决定利用如图1的三个图形（一个正方形和两个一样的梯形）通过拼图来验证一下完全平方公式． (1)请画出你所拼的图形，并写出验证过程； (2)利用（1）中的结论解决问题：若，，则_____． (3)如图2，是线段上一点，以、为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，，求图中阴影部分面积； (4)若实数满足．求代数式的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值； 一个正方形和两个一样的梯形拼成了一个边长为的大正方形，用两种不同的方式求出大正方形的面积，可以验证完全平方公式； 把，代入，即可求出的值； 设，，由可得：，由可得：，整体代入可以求出，连接，可知，根据三角形的面积公式可得：，即可求出阴影部分的面积； 设，，则有，，整体代入中求出的值，即的值． 【详解】（1）解：如下图所示，一个正方形和两个一样的梯形拼成了一个边长为的大正方形， 大正方形的面积可以表示为， 大正方形的面积等于小正方形的面积与两个梯形的面积之和， 即， 可验证完全平方公式； （2）解：由可得：， ，， ， 解得：； （3）解：设，， ，， ， ， ， ， 由可知：， ， 解得：， 如下图所示，连接， 则 ； （4）解：设，， 则有，， ， 由可得：， 可得：， 解得：， ． 6．我们知道，在学习了课本阅读材料：《综合与实践—面积与代数恒等式》后，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题： (1)下图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式， ①②③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为_________________； (2)利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： ①已知，，，求的值； ②若x满足，求的值； (3)如图，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至T，使，延长至O，使，过点O、T作的垂线，两垂线相交于点R，请直接写出四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值）． 【答案】(1)①、③、② (2)①；②25 (3)1856． 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的关键． （1）结合题意，根据正方形面积，利用割补法进行分析，即可得到答案； （2）①直接利用题中所给的运算方法解题即可； ②设，，利用题中所给的运算方法解题即可； （3）用表示出大正方形的边长，进而表示面积，利用完全平方公式和它的变形解题即可． 【详解】（1）解：图甲中，由图可知，，也可以表示为， ∴，即； 图乙中，由图可知，，也可以表示为， ∴； 图丙中阴影部分的面积可以表示为． 也可以表示为即， ∴； 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为①、③、②； 故答案为：①、③、②； （2）解：①∵，，， ∴， ∵， ∴； ②设，； 则，， ； （3）解：由题意得：，， ， 长方形的面积是200， ，即， 设， 则，， ． 类型七、倍长中线法(解) 1．中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 如图，在中，D是边上的中点． (1)如图1，E是边上任意一点，过点C作，交的延长线于点F．.求证：． (2)如图2，连接，若，，求的长的取值范围． (3)如图3，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． (4)若将（3）中的“，”更改为“平分，”，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，倍长中线的运用．根据倍长中线作出正确的辅助线是解题关键． （1）证明，即可得到； （2）延长至点E，使，连接．证明，则，在中，由三边关系可得：，即，由即可得到答案； （3）延长至点F，使，连接．证明，即可得得到，即平分； （4）延长至点F，使，连接．则，证明，则，即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵D是边上的中点． ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，延长至点E，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又， ∴在中，由三边关系可得： ，即， ∵， ∴ 故． （3）证明：如图，延长至点F，使，连接． 同法（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 即平分； （4），理由如下： 如图，延长至点F，使，连接． ∴ 同法（1）得：， ∴， ∵， ∴ ∵平分， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴ 2．【问题情境】课外数学社团开展活动时，提出了如下问题：如图，中，若，，点D为边上的中点，求中线的取值范围． 【方法探究】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下方法：延长到E，使，连接，如图1．请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是______．（填判定依据） （2）由“三角形的三边关系”，可以得到中线的取值范围为______． 【拓展迁移】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为M，若，，求的长度． 【答案】（1）SAS，（2），（3）2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系． （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长、，交于点F，根据全等三角形的性质得到，，根据线段垂直平分线的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：SAS． （2）在中，，， ∴，即， ∴， ∵，， 又∵， ∴， 故答案为：． （3）如图，延长、，交于点F， ∴,， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． (1)小明证明用到的判定定理是： ；（用字母表示） (2)的取值范围是 ； (3)【灵活运用】如图3，，点M为的中点，试说明：； (4)【问题拓展】如图4，是的中线，延长至点E，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)，见解析 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形全等的判定与性质等知识，理解题目中方法“倍长中线法”是解题关键． （1）根据“边角边”证明，即可求解； （2）根据，得到，根据三角形三边关系得到，即可得到； （3）延长至点N，使，连接．先证明，进而证明，得到，即可证明； （4）在的延长线上截取，连接，则．先证明，再证明，即可证明，． 【详解】（1）解：∵点D为的中点， ∴， 在和中， ∴（）． 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明：延长至点N，使，连接． ∵点M为的中点， ． 在和中， ， ． ， ． ， ∴． 在和中， ， ， ， ∵ ； （4）解：． 理由如下：如图，在的延长线上截取，连接， 则． ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，． 4．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：_____． （2）如图1，在中，若，，是的中线，则的取值范围是_____． 【问题应用】 （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （4）如图3，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）．理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据中线的定义得，进而可依据“”判定和全等，由此即可得出答案； （2）根据三角形三边关系，列式计算即可得出答案； （3）延长到F，使，连接，则，同（1）证明和全等得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出线段与的数量关系； （4）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）线段与的数量关系是：，理由如下： 延长到F，使，连接，如图所示： 则， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）．理由如下： 延长至G，使，连接，则， ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 5．（1）问题提出：在中，，，求边上的中线的取值范围． 思维点拨：延长中线至等长，构造全等三角形，把、、集中在中，利用三边关系，可得的取值范围． 问题解决1：在图1中找出与的数量关系并证明； 问题解决2：的取值范围是_____，和的位置关系是_____． （2）问题拓展：如图2，是的中线，，，，探究线段与的数量关系并加以证明． 【答案】（1）问题解决1：；问题解决2：，平行；（2），理由见解析 【分析】本题主要考查倍长中线，三角形三边的数量关系，全等三角形的判定和性质，合理作图，证明三角形全等是解题的关键． （1）问题解决1：根据题意证明即可求解； 问题解决2：根据全等三角形的性质，三角形三边数量关系即可求解； （2）如图，延长至点，使，连接，可证，，由此即可求解． 【详解】解：（1）问题解决1：， 证明：延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，； 问题解决2：∴，， ∴，即， 故答案为：，平行， （2）．理由如下： ， 证明：如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中： ， ， ，， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 6．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（  ） A．           B．            C．             D． （2）求得的取值范围是（  ） A．      B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证： 【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】解：（1）在和中 ， ， 故选B； （2）由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ∴ ， 故选C； （3）如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， 即． 类型八、平面直角坐标系中的综合应用(解) 1．如图，以直角三角形的直角顶点为原点，以、所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，满足．为线段的中点．在平面直角坐标系中，以任意两点、为端点的线段中点坐标为． (1)则A点的坐标为 ；点C的坐标为 ，D点的坐标为　 ． (2)已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．设运动时间为t（）秒．问：是否存在这样的，使；若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由 (3)点是线段上一点，满足，点是第二象限中一点，连接，使得．点是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动的过程中，请确定，和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)A，，； (2)存在， (3) 【分析】本题考查的是非负数的性质、三角形的面积计算、平行线的性质、三角形的外角性质等，掌握算术平方根、绝对值的非负性、平行线的性质、三角形的外角是解题的关键． （1）根据算术平方根、绝对值的非负性分别求出、，根据线段中点坐标的计算公式求出点坐标； （2）根据三角形的面积公式计算即可； （3）过点作，根据平行线的性质得到，证明，得到，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】（1）解：， ∴，， 解得：，， 点坐标为，点的坐标为， ∵为线段的中点， ∴点坐标为， 故答案为：，，； （2）解：存在，由题意得：，，则， ， ， 解得：， 则时，； （3）解：过点作， 则， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．“等面积法”是数学中常用的、重要的解题方法，在下题中也有所体现． 在平面直角坐标系中有，点，在轴上，，点在轴上，交延长线于点，． (1)如图，请直接写出的面积为______，点的坐标为______． (2)如图，若点坐标为，点在轴上点右侧，点在延长线上，连接，，若：：，求点的坐标补充并完成下面解答过程： 解：过作延长线于，， 由：：，可得：______． 在和中，， ______． (3)如图，在（2）的条件下，点在线段上，连接，过作于若，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)：，：：，补充见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键. （1）根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）过作延长线于，根据三角形面积公式得到，推出，求得，于是得到； （3）过作轴于点，设，，连接，根据三角形的面积公式得到，求得，得到，根据三角形和梯形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ． ； 故答案为：，； （2）过作延长线于，， 由，可得， 在和中，， ， ； ， ， 故答案为：，； （3）过作轴于点，设，，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．（1）已知，将一个三角板的直角顶点P如图（1）所示放在平面直角坐标系的y轴上，已知点P的坐标为，，求点N的坐标． （2）是第一象限角的平分线，将三角板的直角顶点P在射线上滑动，如图（2）所示，两直角边分别与x轴、y轴交于D、，请猜想和有怎样的数量关系，并证明你的结论． （3）是第一象限角的平分线，将三角板的直角顶点P在射线上转动，如图（3）所示，两直角边的延长线分别与x轴、y轴交于D、，请你直接写出和有怎样的数量关系． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）． 【分析】（1）作轴于，证明，根据全等三角形的性质求出、，得到点的坐标； （2）作轴于，轴于，证明，根据全等三角形的性质得到； （3）作轴于，轴于，仿照（2）的证明过程解答． 本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】解：（1）如图，作轴于， 则， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为； （2）， 理由如下：如图（2）作轴于，轴于， ∵是第一象限角的平分线，且轴于，轴于， ∴， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）， 理由如下：如图，作轴于，轴于， 由（2）可得，， ， ， ． 4．如图，平面直角坐标系内，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线于点D，交y轴于点E，交x轴于点C，，且．    (1)求证：； (2)求的面积； (3)点M为线段上一动点，作，且交于点N，当点M运动时，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的值不发生变化，为定值1，理由见解析 【分析】（1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质求出，则可利用三角形面积公式求出答案； （3）如图所示，过点E作于H，连接，先证明，得到；再证明，得到，进而得到，再证明，得到，则由此可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）解：的值不发生变化，为定值1，理由如下： 如图所示，过点E作于H，连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴    【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定等等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 5．在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点，点，点在第四象限． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，若交轴于点，交轴于点，是上一点，且，连接，求证； (3)如图3，若点不动，点在轴的负半轴上运动时，分别以，为直角边在第二、第三象限作等腰直角与等腰直角，其中，连接交轴于点，问当点在轴的负半轴上移动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3)不变， 【分析】（1）过作轴于，先证，得，，则，即可得出答案； （2）过作交轴于，先证，得，，再证，得，进而得出结论； （3）过作轴于，先证，得，，再证，得即可． 【详解】（1）解：如图1， ， 过作轴于， 则， ∵点，点， ∴，， ∵为等腰直角三角形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； （2）证明：如图2， ， 过作交轴于， 则， 由（1）得：，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：的长度不变化，，理由如下： 如图3， ， 过作轴于， 则， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，本题综合性强，正确做出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 6．(1)如图1，等腰直角中，，，线段经过点，过作于点，过作于，求证：． (2)如图2，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标； (3)如图3，在中，，，点不与点重合是轴上一个动点，点是中点，连接，把绕着点顺时针旋转得到即，，连接、、，试猜想的度数，并给出证明． 【答案】（1）见解析；（2）点的坐标为或或或；（3），证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰直角三角形的性质与判定： （1）利用证明，得到即可得到结论； （2）如图所示，过点B作轴，过点A作于M，过点C作于N，先求出，同理可证明，得到，则，同理，根据正方形的性质，得出另外两个符合题意的点坐标，即可求解． （3）分两种情形：当点运动到点A右侧时，如图②中，延长至，使，连接，，．利用全等三角形的性质求解．当点运动到点左侧时，同理可证，． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解：如图所示，过点作轴，过点作于，过点作于， 点，点， ，， 同（1）可得， ，， ； 同理，， 为的中点， ； 由题意得：四边形与四边形是正方形， 正方形对角的交点坐标为，与正方形对角的交点坐标为， ，． 综上，点的坐标为或或或； （3）解：猜想，证明如下： ①当点运动到点右侧时， 如图中，延长至，使，连接，，． 在和中， ， ， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ，，， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，； ②当点运动到点左侧时， 同理可证，， 综上所述，． 类型九、规律问题(解) 1．（1）阅读下文，寻找规律： 已知时，， ， 观察上式，并猜想： （ ① ）． ② （2）通过以上规律，请你进行下面的探索： ①． ②（ ③ ）． ③ ④ ． （3）根据你的猜想，计算： 【答案】（1）① ；②； （2）③；④；（3） 【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律性问题，解题的关键是分析已知式子，从中找出规律． （1）分析可得规律，即可解答； （2）观察字母的指数，结合（1）中结论可以得到规律； （3）将式子写成形式，运用规律即可解答． 【详解】解：(1) ∵当时， ， ， ∴； ． 故答案为：① ，② ． (2) ②； ③． 故答案为：③，④． （3） ． 2．观察下列各式： ； ； ； … (1)根据以上规律可知， ______； (2)你能否由此归纳出一般性规律： ______； (3)根据以上规律解决： ①计算： ______； ②； ③，则______． 【答案】(1) (2) (3)①；②；③2或0 【分析】本题考查了探索规律，体现了由一般到特殊的应用，解题的关键是探索出规律，根据规律答题． （1）由题意可知每一个式子的结果为两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项的指数大1，减数都为1，根据这个规律即可直接写出答案； （2）根据式子总结归纳出式子规律即可； （3）①把，代入所得的规律中即可得到答案；②把，代入所得的规律中即可得到答案；③根据规律可求得，代入求解即可． 【详解】（1）解：根据规律可得， 故答案为：； （2）解：观察归纳规律可得， 故答案为：； （3）解：①由（2）可知，， 当，时， ， 即， 故答案为：； ②同①，当，时， ， 即； ③∵ ∴，即， ∴当时，， 当时，， 故答案为：2或0． 3．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形 中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律，请写出它的展开式； (2)利用上面的规律计算：； (3)运用：若今天是星期二，经过天后是星期___________． 【答案】(1) (2)1 (3)三 【分析】本题考查了整式乘法运算，多项式乘多项式规律探究，学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．（1）观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）利用规律，根据有理数混合运算的法则计算即可； （3）根据题意可得的余数是1，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：的最后一项是1， 则的余数是1， ∴若今天是星期二，经过天后是星期三． 故答案为：三 4．观察下列等式： ；；；；… 从这些计算结果中，你能发现什么？ 我们发现了一个速算法则： 十位数字相同，个位数字分别是3和7的两个两位数的乘积，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上3和7的乘积21． 例如，计算，因为，，所以． (1)利用以上规律直接写出结果：______； (2)设两个因数的十位数字为a，用含a的代数式表示上述速算法则：__________________； (3)善于思考的小聪通过计算                                                           … 发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律．设两个因数的十位数字为a，个位数字分别为m，n，且，请用含a、m、n的等式表示小聪发现的规律，并说明该等式成立． 【答案】(1)7221 (2)；； (3)；理由见解析 【分析】本题主要考查了整式乘法中的相关数学规律，数字规律探究，用代数式表示数字规律，解题的关键在于理解题意，熟练掌握整式乘法运算法则． （1）根据题意直接写出答案即可； （2）根据观察规律可得，即可求解； （3）利用代数式表示两个乘数，根据整式的运算计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：7221； （2）解：由题意可知： … ∴， 故答案为：；；； （3）解：，理由如下： 两个因数分别表示为：，， 则 ， ∵， ∴ ． 5．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了展开式的规律．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． (1)按以上规则，展开式共有 项，第三项（字母部分为）的系数是 ； (2)我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式 ；进而写出的展开式 ； (3)若，请求出的值． 【答案】(1) ， (2)； (3) 【分析】本题考查杨辉三角，找规律展开（为正整数），读懂题意，理解杨辉三角与（为正整数）展开式各项的系数关系规律是解决问题的关键． （1）由题中规律可知，结合杨辉三角形，将展开即可得到答案； （2）由题中规律可知，结合杨辉三角形，将展开即可得到答案；将等式中的“”代换成“”即可得到的展开式； （3）分别令和，得出即可得到答案． 【详解】（1）解：由题中规律可知，结合杨辉三角形： ，展开式共有5项，第三项（字母部分为）的系数是6， 故答案为：5 ，6； （2）由题中规律可知，结合杨辉三角形： ； 将等式中的“”代换成“”，得到 ； 故答案为：；； （3）解：∵， 当时， ∴ 即① 当时， 即② ①+②得， 即 ∴ 6．观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)观察：根据上述规律，请写出第5个等式：________． (2)猜想：________． (3)应用：当，时，求出的值． (4)延伸：试求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据已知等式写成第5个等式即可； （）根据已知等式写出猜想即可； （3）根据规律进行解答即可； （4）根据（2）的结论求出，进而即可求解； 本题考查了多项式乘以多项式，根据已知等式找到规律是解题的关键 【详解】（1）解：第5个等式为： 故答案为： （2）猜想 故答案为： （3）当，时， 即 ∴ 即当，时，的值为． （4）∵， ∴ 类型十、新定义问题(解) 1．定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”， ，，则 ． (2)如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由． ②若点E是边上一点，是“准互余三角形”， ，求的度数． 【答案】(1) (2)①是“准互余三角形”，理由见解析；②或 【分析】本题考查了直角三角形的性质，理解新定义，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）根据“准互余三角形”可知，，即可得解； （2）根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，符合定义，即可得解； （3）分两种情况讨论，和，分别求出，再根据直角三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：是“准互余三角形”， ， ， ， 故答案为：． （2）解：①是“准互余三角形”，理由如下，如图， 是的平分线， ， ， ， ， 是“准互余三角形”； ②如图， 由题意得， 是“准互余三角形”， 当时， ， ， ， 当时， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 2．定义：在平面内，对于和，若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如：，，有，则是的“2系数补角”． (1)若，求的“5系数补角”的度数； (2)在平面内，直线，直线在上方，直线分别交直线，于点E，F，且，点H为直线右侧一个动点，的平分线与的平分线交于点M． ①如图，若点H在直线上方，且，，求的度数； ②已知，，是的“3系数补角”，且，请直接用含m和n的式子表示x． 【答案】(1) (2)①；②的度数为或或 【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． （1）根据“系数补角”的定义计算即可； （2）根据平行线的性质得出，根据题意求出，根据角平分线定义得出，，求出最后根据三角形内角和定理求出结果即可； （3）分三种情况：当点在直线内部时，当点在直线下方时，当点在直线上方时；分别求解即可． 【详解】（1）解：， 的“5系数补角”； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ②如图，当点在直线内部时， 平分，平分， ，， ∵， ， ， ，， ， ， ， 是的“系数补角”， ，即， ； 如图，当点在直线下方时， ∵， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 是的“系数补角”， ，即， ； 如图，当点在直线上方时， 同理可得， ， 是的“系数补角”， ，即， ； 综上所述，的度数为或或． 3．【阅读理解】定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是____________； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是____________； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，延长至F，使，连接，，且，写出、、的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)或 (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理： （1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，再证明，则，最后由线段和差结合等量代换即可得到结论． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ，    ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ，    综上所述，与的数量关系是或； （3）解：， 证明：延长交于点， 是的“边垂角”， ∴， ， ， ， ∵ ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ， ． 4．（1）理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 如图1，在中，． ①若为上一点，当的长为______时，与是偏等积三角形； ②若是上一点，，则与______偏等积三角形（填“是”或“不是”）； （2）运用定义：如图2，为上一点，与是偏等积三角形，，，且线段的长为偶数，则的长为______； （3）拓展加深： ①如图3，．求证：与是偏等积三角形； ②如图4，与是偏等积三角形，，求证： 【答案】（1）①3；②是；（2）（3）①见解析；②见解析 【分析】本题考查三角形的中线，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，熟练掌握新定义，合理添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． （1）根据三角形的中线平分面积，结合新定义进行求解和判断即可； （2）过C作交的延长线于E，根据与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，则有，再证明，得，再根据三角形的三边关系可知，进而可求解； （3）①先证明，再由，，说明与不全等，作于点F，交的延长线于点G，可证明得，即可证明与面积相等，即可解答． ②作，交的延长线于点，作于点，根据新定义，推出，证明，得到，进而得到． 【详解】解：（1）①∵三角形的中线平分三角形的面积， ∴当为的中线时，与是偏等积三角形，此时； 故当时，与是偏等积三角形； 故答案为：3； ②∵点是上一点，且， 又∵， ∴， 即：为的中点， ∴为的中线， ∴， ∵， ∴不全等， ∴与是偏等积三角形； 故答案为：是； （2）如图2，过C作交的延长线于E，   与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 线段的长为偶数， ； （3）与是偏等积三角形． 理由：如图3，   ， ， ， ， ， ，， 与不全等， 作于点F，交的延长线于点G，则， ， ， 在和中，， ， ， ， 与面积相等， 与是偏等积三角形． ②作，交的延长线于点，作于点， ∵与是偏等积三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 5．定义：两个不全等的三角形，若有一组公共边和一个公共角，且公共角所对的边相等，我们就称这两个三角形为“双赢三角形”．例如，在图1中，与有公共边和公共角，且，则与是双赢三角形．如图2，在中，是边上任意一点． (1)若和是“双赢三角形”，，则 ； (2)如图3，延长到点，连接和，，，． ①试说明：与是“双赢三角形”； ②若，，求的长； ③若，，求的度数． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②；③ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和与外角性质，熟练掌握相关的知识和方法并读懂新定义概念是解题的关键． （1）利用新定义可得，根据等边对等角求解； （2）①根据证明可得，据此证明即可； ②由得，再利用线段和差求解即可； ③根据等腰三角形的性质，结合外角性质求，再利用等腰三角形的性质求，最后利用角的和差求解即可． 【详解】（1）∵和是“双赢三角形”， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴与是“双赢三角形”； ②由①得， ∴， 又∵， ∴； ③由①得， ∴， ∵， ∴， 由②得， ∴， 由由①得， ∴， ∴． 6．定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“师英三角形”，    (1)下列三角形一定是“师英三角形”的是（是“师英三角形”填“是”，不是填“否”）． ①顶角是的等腰三角形；（　　） ②等腰直角三角形；（　　） ③有一个角是的直角三角形．（　　） (2)如图1，在中，，以作边所在的直线对称图形，延长到点，使，求证：是“师英三角形”； (3)如图2，平分的内角，交于点，平分的外角，延长和交于点，已知，若是“师英三角形”，设，求的度数． 【答案】(1)否，是，是 (2)见解析 (3)或或或或 【分析】（1）根据“师英三角形”的定义进行判断即可； （2）由折叠的性质和等腰三角形的性质可求，由等腰三角形的性质可得，可得结论； （3）由角平分线的定义，得，，利用三角形外角定理，得，，进而得到，根据是“师英三角形”，分情况列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：①顶角是的等腰三角形的底角度数为：， 三个内角度数分别为：，，，不存在一个内角是另外一个内角的2倍， ∴顶角是的等腰三角形不是“师英三角形”； ②等腰直角三角形的三个内角分别为，，，存在一个内角是另外一个内角的2倍， ∴等腰直角三角形是“师英三角形”； ③有一个角是的直角三角形的三个内角分别为：，，，存在一个内角是另外一个内角的2倍， ∴有一个角是的直角三角形是“师英三角形”； 故答案为：否，是，是； （2）证明：∵， ∴， ∵与关于直线对称， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“师英三角形”； （3）解：∵平分的内角，平分的外角， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵，则， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ①当或时， ∴或， 解得，或； ②或时， ∴或， 解得； ③或时， ∴或， 解得或， 综上所述：或或或或． 【点睛】本题为几何变换综合题，新定义题型，主要考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，一元一次方程的应用，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之优质压轴题 【专题过关】 类型一、正确结论(个数)(选、填) 1．如图，，F为AB上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在和中，，，，直线，交于点，连接．下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确结论正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，，，延长至点，连接，和的角平分线交于点，下列三个结论：①；②；③若，，则．其中结论正确的个数有 ． 5．如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点F，连接．下列结论：；；平分；．其中正确结论的个数 6．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F是垂足，现给出以下四个结论：①∠DEF＝∠DFE；②AE＝AF；③AD垂直平分EF；④∠BDE＝∠CDF．其中正确结论的个数是 ． 类型二、最值问题(选、填) 1．如图，在中，，，平分交于点D，点E、F分别是线段、上的动点，则的最小值为（    ）． A．2 B．3 C．6 D．9 2．如图，在锐角三角形中，，的面积为12，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．6 3．如图，在中，，，，为角平分线上一动点，为边上一动点，的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．6 4．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点分别是和上的动点，则的最小值是 ． 5．如图，在等边中，D为边的中点，，P是线段上一动点，则的最小值为 ． 6．如图，已知：，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度．的周长的最小值是 ． 类型三、全等三角形动点求t(选、填、解) 1．如图．在长方形中，，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t，当t的值为多少时，和全等．（   ） A．2或9 B．2或7 C．2 D．3或7 2．如图，已知在中，，，点D为的中点．点P在线段上以每秒3个单位长度的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A以每秒a个单位长度的速度运动．设运动时间为t秒，若和全等，且和是对应角，则a的值为（　 　） A．3 B．3或5 C．3或 D．5 3．如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，和全等． 4．如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动．过分别作直线的垂线段，垂足分别为．设运动时间为，当与全等时， s． 5．如图（1），线段，过点A、B分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点D．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B运动；同时动点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线运动．当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为． (1)当时， ______， ______，用含a的代数式表示的长为______． (2)当，时， ①求证：； ②求证：． (3)如图（2），将“过点A、B分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的a、t的值． 6．如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以/秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒： (1)________cm．（用t的代数式表示） (2)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以/秒的速度沿向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 类型四、等腰三角形分类讨论(选、填、解) 1．如图，在中，，在直线上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在的网格中，点A，B在格点上，点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题： (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有 个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有 个． 4．已知：如图中，，，在射线上找一点 D，使为等腰三角形，则的度数为 ． 5．【背景】数学兴趣小组发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系，并对此展开探究． 【探索】（1）如图1，在和中，点为与的交点． ①若，则___________； ②若，则与之间的数量关系是___________； 【应用】（2）如图2，在等腰中，，，是边上一点，将沿折叠至的对应边与交于点，当为等腰三角形时，求的度数； （3）如图3，在中，，是边上的高，，是外一点且满足．记，求与的关系式． 6．如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”， (1)如图1，三角形内角分别为，，，这个三角形 （填“存在”或“不存在”）“黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D．求证：是的一条“黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 类型五、用的代数式表示边、角(选、填、解) 1．如图，已知点在线段上，且，，分别是，的平分线，若的度数可用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则的值是（   ）（用含的代数式表示） A． B． C． D． 3．如图，在与中，，，，连接和交于点，连接．则 （用含的代数式表示）． 4．如图1，在内部任取一点，则图中互不重叠的所有角的和是；在图1中的任一小三角形内任取一点（如图2），则图中互不重叠的所有角的和是．以此类推，当取到点时，图中互不重叠的所有角的和是 （用含的代数式表示）． 5．钝角三角形中，，． (1)若． 如图，当，点恰好为中点时，延长至，使，连接，请直接写出_______，______； 如图，点为延长线上一点，连接，过点作交的延长线于点，且有，请探究的关系，并说明理由． (2)如图，若，过点的直线交边于点．点在直线上，且．若，求的度数（用含的代数式表示）． 6．“如图①，在中，，和的平分线相交于点，求的度数．”小白在解决这个问题的过程中，发现当取不同的数值时，的大小并不改变，于是猜想三角形的两个内角的平分线的夹角和第三个内角的度数之间存在着某种数量关系，所以决定将其作为一个项目做进一步探究． 【项目模型】如图②，直线与直线相交于点，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合）．连接，和的平分线交于点．探究与的数量关系． 【特例发现】如图②，当时，__________度；当时，_____________度． 【规律探索】如图②，当度数为时，用含的代数式表示的大小，并写出推导过程． 【拓展应用】如图③，当时，和的平分线交于点，和的角平分线交于点．在点和点的运动过程中，当的三个内角中有一个角是另一个角的3倍时，直接写出的度数． 类型六、乘法公式与几何图形(选、填、解) 1．如图，将甲、乙两个正方形并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图1与正方形图2．若图1、图2中阴影部分的面积分别为9与36，则正方形乙的面积为（   ） A．18 B．13 C．10 D．9 2．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 3．如图1是一个宽为a、长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．则根据这两个图形间的关系，得到代数式三者之间的数量关系为 ． 4．现用相同的长方形材料（如图1，长为，宽为）拼出如图图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内若图2，图3中空白部分面积分别为19，68，长方形材料的面积是 ． 5．小李和小王学习了乘法公式后，决定利用如图1的三个图形（一个正方形和两个一样的梯形）通过拼图来验证一下完全平方公式． (1)请画出你所拼的图形，并写出验证过程； (2)利用（1）中的结论解决问题：若，，则_____． (3)如图2，是线段上一点，以、为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，，求图中阴影部分面积； (4)若实数满足．求代数式的值． 6．我们知道，在学习了课本阅读材料：《综合与实践—面积与代数恒等式》后，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题： (1)下图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式， ①②③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为_________________； (2)利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： ①已知，，，求的值； ②若x满足，求的值； (3)如图，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至T，使，延长至O，使，过点O、T作的垂线，两垂线相交于点R，请直接写出四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值）． 类型七、倍长中线法(解) 1．中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 如图，在中，D是边上的中点． (1)如图1，E是边上任意一点，过点C作，交的延长线于点F．.求证：． (2)如图2，连接，若，，求的长的取值范围． (3)如图3，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． (4)若将（3）中的“，”更改为“平分，”，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 2．【问题情境】课外数学社团开展活动时，提出了如下问题：如图，中，若，，点D为边上的中点，求中线的取值范围． 【方法探究】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下方法：延长到E，使，连接，如图1．请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是______．（填判定依据） （2）由“三角形的三边关系”，可以得到中线的取值范围为______． 【拓展迁移】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为M，若，，求的长度． 3．【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． (1)小明证明用到的判定定理是： ；（用字母表示） (2)的取值范围是 ； (3)【灵活运用】如图3，，点M为的中点，试说明：； (4)【问题拓展】如图4，是的中线，延长至点E，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 4．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：_____． （2）如图1，在中，若，，是的中线，则的取值范围是_____． 【问题应用】 （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （4）如图3，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 5．（1）问题提出：在中，，，求边上的中线的取值范围． 思维点拨：延长中线至等长，构造全等三角形，把、、集中在中，利用三边关系，可得的取值范围． 问题解决1：在图1中找出与的数量关系并证明； 问题解决2：的取值范围是_____，和的位置关系是_____． （2）问题拓展：如图2，是的中线，，，，探究线段与的数量关系并加以证明． 6．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（  ） A．           B．            C．             D． （2）求得的取值范围是（  ） A．      B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证： 类型八、平面直角坐标系中的综合应用(解) 1．如图，以直角三角形的直角顶点为原点，以、所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，满足．为线段的中点．在平面直角坐标系中，以任意两点、为端点的线段中点坐标为． (1)则A点的坐标为 ；点C的坐标为 ，D点的坐标为　 ． (2)已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．设运动时间为t（）秒．问：是否存在这样的，使；若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由 (3)点是线段上一点，满足，点是第二象限中一点，连接，使得．点是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动的过程中，请确定，和的数量关系，并说明理由． 2．“等面积法”是数学中常用的、重要的解题方法，在下题中也有所体现． 在平面直角坐标系中有，点，在轴上，，点在轴上，交延长线于点，． (1)如图，请直接写出的面积为______，点的坐标为______． (2)如图，若点坐标为，点在轴上点右侧，点在延长线上，连接，，若：：，求点的坐标补充并完成下面解答过程： 解：过作延长线于，， 由：：，可得：______． 在和中，， ______． (3)如图，在（2）的条件下，点在线段上，连接，过作于若，求点的坐标． 3．（1）已知，将一个三角板的直角顶点P如图（1）所示放在平面直角坐标系的y轴上，已知点P的坐标为，，求点N的坐标． （2）是第一象限角的平分线，将三角板的直角顶点P在射线上滑动，如图（2）所示，两直角边分别与x轴、y轴交于D、，请猜想和有怎样的数量关系，并证明你的结论． （3）是第一象限角的平分线，将三角板的直角顶点P在射线上转动，如图（3）所示，两直角边的延长线分别与x轴、y轴交于D、，请你直接写出和有怎样的数量关系． 4．如图，平面直角坐标系内，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线于点D，交y轴于点E，交x轴于点C，，且．    (1)求证：； (2)求的面积； (3)点M为线段上一动点，作，且交于点N，当点M运动时，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 5．在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点，点，点在第四象限． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，若交轴于点，交轴于点，是上一点，且，连接，求证； (3)如图3，若点不动，点在轴的负半轴上运动时，分别以，为直角边在第二、第三象限作等腰直角与等腰直角，其中，连接交轴于点，问当点在轴的负半轴上移动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度． 6．(1)如图1，等腰直角中，，，线段经过点，过作于点，过作于，求证：． (2)如图2，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标； (3)如图3，在中，，，点不与点重合是轴上一个动点，点是中点，连接，把绕着点顺时针旋转得到即，，连接、、，试猜想的度数，并给出证明． 类型九、规律问题(解) 1．（1）阅读下文，寻找规律： 已知时，， ， 观察上式，并猜想： （ ① ）． ② （2）通过以上规律，请你进行下面的探索： ①． ②（ ③ ）． ③ ④ ． （3）根据你的猜想，计算： 2．观察下列各式： ； ； ； … (1)根据以上规律可知， ______； (2)你能否由此归纳出一般性规律： ______； (3)根据以上规律解决： ①计算： ______； ②； ③，则______． 3．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形 中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律，请写出它的展开式； (2)利用上面的规律计算：； (3)运用：若今天是星期二，经过天后是星期___________． 4．观察下列等式： ；；；；… 从这些计算结果中，你能发现什么？ 我们发现了一个速算法则： 十位数字相同，个位数字分别是3和7的两个两位数的乘积，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上3和7的乘积21． 例如，计算，因为，，所以． (1)利用以上规律直接写出结果：______； (2)设两个因数的十位数字为a，用含a的代数式表示上述速算法则：__________________； (3)善于思考的小聪通过计算                                                           … 发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律．设两个因数的十位数字为a，个位数字分别为m，n，且，请用含a、m、n的等式表示小聪发现的规律，并说明该等式成立． 5．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了展开式的规律．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． (1)按以上规则，展开式共有 项，第三项（字母部分为）的系数是 ； (2)我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式 ；进而写出的展开式 ； (3)若，请求出的值． 6．观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)观察：根据上述规律，请写出第5个等式：________． (2)猜想：________． (3)应用：当，时，求出的值． (4)延伸：试求的值． 类型十、新定义问题(解) 1．定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”， ，，则 ． (2)如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由． ②若点E是边上一点，是“准互余三角形”， ，求的度数． 2．定义：在平面内，对于和，若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如：，，有，则是的“2系数补角”． (1)若，求的“5系数补角”的度数； (2)在平面内，直线，直线在上方，直线分别交直线，于点E，F，且，点H为直线右侧一个动点，的平分线与的平分线交于点M． ①如图，若点H在直线上方，且，，求的度数； ②已知，，是的“3系数补角”，且，请直接用含m和n的式子表示x． 3．【阅读理解】定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是____________； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是____________； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，延长至F，使，连接，，且，写出、、的数量关系并证明． 4．（1）理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 如图1，在中，． ①若为上一点，当的长为______时，与是偏等积三角形； ②若是上一点，，则与______偏等积三角形（填“是”或“不是”）； （2）运用定义：如图2，为上一点，与是偏等积三角形，，，且线段的长为偶数，则的长为______； （3）拓展加深： ①如图3，．求证：与是偏等积三角形； ②如图4，与是偏等积三角形，，求证： 5．定义：两个不全等的三角形，若有一组公共边和一个公共角，且公共角所对的边相等，我们就称这两个三角形为“双赢三角形”．例如，在图1中，与有公共边和公共角，且，则与是双赢三角形．如图2，在中，是边上任意一点． (1)若和是“双赢三角形”，，则 ； (2)如图3，延长到点，连接和，，，． ①试说明：与是“双赢三角形”； ②若，，求的长； ③若，，求的度数． 6．定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“师英三角形”，    (1)下列三角形一定是“师英三角形”的是（是“师英三角形”填“是”，不是填“否”）． ①顶角是的等腰三角形；（　　） ②等腰直角三角形；（　　） ③有一个角是的直角三角形．（　　） (2)如图1，在中，，以作边所在的直线对称图形，延长到点，使，求证：是“师英三角形”； (3)如图2，平分的内角，交于点，平分的外角，延长和交于点，已知，若是“师英三角形”，设，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $